解析几何中的数学思想
数学思想在高中解析几何中的运用
数学思想在高中解析几何中的运用发布时间：2021-04-25T11:52:19.113Z 来源：《中小学教育》2021年第1月第3期作者：杨晓[导读] 解析几何是一门以代数的形式进行图形研究的学科，将变量引入了几何的领域，在整个高中数学具有重要地位杨晓（义乌市第六中学，浙江义乌322000）摘要：解析几何是一门以代数的形式进行图形研究的学科，将变量引入了几何的领域，在整个高中数学具有重要地位。
解析几何中常用到的数学思想有：数形结合思想、转化化归思想、分类讨论思想和函数与方程思想。
该文就这4种思想在解析几何中的应用做简要的说明，以期在今后的学生学习和教师教学中达到“化抽象为直观，化复杂为简单的”效果。
关键词：数学思想；高中数学；解析几何引言解析几何是高中重要的教学内容，是指利用解析式来研究几何图形的过程。
由于其高度的抽象性和逻辑性，学生在进行解析几何问题的解决时，经常会遇到很大的困难，也是高考中很大的失分点。
因此，我们可以在教学过程中，引入数学思想，来帮助学生进行解析几何问题的分析和研究，让学生找到问题的解决思路，从而提高学生对解析几何问题的解题质量和效率，进而为学生以后的高考做好充足的准备。
1、数形结合思想的应用（1）由形到数。
以所研究几何图形的生成规律或形状为出发点，建立与该几何图形对应的数量关系。
以几何图形为手段、数量关系为目的，借助几何图形的直观形象，来揭示数量间的关系。
例如：以坐标系为桥梁，在建立了点和坐标一一对应关系的基础上，我们在《直线与方程》一章中建立了直线的方程，借助对直线方程的代数问题的探索，研究了直线几何问题，用代数方法解决了几何问题。
在学习了直线与方程的基础上，在《圆与方程》一章中我们用同样的方法建立了圆的方程，把圆与方程联系起来，从而实现了空间形式和数量关系的结合。
《圆锥曲线与方程》是解析几何中的重要部分，在整个高中数学中占有很大的篇幅和分量，我们依据圆锥曲线的定义(或者几何特征)，用代数方法对它们进行了研究，从而建立了其标准方程。
解析几何的基本思想
解析几何的基本思想解析几何的产生人们认为，解析几何的产生是数学史上划时代的重大事件。
而解析几何的产生，通常以笛卡儿《几何学》一文(发表于1637年的《方法论》的附录)为标志。
解析几何的产生当然有时代背景，例如开普勒用椭圆描述行星绕日运动的轨道，推动人们去研究圆锥曲线；伽里略利用望远镜来进行天文观测，望远镜中透镜的研制涉及到对曲面母线的研究；力学中对抛射体轨迹的研究也涉及曲线旷这些科学的发展都提出研究各种曲我的要求，最起码的是画出这些曲线。
笛卡儿使用了代数方法去研究曲线的问题，解析几何就这样开始了。
实际上，笛卡儿在《方法论》的另两个附录《论折光》和《流星论》中分别探讨了透镜曲线和气象的—些问题。
（1）解析几何的基本思想解析几何得以建立的基本思想有两个：实数和平面上的一条直线上的点作成一一对应；有序实数对与平面上的点作成一一对应。
很早以前人们就有了初步的坐标观念，例如古埃及人和罗马人用于测量的、希腊人用于绘制地图的坐标思想；奥雷姆(法国人，约1320一1382)在14世纪曾试图用图线来表示变量之间的关系。
但是在明确提出上述两个原则之前，无法用代数方法来研究几何学。
笛卡儿解决了贯彻这两个原则的方法问题，那就是建立坐标系。
（2）解析几何的意义解析几何的产生在数学史上具有划时代的意义。
●在数学中引入了变量概念建立坐标系，把几何曲线和代数方程对应起来实际上就已用到了变量概念：方程无非是两个变量的关系，几何曲线上的点的坐标就是变量在变化过程中所取的值。
●提供了一种解决一般问题的方法古希腊几何中的许多问题都是个别地解决的，而引入解析几何后就可以用解析方法(代数方法)作一般性的处理。
例如几何作图问题就是在有限次使用没有刻度的直尺和圆规的条件下作出所要求的图形的问题，即所谓“尺规作图”。
