2014图论(1) 上传
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第1章图论1(103)PPT课件
且V(H) = V(G)，则称H是G的生成子图。
例5
v1
v4
v1
v5
v2
v3
v2
v4
v1
v4
v5
v3
v2
v3
G
H1
H2
上图中，H1与H2均为G 的子图，其中H2 是G的生成子 图，而H1则不是。
四．顶点的度
定义3 设 v为 G 的顶点，G 中与 v 为端点的边的条 数（环计算两次）称为点 v 的度数，简称为点v的 度，记为 dG (v)，简记为 d(v)。
终止后，u0 到 v 的距离由 l(v) 的终值给出。
说明：
（1） 算法中w(uiv) 表示边 uiv 的权；
（2） 若只想确定u0到某顶点v0的距 离， 则当某 uj 等于 v0 时则停；
（3） 算法稍加改进可同时得出u0
到其它点的最短路。
例3 求图 G 中 u0 到其它点的距离。
u0 2
5
G:
相应的最短路为
3
1
6
Γ：v2v1v3v4
v3
3
G
v4
易知，各边的权均为1的权图中的路长与非权图中的路长 是一致的。
问题：给定简单权图G = (V, E)，并设G 有n个顶点，求G 中点u0到其它各点的距离。
Dijkstra算法 (1) 置 l(u0) = 0；对所有v∈V \{u0}，令 l(v) = ∞；
称从 u 到 v 的距离为无穷。
u
例如对图：
w
d (u, v ) = 2
x
其最短路为 uxv
d(u, w) = ∞
v
容易证明对 ，距离具有性质：
（1）d(u, v)≥0；
离散数学——图论PPT课件
第19页/共93页
• 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每个结点均与其它n-1个结点相邻接，记为Kn。 • 无向完全图：m=n(n-1)/2 • 有向完全图：m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
第20页/共93页
定义补图
• 设图G=<V,E> ， G’=<V,E’> ，若G’’=<V,E∪E’> 是完全图，且E∩E’= 空集，则称G’是G的补图。 • 事实上，G与G’互为补图。
正则图
• 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 • 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连的四边形。 • 试画出两个2次正则图。
第27页/共93页
两图同构需满足的条件
• 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
• 例子
第28页/共93页
• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾 名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，但这里的图不是平面坐标系中的函数， 而是由一些点和连接这些点的线组成的结构 。
第8页/共93页
• 在图形中，只关心点与点之间是否有连线，而不关心点具体代表哪些对象，也不关 心连线的长短曲直，这就是图的概念。
定义图的子图
• 子图：设G=<V,E> ， G’=<V’,E’> ，若V’是V的子集， E’是E的子集，则 G’是G的子图。 • 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 • 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
第18页/共93页
定义（n,m）图
• (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 • 零图：m=0。即（n,0）图，有n个孤立点。 • 平凡图：n=1,m=0。即只有一个孤立点。
• 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每个结点均与其它n-1个结点相邻接，记为Kn。 • 无向完全图：m=n(n-1)/2 • 有向完全图：m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
第20页/共93页
定义补图
• 设图G=<V,E> ， G’=<V,E’> ，若G’’=<V,E∪E’> 是完全图，且E∩E’= 空集，则称G’是G的补图。 • 事实上，G与G’互为补图。
正则图
