反比例函数经典题型

X

Y

-9

-8-7-6-5-4-3-2-1

1110987654321

-8-7-6-5-4-3-2-1

9

876543210X

Y

-9

-8-7-6-5-4-3-2-1

11109876543

21

-8-7-6-5-4-3-2-19

8

7

6

5

4

3

2

1

0反比例函数

一、经典内容解析 1.反比例函数的概念

(1) (k ≠0)可以写成(k ≠0)的形式，注意自变量x 的指数为-1，在解决有关

自变量指数问题时应特别注意系数k ≠0这一限制条件；

(2) (k ≠0)也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的

k ，从而得到反比例函数的解析式；

(3) 反比例函数

的自变量x ≠0，故函数图象与x 轴、y 轴无交点.

解析式

x

k

y =

（k 为常数，且0k ≠） 自变量取值范围 0≠x 的实数

图 象

图象的性质

双曲线

0k >

0k <

示意图

位置 两个分支分别位于 一、三象限 两个分支分别位于 二、四象限 变化趋势 在每个象限内，y 随x

的增大而减小

在每个象限内，y 随x

的增大而增大

对称性

是轴对称图形，直线x y ±=是它的两条对称轴 是中心对称图形，对称中心为坐标原点

3.反比例函数的性质(与正比例函数对比)

函数解析式 正比例函数 y=kx (k ≠0)

反比例函数 (k ≠0)

自变量的 取值范围 全体实数 x ≠0

图 象

直线，经过原点

双曲线，与坐标轴没有交点

图象位置

(性质)

当k＞0时，图象经过一、三象限；当

k＜0时，图象经过二、四象限.

当k＞0时，图象的两支分别位于一、三

象限；当k＜0时，图象的两支分别位

于二、四象限.

性质

(1) 当k＞0时，y随x的增大而增大；

当k＜0时，y随x的增大而减小. (2)

越大，图象越靠近y轴.

(1) 当k＞0时，在每个象限内y随x的

增大而减小；当k＜0时，在每个象限

内y随x的增大而增大. (2) 越大，图

象的弯曲度越小，曲线越平直.

注：

(1) 双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，

不能一概而论.

(2) 正比例函数与反比例函数，

当时，两图象没有交点；

当时，两图象必有两个交点，

且这两个交点关于原点成中心对称.

(3) 反比例函数与一次函数的联系.

4.反比例函数中比例系数k的几何意义

(1)过双曲线(k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为.

(2)过双曲线(k≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形

的面积为

二、典型例题分析

1.反比例函数定义

【例1】如果函数2

22

-+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k 的

值是多少？

1.反比例函数x

y 2

-=的图像位于（ ）

A ．第一、二象限

B ．第一、三象限

C ．第二、三象限

D ．第二、四象限 2.若双曲线y ＝－6

x

经过点A （m ，－2m ），则m 的值为（ ）

A. 3

B. 3

C. ± 3

D. ±3 3.已知某反比例函数的图象经过点（m ，n ），则它一定也经过点（ ）

A. （m ，－n ） B . （n ，m ） C. （－m ，n ） D. （︱m ︱，︱n ︱） 4．（2007陕西）在ABC △的三个顶点(23)(45)(32)A B C ----，，，，，中，可能在反比例函数(0)k

y k x

=

>的图象上的点是 ． 5.若点P （4，m ）关于y 轴对称的点在反比例函y= （x≠0）的图象上，则m 的值是

2.反比例函数的表示

【例2】已知21y y y +=，x y 与1成正比例，22x y 与成反比例，且

间的函数解析式与，求的值都是时，时和x y y x x 1932==

1.若y 与x 成反比例，x 与z 成正比例，则y 是z 的（ ）

A 、正比例函数

B 、反比例函数

C 、一次函数

D 、不能确定

2．已知y 与)2(-x 成反比例关系，且当1=x 时，4=y ，

则y 关于x 的函数解析式为

3．已知y 1与x 成正比例（比例系数为k 1），y 2与x 成反比例（比例系数为k 2），若函数12y y y =+ 的图象经过点（1，2），（2，

2

1

），则1285k k += ． 3.反比例函数的增减性问题.

【例3】在反比例函数x y 1

-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。

若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）

A ．213y y y >>

B ．123y y y >>

C ．321y y y >>

D ．231y y y >>

1．在反比例函数图象上有两点A(，)，B()，当时，有

，则m 的取值范围是( ).

A ．m ＜0

B ．m ＞0

C ．m ＜0.5

D ．m ＞0.5 2：已知反比例函数的图象上两点A(

，

)，B(

，

)，当

时，

有，则m 的取值范围是_________.

3：若反比例函数上，有三点A(，)，B(，)，C(，)，且，

则

，

，

的大小关系是________.

4.设有反比例函数y k x

=

+1

，(,)x y 11、(,)x y 22为其图象上的两点，若x x 120<<时，y y 12>，则k 的取值范围是___________

4.反比例函数与图象的面积问题. (1)求函数解析式

1．如图，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形 PEOF 的面积为3.求这个反函数的解析式.