高考数学压轴题——圆锥曲线大题十个大招含答案全解析

终结圆锥曲线大题十个大招招式一：弦的垂直平分线问题 (25)

招式二：动弦过定点的问题 (26)

招式四：共线向量问题 (28)

招式五：面积问题 (35)

招式六：弦或弦长为定值、最值问题 (38)

招式七：直线问题 (43)

招式八：轨迹问题 (47)

招式九：对称问题 (54)

招式十、存在性问题 (57)

招式一：弦的垂直平分线问题

例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2

y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

【涉及到弦的垂直平分线问题】

这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。

例题分析1：已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于

解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123

301y x x x b x x y x b

⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨

=+⎩，进而可求出AB 的中点11(,)22M b -

-+，又由11

(,)22

M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出2

211

14(2)32AB =+-⨯-=．

招式二：动弦过定点的问题

例题2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3

2

，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

（I ）求椭圆的方程；

（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

招式三：过已知曲线上定点的弦的问题

例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b

+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，求直线PQ 的斜率。

招式四：共线向量问题

1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2

2

定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围.

2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2

14

y x =

的焦点，离心率为25

5

.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-.

3、已知△OFQ 的面积S=26, 且m FQ OF =•。设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过Q ，

2)14

6

(

,||c m c OF -==，当||OQ 取得最小值时，求此双曲线方程。

类型1——求待定字母的值

例1设双曲线C ：)0(12

22>=-a y a

x 与直线L ：x+y=1相交于两个不同的点A 、B ，直线L 与y 轴交

于点P ，且PA=

PB 12

5

，求a 的值 思路：设A 、B 两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a 的值。

类型2——求动点的轨迹

例2如图2 ，动直线1+=kx y 与y 轴交于点A ，与抛物32

-=x y 交于不同的两点B 和C, 且满足BP=λPC ， AB=λAC ，其中.R ∈λ。求ΔPOA 的重心Q 的轨迹。

思路：将向量表达式转化为坐标表达式，消去参数λ获得重心Q 的轨迹方程，再运用判别式确定实数k 的取值范围，从而确定轨迹的形状。

类型3——证明定值问题

例3已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线。设M 为椭圆上任意一点，且OB OA OM μλ+=，其中.,R ∈μλ证明：2

2

μλ+为定值。

思路：设A 、B 、M 三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、韦达定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。

A B

C

O

P x

y

类型4——探索点、线的存在性

例4在△ABC 中，已知B(－2, 0), C(2, 0), AD ⊥BC 于D ，△ABC 的垂心H 分有向线段AD 。所成的比为3

1

设P(－1, 0), Q(1, 0), 那么是否存在点H ，使

|

|1

,

||1

,

||1

HQ PQ HP 成等差数列，为什么？

思路：先将AC ⊥BH 转化为代数关系，由此获得动点H 的轨迹方程；再将向量的长度关系转化为代数（坐标）关系，通过解代数方程组获解。

类型5——求相关量的取值范围

例5给定抛物线C ：x y 42

=，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，且

[]9,4,∈=λλAF FB ，求l 在y 轴上截距的变化范围。

思路：设A 、B 两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出l 在y 轴上的截距，利用函数的单调性求其变化范围。

存在、向量例6、双曲线()()0,20,01:22

2

2a Q x A b a b y a

x C 轴上存在一点，的右顶点为>>=-，若C 上

存在一点，求离心率的取值范围使PQ AP P ⊥。