• 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 • 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连的四边形。 • 试画出两个2次正则图。
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两图同构需满足的条件
• 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
• 例子
第28页/共93页
• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾 名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，但这里的图不是平面坐标系中的函数， 而是由一些点和连接这些点的线组成的结构 。
第8页/共93页
• 在图形中，只关心点与点之间是否有连线，而不关心点具体代表哪些对象，也不关 心连线的长短曲直，这就是图的概念。
定义图的子图
• 子图：设G=<V,E> ， G’=<V’,E’> ，若V’是V的子集， E’是E的子集，则 G’是G的子图。 • 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 • 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
第18页/共93页
定义（n,m）图
• (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 • 零图：m=0。即（n,0）图，有n个孤立点。 • 平凡图：n=1,m=0。即只有一个孤立点。
图论第一章课件
返回 结束
• • • •
有限图：顶点集和边集都是有限集。 无限图：顶点集或边集是无限集。 平凡图：只有一个顶点的图。 空 图：边集为空集的图。 常将 G (V (G), E(G), G ) 简记为G (V (G), E (G)) 或 G (V , E )
或 G 。 特别对简单图 G , 将Ψ G(e)=uv 简记为 e = uv 。
如：例1中五个人的朋友关系所对应的图为 G (V (G), E(G), G ), 其中 点集合——人 边集合——朋友关系
G (e1 ) x1 x5 , G (e2 ) x1 x2 , G (e3 ) x2 x5 , G (e4 ) x3 x4 , G (e5 ) x1 x4
例2 G (V (G), E(G), G ) ，其中
e3 x1 e4
x3
e1
e2
x2
e5
返回 结束
在图 G (V (G), E(G), G ) 中，若 G (e) uv ，就称 e 连接顶 点 u , v ；称 u , v 是 e 的端点； 也称 u 和 v 相邻， 同时也称 u （ 或 v ）与 e 关联。 与同一个顶点关联的若干条边称为是相邻的（如例2中 的 e1 , e5 ）；两个端点重合为一个点的边称为环（如例2中的 e3）； 关联于同一对顶点的二条或二条以上的边称为多重边(如例2中 的 e1 , e2 ) 。 若图没有环和多重边，则称该图为简单图。
拉姆瑟（F.P.Ramsey）在1930年证明了这个数 r(k,t)是存 在的，人们称之为 Ramsey数。
1847年基尔霍夫运用图论解决了电路理论中求解联立方程 的问题，引进了“树”概念。 1857年Cayley非常自然在有机化学领域发现了一种重要的 图，称为“树”，解决了计算饱和氢化物同分异构体的数目。 1936年,哥尼格的第一本图论专著问世,才使得图论成为一 门独立的数学学科.
图论基础知识PPT课件
.
6
图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念：
连通图：如果一个无向图中，任意两个顶点之间
都是连通的，则称该无向图为连通图。否则称为非连通图；左图为一个连通图。
强连通图：在一个有向图中，对于任意两个顶点U和V，都存在着一条从U到V的
有向路径，同时也存在着一条从V到U的有向路径，则称该有向图为强连通图；右 图不是一个强连通图。
深度优先遍历与宽度优先遍历的比较：
深度优先遍历实际上是尽可能地走“顶点表”； 而广度优先遍历是尽可能沿顶点的“边表”进行访问， 然后再沿边表对应顶点的边表进行访问，因此，有关边表 的顶点需要保存(用队列，先进先出)，以便进一步进行广度 优先遍历。
下面是广度优先遍历的过程：
.
14
图论算法与实现
一、图论基础知识
简单路径：如果一条路径上的顶点除了起点和终点可以相同外，其它 顶点均不相同，则称此路径为一条简单路径；起点和终点 相同的简单路径称为回路（或环）。
.
4
