图论习题参考答案

二、应用题题0：（1996年全国数学联赛）有n （n ≥6）个人聚会，已知每个人至少认识其中的[n /2]个人，而对任意的[n /2]个人，或者其中有两个人相互认识，或者余下的n -[n /2]个人中有两个人相互认识。

证明这n 个人中必有3个人互相认识。

注：[n /2]表示不超过n /2的最大整数。

证明 将n 个人用n 个顶点表示，如其中的两个人互相认识，就在相应的两个顶点之间连一条边，得图G 。

由条件可知，G 是具有n 个顶点的简单图，并且有（1）对每个顶点x ，)(x N G ≥[n /2]；（2）对V 的任一个子集S ，只要S ＝[n /2]，S 中有两个顶点相邻或V-S 中有两个顶点相邻。

需要证明G 中有三个顶点两两相邻。

反证，若G 中不存在三个两两相邻的顶点。

在G 中取两个相邻的顶点x 1和y 1,记N G (x 1)＝{y 1,y 2,……,y t }和N G (y 1)={x 1,x 2,……,x k },则N G (x 1)和N G (y 1)不相交，并且N G (x 1)（N G (y 1)）中没有相邻的顶点对。

情况一；n=2r ：此时[n /2]＝r ，由（1）和上述假设，t=k=r 且N G (y 1)＝V-N G (x 1)，但N G (x 1)中没有相邻的顶点对，由（2），N G (y 1)中有相邻的顶点对，矛盾。

情况二；n=2r+1: 此时[n /2]＝r ，由于N G (x 1)和N G (y 1)不相交，t ≥r,k ≥r,所以r+1≥t,r+1≥k 。

若t=r+1,则k=r ，即N G (y 1)=r ，N G (x 1)＝V-N G (y 1)，由（2），N G (x 1)或N G (y 1)中有相邻的顶点对，矛盾。

故k ≠r+1，同理t ≠r+1。

所以t=r,k=r 。

记w ∈V- N G (x 1) ∪N G (y 1),由（2），w 分别与N G (x 1)和N G (y 1)中一个顶点相邻，设wx i0∈E, wy j0∈E 。

若x i0y j0∈E ，则w ，x i0, y j0两两相邻，矛盾。

若x i0y j0∉E ，则与x i0相邻的顶点只能是(N G (x 1)-{y j0})∪{w},与y j0相邻的顶点只能是(N G (y 1)-{x j0})∪{w}。

但与w 相邻的点至少是3，故N G (x 1)∪N G (y 1)中存在一个不同于x i0和y j0顶点z 与w 相邻，不妨设z ∈N G (x 1)，则z ，w ，x i0两两相邻，矛盾。

题1：已知图的结点集V ={a ,b ,c ,d }以及图G 和图D 的边集合分别为：E (G )={(a ,a ), (a ,b ), (b ,c ), (a ,c )}E (D)={<a ,b >, <a ,c >, <c ,d >, <c ,a >, <c ,b >}试作图G 和图D ，写出各结点的度数，回答图G 、图D 是简单图还是多重图？解：a d a db c b c图G 图D例2图图G 中：deg(a )=4，deg(b )=2，deg(c )=2，deg(d )=0图D 中：deg(a )=3，deg(b )=2，deg(c )=4，deg(d )=1 图D 是简单图． 其中 deg +(a )=2, deg -(a )=1, deg +(b )=0, deg -(b )=2, deg +(c )=3, deg -(c)=1, deg -(d )=1.题2：设简单连通无向图G 有12条边，G 中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求G 中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．解：设图G 有x 个结点，有握手定理2⨯1+2⨯2+3⨯4+3⨯（x -2-2-3）＝12⨯2 271821243=-+=xx ＝9 图G 有9个结点． 图见例3图．（图不唯一）题3：设简单连通无向图G 有9条边，G 中有4个3度结点，2个1度结点，其余结点度数为2．求G 中有多少个结点．题4 无向完全图K 3，K 4，及3个结点的有向完全图.题5：两个图同构有下列必要条件：（1） 结点数相同；（2） 边数相同；（3） 度数相同的结点数相同.但它们不是两个图同构的充分条件，下图中(a)和(b)满足上述三个条件，但这两个图并不同构.例3图3个结点的有向完全图到目前为止，判断两个图同构，只能根据定义，还没有其它简单而有效的方法.题6：三名商人各带一随从乘船过河，一只小船只能容纳2人，由他们自己划行。

随从们密约，在河的任一案，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。

但是如何乘船渡河的大权掌握在商人手中，商人们怎样安排每次乘船方案才能安全渡河？解：用图论模型求解如下：●每个状态有三个因素：此岸构成，彼岸构成，船所在。

●此岸a1 b1，a1为商人个数，b1为随从个数，a1≥b1，a1,b1=0,1,2,3，或a1=0,b1=0,1,2,3。

●彼岸a2 b2，a2为商人个数，b2为随从个数，a2≥b2，a2,b2=0,1,2,3，或a2=0,b2=0,1,2,3。

●注：a1+a2=b1+b2=3；0表示船在此岸，1表示在彼岸。

可行状态有：33|00|0，32|01|0，31|02|0，22|11|0，11|22|0，03|30|0，02|31|0，01|32|0，，00|33|1。

根据上图，求从33|00|0到00|33|1的路径，可得解如下：33|00|0--31|02|1--32|01|0--30|03|1--31|02|0--11|22|1-22|11|0--02|31|1--03|30|0--01|32|1--02|31|0--00|33|1。

