图论习题答案1

图论习题课作业1，3，6，8，10

By jgy

•作业1：第一章：1,2,4,12,20,29,35

•作业3：第二章：14,28,30第三章：1,5,7,8•作业6：第五章：18,33

•作业8：第六章：6,12,17

•作业10：第七章10 第八章5,6,8

作业1

|E(G)|,2|E(G)|2G υυ⎛⎫

≤ ⎪⎝⎭

⎛⎫

⎪⎝⎭

1.1 举出两个可以化成图论模型的实际问题略

1.2 证明其中是单图

证明：（思路）根据单图无环无重边的特点，所以 最大的情形为任意两个顶点间有一条边相连，即极 端情况为。

•1.20证明每顶皆二次的连通图是圈

•证明：（思路）易证每顶皆二次的连通图中有圈。设图中最大圈为H，假设除H外还有其他顶点集U，任取u k，因为连通，u k 与H中任意顶均有一条道路，存在H中一顶h j与u k相邻，则h j为三次。

•1.29 证明二分图的子图是二分图

•方法一：

•定理1.2 图G是二分图当且仅当G中无奇圈

•反证：设二分图为G，子图为S，假设S非二分图，由定理1.2知S中有

奇圈，则G中有奇圈，这与G是二分图矛盾。

•方法二：

•（思路）定义：V(G) = X U Y, X n Y=空, 且X中任二顶不相邻，且Y中任二

顶不相邻。

•证明：

•(a)第一个序列考虑度数7,第二个序列考虑6,6,2

•(b)将顶点v分成两部分v’和v’’

•v’ = {v|v= vi , 1≤ i≤ k},

•v’’ = {v|v= vi , k< I ≤ n}

•以v’点为顶的原图的导出子图度数之和小于

•然后考虑剩下的点贡献给这k个点的度数之和最大可能为

•2.14 画出带权0.2 0.17 0.13 0.1 0.1 0.08 0.06 0.06 0.07 0.03的huffman 树

•排序：①0.03 0.06 0.06 0.07 0.08 0.1 0.1 0.13 0.17 0.2•②0.06 0.07 0.08 0.090.1 0.1 0.13 0.17 0.2•③0.08 0.090.1 0.1 0.130.13 0.17 0.2•④0.1 0.10.130.13 0.170.17 0.2•⑤0.130.13 0.170.17 0.20.2•⑥0.170.17 0.20.2 0.26•⑦0.20.20.26 0.34•⑧0.26 0.34 0.4•

⑨

0.4 0.6

0.030.06

0.09

0.030.060.09

0.06

0.07

0.13

0.030.06

0.090.060.07

0.13

0.17

0.08

①③

②

0.030.06

0.09

0.060.07

0.130.17

0.08

0.10.1

0.2

0.130.26

Huffman 树为

0.170.340.2

0.40.6

1

•2.28证明T是顶数至少为2的树，则T是二分图

•证明1：

•定理1.2 图G是二分图当且仅当G中无奇圈

•T是树，所以T中无奇圈，由‘图G是二分图当且仅当G中无奇圈’知T是二分图。

•证明2：

•二分图定义。

•考虑这样一种构造方法，从树根出发，树根结点放入顶集合X，树的第一层结点放入顶集合Y，树的第2K层结点放入X，树的第2K+1层结点放入Y。

•2.30若G 是加权连通图，且有一个长为m 的圈C ，

C 上的边的权相等，且是E(G)中边权最小的值，则G 中至少有m 棵不同的最优树，试加证明。

•证明：思路：kruskal 算法。圈C 上必有m-1条边被

选入，方法为C m m−1

= m.

情况讨论。

是等价的，没有必要分另，注意，这些边完全：画出即可

hints 。删去一条边皆是平面图与证明 3.13,3K 5K

是一个自对偶平面图。

条幅的轮时，）（从而又由欧拉定理，面数对偶图，则顶点数为自由于证明：

顶自对偶图。构作一个自1-n W 1422

)(2)(2G )1(n ,4,)2(2)(2)(对偶图，则为G 若(1)-≥-==+-=≥∈∀-=n n G v G n N n G v G εφενφνε•5.对偶图的概念。自对偶图：平面图G 与其对偶图同构。证明：

不是平面图

G 从而,6)(3)(时，11当2

7313v 得63）127（21解）127（2

1)(则6

)(3)(又,2)1()()(证明：不是平面图G 个，则11的顶点数不少于G 若7.3c

2

2c

->≥±=

-=+-+-≥-≤-=+c c c

c

G v G v v v v v v G G v G v v G G εεεεε

假设有其它交点，如图AB 与CD 交于O ，

则有AO+CO>AC

BO+DO>BD

所以AC+BD

对。6n 3中至多S 的顶对在1，则距离恰为1中任两点距离至少为S ，

3n ，是平面上点组成的集合},...,,{8.321-≥=n x x x S 面图）。

点外没有其他交点（平下证Ｇ中任两边除了端.

1距离为间，中相连以边当且仅当G 在与Ｇ，

为顶点集构造一个单图S 证：以j i j i x x x

x