全国各地 中考数学试卷分类汇编第41章 方案设计
中考专题复习第41课时 动态型问题
第41课时┃ 动态型问题
k (1)M( －3 ，m) 是一次函数 y ＝x ＋1 与反比例函数 y ＝ x (k≠0)的图像的一个交点，说明点 M 的坐标既满足一次函数 y k ＝x＋1，也满足反比例函数 y＝ ，据此你用什么方法可以求 x 得 k 的值？
第41课时┃ 动态型问题
(2)①△ABC′与△ABC 关于直线 AB 对称，说明这两个三 角形的面积相等，所以可以先求△ABC 的面积．为此可以先求 线段 AB 的长，再求点 C 的横坐标，这样就求得△ABC 的面积， 从而求得△ABC′的面积． ②当点 C、 C′到直线 AM 的距离相等时， △AMC 与△AMC′的面 a 积才相等，此时点 A 在线段 CC′上．因此把 C( ，a＋1)代入 2 反比例函数表达式，得到一个关于 a 的方程，解之即可得到 a 的值(注意 a 为正数)．
第41课时┃ 动态型问题
探究2
线动型
例 2 [2014·盐城] 如图 41－2①，在平面直角坐标系中， 一块等腰直角三角板 ABC 的直角顶点 A 在 y 轴上，坐标为(0，－ 3 2 1)，另一顶点 B 的坐标为(－2，0)．已知二次函数 y＝ x ＋bx＋c 2 的图像经过 B、C 两点，现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直 尺的边 A′D′∥y 轴且经过点 B， 直尺沿 x 轴正方向平移， 当 A′D′ 与 y 轴重合时运动停止． (1)求点 C 的坐标及二次函数的表达式； (2)若运动过程中直尺的边 A′D′交边 BC 于点 M，交抛物线 于点 N.求线段 MN 长度的最大值；
第41课时┃ 动态型问题
探究1
例1
点动型
[2015·镇江] 如图 41－1，点 M(－3，m)是一次函数 y
k ＝x＋1 与反比例函数 y＝ (k≠0)的图像的一个交点． x (1)求反比例函数的表达式． (2)点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点，设 OP＝a(a≠2)，过点 P 作 垂直于 x 轴的直线， 分别交一次函数、 反比例函数的图像于点 A、 B， 过 OP 的中点 Q 作 x 轴的垂线， 交反比例函数的图像于点 C， △ABC′ 与△ABC 关于直线 AB 对称．
2024年全国中考数学试题分类汇编——数与式之计算题(文字版,含答案)
4.
5.【答案】 ，
6.【答案】－1
7.【答案】从第②步开始出现错误，正确过程如下：
解： ①
10.【详解】解：
，
当 时，原式 ．
11.解：
；
12.解：
．
13.
14.
．
15. 16.
17. 18.
19.
20.
第三组数与式计算题 专题分类汇编
1.（内蒙古赤峰市卷）计算： ；
2.（内蒙古赤峰市卷）已知 ，求代数式 的值．
3.（吉林省长春市卷）先化简，再求值： ，其中 ．
4.（吉林省卷）先化简，再求值： ，其中 ．
5.（江苏省常州市卷）先化简，再求值： ，其中 ．
6.（江苏省连云港市卷）17.计算 ．
7.（江苏省连云港市卷）19.下面是某同学计算 解题过程：
解： ①
②
③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．
解： …①
…②
…③
…④
…⑤
当 时，原式 ．
（1）小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；
（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
17.（黑龙江省齐齐哈尔市卷）计算：
18.（黑龙江省齐齐哈尔市卷）分解因式：
19.（湖北省卷）计算：
20.（湖南省长沙市卷）计算： ．
第一组 中考 数与式计算题 试题汇编答案
【一】
1.【详解】解：原式
，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
2.【详解】解：原式 ．
3.
6.解：原式＝|﹣2|﹣3+1
＝2﹣3+1
＝2+1﹣3
6.（四川省广安市卷）计算： ．
2024年全国各地中考数学真题分类：第4章方案设计
2024年全国各地中考数学真题分类：第4章方案设计嘿，同学们，大家好！今天我们要聊一聊2024年全国各地中考数学真题分类中的第4章方案设计。
这一章可是考验我们逻辑思维和创新能力的时候啦！我就用意识流的方式，给大家详细梳理一下这一章的备考策略。
1.最优解问题这类题目要求我们找到某种方案的最优解，比如最短路径、最小值、最大值等。
这类题目通常需要我们运用数学建模、图论等知识。
2.方案比较问题这类题目要求我们比较两种或多种方案的优劣，分析各自的优缺点。
这类题目需要我们具备较强的分析能力和综合判断能力。
3.方案设计问题这类题目要求我们根据题意设计出一种或多种方案，并分析其可行性。
这类题目考验我们的创新能力和实际应用能力。
我们来看看具体的备考策略：一、掌握基本概念和原理要想解决方案设计题，我们要掌握一些基本概念和原理，如线性规划、图论、概率论等。
这些知识是解决问题的关键。
二、培养逻辑思维能力方案设计题需要我们具备较强的逻辑思维能力。
我们可以通过多做题、多思考来锻炼自己的逻辑思维。
在做题时，要注意分析题目中的条件，理清思路，逐步推导出答案。
三、注重实际应用方案设计题往往与实际生活紧密相连。
我们在备考过程中，要注重将理论知识与实际应用相结合，提高自己的实际操作能力。
四、学会创新2.转换思维：尝试将问题转化为其他形式，如将线性规划问题转化为图论问题。
3.灵活运用知识：将所学知识综合运用，找到解决问题的多种途径。
下面，让我们来看一些具体的例子：例1：某城市有三个工厂A、B、C，分别生产甲、乙、丙三种产品。
甲、乙、丙三种产品的市场需求分别为100、200、150。
从A、B、C 三个工厂到市场的运输费用分别为2、3、4。
请设计一种运输方案，使得总运输费用最小。
例2：某公司计划投资1000万元进行项目开发。
现有甲、乙、丙三个项目可供选择。
甲项目的投资回报率为20%，乙项目的投资回报率为30%，丙项目的投资回报率为40%。
全国各地中考数学试题分类汇编(第1期)方案设计(含解析)
方案设计一、解答题1. (2016·四川资阳)某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B 型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元．（1）求出A型、B型污水处理设备的单价；（2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）根据题意结合购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元分别得出等式求出答案；（2）利用该企业每月的污水处理量不低于1565吨，得出不等式求出答案．【解答】解：（1）设A型污水处理设备的单价为x万元，B型污水处理设备的单价为y万元，根据题意可得：，解得：．答：A型污水处理设备的单价为12万元，B型污水处理设备的单价为10万元；（2）设购进a台A型污水处理器，根据题意可得：220a+190（8﹣a）≥1565，解得：a≥1.5，∵A型污水处理设备单价比B型污水处理设备单价高，∴A型污水处理设备买越少，越省钱，∴购进2台A型污水处理设备，购进6台B型污水处理设备最省钱．2．（2016.山东省泰安市）某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9000元；购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1600元．（1）求两种球拍每副各多少元？（2）若学校购买两种球拍共40副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．【分析】（1）设直拍球拍每副x元，横拍球每副y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设购买直拍球拍m副，根据题意列出不等式，解不等式求出m的范围，根据题意列出费用关于m的一次函数，根据一次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）设直拍球拍每副x元，横拍球每副y元，由题意得，，解得，，答：直拍球拍每副220元，横拍球每副260元；（2）设购买直拍球拍m副，则购买横拍球（40﹣m）副，由题意得，m≤3（40﹣m），解得，m≤30，设买40副球拍所需的费用为w，则w=（220+20）m+（260+20）（40﹣m）=﹣40m+11200，∵﹣40＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m=30时，w取最大值，最大值为﹣40×30+11200=10000（元）．答：购买直拍球拍30副，则购买横拍球10副时，费用最少．【点评】本题考查的是列二元一次方程组、一元一次不等式解实际问题，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式并正确解出方程组和不等式是解题的关。
中考数学专题复习41几何问题(1)之动点问题(原卷版)
题型一：圆背景下的动态探究题 【例1】（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水 能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转56圈，筒车与水面分别交于点A、 B筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚 浮出水面时开始计算时间． （1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？ （2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？ （3）若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO＝8m．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上． （参考数据：cos43°＝sin47°≈1115，sin16°＝cos74°≈1140，sin22°＝cos68°≈38）
【例2】（2020•苏州）如图，已知⊙MON＝90°，OT是⊙MON的平分线，A是射线OM
几何问题（1）之动点问题 题型精讲 上一点，OA＝8cm．动