图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念：
路径和简单路径的举例：
左图1—2—3是一条简单路径，长度为2， 而1—3—4—1—3就不是简单路径；
一、图论基础知识
2、图的基本概念： 路径：对于图G=（V，E），对于顶点a、b，如果存在一些顶点序列
x1=a,x2,……,xk=b(k>1)，且（xi,xi+1）∈E，i=1,2…k-1，则称 顶点序列x1,x2,……,xk为顶点a到顶点b的一条路径，而路径上边 的数目（即k-1）称为该路径的长度。 并称顶点集合{x1,x2,……,xk}为一个连通集。
边集数组
邻接表
优点
图论——精选推荐
图论图论图论是数学的⼀个分⽀。
它以图为研究对象。
图论中的图是由若⼲给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常⽤来描述某些事物之间的某种特定关系，⽤点代表事物，⽤连接两点的线表⽰相应两个事物间具有这种关系。
欧拉回路定义边权：离散数学或数据结构中，图的每条边上带的⼀个数值，它代表的含义可以是长度等等，这个值就是边权欧拉路径：如果图中的⼀个路径包括每个边恰好⼀次，则该路径称为欧拉路径。
欧拉回路：⾸尾相接的欧拉路径称为欧拉回路。
dfs（深度优先搜索）深度优先搜索是⼀种在开发爬⾍早期使⽤较多的⽅法。
它的⽬的是要达到被搜索结构的叶结点(即那些不包含任何超链的HTML⽂件) 。
在⼀个HTML⽂件中，当⼀个超链被选择后，被链接的HTML⽂件将执⾏深度优先搜索，即在搜索其余的超链结果之前必须先完整地搜索单独的⼀条链。
深度优先搜索沿着HTML⽂件上的超链⾛到不能再深⼊为⽌，然后返回到某⼀个HTML⽂件，再继续选择该HTML⽂件中的其他超链。
当不再有其他超链可选择时，说明搜索已经结束。
判定由于每⼀条边都要经过恰好⼀次，因此对于除了起点和终点之外的任意⼀个节点，只要进来，⼀定要出去。
⼀个⽆向图存在欧拉回路，当且仅当该图所有顶点度数都为偶数，且该图只有⼀个存在边的连通块。
⼀个⽆向图存在欧拉路径，当且仅当该图中奇点的数量为0或2，且该图只有⼀个存在边的连通块。
⼀个有向图存在欧拉回路，当且仅当所有点的⼊度等于出度。
⼀个混合图存在欧拉回路，当且仅当存在⼀个对所有⽆向边定向的⽅案，使得所有点的⼊度等于出度。
需要⽤⽹络流。
求法我们⽤ dfs（深度优先搜索）来求出⼀张图的欧拉回路。
我们给每⼀条边⼀个 vis数组代表是否访问过，接下来从⼀个点出发，遍历所有的边。
直接dfs并且记录的话会有⼀些问题。
为了解决这个问题，我们在记录答案的时候倒着记录，也就是当我们通过 (u, v) 这条边到达 v 的时候，先把 v dfs 完再加⼊ (v, u) 这条边。
数学中的图论基础
数学中的图论基础图论作为数学中的一个重要分支，研究的是图这种数学结构。
图论不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在计算机科学、运筹学、电路设计等领域也有着广泛的应用。
本文将介绍数学中的图论基础知识，包括图的基本概念、性质以及一些经典的应用。
1. 图的基本概念图由节点（顶点）和边组成，是图论研究的基本对象。
图可以分为有向图和无向图两种。
1.1 有向图有向图中的边是有方向的，即从一个节点指向另一个节点。
有向图用表示，其中为节点集合，为有向边的集合。
1.2 无向图无向图中的边是没有方向的，即连接两个节点的边不区分起点和终点。
无向图用表示，其中为节点集合，为无向边的集合。
2. 图的性质图论中有许多重要的性质和定理，这些性质对于研究图的结构和特点具有重要意义。
2.1 连通图在无向图中，如果任意两个节点之间都存在路径相连，则称该图是连通图。
连通图中任意两个节点都是连通的，不存在孤立的节点。
2.2 完全图完全图是一种特殊的图，任意两个节点之间都存在一条边相连。
完全图用表示，其中表示图中节点的个数。
2.3 欧拉图欧拉图是指一条路径经过图中每条边恰好一次的连通图。
欧拉图有一个著名的结论——存在欧拉回路的充要条件是该图所有节点度数为偶数。
2.4 哈密顿图对于一个图，如果存在一条路径经过图中每个节点恰好一次，则称该路径为哈密顿路径。
如果存在一条经过每个节点恰好一次的回路，则称该回路为哈密顿回路。
3. 图论的应用图论在现实生活和学术研究中有着广泛的应用。
以下介绍一些图论在实际问题中的应用场景。
3.1 网络路由在计算机网络中，路由器通过构建网络拓扑图并使用图论算法来选择最佳路径，实现数据的传输和通信。
3.2 交通规划交通规划中的交通流量分析、交通网络设计等问题可以通过图论模型进行建模和求解，帮助优化城市交通系统。
3.3 社交网络分析社交网络中的节点表示个体，边表示个体之间的关系。