如果能够按条件作出所求图形，则称这个问题为作图可能问题，这时图形叫做可作的；如果作不出所求图形，那么可分为两种情况：一是所求的图形实际不存在，这时，就可说这个问题是不成立的；一是所求的图形是存在的，但只用尺规无法作出，这时，就可说这个问题是作图不可能的。
数学思想在高中解析几何中的应用研究
数学思想在高中解析几何中的应用研究1. 引言1.1 研究背景高中解析几何是高中数学课程中的一部分，是对平面几何学研究的延伸和深化。
在高中阶段学习解析几何，学生需要掌握坐标系、直线、圆、抛物线、双曲线等图形的相关知识，并能够运用代数方法解决几何问题。
研究背景：随着社会的发展和数学教育的不断深化，高中解析几何作为数学思想的一个重要部分，越来越受到人们的重视。
传统的几何学虽然有其独特的美感和直观性，但在解决实际问题和深入理解几何现象方面存在一定的局限性。
而解析几何则通过引入坐标系统和运用代数方法，将几何问题转化为代数问题，从而提高了问题的解决效率和深度。
在这样的背景下，研究数学思想在高中解析几何中的应用具有重要的理论和实践意义。
通过深入探讨数学思想在解析几何中的应用，可以帮助学生更好地理解几何概念、提高数学建模和问题解决的能力，同时也可以为数学教学改革提供借鉴和启示。
对数学思想在高中解析几何中的应用进行研究具有重要的现实意义和深远影响。
1.2 研究目的研究目的主要是探究数学思想在高中解析几何中的应用情况，通过对基础应用、高级应用、实际案例分析、未来发展趋势以及教学实践与方法等方面进行深入研究，旨在揭示数学思想在解析几何中的重要性和实用性。
希望通过这篇研究，能够为解析几何的教学提供新的思路和方法，促进学生对数学知识的理解和应用能力的提升，推动高中数学教育的发展。
我们还希望能够总结出一些关于数学思想在解析几何中的规律和特点，为进一步研究和应用提供参考。
通过本研究，我们期望能够深入挖掘数学思想在高中解析几何中的潜力，促进数学教育的创新和发展。
1.3 研究意义研究意义是指研究所涉及的主题对学科发展、社会进步、人类文明甚至个体人生的重要性和价值。
数学思想在高中解析几何中的应用研究具有重要的意义，主要体现在以下几个方面：深入探讨数学思想在高中解析几何中的应用，可以帮助我们更好地理解数学的本质和逻辑，提高数学思维能力和创新意识。
解析几何初步中的思想方法探究
.
点评院 利用函数关系求解析几何中的最值问题袁易
错点是容易忽视参数的取值范围.在本例中袁参数k与t的
取值范围都是任意实数.
三尧数形结合思想
解析几何的本质就是用“数”去研究“形”，因此在求 解解析几何题时，数形结合是最行之有效的方法之一， 尤其对于某些位置关系中的最值（取值范围）问题，往往 可以“秒杀”.
解析院（1）将圆的一般方程化为标准方程为（x+k）2+
（y+1）2=1.
所以圆心C的坐标为（-k，-1），半径r=1.
又（1+k）2+（2+1）2跃1，所以点P（1，2）在圆外.
所 以 点 P到 圆 心 C 的 距 离 为 ：|PC |= 姨（k+1）2+32 =
姨（k+1）2+9 逸3.所以|PC|min=3. 所 以 点 P和 圆 C 上 的 点 的 最 小 距 离 dmin=|PC |min-r =3 -
1=2.故填答案：2. （2）设 P（2t，t），则 |PA |2+|PB|2=（2t-1）2+（t+1）2+（2t-
2）2+（t-2）2=10t2-14t+10，
当t= 7 时，|PA |2+|PB|2取得最小值，此时点P的坐标为 10
蓸 蔀 蓸 蔀 7 ，7 5 10
.故填答案：
7 ，7 5 10
解析几何主要是研究曲线与方程的关系，因此求解 解析几何问题时，往往离不开方程的思想.
例1 已知圆O的方程为x2+y2=1，它与x轴交于P，Q 两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A（3，0）且与 x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P忆，直线QM交 直线l2于点Q忆.求证：以P忆Q忆为直径的圆C总经过定点，并 求出定点的坐标.