点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s 的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连 接PC、QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8． （1）求OP+OQ的值； （2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． （3）求四边形OPCQ的面积．
题型二：四边形动点探究 【例3】（2021·山东中考真题）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将⊙ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与⊙DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC （1）求证：AG＝GH； （2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离； （3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，⊙BHC的大小是否变化？为什么？ 【例4】（2021·湖南中考真题）如图，在RtABC△中，点P为斜边BC上一动点，将ABP△沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B，连接AB，CB，BB，PB． （1）如图⊙，若PBAC，证明：PBAB． （2）如图⊙，若ABAC，3BPPC，求cosBAC的值．
通用版2020年中考数学第2轮复习 第41讲 分类讨论3(特殊四边形及其他类)课件(59张)
核心例题
拓展迁移
中考实践
2
2．如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 的
边 AB 在 x 轴上，AB 边的中点是坐标原点 O，将正方形绕点 C 按
逆时针方向旋转 90°后，点 B 的对应点 B′的坐标是( C )
A．(－1，2)
B．(1，4)
Hale Waihona Puke C．(3，2)D．(－1，0)
3
3．如图，四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，且互相
14
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ax2－2ax－ 3a(a＜0)与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)．经过点 A 的 直线 l：y＝ax＋a 与抛物线的另一交点为 C，设 P 是抛物线的对 称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，那么以点 A，C，P，Q 为顶点 的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说 明理由．
第二轮 专题突破
第41讲 分类讨论3(特殊四边形及其他类)
1
课前检测
1．如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，BC 的中点，点 F
在 DE 延长线上．添加一个条件使四边形 ADFC 为平行四边形，
则这个条件是( B )
A．∠B＝∠F
B．∠B＝∠BCF
C．AC＝CF
D．AD＝CF
课前检测
专题简析
答图1
28
②当 40＜t≤50，如答图 2，MD＝70－t. ∵sin∠ADO＝MMDP＝AAOD，∴MP＝45(70－t)． ∴S＝12DN·MP＝－25t2＋28t＝－25(t－35)2＋490.
答图2
29
∴S＝1－30t252(，t－0＜35t)≤2＋4409，0，40＜t≤50. 当 0＜t≤40 时，S 随 t 的增大而增大，当 t＝40 时，最大值为 480； 当 40＜t≤50 时，S 随 t 的增大而减小，当 t＝40 时，最大值为 480. 综上所述，S 的最大值为 480.
中考数学专题复习之 41 动态问题(含解析)1 精编
41 动态问题(含解析)一、选择题1．（3分）（2016•济南）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE 向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t 秒，则S与t函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】先求出DN，判断点Q到D点时，DP⊥AB，然后分三种情况分别用三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵AD=5，AN=3，∴DN=2，如图1，过点D作DF⊥AB，∴DF=BC=4，在RT△ADF中，AD=5，DF=4，根据勾股定理得，AF=，∴BF=CD=2，当点Q到点D时用了2s，∴点P也运动2s，∴AP=3，即QP⊥AB，∴只分三种情况：①当0＜t≤2时，如图1，过Q作QG⊥AB，过点D作DF⊥AB，QG∥DF，∴AQ QG AD DF=，由题意得，NQ=t，MP=t，∵AM=1，AN=3，∴AQ=t+3，∴354t QG +=，∴QG=45（t+3），∵AP=t+1，∴S=S△APQ=12AP×QG=12×（t+1）×45（t+3）=25（t+2）2﹣25，当t=2时，S=6，②当2＜t≤4时，如图2，∵AP=AM+t=1+t，∴S=S△APQ=12AP×BC=12（1+t）×4=2（t+1）=2t+2，当t=4时，S=8，③当4＜t≤5时，如图3，由题意得CQ=t﹣4，PB=t+AM﹣AB=t+1﹣5=t﹣4，∴PQ=BC﹣CQ﹣PB=4﹣（t﹣4）﹣（t﹣4）=12﹣2t，∴S=S△APQ=12PQ×AB=12×（12﹣2t）×5=﹣5t+30，当t=5时，S=5，∴S与t的函数关系式分别是①当0＜t≤2时,S=S△APQ=25（t+2）2﹣25，其中t=2时，S=6，②当2＜t≤4时,S=S△APQ=2t+2，其中t=4时，S=8，③当4＜t≤5时,S=S△APQ=﹣5t+30，其中t=5时，S=5，综合以上三种情况，D正确故选D．【点评】此题是动点问题的函数图象，考查了三角形的面积公式，矩形的性质，解本题的关键是分段画出图象，判断出点Q 在线段CD 时，PQ ⊥AB 是易错的地方．2．（3分）（2016•衡阳）如图，已知A ，B 是反比例函数y=k x（k ＞0，x ＞0）图象上的两点，BC ∥x 轴，交y 轴于点C ，动点P 从坐标原点O 出发，沿O→A→B→C （图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ．设三角形OMP 的面积为S ，P 点运动时间为t ，则S 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】动点问题的函数图象．【专题】反比例函数及其应用．【分析】结合点P 的运动，将点P 的运动路线分成O→A 、A→B 、B→C 三段位置来进行分析三角形OMP 面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．【解答】解：设∠AOM=α，点P 运动的速度为a ，当点P 从点O 运动到点A 的过程中，S=(cos )(at sina)2at a =12a 2•cosα•sinα•t 2， 由于α及a 均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S 随着t 的增大而增大； 当点P 从A 运动到B 时，由反比例函数性质可知△OPM 的面积为12k ，保持不变， 故本段图象应为与横轴平行的线段；当点P 从B 运动到C 过程中，OM 的长在减少，△OPM 的高与在B 点时相同，故本段图象应该为一段下降的线段；故选：A ．【点评】本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点P 在O→A 、A→B 、B→C 三段位置时三角形OMP 的面积计算方式．二、填空题1．（4分）（2016•兰州）对于一个矩形ABCD 及⊙M 给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD 的四个顶点到⊙M 上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：﹣3交x 轴于点M ，⊙M 的半径为2，矩形ABCD 沿直线运动（BD 在直线l 上），BD=2，AB ∥y 轴，当矩形ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”时，点C﹣12，﹣32，） ．【分析】根据“伴侣矩形”的定义可知：圆上的点一定在矩形的对角线交点上，因为只有对角线交点到四个顶点的距离相等，由此画出图形，先求出直线与x 轴和y 轴两交点的坐标，和矩形的长和宽； 有两种情况：①矩形在x 轴下方时，作辅助线构建相似三角形得比例式，分别求出DG 和DH 的长，从而求出CG 的长，根据坐标特点写出点C 的坐标；②矩形在x 轴上方时，也分别过C 、B两点向两坐标轴作垂线，利用平行相似得比例式，求出：C 32）． 【解答】解：如图所示，矩形在这两个位置时就是⊙M 的“伴侣矩形”，根据直线l ：﹣3得：ON=3，由勾股定理得：①矩形在x 轴下方时，分别过A 、D 作两轴的垂线AH 、DG ，由cos ∠ABD=cos ∠ONM=ON AB MN BD =，2AB =，AD=1， ∵DG ∥y 轴，∴△MDG ∽△MON ， ∴DG DM ON MN=， ∴3DG =∴，∴+， 同理可得：DH DN OM MN=，，∴12，∴C 12）；②矩形在x 轴上方时，同理可得：C 32）；故答案为：1232）．【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的性质和矩形等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．同时，正确理解题意准确画出符合条件的矩形是本题的关键，这就需要熟练掌握矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等．2．