或：33|00|0--31|02|1--32|01|0--30|03|1--31|02|0--11|22|1-22|11|0--02|31|1--03|30|0--01|32|1--11|22|0--00|33|1。

或：33|00|0--22|11|1--32|01|0--30|03|1--31|02|0--11|22|1-22|11|0--02|31|1--03|30|0--01|32|1--11|22|0--00|33|1。

题7 在平面上有n 个点S ＝{x 1,x 2,……,x n }，其中任两个点之间的距离至少是1，证明在这n 个点中距离为1的点对数不超过3n 。

证明 首先建立一个图G ＝（V ，E ），其中V 就取S 中的n 个顶点，V 中两个点有边相连当且仅当两点之间的距离恰好是1。

则所得图G 是一个简单图，S 中距离为1的点对数就是G 的边数。

因此我们只需证明m(G)≤3n 。

我们考虑G 中每个顶点的度，可以证明：deg(x i )≤6,i=1,2, ……,n 。

让x i 是G 中的任一个顶点，且与x i 相邻的顶点为y 1,y 2,……,y k ，则y 1,y 2,……,y k 分布在以x i 为圆心的单位圆周上。

所以k= deg(x i )≤6 ,i=1,2, ……,n 。

由握手定理得2m(G)=∑=ni i v d 1)(≤6n 故m(G)≤3n 。

题8 n 个点由若干线段连接着。

已知每一点与另外任何一点都有道路相连通。

而任何两点都没有两种不同的道路。

证明：线段总数为n -1。

证明 构造图G ：将问题中给定的n 个点作为顶点，线段作为边。

根据给定的条件，所得图G 是含有n 个顶点的简单图，每一对顶点之间有且只有一条路连接，因此G 是连通图，并且没有回路（否则，该回路上两个不同的顶点之间有两条不同的路），所以图G 是一棵树。

题9：设无向图G 有12条边，已知G 中度数为3的节点个数为6个，其余结点的度数均小于3，问G 中至少有多少顶点？解：由定理可知，图中所有节点的度数之和应为边数的2倍，即12 x 2 =24，却掉度数为3的6个结点的总度数18，还剩6度，又由于其余结点的度数小于3，故度数只能是0，1，2，若其余结点的度数均为2，则至少需3个结点，故图G 中至少有9个结点。

题10：若图G 是不连通的，则G 的补图G 是连通的。

证明：设G=（V ，E ）不连通，则设其连通分支为G 1，G 2，…G s ，其相应的节点集为V 1，V 2，…V s ，任取G 中的两个节点u ，v ∈V ，1）、若u ，v 分属于G 中不同的连通分支，则(u,v)∈G ，因此u ，v 在G 中连通。

2）、若u ，v 分属于G 中同一个连通分支，则从另一连通分支中任取一结点w ，则(u,w)∈G ，(v,w)∈G ，于是在G 中存在一条道路uwv ，使得u ，v 连通。

综上所述可知，对于G 中任意2个结点，u ，v 总有路相连，故G 是连通的。

题11：当且仅当G 的一条边e 不包含在G 的回路中，e 才是G 的割边（桥）。

证明：必要性：设e 是连通图G 的割边，e 关联的两个结点为u 和v 。

若e 包含在G 的一个回路中，则除边e =（u ，v ）外还有一条以u ，v 为端点的道路，故删去边e 后，G 仍是连通的，这与e 是割边矛盾。

充分性：若e 不包含在G 的任一回路中，那么连接节点u 和v 只有边e ，而不会有其他连接u 和v 的路，因为若连接u 和v 还有不同于边e 的路，此路与边e 就组成一个包含e 的回路，从而导致矛盾，所以，删去边e 后，u 和v 就不连通，故边e 为割边。

题12：n 个城市由k 条公路网络连接（一条公路定义为两个城市间的一条道路，它们之间不能通过任何中间城市），证明：如果有 k>21(n-1)(n-2) 则人们总能通过连接城市的公路在任何城市间旅行。

证明：将城市作为结点，将连接两个城市的公路作为边，则问题等价于证明具有n 个结点k 条边的简单无向图G ，若满足k>21(n-1)(n-2)，则是连通图。

当n=2时，结论显然成立，下面证明n>2时，结论也成立。

假设G 不连通，不妨设G 有2个连通分支，则可将G 中的结点集V 分为两个子集V 1和V 2，满足V 1和V 2分属于不同的连通分支。

设由V 1生成的G 的子图G 1中有n 1个结点k 1条边，设由V 2生成的G 的子图G 2中有n 2个结点k 2条边，则n 1+n 2=n ， k 1+k 2=k ， n 1，n 2≥1由于G 是简单无向图，故G 1和G 2也是简单无向图，从而有：k 121≤n 1(n 1-1)，k 221≤n 2(n 2-1) k=k 1 +k 221≤n 1(n 1-1)+21n 2(n 2-1) (1) 另一方面，由已知k>21(n-1)(n-2)= 21(n 1+n 2-1)(n 1+n 2-2) (2) 由于n>2，因此n 1和n 2至少有一个大于等于2，不妨设n 1≥2，由(2)得k>21(n 1+n 2-1)(n 1+n 2-2)= 21n 1(n 1+n 2-2)+ 21(n 2-1)(n 1+n 2-2) 21≥n 1(n 1-1)+ 21 n 2 (n 2-1) 与式（1）矛盾，故G 是连通图。