通过图论分析社交网络的拓扑结构和节点之间的连接关系，可以帮助推荐系统、信息传播等问题。
运筹学--图论 ppt课件
4
5
4 9 8
v1
v3
2
v6
[8,v2]
v8
5 33
1
[2,v1]
v4
v7
[10,v4]
33
Dijkstra算法示例1
3）迭代计算(c)—更新与永久标号节点v2相连的节 (d2+w25=3+7=)10< ∞ (=d5) 点的临时标号。
[3,v1]
v2
[0,-]
7
v5
[10,v2]
2 [+∞,v1] 6
v4
v7
[+∞,v1]
22
Dijkstra算法示例1
2）迭代计算(a)—从临时标号中找到距离上界dk最 小的节点v4，d4=min{dk}，将其变换为永久编号。
[3,v1] [+∞,v1]
v2
[0,-]
7
v5
2 [+∞,v1] 6 1 2 [+∞,v1]
3
5 2 [5,v1]
4
5
4 9 8
v1
v3
最小树问题不一定有唯一解。
10
10
最小支撑树问题的解法
破圈法 算法
初始化 将图G的边按权值从大到小的次序排列，从 原图开始迭代； 迭代
第1步(删边) 从排列中顺序选择一条与图中剩余边构成圈 的边，则将此边从图中删除，进入第2步(结束判断)； 第2步(结束判断) 若图中剩下n-1条边，则已经得到最小支 撑树；否则，进入下一轮迭代，返回第1步(加边)；
柯尼斯堡七桥问题
柯尼斯堡市区横跨普雷格尔河两岸，在河中心有两 个小岛。小岛的两岸共有七座桥将岛与岛、岛与河 岸连接起来。一个人怎样才能一次走遍七座桥，每 座桥只走过一次，并最后回到出发点？
图论课件第1章资料
所以，两图不同构。
例 指出4个顶点的非同构的所有简单图。
分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以 可按边数进行枚举。
解
(a)
(b)
(c)
(d) (f)
(e) (g)
三、完全图，偶图，补图
定义 任意两点均相邻的简单图称为完全图，在同构意义 下，n 阶完全图只有一个，记为Kn。
例 K2, K3, K4分别为如下图所示。
定理 非负整数组(d1, d2,….,dn)是图的度序列的充分必要条件 是：∑di 为偶数。
证明 必要性由握手定理立即得到。
如果∑di为偶数，则数组中为奇数的数字个数必为偶数。
按照如下方式作图G: 若di为偶数，则在与之对应的点作di /2 个环；对于剩下的偶数个奇数，两两配对后分别在每配对 点间先连一条边，然后在每个顶点画(dj -1)/2个环。
两图同构，记为G1≌G2。
例
≌
注：(1) 两个同构的图均有相同的结构，没有本质上的差 异, 差异只是顶点和边的名称不同。
(2) 图同构的几个必要条件：①顶点数相同；②边数相同； ③度数相等的顶点个数相同。
(3) 在图的图形表示中我们可以不给图的点和边标上符号，称 这样的图为非标定（号）图，否则称为标定（号）图。非标 定图实际上是代表一类相互同构的图。不误解时我们也不严 格区分标定图与非标定图。
研究现状 (1)彻底解决了；(2)解决得不好；(3)没有解决。
定理 设有非负整数组Π= (d1, d2,…, dn)满足
n 1 d1 d2 L dn且 di 2m，
则Π是可图序列的充分必要条件是：
1 (d2 1, d3 1,K , dd11 1, dd12 ,K , dn )
例 指出4个顶点的非同构的所有简单图。
分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以 可按边数进行枚举。
解
(a)
(b)
(c)
(d) (f)
(e) (g)
三、完全图，偶图，补图
定义 任意两点均相邻的简单图称为完全图，在同构意义 下，n 阶完全图只有一个，记为Kn。
例 K2, K3, K4分别为如下图所示。
定理 非负整数组(d1, d2,….,dn)是图的度序列的充分必要条件 是：∑di 为偶数。
证明 必要性由握手定理立即得到。
如果∑di为偶数，则数组中为奇数的数字个数必为偶数。
按照如下方式作图G: 若di为偶数，则在与之对应的点作di /2 个环；对于剩下的偶数个奇数，两两配对后分别在每配对 点间先连一条边，然后在每个顶点画(dj -1)/2个环。
两图同构，记为G1≌G2。
例
≌
注：(1) 两个同构的图均有相同的结构，没有本质上的差 异, 差异只是顶点和边的名称不同。
(2) 图同构的几个必要条件：①顶点数相同；②边数相同； ③度数相等的顶点个数相同。
(3) 在图的图形表示中我们可以不给图的点和边标上符号，称 这样的图为非标定（号）图，否则称为标定（号）图。非标 定图实际上是代表一类相互同构的图。不误解时我们也不严 格区分标定图与非标定图。