（3分）（2016•荆门）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，动点P 从点A 出发，在正方形的边上沿A →B →C 的方向运动到点C 停止，设点P 的运动路程为x （cm ），在下列图象中，能表示△ADP的面积y （cm 2）关于x （cm ）的函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】动点问题的函数图象．【分析】△ADP 的面积可分为两部分讨论，由A 运动到B 时，面积逐渐增大，由B 运动到C 时，面积不变，从而得出函数关系的图象．【解答】解：当P 点由A 运动到B 点时，即0≤x ≤2时，y=12×2x=x ， 当P 点由B 运动到C 点时，即2＜x ＜4时，y=12×2×2=2， 符合题意的函数关系的图象是A ；故选：A ．【点评】本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，在图象中应注意自变量的取值范围．3．（3分）（2016•内江）已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）A ．23B ．233C ．23 D ．不能确定 【分析】作出图形，根据等边三角形的性质求出高AH 的长，再根据三角形的面积公式求出点P 到三边的距离之和等于高线的长度，从而得解．【解答】解：如图，∵等边三角形的边长为3，∴高线AH=3×23=233， S △ABC =21BC•AH=21AB•PD+21BC•PE+21AC•PF ， ∴21×3•AH=21×3•PD+21×3•PE+21×3•PF ， ∴PD+PE+PF=AH=233， 即点P 到三角形三边距离之和为233． 故选：B ．【点评】本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P 到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．4．（3分）（2016•烟台）如图，⊙O 的半径为1，AD ，BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点P 从点O 出发（P 点与O 点不重合），沿O→C→D 的路线运动，设AP=x ，sin ∠APB=y ，那么y 与x 之间的关系图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．【考点】动点问题的函数图象．【专题】动点型；函数思想．【分析】根据题意确定出y 与x 的关系式，即可确定出图象．【解答】解：根据题意得：sin ∠APB=OA AP ， ∵OA=1，AP=x ，sin ∠APB=y ，∴xy=1，即y=1x（1＜x ），图象为： ，故选C ．【点评】此题考查了动点问题的函数图象，列出y 与x 的函数关系式是解本题的关键．5．（3分）（2016•泰安）如图，正△ABC 的边长为4，点P 为BC 边上的任意一点（不与点B 、C 重合），且∠APD=60°，PD 交AB 于点D ．设BP=x ，BD=y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】动点问题的函数图象．【分析】由△ABC 是正三角形，∠APD=60°，可证得△BPD ∽△CAP ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC 是正三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP ，∠APD=60°，∴∠BPD=∠CAP ，∴△BPD ∽△CAP ，∴BP ：AC=BD ：PC ，∵正△ABC 的边长为4，BP=x ，BD=y ，∴x ：4=y ：（4﹣x ），∴y=﹣14x 2+x ． 故选C ．【点评】此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质．注意证得△BPD ∽△CAP 是关键．6．（3分）（2016•潍坊）木杆AB 斜靠在墙壁上，当木杆的上端A 沿墙壁NO 竖直下滑时，木杆的底端B 也随之沿着射线OM 方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P 随之下落的路线，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】轨迹；直角三角形斜边上的中线．【分析】先连接OP ，易知OP 是Rt △AOB 斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OP=21AB ，由于木杆不管如何滑动，长度都不变，那么OP 就是一个定值，那么P 点就在以O 为圆心的圆弧上．【解答】解：如右图，连接OP ，由于OP 是Rt △AOB 斜边上的中线，所以OP=21AB ，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP 是一个定值，点P 就在以O 为圆心的圆弧上，那么中点P 下落的路线是一段弧线．故选D ．【点评】本题考查了轨迹，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是知道直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．7．（3分）（2016•西宁）如图，点A 的坐标为（0，1），点B 是x 轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等腰直角△ABC ，使∠BAC=90°，设点B 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为y ，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】动点问题的函数图象．菁优版权所有【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC 和△AOB 的关系，即可建立y 与x 的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：作AD ∥x 轴，作CD ⊥AD 于点D ，若右图所示，由已知可得，OB=x ，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC ，点C 的纵坐标是y ， ∵AD ∥x 轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC ，在△OAB 和△DAC 中，,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AC AB DAC OAB ADC AOB∴△OAB ≌△DAC （AAS ），∴OB=CD ，∴CD=x ，∵点C 到x 轴的距离为y ，点D 到x 轴的距离等于点A 到x 的距离1，∴y=x+1（x ＞0）．故选：A ．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，建立相应的函数关系式，根据函数关系式判断出正确的函数图象．8．（6分）（2016•内江）如图所示，已知点C （1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A ，B 两点，D ，E 分别是AB ，OA 上的动点，则△CDE 周长的最小值是 10 ．【分析】点C 关于OA 的对称点C′（﹣1，0），点C 关于直线AB 的对称点C″（7，6），连接C′C″与AO 交于点E ，与AB 交于点D ，此时△DEC 周长最小，可以证明这个最小值就是线段C′C″．【解答】解：如图，点C 关于OA 的对称点C′（﹣1，0），点C 关于直线AB 的对称点C″（7，6）， 连接C′C″与AO 交于点E ，与AB 交于点D ，此时△DEC 周长最小，△DEC 的周长=DE+EC+CD=EC′+ED+DC″=C′C″=2268+=10．故答案为10．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D 、点E 位置，属于中考常考题型．9．（3分）（2016•眉山）如图，已知点A是双曲线y x =在第一象限分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边三角形ABC ，点C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但点C 始终在双曲线k y x=上运动，则k的值是-【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【分析】根据反比例函数的性质得出OA =OB ，连接OC ，过点A 作AE ⊥y 轴，垂足为E ，过点C 作CF ⊥y 轴，垂足为F ，根据等边三角形的性质和解直角三角形求出OCOA ，求出△OFC ∽△AEO ，相似比OC OA=，求出面积比3OFC AEO S S =V V ，求出△OFC 的面积，即可得出答案． 【解答】解：∵双曲线y x =的图象关于原点对称， ∴点A 与点B 关于原点对称，∴OA =OB ，连接OC ，如图所示，∵△ABC 是等边三角形，OA =OB ， ∴OC ⊥AB ．∠BAC =60°， ∴tan ∠OAC=OCOA=， ∴OC，过点A 作AE ⊥y 轴，垂足为E ，过点C 作CF ⊥y 轴，垂足为F ， ∵AE ⊥OE ，CF ⊥OF ，OC ⊥OA ， ∴∠AEO =∠OFC ，∠AOE =90°﹣∠FOC =∠OCF ， ∴△OFC ∽△AEO，相似比OCOA=， ∴面积比3OFCAEOS S =V V ， ∵点A 在第一象限，设点A 坐标为（a ，b ）， ∵点A在双曲线y x=上， ∴S △AEO =12ab=2，∴S △OFC =12FC •OF=2，∴设点C 坐标为（x ，y ）， ∵点C 在双曲线ky x=上， ∴k =xy ，∵点C 在第四象限， ∴FC =x ，OF =﹣y ．∴FC •OF =x •（﹣y ）=﹣xy =﹣故答案为：﹣【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行 推理和计算是解此题的关键．10．（2016•泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a ＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是6．