线性代数习题 第五章 相似矩阵及二次型

5-1向量的内积与方阵的特征值

1.设λ为矩阵A 的特征值,且0≠λ,则λA

为 的特征值。

;.;.;.;.1*1--A d A c A b A a λλ

2.设A 为n 阶实对称阵,21,x x 为A 的不同特征值对应的特征向量,则 。

1.21=x x a T 1.x b 与2x 线性相关; 1.x c 与2x 线性无关; 0.21=+x x d

3.设21,λλ都为n 阶矩阵A 的特征值)(21λλ≠,且21,x x 分别为对应于21,λλ的特征向量,则当 满足时,2211x k x k x +=必为A 的特征向量。

0.1=k a 且02=k ; 0.1=k b 且02≠k ; 0.1≠k c 且02≠k ; 0.21=⋅k k d

4.设n 阶方阵A 的特征值全不为零,则 。

n A r d n A r c n A r b n A r a <≤≠=)(.;)(.;)(.;)(.

5、设矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=314020

112A ,求A 的特征值及特征向量、

6.试用施密特法把向量组⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=011101110111),,(321a a a 正交化。 7.设A 与B 都为n 阶正交阵,证明:AB 也就是正交阵。

8.证明:正交阵的行列式必定等于1或—1。

9.设x 为n 维列向量且1=x x T ,而T

xx E H 2-=,试证H 就是对称的正交矩阵。

习题5-2 相似矩阵与对称矩阵的对角化

1.设A 与B 为n 阶方阵,则B A =就是A 与B 相似的 。

.a 充分条件; .b 必要条件; .c 充要条件; .d 无关条件

2、对实对称阵⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001,1001B A ,有A 与B 。 .a 互为逆矩阵; .b 相似; .c 等价; .d 正交

3、 n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件就是 。

a 、 矩阵A 有n 个特征值;

b 、 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量;

c 、 矩阵A 的行列式0≠A ;

d 、 矩阵A 的特征多项式有重根

4、 设n 阶矩阵A 与B 相似,则 。

a 、A 与B 正交;

b 、 A 与B 有相同的特征向量;

c 、 A 与B 等价;

d 、 A 与B 相同的特征值。

5、若A 与B 就是相似矩阵,证明T A 与T B 也相似。

6、设方阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=12422421x A 与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣

⎡-=Λ45y 相似,求x 与y 。 7、设三阶方阵A 的特征值1,—2,2,且2

35A A B -=,求B 的特征值与B 。 8、设矩阵⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--=3113A ,①求A 的特征值,②求E+1-A 的特征值。