图论基础知识

图论基本知识

对于网络的研究，最早是从数学家开始的，其基本的理论就是图论，它也是目前组合数学领域最活跃的分支。我们在复杂网络的研究中将要遇到的各种类型的网络，无向的、有向的、加权的……这些都可以用图论的语言和符号精确简洁地描述。图论不仅为物理学家提供了描述网络的语言和研究的平台，而且其结论和技巧已经被广泛地移植到复杂网络的研究中。图论，尤其是随机图论已经与统计物理并驾齐驱地成为研究复杂网络的两大解析方法之一。考虑到物理学家对于图论这一领域比较陌生，我在此专辟一章介绍图论的基本知识，同时将在后面的章节中不加说明地使用本章定义过的符号。进一步研究所需要的更深入的图论知识，请参考相关文献[1-5]。

本章只给出非平凡的定理的证明，过于简单直观的定理的证明将留给读者。个别定理涉及到非常深入的数学知识和繁复的证明，我们将列出相关参考文献并略去证明过程。对于图论知识比较熟悉的读者可以直接跳过此章，不影响整体阅读。

图的基本概念

图G 是指两个集合(V ，E)，其中集合E 是集合V×V 的一个子集。集合V 称为图的顶点集，往往被用来代表实际系统中的个体，集合E 被称为图的边集，多用于表示实际系统中个体之间的关系或相互作用。若{,}x y E ，就称图G 中有一条从x 到y 的弧（有向边），记为x→

y ，其中顶点x 叫做弧的起点，顶点y 叫做弧的终点。根据定义，从任意顶点x 到y 至多只有一条弧，这是因为如果两个顶点有多种需要区分的关系或相互作用，我们总是乐意在多个图中分别表示，从而不至于因为这种复杂的关系而给解析分析带来困难。如果再假设图G 中不含自己到自己的弧，我们就称图G 为简单图，或者更精确地叫做有向简单图。以后如果没有特殊的说明，所有出现的图都是简单图。记G 中顶点数为()||G V ν=，边数为()||G E ε=，分别叫做图G 的阶和规模，显然有()()(()1)G G G ενν≤-。图2.1a 给出了一个计算机分级网络的示意图，及其表示为顶点集和边集的形式。

图2.1：网络拓扑结构示意图。图a 是10阶有向图，顶点集为

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，边集为{1→2,1→3,1→4,2→5,2→6,2→7,3→6,4→7,4→8,6→9,7→9,8→10}；图b 是6阶无向图，顶点集为{1,2,3,4,5,6}，边集为{13,14,15,23,24,26,36,56}。

从定义中可以看到，从任意顶点x 到y 不能连接两条或以上

边，本文所讨论的图，均符合上述要求，既均为不含多重边的图。如

果弧x→ y 与弧y→ x 要么同时存在，要么同时不存在，我们就把这两条弧合为一条边，记为xy 或yx ，这样的图叫做无向图（对称图），可以被看作上述一般图（有向图）的一种特例。显然，对无向图而言，有()()(()1)/2G G G ενν≤-，其中()G ε表示无向图G 中边的数目。图2b 给出了一个无向图的示意。以后提到的图，若没有特别的说明，均指无向图。下面介绍的大部分结论都可以自然地从无向图推广到有向图，勿需重复叙述，对于那些本质上有差异的特性，我们会在文中明确指出。

对于两个图(,)'(',')G V E G V E 和，如果','V V E E ⊂⊂，就称'G 是G 的

子图。若'V V =，则称'G 是G 的生成子图；若在G 中所有连接集合'V 中两顶点的边都出现在集合'E ，则称'G 是G 的导出子图，记为'[']G G V =。如果图H 与图G 有相同的顶点集，并且图H 中两点之间有边相连（相邻）当且仅当在G 中这两点是不相邻的，就称图H 是图G 的余图，记做H G =。拥有2n C 条边的n 阶无向图或拥有2

n P 条边的n 阶有向图叫做完全图，用符号n K 表示，其余图n K 叫做空图。

在无向图G 中，与某顶点x 关联的所有边的数目叫做x 的度，用

符号()G d x 表示，在不致混淆的时候，可以简单地记为()d x 。对于有向图，由于需要区分从顶点出去的弧和进入顶点的弧，所以不能简单地用度表示。我们把以顶点x 为起点的弧的数目叫做x 的出度，把以

顶点x 为终点的弧的数目叫做x 的入度，分别记为()d x +和()d x -。顶点度与边之间有一个显然的关系：

定理2.1：对于无向图(,)G V E 有：

()2()x V d x G ε∈=∑ (2.1)

对于有向图'(',')G V E 有：

''()()(')x V x V d x d x G ε+-∈∈==∑∑

(2.2) 在图G 中，以x 为起点，y 为终点的x y -路P 是指一系列首尾相

连的边组成的集合：01121(){,,,}l l E P x x x x x x -=

其中0,l x x x y ≡≡，,0i j x x i j l ≠∀≤<≤。边的数目l 被称作路P 的长

度。如果0l x x E ∈，则称边集011210{,,,,}l l l x x x x x x x x -为圈，其长度为1l +。G 中最短的x y -路的长度称为点,x y 的距离，记为(,)G d x y ，如果G 中不存在x y -路，则记(,)d x y =∞。称无向图（有向图）G 为连通图（强连通图），如果对G 中任意两个不同顶点,x y ，都能够找到至少一条x y -路。有向图G 被称为连通图，如果对G 中任意两个不同顶点,x y ，至少能找到一条x y -路或y x -路。

若图(,)G V E 的顶点集V 可以拆成两个不相交的子集12V V V =⋃，且

E 中不含两端点同时位于1V 中或同时位于2V 中的边，就称图G 为二部分图。容易证明：

定理2.2：G 是二部分图当且仅当G 中不含奇圈。

如果图G 不含圈，我们就称其为森林，若它同时还是连通图，则

被叫做树。定理2.3至定理2.5给出了树的基本性质。

定理2.3：下面几个命题是等价的：

(1) G 是树；