【分析】首先证明AB=AC=a，根据条件可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上到点A的最大距离即可解决问题．【解答】解：∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），∴AB=1﹣（1﹣a）=a，CA=a+1﹣1=a，∴AB=AC，∵∠BPC=90°，∴PA=AB=AC=a，如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，∵A（1，0），D（4，4），∴AD=5，∴AP′=5+1=6，∴a的最大值为6．故答案为6．【点评】本题考查圆、最值问题、直角三角形性质等知识，解题的关键是发现PA=AB=AC=a，求出点P到点A的最大距离即可解决问题，属于中考常考题型．三、解答题1．（10分）（2016•宿迁）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．【考点】等腰直角三角形的性质；平行线的判定和性质；弧长公式；四点共圆． 【分析】（1）欲证明GF ∥AC ，只要证明∠A =∠FGB 即可解决问题． （2）①先证明A 、D 、M 、C 四点共圆，得到∠CMF =∠CAD =45°，即可解决问题． ②利用①的结论可知，点M 在以AC 为直径的⊙O 上，运动路径是弧CD ，利用弧长公式即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，∵CA =CB ，∠ACB =90°， ∴∠A =∠ABC =45°，∵△CEF 是由△CAD 旋转逆时针α得到，α=90°， ∴CB 与CE 重合， ∴∠CBF =∠A =45°，∴∠ABF =∠ABC +∠CBF =90°，∵BG =AD =BF ，∴∠BGF =∠BFG =45°， ∴∠A =∠BGF =45°， ∴GF ∥AC ．（2）①如图2中，∵CA =CE ，CD =CF ， ∴∠CAE =∠CEA ，∠CDF =∠CFD ， ∵∠ACD =∠ECF ， ∴∠ACE =∠DCF ，∵2∠CAE +∠ACE =180°，2∠CDF +∠DCF =180°，∴∠CAE =∠CDF ，∴A 、D 、M 、C 四点共圆， ∴∠CMF =∠CAD =45°， ∴∠CMD =180°﹣∠CMF =135°．②如图3中，O 是AC 中点，连接OD 、CM ． ∵AD =DB ，CA =CB ， ∴CD ⊥AB ，∴∠ADC =90°，由①可知A 、D 、M 、C 四点共圆， ∴当α从90°变化到180°时， 点M 在以AC 为直径的⊙O 上，运动路径是弧CD ， ∵OA =OC ，CD =DA ， ∴DO ⊥AC ， ∴∠DOC =90°， ∴CD ⌒ 的长=180190⋅π=2π．∴当α从90°变化到180°时，点M 运动的路径长为2π． 【点评】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公式、四点共圆等知识，解题的关键是发现A 、D 、M 、C 四点共圆，最后一个问题的关键，正确探究出点M 的运动路径，记住弧长公式，属于中考压轴题． 2．（10分）（2016•江西）如图，将正n 边形绕点A 顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O ，连接AO ，我们称AO 为“叠弦”；再将“叠弦”AO 所在的直线绕点A 逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P ，连接PO ，我们称∠OAB 为“叠弦角”，△AOP 为“叠弦三角形”． 【探究证明】（1）请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形；（2）如图2，求证：∠OAB=∠OAE′．【归纳猜想】（3）图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为15°，24°；（4）图n中，“叠弦三角形”是等边三角形（填“是”或“不是”）（5）图n中，“叠弦角”的度数为（用含n的式子表示）【考点】几何变换综合题．【分析】（1）先由旋转的性质，再判断出△APD≌△AOD'，最后用旋转角计算即可；（2）先判断出Rt△AEM≌Rt△ABN，在判断出Rt△APM≌Rt△AON 即可；（3）先判断出△AD′O≌△ABO，再利用正方形，正五边形的性质和旋转的性质，计算即可；（4）先判断出△APF≌△AE′F′，再用旋转角为60°，从而得出△PAO是等边三角形；（5）用（3）的方法求出正n边形的，“叠弦角”的度数．【解答】解：（1）如图1，∵四ABCD是正方形，由旋转知：AD=AD'，∠D=∠D'=90°，∠DAD'=∠OAP=60°，∴∠DAP=∠D'AO，∴△APD≌△AOD'（ASA）∴AP=AO，∵∠OAP=60°，∴△AOP是等边三角形，（2）如图2，作AM ⊥DE 于M ，作AN ⊥CB 于N ． ∵五ABCDE 是正五边形，由旋转知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60° ∴∠EAP=∠E'AO∴△APE ≌△AOE'（ASA ） ∴∠OAE'=∠PAE ．在Rt △AEM 和Rt △ABN 中，∠AEM=∠ABN=72°， AE=AB ∴Rt △AEM ≌Rt △ABN （AAS ）， ∴∠EAM=∠BAN ，AM=AN ．在Rt △APM 和Rt △AON 中，AP=AO ，AM=AN ∴Rt △APM ≌Rt △AON （HL ）． ∴∠PAM=∠OAN ， ∴∠PAE=∠OAB∴∠OAE'=∠OAB （等量代换）． （3）由（1）有，△APD ≌△AOD'， ∴∠DAP=∠D′AO ，在△AD′O 和△ABO 中，AD ABAO AO '=⎧⎨=⎩， ∴△AD′O ≌△ABO ， ∴∠D′AO=∠BAO ，由旋转得，∠DAD′=60°， ∵∠DAB=90°，∴∠D′AB=∠DAB ﹣∠DAD′=30°， ∴∠D′AD=12∠D′AB=15°， 同理可得，∠E′AO=24°， 故答案为：15°，24°． （4）如图3，∵六边形ABCDEF和六边形A′B′C′E′F′是正六边形，∴∠F=F′=120°，由旋转得，AF=AF′，EF=E′F′，∴△APF≌△AE′F′，∴∠PAF=∠E′AF′，由旋转得，∠FAF′=60°，AP=AO∴∠PAO=∠FAO=60°，∴△PAO是等边三角形．故答案为：是（5）同（3）的方法得，∠OAB=[（n﹣2）×180°÷n﹣60°]÷2=60°﹣180 n︒故答案：60°﹣180n︒．【点评】此题是几何变形综合题，主要考查了正多边形的性质旋转的性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定，解本题的关键是判定三角形全等．3．（12分）（2016•扬州）如图1，二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；（3）如图3，一次函数y=kx（k＞0）的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中，2ONOM为常数，试确定k的值．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）①当AB为对角线时，根据中点坐标公式，列出方程组解决问题．②当AB为边时，根据中点坐标公式列出方程组解决问题．（3）设T（m，m2﹣2m），由TM⊥OC，可以设直线TM为y=﹣1kx+b，则m2﹣2m=﹣1km+b，b=m2﹣2m+mk，求出点M、N坐标，求出OM、ON，根据2ONOM列出等式，即可解决问题．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1，则有312a b b a ì=-ïïïíï-=ïïî解得12a b ì=ïïíï=-ïî ∴二次函数y=x 2﹣2x ，（2）由（1）得，B （1，﹣1）， ∵A （﹣1，3），∴直线AB 解析式为y=﹣2x+1，设点Q （m ，0），P （n ，n 2﹣2n ）∵以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，①当AB 为对角线时，根据中点坐标公式得，则有 202212m n n n ì+ïï=ïïïíï-ï=ïïïî，解得11m n ìï=--ïíï=+ïî或11m n ìï=-+ïíï=-ïî∴P （2）和（1，2）②当AB 为边时，根据中点坐标公式得2112221322n m n n ì+-ïï=ïïïíï--ï=ïïïî解得31m n ìï=+ïíï=+ïî或31m n ìï=-ïíï=-ïî∴P （4）或（1，4）．故答案为P （2）或（1，2）或P （4）或（14）． （3）设T （m ，m 2﹣2m ），∵TM ⊥OC ， ∴可以设直线TM 为y=﹣1k x+b ，则m 2﹣2m=﹣1k m+b ，b=m 2﹣2m+m k， 由212y kx m y x m m k k ì=ïïïíï=-+-+ïïî解得 222221(2)1m k mk m x k k m k mk m y k ìï-+ï=ïï+ïíï-+ï=ïï+ïî， ∴，， ∴2ON OM， ∴k=12时，2ON OM=4．∴当k=12时，点T运动的过程中，2ONOM为常数．【点评】本题考查二次函数综合题，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式等知识，解题的关键是利用参数，方程组解决问题，学会转化的思想，属于中考压轴题．4．（12分）（2016•扬州）已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．【分析】（1）当∠EAF被对角线AC平分时，易证△ACF≌△ACE，因此CF=CE，即a=b．（2）分两种情况进行计算，①先用勾股定理得出CF2=8（CE+4）①，再用相似三角形得出4CF=CE （CE+4）②，两式联立解方程组即可；（3）先判断出∠AFC+∠CAF=45°，再判断出∠AFC+∠AEC=45°，从而求出∠AEC，而∠ACF=∠ACE=135°，得到△ACF∽△ECA，即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACF=∠DCD=90°，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACF=∠ACE，∵∠EAF被对角线AC平分，∴∠CAF=∠CAE，在△ACF和△ACE中，ACF ACE AC ACCAF CAE ì??