图论习题参考答案

二、应用题

题0：（1996年全国数学联赛）

有n （n ≥6）个人聚会，已知每个人至少认识其中的[n /2]个人，而对任意的[n /2]个人，或者其中有两个人相互认识，或者余下的n -[n /2]个人中有两个人相互认识。证明这n 个人中必有3个人互相认识。

注：[n /2]表示不超过n /2的最大整数。

证明 将n 个人用n 个顶点表示，如其中的两个人互相认识，就在相应的两个顶点之间连一条边，得图G 。由条件可知，G 是具有n 个顶点的简单图，并且有

（1）对每个顶点x ，)(x N G ≥[n /2]；

（2）对V 的任一个子集S ，只要S ＝[n /2]，S 中有两个顶点相邻或V-S 中有

两个顶点相邻。

需要证明G 中有三个顶点两两相邻。

反证，若G 中不存在三个两两相邻的顶点。在G 中取两个相邻的顶点x 1和y 1,记N G (x 1)＝{y 1,y 2,……,y t }和N G (y 1)={x 1,x 2,……,x k },则N G (x 1)和N G (y 1)不相交，并且N G (x 1)（N G (y 1)）中没有相邻的顶点对。

情况一；n=2r ：此时[n /2]＝r ，由（1）和上述假设，t=k=r 且N G (y 1)＝V-N G (x 1)，但N G (x 1)中没有相邻的顶点对，由（2），N G (y 1)中有相邻的顶点对，矛盾。

情况二；n=2r+1: 此时[n /2]＝r ，由于N G (x 1)和N G (y 1)不相交，t ≥r,k ≥r,所以r+1≥t,r+1≥k 。若t=r+1,则k=r ，即N G (y 1)=r ，N G (x 1)＝V-N G (y 1)，由（2），N G (x 1)或N G (y 1)中有相邻的顶点对，矛盾。故k ≠r+1，同理t ≠r+1。所以t=r,k=r 。记w ∈V- N G (x 1) ∪N G (y 1),由（2），w 分别与N G (x 1)和N G (y 1)中一个顶点相邻，设wx i0∈E, wy j0∈E 。若x i0y j0∈E ，则w ，x i0, y j0两两相邻，矛盾。若x i0y j0∉E ，则与x i0相邻的顶点只能是(N G (x 1)-{y j0})∪{w},与y j0相邻的顶点只能是(N G (y 1)-{x j0})∪{w}。但与w 相邻的点至少是3，故N G (x 1)∪N G (y 1)中存在一个不同于x i0和y j0顶点z 与w 相邻，不妨设z ∈N G (x 1)，则z ，w ，x i0两两相邻，矛盾。

题1：已知图的结点集V ={a ,b ,c ,d }以及图G 和图D 的边集合分别为：

E (G )={(a ,a ), (a ,b ), (b ,c ), (a ,c )}

E (D)={, , , , }

试作图G 和图D ，写出各结点的度数，回答图G 、图D 是简单图还是多重图？

解：

a d a d

b c b c

图G 图D

例2图

图G 中：deg(a )=4，deg(b )=2，deg(c )=2，deg(d )=0

图D 中：deg(a )=3，deg(b )=2，deg(c )=4，deg(d )=1 图D 是简单图． 其中 deg +(a )=2, deg -(a )=1, deg +(b )=0, deg -(b )=2, deg +(c )=3, deg -(c)=1, deg -

(d )=1.

题2：设简单连通无向图G 有12条边，G 中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求G 中有多少个结点．

试作一个满足该条件的简单无向图．

解：设图G 有x 个结点，有握手定理

2⨯1+2⨯2+3⨯4+3⨯（x -2-2-3）＝12⨯2 271821243=-+=x

x ＝9 图G 有9个结点． 图见例3图．（图不唯一）

题3：设简单连通无向图G 有9条边，G 中有4个3度结点，2个1度结点，其余结点度数为2．求G 中有多少个结点．

题4 无向完全图K 3，K 4，及3个结点的有向完全图.

题5：两个图同构有下列必要条件：

（1） 结点数相同；

（2） 边数相同；

（3） 度数相同的结点数相同.

但它们不是两个图同构的充分条件，下图中(a)和(b)满足上述三个条件，但这两个图并

不同构.

例3图

3个结点的有向完全图

到目前为止，判断两个图同构，只能根据定义，还没有其它简单而有效的方法.

题6：三名商人各带一随从乘船过河，一只小船只能容纳2人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一案，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人手中，商人们怎样安排每次乘船方案才能安全渡河？

解：用图论模型求解如下：

●每个状态有三个因素：此岸构成，彼岸构成，船所在。

●此岸a1 b1，a1为商人个数，b1为随从个数，a1≥b1，a1,b1=0,1,2,3，或a1=0,b1=0,1,2,3。

●彼岸a2 b2，a2为商人个数，b2为随从个数，a2≥b2，a2,b2=0,1,2,3，或a2=0,b2=0,1,2,3。

●注：a1+a2=b1+b2=3；0表示船在此岸，1表示在彼岸。

可行状态有：33|00|0，32|01|0，31|02|0，22|11|0，11|22|0，03|30|0，02|31|0，01|32|0，

，00|33|1。

根据上图，求从33|00|0到00|33|1的路径，可得解如下：

33|00|0--31|02|1--32|01|0--30|03|1--31|02|0--11|22|1-22|11|0--02|31|1--03|30|0--01|32|1--02|31|0--00|33|1。

或：

33|00|0--31|02|1--32|01|0--30|03|1--31|02|0--11|22|1-22|11|0--02|31|1--03|30|0--01|32|1--11|22|0--00|33|1。

或：

33|00|0--22|11|1--32|01|0--30|03|1--31|02|0--11|22|1-22|11|0--02|31|1--03|30|0--01|32|1--11|22|0--00|33|1。