浅谈解析几何中的函数思想
浅谈解析几何中的函数思想解析几何是高中数学的重点，也是难点。
直线与圆锥曲线相交时的定值和最值问题是山东高考考查解析几何的主要形式。
笔者通过对山东高考圆锥曲线题目研究并结合课堂教学发现，可以应用函数与方程的思想指导解决此类定值和最值问题。
分析近几年山东高考可知，圆锥曲线的方程通过已知条件可以确定，属于基础性问题，难点在于根据直线方程中的参数讨论相应的定值与最值问题。
直线的方程可表示为带两个参数的形式。
若由题目条件可以确定其中一个参数的确切值，那么问题转化为单参数问题。
在完成圆锥曲线的单元教学后，就能接触到单参数问题，属于基础性题目。
而在圆锥曲线的综合性题目中，已知条件不足以将其中某一参数的值确定，还要进行一步消参的过程，即将参数式整理为可应用整体代换转换为单参数的形式，或者由已知条件推导出直线方程中两参数之间的一个等式关系，转换为单参数问题。
以上述单一参数作为自变量，从函数的思想出发来理解，将定值问题看做常值函数问题，最值问题看为函数的值域问题，可使解题的思路更加清晰，进行联立整理化简时目标更加明确。
1.定值问题无论定值问题还是最值问题，解题步骤都是将直线方程与圆锥曲线方程联立化简，应用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式等将所求问题中的几何量表示为以参数为自变量的函数形式。
若上述函数最终化简为一个常数，则属于定值问题。
例1 椭圆E：，，直线l与椭圆E交于P，Q两点，且过定点（-1,0），则为定值。
设直线为，将直线与椭圆联立，得，设为方程两根，那么，，例1还可以推广为一般形式：“若直线过坐标轴上一定点，且与椭圆交于两点，那么两点与椭圆在该轴上任意一顶点连线斜率乘积为定值，与椭圆在该轴上两个顶点的连线的斜率乘积也是定值（）”；“过抛物线对称轴上一定点的直线与椭圆交于两点，那么两点横坐标乘积和纵坐标乘积为定值”（此处证明详见后面附录）。
1.最值问题若题目所求问题中的几何量表示为以参数为自变量的函数不能化简为常数时，那本题目就是一个最值问题。
数学思想在高中解析几何中的应用研究
数学思想在高中解析几何中的应用研究【摘要】本文主要探讨了数学思想在高中解析几何中的应用研究。
首先介绍了研究背景、研究意义和研究目的。
接着深入分析了基本概念的数学思想在解析几何中的应用，解析几何方法的数学思想应用研究，向量和坐标系在高中解析几何中的应用以及数学思想在解析几何实际问题中的应用。
最后总结了数学思想在高中解析几何中的应用，展望了未来的研究方向，并得出结论。
通过本文的研究，可以更好地理解数学思想在高中解析几何中的重要性，为教学实践提供参考和启示。
【关键词】数学思想，高中解析几何，应用研究，基本概念，解析几何方法，向量，坐标系，实际问题，总结，未来研究方向。
1. 引言1.1 研究背景高中解析几何作为数学学科中的重要分支，在实际教学中占据着重要的地位。
随着数学教学的不断深入和发展，数学思想在高中解析几何中的应用也逐渐受到了重视。
研究背景主要集中在解析几何的基本概念、方法与技巧的应用，如何通过数学思想解决解析几何中的实际问题等方面。
随着现代科技的发展，高中解析几何作为数学学科的一个重要组成部分，也需要不断与时俱进，将数学思想应用于实际生活中，促进学生对数学的理解和应用能力的提高。
本研究旨在探讨数学思想在高中解析几何中的应用，为高中数学教育提供新的思路和方法，促进数学教学的进一步发展和提高学生的数学素养水平。
的探讨将有助于我们更好地认识高中解析几何中数学思想的重要性和必要性，为后续的研究奠定了基础。
1.2 研究意义解析几何是高中数学中的重要内容，是数学与几何学相结合的一门学科。
数学思想在高中解析几何中的应用研究具有重要的意义。
通过对数学思想在高中解析几何中的应用进行研究，可以帮助学生更好地理解数学知识，并提高数学学习的效果。
解析几何中的数学思想应用研究有助于培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力，提高他们解决实际问题的能力。
数学思想在高中解析几何中的应用研究还有助于促进数学教学方法的创新，丰富教学内容，提高教学质量。
数学思想在高中解析几何中的应用研究
数学思想在高中解析几何中的应用研究1. 引言1.1 背景介绍高中解析几何作为数学的一个重要分支，在高中数学教学中具有重要的地位。
随着数学教育的不断发展和数学研究的深入，数学思想在解析几何中的应用也越来越受到重视。
通过对背景介绍的深入分析，可以更好地认识数学思想在高中解析几何中的重要性，为后续的研究工作提供理论基础和思路。
1.2 研究意义数目、标题等。