ïïï=íïï??ïïî，∴△ACF≌△ACE，∴CE=CE，∵CE=a，CF=b，∴a=b，∵△ACF≌△ACE，∴∠AEF=∠AFE，∵∠EAF=45°，∴∠AEF=∠AFE=67.5°，∵CE=CF，∠ECF=90°，∠AEC=∠AFC=22.5°，∵∠CAF=∠CAE=22.5°，∴∠CAE=∠CEA，∴，即：（2）当△AEF是直角三角形时，①当∠AEF=90°时，∵∠EAF=45°，∴∠AFE=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF2=2FE2=2（CE2+CF2），AF2=2（AD2+BE2），∴2（CE2+CF2）=2（AD2+BE2），∴CE2+CF2=AD2+BE2，∴CE2+CF2=16+（4+CE）2，∴CF2=8（CE+4）①∵∠AEB+∠BEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BEF=∠BAE，∴△ABE∽△ECF，∴AB BE CE CF=，∴44CECE CF+=，∴4CF=CE（CE+4）②，联立①②得，CE=4，CF=8∴a=4，b=8，②当∠AFE=90°时，同①的方法得，CF=4，CE=8，∴a=8，b=4．（3）ab=32，理由：如图，∵∠BAG+∠AGB=90°，∠AFC+∠CGF=90°，∠AGB=∠CGF，∴∠BAG=∠AFC，∵∠BAC=45°，∴∠BAG+∠CAF=45°，∴∠AFC+∠CAF=45°，∵∠AFC+∠AEC=180°﹣（∠CFE+∠CEF）﹣∠EAF=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∠CAF=∠AEC，∵∠ACF=∠ACE=135°，∴△ACF∽△ECA，∴AC CF EC AC=，∴EC×CF=AC2=2AB2=32∴ab=32．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是判断△ACF∽△ECA，也是本题的难点．5．（11分）（2016•济宁）如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上，并过点B（0，1），直线n：y=﹣12x+72与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E（﹣7，7）．（1）求抛物线m的解析式；（2）P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；（3）抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质．【分析】（1）抛物线顶点在x轴上则可得出顶点纵坐标为0，将解析式进行配方就可以求出a的值，继而得出函数解析式；（2）利用轴对称求最短路径的方法，首先通过B点关于l的对称点B′来确定P点位置，再求出直线B′E的解析式，进而得出P点坐标；（3）可以先求出直线FD的解析式，结合以线段FQ为直径的圆恰好经过点D这个条件，明确∠FDG=90°，得出直线DG解析式的k值与直线FD解析式的k值乘积为﹣1，利用D点坐标求出直线DG解析式，将点Q坐标用抛物线解析式表示后代入DG直线解析式可求出点Q坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上∴配方得y=a（x﹣3）2﹣9a+1，则有﹣9a+1=0，解得a=1 9∴A点坐标为（3，0），抛物线m的解析式为y=19x2﹣23x+1；（2）∵点B关于对称轴直线x=3的对称点B′为（6，1）∴连接EB′交l 于点P ，如图所示设直线EB′的解析式为y=kx+b ，把（﹣7，7）（6，1）代入得7761k b k b -+=⎧⎨+=⎩ 解得6134913k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则函数解析式为y=﹣613x+4913 把x=3代入解得y=3113，∴点P 坐标为（3，3113）；（3）∵y=﹣12x+72与x 轴交于点D ，∴点D 坐标为（7，0）， ∵y=﹣12x+72与抛物线m 的对称轴l 交于点F ， ∴点F 坐标为（3，2）， 求得FD 的直线解析式为y=﹣12x+72，若以FQ 为直径的圆经过点D ，可得∠FDQ=90°，则DQ 的直线解析式的k 值为2，设DQ 的直线解析式为y=2x+b ，把（7，0）代入解得b=﹣14，则DQ 的直线解析式为y=2x ﹣14， 设点Q 的坐标为（a ，212193a a -+），把点Q 代入y=2x ﹣14得 212193a a -+=2a ﹣14 解得a 1=9，a 2=15．∴点Q 坐标为（9，4）或（15，16）．【点评】本题考查的知识点是二次函数性质、一次函数性质、轴对称性质，解题的关键是明确找线段和最小的点要通过轴对称性质找对称点，以线段FQ 为直径的圆恰好经过点D 则要转化为∠FDG=90°的条件来考虑．6．（12分）（2016•青岛）已知：如图，在矩形ABCD 中，Ab=6cm ，BC=8cm ，对角线AC ，BD 交于点0．点P 从点A 出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，根据相似三角形的性质得到AP=t 258，②当AP=AO=t=5，于是得到结论；（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，根据全等三角形的性质得到CE=AP=t，根据相似三角形的性质得到EH 35t，根据相似三角形的性质得到QM=2454t-，FQ=56t，根据图形的面积即可得到结论，（3）根据题意列方程得到t=92，t=0，（不合题意，舍去），于是得到结论；（4）由角平分线的性质得到DM=DN=245，根据勾股定理得到=75，由三角形的面积公式得到OP=5﹣58t，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，∴AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，∴AM=12AO=52，∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，∴△APM∽△ADC，∴AP AM AC AD=，∴AP=t=258，②当AP=AO=t=5，∴当t为258或5时，△AOP是等腰三角形；（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，在△APO 与△CEO 中，PAO ECO AO OCAOP COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOP ≌△COE ， ∴CE=AP=t ，∵△CEH ∽△ABC ，∴EH CEAB AC =， ∴EH=35t ，∵DN=AD CD AC ∙=245，∵QM ∥DN ，∴△CQM ∽△CDN ，∴QM CQ DN CD =，即62465QM t-=， ∴QM=2445t-，∴DG=245﹣2445t -=45t ，∵FQ ∥AC ，∴△DFQ ∽△DOC ，∴FQ DGDC DN=， ∴FQ=56t ，∴S 五边形OECQF =S △OEC +S 四边形OCQF =12×5×35t +12（56t +5）•2445t -=﹣13t 2+32t+12， ∴S 与t 的函数关系式为S=﹣13t 2+32t+12；（3）存在， ∵S △ACD =12×6×8=24， ∴S 五边形OECQF ：S △ACD =（﹣13t 2+32t+12）：24=9：16， 解得t=92，t=0，（不合题意，舍去）， ∴t=92时，S 五边形S 五边形OECQF ：S △ACD =9：16；（4）如图3，过D 作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥AC 于N ， ∵∠POD=∠COD ，∴DM=DN=245，∴75，∵OP•DM=3PD，∴OP=5﹣58t，∴PM=185﹣58t，∵PD2=PM2+DM2，∴（8﹣t）2=（185﹣58t）2+（245）2，解得：t≈15（不合题意，舍去），t≈2.88，∴当t=2.88时，OD平分∠COP．【点评】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．7．（14分）（2016•漳州）现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是OM=ON；（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？（4）如图4，是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说明）【分析】（1）根据△OBM 与△ODN 全等，可以得出OM 与ON 相等的数量关系；（2）连接AC 、BD ，则通过判定△BOM ≌△CON ，可以得到OM =ON ；（3）过点O 作OE ⊥BC ，作OF ⊥CD ，可以通过判定△MOE ≌△NOF ，得出OE =OF ，进而发现点O 在∠C 的平分线上；（4）可以运用（3）中作辅助线的方法，判定三角形全等并得出结论． 【解答】解：（1）若点O 与点A 重合，则OM 与ON 的数量关系是：OM =ON ； （2）仍成立．证明：如图2，连接AC 、BD ，则由正方形ABCD 可得，∠BOC =90°，BO =CO ，∠OBM =∠OCN =45° ∵∠MON =90°，∴∠BOM =∠CON 在△BOM 和△CON 中， ∵CON BOM CO BO OCN OBM∠=∠=∠=∠,,∴△BOM ≌△CON （ASA ），∴OM =ON（3）如图3，过点O 作OE ⊥BC ，作OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，则∠OEM =∠OFN =90° 又∵∠C =90°，∴∠EOF =90°=∠MON ∴∠MOE =∠NOF在△MOE 和△NOF 中， ∵ON OM FON EOM OFN OEM=∠=∠∠=∠,,∴△MOE ≌△NOF （AAS ），∴OE =OF又∵OE ⊥BC ，OF ⊥CD ，∴点O 在∠C 的平分线上 ∴O 在移动过程中可形成线段AC（4）O 在移动过程中可形成直线AC ．【点评】本题主要考查了四边形中的正方形，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．解题时需要运用全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理．