图论期末考试整理复习资料

目录第一章图的基本概念 (1)二路和连通性 (3)第二章树 (3)第三章图的连通度 (4)第四章欧拉图与哈密尔顿图 (5)一，欧拉图 (5)二．哈密尔顿图 (6)第五章匹配与因子分解 (9)一．匹配 (9)二．偶图的覆盖于匹配 (10)三．因子分解 (11)第六章平面图 (14)二．对偶图 (16)三．平面图的判定 (17)四．平面性算法 (20)第七章图的着色 (24)一．边着色 (24)二．顶点着色 (25)第九章有向图 (30)二有向树 (30)第一章图的基本概念1.点集与边集均为有限集合的图称为有限图。

2.只有一个顶点而无边的图称为平凡图。

3.边集为空的图称为空图。

4.既没有环也没有重边的图称为简单图。

5.其他所有的图都称为复合图。

6.具有二分类（X, Y）的偶图（或二部图）：是指该图的点集可以分解为两个（非空）子集X 和Y ，使得每条边的一个端点在X 中，另一个端点在Y 中。

7.完全偶图：是指具有二分类（X, Y）的简单偶图，其中X的每个顶点与Y 的每个顶点相连，若|X|=m，|Y|=n，则这样的偶图记为Km,n8. 定理1 若n 阶图G 是自补的（即），则n = 0, 1（mod 4）9. 图G 的顶点的最小度。

10. 图G 的顶点的最大度。

11. k-正则图: 每个点的度均为 k 的简单图。

例如,完全图和完全偶图Kn,n 均是正则图。

12. 推论1 任意图中，奇点的个数为偶数。

13.14. 频序列：定理4 一个简单图G 的n 个点的度数不能互不相同。

15. 定理5 一个n 阶图G 相和它的补图有相同的频序列。

16.17.18. 对称差：G1△G2 = (G1∪G2) - (G1∩G2) = (G1-G2)∪(G2-G1)19. 定义： 联图 在不相交的G1和G2的并图G1+G2中，把G1的每个顶点和G2的每个顶点连接起来所得到的图称为G1和G2的联图，记为G1∨G220. 积图：积图 设G1= (V1, E1)，G2 = (V2, E2)，对点集V = V1×V2中的任意两个点u =(u1,u2)和v = (v1,v2)，当(u1 = v1和 u2 adj v2) 或 (u2 = v2 和 u1 adj v1) 时就把 u 和 v 连接起来所得到的图G 称为G1和G2积图。

记为G = G1×G2设G1= (V1, E1)，G2 = (V2, E2)，对点集V = V1×V2中的任意两个点u = (u1,u2)和v = (v1,v2)，当(u1 adj v1) 或 (u1= v1 和 u2 adj v2) 时就把 u 和 v 连接起来所得到的图G 称为G1和G2的合成图。

记为 G=G1[G2]。

()G δ()G ∆二 路和连通性1.边不重复的途径称为迹 ；点不重复的途径称为路。

显然路必为迹。

2. 闭途径:起点和终点相同的长为正的途径。

闭迹也称为回路。

圈: 起点和内部顶点（非起点和终点的点）两两不相同的闭迹。

3. 易知，图中若两个不同点u 与 v 间存在途径（通路），则 u 与 v 间必存在路；若过点u 存在回路，则过点u 必存在圈 。

4. 连通分支（分支，支）：若H 是图G 的连通子图且H 不能再扩充为G 的任一连通子图，则称H 为G 的连通分支。

用ω(G) 记图G 的连通分支数。

1. 连通偶图的2部划分是唯一的。

2. n 阶完全偶图21,n n K 的边数 m = n1n2 ，且有第二章 树1. 定义1 (1) 无圈连通图称为树, 树常用字母T 表示；(2) 树中，度数等于1的顶点称为树叶，度数大于1的顶点称为分支点；(3) 无圈图称为森林，树也是森林；由定义, 平凡图也是树, 称为平凡树。

注: (1) 树与森林都是简单图; (2) 树与森林都是偶图。

1. 定理1 设G 是具有n 个点m 条边的图，则以下关于树的命题等价。

（1）G 是树。

（2）G 中任意两个不同点之间存在唯一的路。

（3）G 连通，删去任一边便不连通。

（4）G 连通，且 m = n-1。

（5）G 无圈，且 m = n-1 。

2. G 无圈，添加任一条边可得唯一的圈。

3. 推论1 由k 棵树组成的森林满足：m = n-k 。

其中n 为G 的顶点数，m 为G 的边数。

4. 推论 若G 是连通的 (n,m) 图，则 m≥n -15. 定理6 (Cayley) 若e 是图G 的边，则 。

表G 的生成树的棵数。

6. 计算最小生成树的方法：(1).凯莱递推法。

（2）.关联矩阵计数法。

(3).矩阵树定理。

凯莱递推法：关联矩阵法：(1) 写出G 的关联矩阵，进一步写出基本关联矩阵，记住参考点；（2）找出基本关联矩阵 (n<m ））的非奇异（满秩）主子阵，对每个这样的主子阵，画出相应的生成树。

矩阵树定理：定理3 设G 是顶点集合为V(G)=｛v1,v2,…,vn｝,的图，设A=(aij)是G 的邻接矩阵，C=(cij)是n 阶方阵，其中：则G 的生成树棵数为C 的任意一个代数余子式的值。

