反比例函数经典例题(含详细解答)

反比例函数难题

1、如图,已知△Ｐ１OＡ1,△P2Ａ1A2，△P３Ａ２A3…△P n Aｎ-1Ａn都是等腰直角三角形，点P1、P

2、P３…Ｐn都在函

2、如图1，矩形ABCD的边BC在ｘ轴的正半轴上，点E(ｍ，１)是对角线BD的中点，点A、Ｅ在反比例函

数y=

（１)求ＡB的长;

(2)当矩形AＢCＤ是正方形时，将反比例函数y=k

x

的图象沿ｙ轴翻折，得到反比例函数y= 1

k

x

的图象(如

图2)，求k1的值;

（3）在条件（２）下,直线ｙ=-x上有一长为2动线段ＭN，作MH、NP都平行ｙ轴交第一象限内的双曲线

y=k

x

于点H、Ｐ，问四边形MＨPＮ能否为平行四边形(如图3)?若能，请求出点M的坐标;若不能，请说明

理由.

1.已知反比例函数y=

2k

x

和一次函数ｙ=2x-1,其中一次函数的图象经过(ａ,b ），（ａ+k ，b+k+2）两点．ﻫ(1)求反比例函数的解析式； （2)求反比例函数与一次函数两个交点Ａ、B 的坐标: （３）根据函数图象，求不等式

2k

x

>2x －1的解集;ﻫ（4)在（2)的条件下，ｘ轴上是否存在点P,使△AOP 为等腰三角形?若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来;若不存在，请说明理由．

１．如图,在平面直角坐标系ｘOy 中，一次函数y ＝kx ＋b (ｋ≠0)的图象与反比例函数y ＝

(ｍ≠0）的图象交于二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点B 的坐标为(6，n )，线段OA =5,E 为x 轴负半轴上一点，且s i n ∠AOE ＝＼f （4，5). (1)求该反比例函数和一次函数； (2)求△AO Ｃ的面积.

(1)过A 点作AD⊥ｘ轴于点D,∵ｓin ∠AO Ｅ= 错误!未定义书签。,ＯA ＝5， ∴在Ｒｔ△ADＯ中,∵siｎ∠AOＥ＝错误!未定义书签。 =错误!未定义书签。= 4

5,

∴AD＝4,DO=ＯA ２－ＤA2=3,又点A 在第二象限∴点Ａ的坐标为(-3，4）,

x

m

将A 的坐标为(-３,4)代入ｙ＝ 错误!未定义书签。，得４＝＼f(m,－3)∴m＝－1２，∴该反比例函数的解析式为y ＝－

错误!，

∵点B 在反比例函数y=－错误!的图象上,∴n=－错误!未定义书签。=－2,点Ｂ的坐标为(6,－2）， ∵一次函数ｙ＝ｋx+b(ｋ≠0）的图象过Ａ、B 两点,∴错误!未定义书签。,∴错误!未定义书签。 ∴ 该一次函数解析式为ｙ=-错误!未定义书签。x ＋2．

(2)在y ＝-错误!未定义书签。x+２中，令ｙ＝0,即-错误!x ＋2=0，∴ｘ＝３,

∴点C 的坐标是(3，0),∴OC=３, 又DA=4, ∴S△ＡOC=错误!×OC×AD=错误!×3×4=6,所以△ＡＯC 的面积为6．

练习1.已知Rt△A ＢC 的斜边AB 在平面直角坐标系的ｘ轴上,点C(１,３）在反比例函数y ＝ 错误!未定义书签。 的图象上,且sin∠BA Ｃ= 错误!未定义书签。.

（1)求k 的值和边AC 的长； (2)求点B 的坐标.

（

１

)

把

C(1,3

）

代

入

y =

ｋ

x

得k ＝ 3

设斜边AB

上的高为CD,则sin∠BAC =错误!=错误! ∵C(１，3） ∴CD=３,∴AC=5

(２）分两种情况,当点B 在点A 右侧时,如图１有:A Ｄ=错误!未定义书签。=4，ＡO=4-1=3 ∵△AC Ｄ∽ＡBC ∴AC 2

=AD ·A Ｂ ∴AB ＝AC

2

A Ｄ=错误!未定义书签。

∴OB=ＡB －ＡO ＝

25

4

－３＝错误!未定义书签。 图1 此时B 点坐标为(＼ｆ(13,4),０）

图2 当点B 在点A 左侧时，如图2 此时AO=４＋1=5

OB= AB-AO ＝25

4

－5=错误!

此时Ｂ点坐标为(－错误!未定义书签。,０） 所以点Ｂ的坐标为(＼f(13,4）,０）或(-错误!,0)．

1.如图，矩形A ＢOD 的顶点A 是函数

与函数在第二象限的交点,轴于B ,

轴于D ，且矩形ABO Ｄ的面积为3.

(1)求两函数的解析式．

(2）求两函数的交点A 、C 的坐标. (3）若点P 是ｙ轴上一动点,且，

求点Ｐ的坐标.

解：（1)由图象知k<０,由结论及已知条件得

-k ＝3 ∴

∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为

(2)由,解得,

∴点A 、C 的坐标分别为(

,3）,(3,

）

(3)设点P 的坐标为（0，m ） 直线

与y 轴的交点坐标为M (０，2）

∵

∴∣PM ∣＝,即∣m -2∣=,∴或,

∴点Ｐ的坐标为（０，）或(0，）

1．如图,已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交

点.

（1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2）求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积.

解:（1）在上．

反比例函数的解析式为:．

点在上

经过，，

解之得一次函数的解析式为:

(２）是直线与轴的交点当时，点

1.(１)探究新知

如图１,已知△AＢC与△AＢD的面积相等，

试判断AB与CＤ的位置关系，并说明理由．

(2）结论应用：

①如图2,点M,N在反比例函数(k＞0）的图象上，过

点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．

试证明：MN∥EF．

②若①中的其他条件不变,只改变点M,Ｎ的位置如图3所示，请判断

MN与EF是否平行。

解:（1)证明:分别过点C,D,作CG⊥AB，DＨ⊥AＢ,

垂足为G，H，则∠CGA=∠DＨＢ＝90°．

∴CG∥ＤＨ．

∵△ABＣ与△ＡBＤ的面积相等,

∴CＧ=ＤＨ.

∴四边形ＣGHＤ为平行四边形

∴ＡB∥CD