8．（12分）（2016•兰州）如图1，二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象过点A （3，0），B （0，4）两点，动点P 从A 出发，在线段AB 上沿A→B 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD ⊥y 于点D ，交抛物线于点C ．设运动时间为t （秒）．（1）求二次函数y=﹣x 2+bx+c 的表达式；（2）连接BC ，当t=56时，求△BCP 的面积；（3）如图2，动点P 从A 出发时，动点Q 同时从O 出发，在线段OA 上沿O→A 的方向以1个单位长度的速度运动．当点P 与B 重合时，P 、Q 两点同时停止运动，连接DQ ，PQ ，将△DPQ 沿直线PC 折叠得到△DPE ．在运动过程中，设△DPE 和△OAB 重合部分的面积为S ，直接写出S 与t 的函数关系及t 的取值范围．【分析】（1）直接将A 、B 两点的坐标代入列方程组解出即可；（2）如图1，要想求△BCP 的面积，必须求对应的底和高，即PC 和BD ；先求OD ，再求BD ，PC 是利用点P 和点C 的横坐标求出，要注意符；（3）分两种情况讨论：①△DPE 完全在△OAB 中时，即当0≤t≤1517时，如图2所示，重合部分的面积为S 就是△DPE 的面积；②△DPE 有一部分在△OAB 中时，当1517＜t≤2.5时，如图4所示，△PDN 就是重合部分的面积S ．【解答】解：（1）把A （3，0），B （0，4）代入y=﹣x 2+bx+c 中得：9304b c c -++=⎧⎨=⎩ 解得534b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴二次函数y=﹣x 2+bx+c 的表达式为：y=﹣x 2+53x+4；（2）如图1，当t=56时，AP=2t ， ∵PC ∥x 轴， ∴OB ABOD AP =， ∴452OD t=， ∴OD=88545563t =⨯=， 当y=43时，43=﹣x 2+53x+4， 3x 2﹣5x ﹣8=0，x 1=﹣1，x 2=83，∴C （﹣1，43），由BD PDOB OA=得44343PD-=，则PD=2，∴S△BCP=12×PC×BD=12×3×83=4；（3）如图3，当点E在AB上时，由（2）得OD=QM=ME=85t，∴EQ=165t，由折叠得：EQ⊥PD，则EQ∥y轴∴EQ AQ OB OA=，∴163543tt-=，∴t=15 17，同理得：PD=3﹣65t，∴当0≤t≤1517时，S=S△PDQ=12×PD×MQ=12×（3﹣65t）×85t，S=﹣2425t2+125t；当1517＜t≤2.5时，如图4，P′D′=3﹣65t，点Q与点E关于直线P′C′对称，则Q（t，0）、E（t，165t），∵AB的解析式为：y=﹣43x+4，D′E的解析式为：y=85x+85t，则交点N（15611t-，82411t+），∴S=S△P′D′N=12×P′D′×FN=12×（3﹣65t）（82411t+﹣85t），∴S=144275t2﹣14455t+3611．。
各地中考数学试卷分类汇编 方案设计(含解析)
方案设计1. （2018•福建A 卷•10 分）如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 ABCD，其中 A D≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450 平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．【分析】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣2x）=450，解方程得x1=5，x2=45，然后计算100﹣2x 后与20 进行大小比较即可得到AD 的长；（2）设AD=xm，利用矩形面积得到S=12x（100﹣x），配方得到S=﹣12（x﹣50）2+1250，讨论：当a≥50 时，根据二次函数的性质得S 的最大值为1250；当0＜a＜50 时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S 的最大值为50a﹣12a2．【解答】解：（1）设 AB=xm，则 BC=（100﹣2x）m，根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45，当x=5 时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；当x=45 时，100﹣2x=10，答：AD 的长为10m；（2）设AD=xm，∴S=12x（100﹣x）=﹣12（x﹣50）2+1250，当a≥50 时，则x=50 时，S 的最大值为1250；当0＜a＜50 时，则当0＜x≤a时，S 随x 的增大而增大，当x=a 时，S 的最大值为50a﹣12a2，综上所述，当a≥50时，S 的最大值为1250；当0＜a＜50 时，S 的最大值为50a﹣12a2．【点评】本题考查了二次函数的应用：解此类题的关键是通过几何性质确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x 的取值范围．2.（2018•福建 B 卷•10 分）空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩 形菜园 ABCD ，已知木栏总长为 100 米．（1）已知 a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米木栏，且围成的矩形菜园面积为 450 平方米．如图 1，求所利用旧墙 AD 的长；（2）已知 0＜α ＜50，且空地足够大，如图 2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使 得所围成的矩形菜园 ABCD 的面积最大，并求面积的最大值．图1 图2【分析】（1）按题意设出 AD ，表示 AB 构成方程；（2）根据旧墙长度 a 和 AD 长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论 s 与菜园边长之间的数量关 系．【解答】解：（1）设 AD=x 米，则 AB=1002x -米 依题意得，(100)4502x x -=解得 x 1=10，x 2=90∵a=20，且 x ≤a∴x=90 舍去∴利用旧墙 AD 的长为 10 米．（2）设 AD=x 米，矩形 ABCD 的面积为 S 平方米①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意得： S=2(100)1(50)125022x x x -=--+，0＜x ＜a ∵0＜α ＜50∴x＜a ＜50 时，S 随 x 的增大而增大当 x=a 时，S 最大=50a ﹣213a②如按图 2 方案围成矩形菜园，依题意得S=22(1002)[(25)](25)244x a x a a x +-=---++，a ≤x＜50+2a 当 a ＜25+4a ＜50 时，即 0＜a ＜1003时， 则 x=25+4a 时， S 最大=（25+4a ）2=21000020016a a ++ 当 25+4a ≤a，即100503a ≤p 时，S 随 x 的增大而减小 ∴x=a 时，S 最大=(1002)2a a a +-=21502a a - 综合①②，当 0＜a ＜1003时， 21000020016a a ++﹣（21502a a -）=2(3100)016a -f 21000020016a a ++＞21502a a -，此时，按图 2 方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为21000020016a a ++平方米 当100503a ≤p 时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等． ∴ 当 0 ＜ a ＜1003 时 ，围成长 和宽均为 （ 25+4a ）米的 矩形菜园 面积最 大，最 大面积 为 21000020016a a ++平方米； 当100503a ≤p 时，围成长为 a 米，宽为（50﹣2a ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（21502a a -）平方米． 【点评】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类 讨论变量大小关系．3.（2018·湖南怀化·10 分）某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购 进 A ，B 两种树苗，共 21 棵，已知 A 种树苗每棵 90 元，B 种树苗每棵 70 元．设购买 A 种树苗 x棵，购买两种树苗所需费用为y 元．（1）求y 与x 的函数表达式，其中0≤x≤21；（2）若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【分析】（1）根据购买两种树苗所需费用=A 种树苗费用+B 种树苗费用，即可解答；（2）根据购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，列出不等式，确定x 的取值范围，再根据（1）得出的y 与x 之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合算的方案．【解答】解：（1）根据题意，得：y=90x+70（21﹣x）=20x+1470，所以函数解析式为：y=20x+1470；（2）∵购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，∴21﹣x＜x，解得：x＞10.5，又∵y=20x+1470，且x 取整数，∴当x=11 时，y 有最小值=1690，∴使费用最省的方案是购买B 种树苗10 棵，A 种树苗11 棵，所需费用为1690 元．【点评】本题考查的是一元一次不等式及一次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．4.（2018 年湖南省娄底市）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A.B 两种型号的垃圾处理设备共10 台．已知每台A 型设备日处理能力为12 吨；每台B 型设备日处理能力为15 吨；购回的设备日处理能力不低于140 吨．