谢谢！高中解析几何作为高中数学课程中的重要组成部分，对于学生的数学思维能力和空间想象力的培养具有重要意义。
通过深入研究数学思想在高中解析几何中的应用，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高数学学习的效果。
探讨数学思想在高中解析几何中的具体应用案例，可以帮助学生更好地将数学知识应用于实际问题的解决过程中，培养学生解决实际问题的能力。
研究数学思想在高中解析几何中的应用具有重要的理论意义和实践意义，对于促进学生数学思维的发展和提高数学学科素养具有重要作用。
1.3 研究目的研究目的主要是通过对数学思想在高中解析几何中的应用研究，探讨如何将数学知识与实际问题相结合，在解析几何领域中发挥创造性思维和解决问题的能力。
通过具体案例分析和方法探讨，深入探讨数学思想在高中解析几何中的作用和意义，为学生提供更加丰富的学习资源和思维拓展空间。
研究目的还在于探讨数学思想在高中解析几何中的问题解决思路和发展趋势，为教师和学生提供更好的教学和学习参考，推动解析几何教育的发展，并最终提高学生的数学素养和解决问题的能力。
通过本研究，将进一步探索数学思想在高中解析几何中的重要性和启示，展望未来在这一领域的发展和创新方向，为推动数学教育的改革和发展做出贡献。
2. 正文2.1 数学思想在高中解析几何中的应用概述解析几何是数学中的一个重要分支，它通过使用代数的方法来研究几何学问题。
在高中数学教学中，解析几何是一个重要的内容，它不仅可以提高学生的数学思维能力，还可以帮助他们更好地理解和应用几何知识。
数学思想在高中解析几何中的运用
数学思想在高中解析几何中的运用作者：付泽来源：《科技资讯》2020年第30期摘要：解析几何是一门以代数的形式进行图形研究的学科，将变量引入了几何的领域，在整个高中数学具有重要地位。
解析几何中常用到的数学思想有：数形结合思想、转化化归思想、分类讨论思想和函数与方程思想。
该文就这4种思想在解析几何中的应用做简要的说明，以期在今后的学生学习和教师教学中达到“化抽象为直观，化复杂为简单的”效果。
关键词：数学思想高中数学解析几何应用中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2020）10（c）-0254-03Abstract： Analytical geometry is a subject that conducts graphic research in the form of algebra. It introduces variables into the field of geometry. It has an important position in mathematics throughout high school. The mathematical ideas commonly used in analytic geometry are： the combination of numbers and shapes， transformation Reduction thoughts， classification discussion thoughts and function and equation thoughts. This article gives a brief description of the application of these four thoughts in analytic geometry，with a view to achieving the goal of “turning abstraction into intuition and turning complexity into Simple" effect.Key Words： Mathematical thinking; High school mathematics; Analytical geometry; Application解析几何是高中数学一个重要的内容，同时也是学生学习的一个难点。
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解析几何中的数学思想
解析几何中的数学思想
解析几何中的数学思想
数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为，如果在传授知识的同时引导学生利用数学思想方法去解决问题，必定会获得良好的教学效果。
一、函数思想
在函数思想中，对应是它的本质特征，自变量的变化处于主导地位，所以函数思想的实质是运用联系和变化的观点，提出数学对象之间的数量关系，并用映射给予严格的形式。