研究现状 (1)彻底解决了；(2)解决得不好；(3)没有解决。
定理 设有非负整数组Π= (d1, d2,…, dn)满足
n 1 d1 d2 L dn且 di 2m，
则Π是可图序列的充分必要条件是：
1 (d2 1, d3 1,K , dd11 1, dd12 ,K , dn )
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• 在一群人数不少于三的人群中， 若任意两人都刚好只有一个共 同认识的人，这群人中总有一 人是所有人都认识的。
• 对于所有的N顶图，包含k个顶 的团或q个顶的独立集。具有这 样性质的最小自然数N就称为一 个拉姆齐数，记作R(k,q)
莱昂哈德· 欧拉(Leonhard Euler) 瑞士的数学家和物理学家。他被称为历史上最伟大 的两位数学家之一（另一位是卡尔· 弗里德里克· 高斯）。 欧拉出生于瑞士，在那里受教育。他是一位数学神童。作 为数学教授，他先后任教于圣彼得堡(1727-1741)和柏林 ，尔后再返圣彼得堡(1766)。 欧拉的离世也很特别：据说当时正是下午茶时间，正 在逗孙儿玩的时候，被一块蛋糕卡在喉头窒息而死。 欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数 的表达式的人，例如：y = F(x) (函数的定义由莱布尼兹在 1694年给出)。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一 。欧拉是有史以来最多产的数学家，他的全集共计75卷。 欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时新发明的微积 分，他推导出了很多结果。在他生命的最后7年中，欧拉 的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了 生平一半的著作。 小行星欧拉2002是为了纪念欧拉而命名的。
• 形式化：对于一个图G，如果将其记为
– G = <V, E>，并写出V和E的集合表示 – 称为图的集合表示。
• 图形化：用小圆圈表示V中的结点，
– 用由u指向v的有向线段表示有向边<u, v> – 无向线段表示无向边(u, v)， – 称为图的图形表示。
图论的艰苦
• 从许多实例中，我们发现图论最吸引人的特色是 它蕴含着大量强有力的思想、漂亮的图形和巧妙 的论证，即使是非常困难的尚未解决的问题也易 于表达。 • 问题外表的简单朴素和本质上的难以解决，使每 个搞图论的人在图论面前必须谨慎严肃地思考问 题。常常是貌似简单的问题，即使幸运地得出证 明，证明中包含的细节也十分之繁琐，并且往往 运用了极艰苦的计算。
• 货郎担问题
– TSP（Traveling Salesman Problem）
– 假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须 选择所要走的路径，路经的限制是每个城市只 能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。 路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路 径之中的最小值。
– NPC问题
Ramsey定理
1 2
七桥问题
欧拉
游戏博弈问题 树 四色猜想 高速数字计算机
3
4 5
七桥问题
• 如何不重复的走完七座桥？
七桥问题
• 抽象
网络通讯
完全对偶图
旅行社
航空公司
连接
9
游戏博弈问题
数据结构中的树
四色问题
• 可否用四种颜色标示所有的地图？
高速计算
第一章 图
1 2 图的基本概念 图的表示、分类 图的性质 通路与回路 图的连通性
– V = {v1, v2, v3, v4, v5}， – E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6}，
– 其中e1 = (v1, v2)，e2 = <v1, v3>，e3 = (v1, v4)， e4 = (v2, v3)，e5 = <v3, v2>，e6 = (v3, v3)。 – 试画出图G的图形，并指出哪些是有向边，哪些 是无向边？
图论 第一节课 图的表示
有序 与 无序
• 定义中的结点对即可以是无序的，也可以 是有序的。
– 若边e与无序结点对(u,v)相对应，则称e为无向 边(Undirected Edge)，记为e = (u, v) = (v, u)， A e的两个端点 D (End point)。 这时称u、v是边
B E
北京 长春
成都
上海 武汉
图的基本概念