（1）请你为该景区设计购买A.B 两种设备的方案；（2）已知每台A 型设备价格为3 万元，每台B 型设备价格为4.4 万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40 万元时，则按9 折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？【分析】（1）设购买A 种设备x 台，则购买B 种设备（10﹣x）台，根据购回的设备日处理能力不低于140 吨列出不等式12x+15（10﹣x）≥140，求出解集，再根据x 为正整数，得出x=1，2，3．进而求解即可；（2）分别求出各方案实际购买费用，比较即可求解．【解答】解：（1）设购买A 种设备x 台，则购买B 种设备（10﹣x）台，根据题意，得12x+15（10﹣x）≥140，解得x≤313，∵x为正整数，∴x=1，2，3．∴该景区有三种设计方案：方案一：购买A 种设备1 台，B 种设备9 台；方案二：购买A 种设备2 台，B 种设备8 台；方案三：购买A 种设备3 台，B 种设备7 台；（2）各方案购买费用分别为：方案一：3×1+4.4×9=42.6＞40，实际付款：42.6×0.9=38.34（万元）；方案二：3×2+4.4×8=41.2＞40，实际付款：41.2×0.9=37.08（万元）；方案三：3×3+4.4×7=39.8＜40，实际付款：39.8（万元）；∵37.08＜38.04＜39.8，∴采用（1）设计的第二种方案，使购买费用最少．【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的不等关系是解决问题的关键．5.（2018 湖南湘西州12.00 分）某商店销售A 型和B 型两种电脑，其中A 型电脑每台的利润为400 元，B 型电脑每台的利润为 500 元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100 台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2 倍，设购进A 型电脑x 台，这100 台电脑的销售总利润为y 元．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？（3）实际进货时，厂家对A 型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A 型电脑 60 台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这 100 台电脑销售总利润最大的进货方案．【分析】（1）根据“总利润=A 型电脑每台利润×A电脑数量+B 型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式；（2）根据“B型电脑的进货量不超过A 型电脑的2 倍且电脑数量为整数”求得x 的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；（3）据题意得y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，分三种情况讨论，①当0＜a＜100 时，y 随x 的增大而减小，②a=100 时，y=50000，③当100＜m＜200 时，a﹣100＞0，y 随x 的增大而增大，分别进行求解．【解答】解：（1）根据题意，y=400x+500（100﹣x）=﹣100x+50000；（2）∵100﹣x≤2x，∴x≥1003，∵y=﹣100x+50000 中k=﹣100＜0，∴y随x 的增大而减小，∵x为正数，∴x=34 时，y 取得最大值，最大值为46600，答：该商店购进A 型34 台、B 型电脑66 台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600 元；（3）据题意得，y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，1333≤x≤60①当0＜a＜100 时，y 随x 的增大而减小，∴当x=34 时，y 取最大值，即商店购进34 台A 型电脑和66 台B 型电脑的销售利润最大．②a=100 时，a﹣100=0，y=50000，即商店购进A 型电脑数量满足1333≤x≤60的整数时，均获得最大利润；③当100＜a＜200 时，a﹣100＞0，y 随x 的增大而增大，∴当x=60 时，y 取得最大值．即商店购进60 台A 型电脑和40 台B 型电脑的销售利润最大．【点评】题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x 值的增大而确定y 值的增减情况．6.（2018•山东济宁市•7分）绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B 两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：人均支出费用各是多少元；（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40 人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000 元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？【解答】解：（1）设清理养鱼网箱的人均费用为x 元，清理捕鱼网箱的人均费用为y 元，根据题意，得1595700010+1668000x yx y+=⎧⎨=⎩，解得：20003000 xy=⎧⎨=⎩，答：清理养鱼网箱的人均费用为2000 元，清理捕鱼网箱的人均费用为3000 元；（2）设m 人清理养鱼网箱，则（40﹣m）人清理捕鱼网箱，根据题意，得：20003000(40)1020040m mm m+-≤⎧⎨-⎩p，解得：18≤m＜20，∵m为整数，∴m=18 或m=19，则分配清理人员方案有两种：方案一：18 人清理养鱼网箱，22 人清理捕鱼网箱；方案二：19 人清理养鱼网箱，21 人清理捕鱼网箱．7.（2018·湖北省恩施·10 分）某学校为改善办学条件，计划采购 A.B 两种型号的空调，已知采购3 台A 型空调和2 台B 型空调，需费用39000 元；4 台A 型空调比5 台B 型空调的费用多6000 元．（1）求A 型空调和B 型空调每台各需多少元；（2）若学校计划采购A.B 两种型号空调共30 台，且A 型空调的台数不少于B 型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000 元，该校共有哪几种采购方案？（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；（3）根据题意和（2）中的结果，可以解答本题．【解答】解：（1）设A 型空调和B 型空调每台各需x 元、y 元，：3239000456000x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得，90006000x y =⎧⎨=⎩ ，答：A 型空调和 B 型空调每台各需 9000 元、6000 元；（2）设购买 A 型空调 a 台，则购买 B 型空调（30﹣a ）台，90006000(30)217001(30)2a a a a +-≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ ， 解得，10≤a≤1213， ∴a=10.11.12，共有三种采购方案，方案一：采购 A 型空调 10 台，B 型空调 20 台，方案二：采购 A 型空调 11 台，B 型空调 19 台，方案三：采购 A 型空调 12 台，B 型空调 18 台；（3）设总费用为 w 元，w=9000a+6000（30﹣a ）=3000a+180000，∴当 a=10 时，w 取得最小值，此时 w=210000，即采购 A 型空调 10 台，B 型空调 20 台可使总费用最低，最低费用是 210000 元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解 答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．8.（2018•贵州铜仁•12 分）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买 1 张办 公桌必须买 2 把椅子，椅子每把 100 元，若学校购进 20 张甲种办公桌和 15 张乙种办公桌共 花费 24000 元；购买 10 张甲种办公桌比购买 5 张乙种办公桌多花费 2000 元．（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？（2）若学校购买甲乙两种办公桌共 40 张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的 3 倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．【分析】（1）设甲种办公桌每张 x 元，乙种办公桌每张 y 元，根据“甲种桌子总钱数+乙种 桌子总钱数+所有椅子的钱数=24000、10 把甲种桌子钱数﹣5 把乙种桌子钱数+多出 5 张桌子 对应椅子的钱数=2000”列方程组求解可得；（2）设甲种办公桌购买 a 张，则购买乙种办公桌（40﹣a ）张，购买的总费用为 y ，根据“总 费用=甲种桌子总钱数+乙种桌子总钱数+所有椅子的总钱数”得出函数解析式，再由“甲种 办公桌数量不多于乙种办公桌数量的 3 倍”得出自变量 a 的取值范围，继而利用一次函数的 性质求解可得．【解答】解：（1）设甲种办公桌每张 x 元，乙种办公桌每张 y 元，根据题意，得：201570002400010510002000x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得：400600 xy=⎧⎨=⎩，答：甲种办公桌每张400 元，乙种办公桌每张600 元；（2）设甲种办公桌购买a 张，则购买乙种办公桌（40﹣a）张，购买的总费用为y，则y=400a+600（40﹣a）+2×40×100=﹣200a+32000，∵a≤3（40﹣a），∴a≤30，∵﹣200＜0，∴y随a 的增大而减小，∴当a=30 时，y 取得最小值，最小值为26000 元．。