例
1.在抛物线y=4x上求一点，使该点到直线y=4x-5的距离最短。
分析：
用点到直线间的距离公式建立目标函数，再运用函数性质解答。
设A为所求的点，再利用函数的有关性质确定其参数的取值范围。
二、数形结合思想
数形结合思想的实质是把属性结合起来考查，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题。
例
2.若实数x、y满足方程x2+y2-2x+4y=0，求x-2y的最大值和最小值。
分析：
令x-2y=b
由x2+y2-2x+4y=0可知2+2=5，可看成过圆上的点作斜率为1/2的平行直线系，求纵截距的范围。
利用数形结合的思想让已知条件形象生动化，大大节省了解题时间。
三、化归思想
它是通过各种变换方法，如分析法、反证法、待定系数法、构造法等，换一个角度或一种观点来考虑原问题，使原问题更易于解决。
例
3.抛物线y2=x与圆2+
y2=1有四个交点，求实数a的取值范围。
分析：
因为y2=x，则x≥0。
问题可转化为关于x的二次方程有2个正根的问题，并设为x1，x2，利用韦达定理和判别式得出a的取值范围。
四、分类讨论思想
它是一种依据数学对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类，分别研究每一类，得出每一类的结论。
例
4 .在xoy平面上给定曲线y2=x，设点Aa∈R，曲线上的点到点A 的距离的最小值为f，求f的函数表达式。
分析：
这是求两点间距离的最小值问题。
先用公式建立目标函数，把它转化为二次函数在x≥0条件下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。
五、方程思想
运用数学的符号化语言，能将问题中已知量和未知量之间的数量关系抽象为方程、不等式等数学模型，然后通过对方程、不等式的变换求出未知量的值。
例
5.如图1所示，自点A发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程。
分析：
设L和x轴的交点为B，则。
根据光学反射定律可知，反射光线的斜率为，所以可求反射光线所在直线，又由相切得圆心到直线距离等于半径，构造方程算出b。
六、参数思想
通过必要的运算和推理，建立目标变量与参数的某种联系，最后再消去参数，只保留目标变量而获解。
例
6.一条直线被两直线L1：
4X+Y+6=0，L2：
3X-5Y-6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线的方程。
分析：
设所求直线与L1，L2的交点分别是A、B，设A，利用中点是原点算出点B的坐标，再分别将A、B的坐标分别代入两直线方程中。
除了上述几种数学思想方法之外，解析几何中数学思想方法还有不等式、整体化、类比推理、射影、对称、一般化与特殊化、类与不变量思想等。
教师在教学中应注重揭示各章节的思想方法，正所谓“授人以鱼，不如授人以渔”。
附送：
解析几何初步教学反思
解析几何初步教学反思
直线与方程教学反思总结学习解析几何知识，“解析法”思想始终贯穿在全章的每个知识点，同时“转化、讨论”思想也相映其中，无形中增添了数学的魅力以及优化了知识结构，解析几何初步教学反思。
在学习直线与方程时，重点是学习直线方程的五种形式，以直线作为研究对象，通过引进坐标系，借助“数形结合”思想，从方程的角度来研究直线，包括位置关系及度量关系。
大多数学生普遍反映：
相对立体几何而言，平面解析几何的学习是轻松的、容易的，但是，也存在“运算量大，解题过程繁琐，结果容易出错”等致命的弱点等，无疑也影响了解题的质量及效率。
在进行直线与方程的教学中，要重视过程教仅要重视公式的应用，教师更要充分展示公式的背景，与学生一道经历公式的形成过程，同时在应用中巩固公式，教学反思《解析几何初步教学反思》。
在推导公式的过程中，要让学生充分体验推导中所体现的数学思想、方法，从中学会学习，乐于学习。
应该说，自己在教学过程中也是遵循上述思路开展教学的，而且也取得了一定的效果。
下面谈一下对直线与方程的教学反思：（1）教学目标与要求的反思：
基本上达到了预定教学的目标，由于个别学生基础较差，没有达到教学目标与要求，课后要对他们进行个别辅导。
（2）教学过程的反思：
通过问题引入，从简单到复杂，由特殊到一般思维方法，让学生参与到教学中去，学生的积极性很高，但师生互动与沟通缺少一点默契，尤其基础较差的学生，有待以后不断改进。
（3）教学结果的反思：
基本上达到了预定教学的效果，通过数形结合思想方法，培养学生能提出问题和解决问题的思维方式，学会反思，从而提高学生综合解题的能力。
〔解析几何初步教学反思〕。