2004图论复习题答案

图论复习题答案
一、
判断题，对打√，错打
1．无向完全图是正则图。

( √ )
2．零图是平凡图。

( )
3．连通图的补图是连通图. ( )
4．非连通图的补图是非连通图。

( )
5．若连通无向简单图G中无圈，则每条边都是割边。

( √ )
6．若无向简单图G是（n，m）图，并且m=n-1，则G是树。

( )
7．任何树都至少有2片树叶。

( )
8．任何无向图G都至少有一个生成树。

( )
9．非平凡树是二分图。

( √ )
10．所有树叶的级均相同的二元树是完全二元树。

( )
11．任何一个位置二元树的树叶都对应唯一一个前缀码。

( √ )
12．3,3
K是欧拉图也是哈密顿图。

( )
13．二分图的对偶图是欧拉图。

( )
14．平面图的对偶图是连通图。

( √ )
15．设G*是平面图G的对偶图，则G*的面数等于G的顶点数。

( )二、填空题
1．无向完全图K6有 15 条边。

2．有三个顶点的所有互不同构的简单无向图有 4 个。

3．设树T中有2个3度顶点和3个4度顶点，其余的顶点都是树叶，则T中有 10 片树叶。

4．若连通无向图G是（n，m）图，T是G的生成树，则基本割集
有 n-1 个，基本圈有 m-n+1 个。

5．设连通无向图G有k个奇顶点，要使G变成欧拉图，在G中至少要
加k / 2 条边。

6．连通无向图G是（n，m）图，若G是平面图，则G有m-n+2 个面。

三、解答题
1．有向图D如图1所示，利用D的邻接矩阵及其幂运算
求解下列问题：
（1）D中长度等于3的通路和回路各有多少条。

（2）求D的可达性矩阵。

（3）求D的强分图。

a
b e
图1
解： （1）
M=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00010
1000000001
010******* M 2
=⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡010*******
00010
1000001000
M 3=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000001000010000001010000 M 4=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001000100000100000010
由M 3可知，D 中长度等于3的通路有5条，长度等于3的回路有3条。

（2）
I+M+M 2+M 3+M 4
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡100000100000100
0001000001
+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡000101000000001
010*******
+⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡010000001000010
1000001000
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000001000010000001010000 +⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001000100000100000010
=
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21020
13010111110202011021
D 的可达性矩阵为
R=B （I+M+M 2+M 3+M 4
）=⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡110101*********
1101011011
（3）R T
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111
1111100100
1111100101
R×R T =⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡11010
11010
001001101000001
由矩阵R×R T 可知，该有向图的强分图有：{a}，{ b ，d ，e}，
{ c}
a
b
e 图1
2．画出有1个4次顶点，2个2次顶点，4个1次顶点的所有非同构的树。

3．用Kruskal 算法求图2所示带权图的最小生成树，并计算它的权。

C （T ）=25
4．试画出带权为1,2,3, 4,5,7,的最优二元树, 并计算它的权。

m （T ）=（1+2）⨯4+3⨯3+（7+4+5）⨯2=53 5．出席某次国际学术报告会的六个成员
654321,,,,,P P P P P P 被分在一组。

他们的情况是：
1P 会讲汉语、法语和日语； 2P 会讲德语、日语和俄语；
3P 会讲英语和法语；
4P 会讲汉语和西班牙语；
5P 会讲英语和德语； 6P 会讲俄语和西班牙语。

怎样把他们安排在一张圆桌旁坐下，使得每个人都能和他两旁的人交谈？ 解 构造无向图>=<E V G ,，其中
},,,,,{654321P P P P P P V =，}|),{(会讲同一种语言与j i j i P P P P E =，
则得无向图如图所示。

3
2P
4P 6P 5
由该图得一条哈密顿回路：1352641PP P P P P P ，即为满足要求的安排。

四、证明题
1． 设T 是完全二元树，T 中有m 条弧和t 片树叶，证明：m = 2(t -1)。

证明： 设完全二元树T 有n 个顶点。

因为它有t 片树叶，所以除树叶以外的顶点有t n -个。

由于完全二元树中，根和分支点的引出次数为2，每片树叶的引出次数为0，故所有顶点的引出次数之和为)(2t n -，它等于边数m 。

又因为1-=n m ， 故有1)(2-=-n t n ，解得12-=t n 。

因此
)1(2221-=-=-=t t n m 。