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1 全国各地 中考数学试卷分类汇编第41章 方案设计 2011年全国各地中考数学试卷分类汇编 第41章 方案设计
三 解答题 1. （ 2011重庆江津， 26，12分） 在“五个重庆”建设中,为了提高市民的宜居环境,某区规划修建一个文化广场(平面图形如图所示),其中四边形ABCD是矩形,分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆,若整个广场的周长为628米,高矩形的边长AB=y米,BC=x米.(注:取π=3.14) (1)试用含x的代数式表示y; (2)现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等,平均每平方米造价为428元,在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩,平均每平方米造价为400元; ①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式； ②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由？ ③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64·82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能还完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由·
【答案】（1） 由题意得 y+x=6·28 ∵=3.14 ∴3.14y+3.14x=628. ∴x+y=200.则 y=200-x;
(2) ①w=428xy+400(2y)2+400(2x)2
=428x(200-x)+400×3.14×4)200(2x+400×3.14×42x =200x2-40000x+12560000; ②仅靠政府投入的1千万不能完成该工程的建设任务，其理由如下： 由①知 w=200(x-100)2+1.056×107＞107, 所以不能；
③由题意得 x≤32y, 即x≤32 (200-x) 解之得 x≤80 ∴0≤x≤80. 又根据题意得 w=200(x-100)2+1.056×107=107+6.482×105 整理得 (x-100)2=441 解之得 x1=79, x2=121 （不合题意舍去） ∴只能取 x=79， 则y=200-79=121 所以设计的方案是： AB长为121米，BC长为79米，再分别以各边为直径向外作半圆·
2. (2011重庆綦江，25，10分)为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元.今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过．．．84万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于．．．1300
A B
C D
第26题图 2
吨污水. （1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？ （2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案； （3）若两种设备的使用年限都为10年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用＝设备购买费＋各种维护费和电费） 【答案】：25. 解：（1）设一台甲型设备的价格为x万元，由题54%7523xx，解得x＝12，∵ 12×75%＝9 ，∴ 一台甲型设备的价格为12万元，一台乙型设备的价格是9万元
(2)设二期工程中,购买甲型设备a台,由题意有1300)8(16020084)8(912aaaa，解得：421a 由题意a为正整数,∴a＝1,2,3,4 ∴所有购买方案有四种,分别为 方案一:甲型1台,乙型7台； 方案二:甲型2台,乙型6台 方案三:甲型3台,乙型5台； 方案四:甲型4台,乙型4台 (3)设二期工程10年用于治理污水的总费用为W万元 )8(105.1101)8(912aaaaw化简得: w－2a＋192,
∵W随a的增大而减少 ∴当a＝4时, W最小（逐一验算也可） ∴按方案四甲型购买4台,乙型购买4台的总费用最少. 3. （2011四川凉山州，24，9分）我州鼓苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会。现有A型、B型、C型三种汽车可供选择。已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满。根据下表信息，解答问题。
苦荞茶 青花椒 野生蘑菇 每 辆汽车 运载 量 （吨）
A型 2 2
B型 4 2
C型 1 6
特产 车型 3
数关系（1） 设A型汽车安排x辆，B 型汽车安排y辆，求y与x之间的函式。 （2） 如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案。 （3） 为节约运费，应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费。 【答案】 解：⑴ 法① 根据题意得
46721120xyxy 化简得：327yx 法② 根据题意得 242212621120xyxxyyxy 化简得：327yx
⑵由44214xyxy 得 43274213274xxxx
解得 2573x 。 ∵x为正整数，∴5,6,7x 故车辆安排有三种方案，即： 方案一:A型车5辆，B型车12辆，C型车4辆
方案二:A型车6辆，B型车9辆，C型车6辆
方案三:A型车7辆，B型车6辆，C型车8辆 ⑶设总运费为W元，则15001800327200021327Wxxxx 10036600x ∵W随x的增大而增大，且5,6,7x ∴当5x时，37100W最小元 答：为节约运费，应采用 ⑵中方案一，最少运费为37100元。 4．（2011湖北黄冈，20，8分）今年我省干旱灾情严重，甲地急需要抗旱用水15万吨，乙地13万吨．现有A、B两水库各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱．从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米． ⑴设从A水库调往甲地的水量为x万吨，完成下表 甲 乙 总计
A x 14 B 14 总计 15 13 28
⑵请设计一个调运方案，使水的调运量尽可能小．（调运量=调运水的重量×调运的距离，单位：万吨•千米） 【答案】⑴（从左至右，从上至下）14－x 15－x x－1 ⑵y=50x+（14－x）30+60（15－x）+（x－1）45=5x+1275 解不等式1≤x≤14 所以x=1时y取得最小值 ymin=1280 5. （2011湖北黄石，23，8分）今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用水，某校数学教师编造了一道应用题： 月用水量（吨） 单价（元/吨）
车型 A B C 每辆车运费（元）
1500 1800 2000
调入地 水量/万吨
调出地 4
不大于10吨部分 1.5 大于10吨不大于m吨部分 （20≤m≤50） 2
大于m吨部分 3 为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定： （1） 若某用户六月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费； （2） 记该户六月份用水量为x吨，缴纳水费y元，试列出y关于x的函数式； （3） 若该用户六月份用水量为40吨，缴纳消费y元的取值范围为70≤y≤90，试求m的取值范围。 各位同学，请你也认真做一做，相信聪明的你一定会顺利完成。 【答案】解：（1）10×1.5+（18－10）×2＝31 （2）①当x≤10时 y=1.5x ②当10< x≤m时 y=10×1.5+（x-10）×2=2x-5
③当x＞m时 y=10×1.5+（m-10）×2+(x-m)×3
(3) ①当40吨恰好是第一档与第二档时 2×40－5＝75 符合题意 ②当40吨恰好是第一档、第二档与第三档时 70≤10×1.5+（m-10）×2+(40-m)×3≤90 70≤-m+115≤90 25 ≤m≤45
6. （2011内蒙古乌兰察布，23，10分），某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧．已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆． (l）某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来； (2）若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明（1）中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？ 【答案】⑴设搭建A种园艺造型x个，则搭建B种园艺造型（50-x）个.
根据题意得85(50)34949(50)295xxxx解得3133x， 所以共有三种方案①A :31 B:19 ②A :32 B:18 ③A :33 B:17 ⑵由于搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，所以搭配同样多的园艺造型A种比B种成本低，则应该搭配A种33个，B种17个. 成本：33×200+17×360=12720（元） 说明：也可列出成本和搭配A种造型数量x之间的函数关系，用函数的性质求解；或直接算出三种方案的成本进行比较也可.
7. （2011重庆市潼南,25,10分）潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两 种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：
种植户 种植A类蔬菜面积 （单位：亩） 种植B类蔬菜面积 （单位：亩） 总收入 （单位：元） 甲 3 1 12500 乙 2 3 16500 说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等．
⑴ 求A、Ｂ两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？