• 假设有4台计算机，分别标记为A、B、C 和D，在计算机A和B、C和D以及B和C之间 有信息流。这种情形可用下图表示，通常 称这种图为通信网络；
A B
C
D
图的基本概念
• 假设有一群人和一组工作，这群人中的 某些人能够做这组工作中的某些工作。例 如，有3个人A、B和C，3件工作D、E和F， 假设A只能做工作D, B能做工作E和F, C能 做工作D和E。则这种情形可用下图表示， 其中，在人和这个人能够做的工作之间画 A D 有线。
Euler
卡尔· 弗里德里希· 高斯
• • • • • • • • • • 高斯能完整地背出圆周率——是倒着背。 高斯口渴时会用塔斯基悖论弄出更多橙汁。 高斯不能理解随机过程，因为他能预测随机数 高斯小时候，老师让他算从1到100的和。他计算了这个无穷级数的和，然后一个一个地减去从100 开始的所用自然数。而且，是心算。 一位数学家、一位物理学家、一位工程师走进酒吧，酒吧招待说：“您好，高斯教授。” 询问高斯一个命题是真的还是假的，构成了一个严格的证明。 有一次高斯证明了一条公理，但他不喜欢它，所以他又证明了它是假命题。 高斯通过在证明结束时省去“QED”来保护热带雨林。 有一次高斯在森林里迷路了，于是他加了几条边把它变成了一棵树。 高斯用奥卡姆剃刀剃胡子。
B
C
E
F
基本思想
• 用图形表示一组对象，其中有些对象对 是有联系的。 对于这种图形，我们感兴趣的只是有多 少个点和哪些结点之间有线连接，至于连 线的长短曲直和结点的位置却无关紧要， 只要求每一条线都起始于一个点，而终止 于另一个点。
•
图的定义
• 一个图(Graph)是一个序偶<V, E>，记为G = <V, E>，其中：
– 若边e与有序结点对 <u, v>相对应，则称 e为有向 C F 边(Directed Point)(或弧)，记为e = <u, v>，这时 称u为e的始点(Initial Point)(或弧尾)，v为e的终 点(terminal Point)(或弧头)，统称为e的端点。
例题
• 设图G = <V, E>，这里
3
4 5
6
图的应用
第一章学习要求
重点掌握 一般掌握 了解
1
1. 2. 3. 4. 5. 图的概念 特殊图 图论的基本定理 通路与回路 图的连通性
2
3
1. 图的同构 2. 图的构成与证明
图论的典型应用
图的基本概念
• 图的定义
• 考虑一张航线地图，图中用点表示城市， 当两个城市间有直达航班时，就用一条线 将相应的点连接起来。这种航线地图的一 部分如下图所示；
考核方法
• 书面作业及报告
– 20%
• 课外编程项目
– 10%
• 期末闭卷考试
– 70%
课程特点
• • • • 图论是研究点与线的学问 图论是组合数学的一个分支 图论交叉运用了拓扑学、群论和数论 图论中的定理证明有的显而易见、有的令 人费解 • 图论是一项强大而灵活的科学分析工具 • 图论是形式语言、数据结构、分布式系统、 操作系统理论的数学基础
两种描述方法的优缺点
• 用集合描述图的优点是精确，但抽象不易 理解； • 用图形表示图的优点是形象直观，但当图 中的结点和边的数目较大时，使用这种方 法是很不方便的，甚至是不可能的。
解
• G的图形如下图所示。
v3 e6
e4 v2 e2 e1 v5 v4
e5
e3 v1
• G中的e1、e3、e4、e6是无向边，e2、e5是 有向边。
例题
• 设图G = <V, E>的图形如下图所示，试写 1 出G的集合表示。
2
4 3 5
• 解 图G的集合表示为G = <V, E> = <{1, 2, 3, 4, 5}，{<1, 1>，<1, 2>，(1, 4)，(1, 5)，(2, 3)，<3, 5>，<4, 3>，<4, 5>}>。
钻石与足球烯
• 足球烯应用在超导、太阳能电池、护肤品 • 数学领先其他科学100年
妖怪（snark）
妖怪图每个点都关联着3条边，用4种颜 色可以把每条边涂上颜色，使得有公共端点 的边异色，而用3种颜色办不到，切断任意3 条边不会使它断裂成2个有边的图。
单星妖怪
双星妖怪
更多妖怪
Hamilton旅行游戏
• （1）V = {v1, v2, …, vn}是有限非空集合，vi称为 结点(Nodal Point)，简称点(Point)，V称为结点 集(Nodal Set)。
• （2）E是有限集合，称为边集(Frontier Set)。E 中的每个元素都有V中的结点对与之对应，称之 为边(E书
• 参考书
– 《图论引导》，Douglas B. West，机器工业出版社
教学周历