7.第三章 图的连通度1. 定义1 设e 是图G 的一条边，若ω(G -e)＞ω(G), 则称e 为G 的割边。

2. 定理1 e 是图G 的割边当且仅当e 不在G 的任何圈中。

推论 设e 是连通图G 的任意一条边，若e 含在G 的某圈中，则G-e 仍连通。

3. 定义2 图G = (V, E) 的顶点v 称为割点，如果 E 可划分为两个非空子集 E1 和 E2，使得G[E1] 和 G[E2] 恰有一个公共顶点v 。

4. 说明：(1) 若ω(G -v)＞ω(G), 则 v 必为G 的割点；说明：(1) 若ω(G -v)＞ω(G), 则 v必为G 的割点；5. 定义3 没有割点的连通图称为块。

若图G 的子图B 是块，且G 中没有真包含B 的子图也是块，则称B 是G 的块。

6. 若e 是图G 的割边或e 是一个环，则G[{e}]是G 的块；G 的仅含一个点的块或是孤立点,或是环导出的子图；至少两个点的块无环，至少三个点的块无割边。

7. 定理5 点v 是图G 的割点当且仅当v 至少属于G 的两个不同的块。

注：该定理揭示了图中的块与图中割点的内在联系：8. 不同块的公共点一定是图的割点。

3.2 连通度1. 定义1 给定图G ， V ’ 是 V(G) 的顶点子集，若G - V ’ 不连通，则称 V ’ 为G的顶点割。

含有k 个顶点的顶点割称为G 的 k-顶点割。

G 中点数最少的顶点割称为最小点割。

2. 若G 是非平凡连通图，则v 是G 的割点，当且仅当 {v}是G 的1-顶点割。

完全图没有顶点割; 实际上也只有以完全图为生成子图的图没有顶点割。

)()()(e G e G G •+-=τττ)(G τ)()()(e G e G G •+-=τττ(),,i ij ij d v i j c a i j =⎧=⎨-≠⎩3.定义2 对n阶连通图G，（1）若G存在顶点割，则称G的最小顶点割中的点数为G的连通度（2）否则称n-1为其连通度。

G的连通度记为κ(G)，简记为κ；对非连通图G定义κ(G) = 0。

连通度也可描述为“删去图中k（k可为0）个点，使图不连通或成为单点图的最小k值”。

4.若一个图的连通度至少为k，则称该图是k连通的。

非平凡连通图均是1连通的；图G是2连通的当且仅当G 连通、无割点且至少含有3个点。

5.定义3 （1）设G为连通图，称使G-E′不连通的G的边子集E′为G的边割。

含有k条边的边割称为k 边割。

边数最少的边割称为最小边割。

（2）设G是非平凡连通图，若M是G的最小边割，则称|M| 为G的边连通度。

记为λ(G), 简记为λ。

对非连通图或平凡图G，定义λ(G) = 0。

6.对连通图G，由定义易知, e是G的割边当且仅当{e}是G的1边割。

7.若一个图的边连通度至少为k，我们也称该图是k边连通的。

易知, 非平凡连通图均是1边连通的;图G是2边连通的当且仅当G连通、无割边且至少含有两个点。

8.定理6 对任意的图G，有κ(G)≤λ(G)≤δ(G)9.定理7 设G是具有m条边的n阶连通图，则κ ≤10.设G是n阶简单图，若, 则G必连通。

且λ(G) =δ(G) 。

11.定理8 设G是n 阶简单图，对正整数k<n，若则G 是k 连通的。

12.推论2 设G是阶至少为3的图，则以下三个命题等价。

（1）G是2连通的。

（2）G中任意两点都位于同一个圈上。

（3）G无孤立点且任意两条边都在同一个圈上。

第四章欧拉图与哈密尔顿图一，欧拉图1.定义1 设G 是无孤立点的图。

经过G的每条边的(闭)迹被称为Euler(闭)迹，存在Euler闭迹的图称为欧拉图,简称E 图。

Euler闭迹又称为Euler环游。

2.定理1 下列陈述对于一个连通图G是等价的：(1)G是欧拉图。

(2)G的每个点的度是偶数。

(3)G的边集能划分为圈。

3.推论连通图G 有Euler迹当且仅当G最多有两个奇点。

4.最优环游方法：一．非赋权图。

（1）Euler图中确定Euler环游的Fleury算法：从任一点出发按下法来描画一条边不重复的迹，使在每一步中未描画的子图的割边仅当没有别的边可选择时才被描画。

（特殊情况：存在两个奇度点，添加辅助线，再使用Fleury算法）（2）不是Euler图的情况：（a）消除奇点：重复两奇点之间路上的边（b）删边：重数大于2的边，删去其中偶数条（每一条边最多重复经过一次）（c）圈中重边与非重边互换（在G的每一个圈上，重复经过的边的数目不超过圈的长度的一半）二．赋权图。

（1）Euler图：同上对非负权的边赋权图G中只有两个奇度顶点u与v的情况：（a）在u与v间求出一条最短路P; (最短路算法)（b）在最短路P上，给每条边添加一条平行边得G的欧拉母图G*;（c）在G的欧拉母图G* 中用Fleury算法求出一条欧拉环游。

(2) 不是Euler图：同非赋权图，注意：对于G的每个圈上的边来说，在W中重复的边的总权值不超过该圈非重复边总权值。

二．哈密尔顿图1.Hamilton路(圈) ：经过图中每个点仅一次的路（圈）；哈密尔顿图：存在Hamilton圈的图，简称H图。

H路：Hamilton路也简称H路。

2.定理5 （必要条件）若G是H图，则对于V（顶点）的每个非空真子集S ，均有ω(G-S)≤|S | （顶点的个数）3.定理2 (充分条件) 对于n≧3的简单图G，如果G中有：，那么G是H图。

4.引理1 设G是简单图，u和v是G中不邻接的顶点，且适合d(u) + d(v)≥n则G是H图的充要条件是G + uv为H图。

5.定义1 在n阶简单图G中，若对d(u)+d(v)≥ n的任何一对点u和v均有u adj v，则称G是闭图。