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 图的基本概念 树、生成树、最优树、有序二元树、追捕问题 平面图、Euler公式、灌木生长算法 匹配理论、图的因式分解 着色问题、四色证明、Ramsey数 Euler图、Hamilton图、邮递员问题 有向图、强弱连通、循环赛 最大流、2F算法、Dinic分层算法、网络流 连通度、边数最少的k连通图 图的线性空间与矩阵 图论中的NPC问题及算法分析 习题课与考试
• 对于所有的N顶图，包含k个顶 的团或q个顶的独立集。具有这 样性质的最小自然数N就称为一 个拉姆齐数，记作R(k,q)
莱昂哈德· 欧拉(Leonhard Euler) 瑞士的数学家和物理学家。他被称为历史上最伟大 的两位数学家之一（另一位是卡尔· 弗里德里克· 高斯）。 欧拉出生于瑞士，在那里受教育。他是一位数学神童。作 为数学教授，他先后任教于圣彼得堡(1727-1741)和柏林 ，尔后再返圣彼得堡(1766)。 欧拉的离世也很特别：据说当时正是下午茶时间，正 在逗孙儿玩的时候，被一块蛋糕卡在喉头窒息而死。 欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数 的表达式的人，例如：y = F(x) (函数的定义由莱布尼兹在 1694年给出)。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一 。欧拉是有史以来最多产的数学家，他的全集共计75卷。 欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时新发明的微积 分，他推导出了很多结果。在他生命的最后7年中，欧拉 的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了 生平一半的著作。 小行星欧拉2002是为了纪念欧拉而命名的。
• 形式化：对于一个图G，如果将其记为
– G = <V, E>，并写出V和E的集合表示 – 称为图的集合表示。
• 图形化：用小圆圈表示V中的结点，
– 用由u指向v的有向线段表示有向边<u, v> – 无向线段表示无向边(u, v)， – 称为图的图形表示。
图论的艰苦
• 从许多实例中，我们发现图论最吸引人的特色是 它蕴含着大量强有力的思想、漂亮的图形和巧妙 的论证，即使是非常困难的尚未解决的问题也易 于表达。 • 问题外表的简单朴素和本质上的难以解决，使每 个搞图论的人在图论面前必须谨慎严肃地思考问 题。常常是貌似简单的问题，即使幸运地得出证 明，证明中包含的细节也十分之繁琐，并且往往 运用了极艰苦的计算。
• 货郎担问题
– TSP（Traveling Salesman Problem）
– 假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须 选择所要走的路径，路经的限制是每个城市只 能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。 路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路 径之中的最小值。
– NPC问题
Ramsey定理
1 2
七桥问题
欧拉
游戏博弈问题 树 四色猜想 高速数字计算机
3
4 5
七桥问题
• 如何不重复的走完七座桥？
七桥问题
• 抽象
网络通讯
完全对偶图
旅行社
航空公司
连接
9
游戏博弈问题
数据结构中的树
四色问题
• 可否用四种颜色标示所有的地图？
高速计算
第一章 图
1 2 图的基本概念 图的表示、分类 图的性质 通路与回路 图的连通性
– V = {v1, v2, v3, v4, v5}， – E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6}，
– 其中e1 = (v1, v2)，e2 = <v1, v3>，e3 = (v1, v4)， e4 = (v2, v3)，e5 = <v3, v2>，e6 = (v3, v3)。 – 试画出图G的图形，并指出哪些是有向边，哪些 是无向边？
图论 第一节课 图的表示
有序 与 无序
• 定义中的结点对即可以是无序的，也可以 是有序的。
– 若边e与无序结点对(u,v)相对应，则称e为无向 边(Undirected Edge)，记为e = (u, v) = (v, u)， A e的两个端点 D (End point)。 这时称u、v是边
B E
北京 长春
成都
上海 武汉
图的基本概念
• 假设有4台计算机，分别标记为A、B、C 和D，在计算机A和B、C和D以及B和C之间 有信息流。这种情形可用下图表示，通常 称这种图为通信网络；
A B
C
D
图的基本概念
• 假设有一群人和一组工作，这群人中的 某些人能够做这组工作中的某些工作。例 如，有3个人A、B和C，3件工作D、E和F， 假设A只能做工作D, B能做工作E和F, C能 做工作D和E。则这种情形可用下图表示， 其中，在人和这个人能够做的工作之间画 A D 有线。
Euler
卡尔· 弗里德里希· 高斯
• • • • • • • • • • 高斯能完整地背出圆周率——是倒着背。 高斯口渴时会用塔斯基悖论弄出更多橙汁。 高斯不能理解随机过程，因为他能预测随机数 高斯小时候，老师让他算从1到100的和。他计算了这个无穷级数的和，然后一个一个地减去从100 开始的所用自然数。而且，是心算。 一位数学家、一位物理学家、一位工程师走进酒吧，酒吧招待说：“您好，高斯教授。” 询问高斯一个命题是真的还是假的，构成了一个严格的证明。 有一次高斯证明了一条公理，但他不喜欢它，所以他又证明了它是假命题。 高斯通过在证明结束时省去“QED”来保护热带雨林。 有一次高斯在森林里迷路了，于是他加了几条边把它变成了一棵树。 高斯用奥卡姆剃刀剃胡子。
B
C
E
F
基本思想
• 用图形表示一组对象，其中有些对象对 是有联系的。 对于这种图形，我们感兴趣的只是有多 少个点和哪些结点之间有线连接，至于连 线的长短曲直和结点的位置却无关紧要， 只要求每一条线都起始于一个点，而终止 于另一个点。
•
图的定义
• 一个图(Graph)是一个序偶<V, E>，记为G = <V, E>，其中：
– 若边e与有序结点对 <u, v>相对应，则称 e为有向 C F 边(Directed Point)(或弧)，记为e = <u, v>，这时 称u为e的始点(Initial Point)(或弧尾)，v为e的终 点(terminal Point)(或弧头)，统称为e的端点。
例题
• 设图G = <V, E>，这里
3
4 5
6
图的应用
第一章学习要求
重点掌握 一般掌握 了解
1
1. 2. 3. 4. 5. 图的概念 特殊图 图论的基本定理 通路与回路 图的连通性
2
3
1. 图的同构 2. 图的构成与证明
图论的典型应用
图的基本概念
• 图的定义
• 考虑一张航线地图，图中用点表示城市， 当两个城市间有直达航班时，就用一条线 将相应的点连接起来。这种航线地图的一 部分如下图所示；
考核方法
• 书面作业及报告
– 20%
• 课外编程项目
– 10%
• 期末闭卷考试
– 70%
课程特点
• • • • 图论是研究点与线的学问 图论是组合数学的一个分支 图论交叉运用了拓扑学、群论和数论 图论中的定理证明有的显而易见、有的令 人费解 • 图论是一项强大而灵活的科学分析工具 • 图论是形式语言、数据结构、分布式系统、 操作系统理论的数学基础
两种描述方法的优缺点
• 用集合描述图的优点是精确，但抽象不易 理解； • 用图形表示图的优点是形象直观，但当图 中的结点和边的数目较大时，使用这种方 法是很不方便的，甚至是不可能的。
解
• G的图形如下图所示。
v3 e6
e4 v2 e2 e1 v5 v4
e5
e3 v1
• G中的e1、e3、e4、e6是无向边，e2、e5是 有向边。
例题
• 设图G = <V, E>的图形如下图所示，试写 1 出G的集合表示。
2
4 3 5
• 解 图G的集合表示为G = <V, E> = <{1, 2, 3, 4, 5}，{<1, 1>，<1, 2>，(1, 4)，(1, 5)，(2, 3)，<3, 5>，<4, 3>，<4, 5>}>。
钻石与足球烯
• 足球烯应用在超导、太阳能电池、护肤品 • 数学领先其他科学100年
妖怪（snark）
妖怪图每个点都关联着3条边，用4种颜 色可以把每条边涂上颜色，使得有公共端点 的边异色，而用3种颜色办不到，切断任意3 条边不会使它断裂成2个有边的图。
单星妖怪
双星妖怪
更多妖怪
Hamilton旅行游戏
• （1）V = {v1, v2, …, vn}是有限非空集合，vi称为 结点(Nodal Point)，简称点(Point)，V称为结点 集(Nodal Set)。
• （2）E是有限集合，称为边集(Frontier Set)。E 中的每个元素都有V中的结点对与之对应，称之 为边(E书
• 参考书
– 《图论引导》，Douglas B. West，机器工业出版社
教学周历
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 图的基本概念 树、生成树、最优树、有序二元树、追捕问题 平面图、Euler公式、灌木生长算法 匹配理论、图的因式分解 着色问题、四色证明、Ramsey数 Euler图、Hamilton图、邮递员问题 有向图、强弱连通、循环赛 最大流、2F算法、Dinic分层算法、网络流 连通度、边数最少的k连通图 图的线性空间与矩阵 图论中的NPC问题及算法分析 习题课与考试