合肥工业大学高等数学上52微积分基本.ppt

5.2 微积分基本定理与牛顿-莱布尼兹公式
5.2.1 从实例看微分与积分的联系 5.2.2 微积分基本定理微分形式 5.2.3 微积分基本定理积分形式
23-1
5.2.1 从实例看微分与积分的联系
在变速直线运动的路程问题中，设物体运动速度v(t) 是时间间隔
[T1,T2 ]上的连续函数，则在时间间隔[T1,T2 ] 中物体所运动的路程为
．
（5.2.1）
如果视T1 为固定时刻 t0 ，T2 为任一时刻 t (t t0 ) ，则[T1,T2 ] [t0,t] ，
（5.2.1）为
t
v( )d t0
s(t)
s(t0) ．
（5.2.2）
注意到 s(t) v(t) ，由（5.2.2）可得到下列两个结论．
t
t
(
v( )d ) v(t) 和
则积分变限函数 2(x) f (t)dt 在[a,b] 上可导，且 1 ( x)
(
2 (x) f (t)dt)
1( x)
f (2(x))2 (x)
f (1(x))1(x) ．
(5.2.3)
特别地
( (x) f (t)dt) f ((x))(x) ． a
例 5.2.1 求 f (x) x2 xsin tdt 的导数． 0
在 (a,b) 内有且只有一个实根．
证 令 F(x)
x
f (t)dt
x
1 dt ，显然F (x) 在[a,b] 上可导，由于
x0
sin(x2 ) 3x2
1 3
再如
1 lim x0 x
x x 2
sin t t
dt
sin lim[ x0 x
x
sin x
x 2
1] 2
11
1 2
1 2
．
2
23-10
例 5.2.3 设 f (x) 在[a,b] 上连续，且 f (x) 0 ，证明方程
x
f (t)dt
x
1 dt 0
a
b f (t)
解
f (x) (
x2
xsin tdt) (x
x2
sin tdt)
x2
x2
sin tdt x( sin tdt)
0
0
0
0
x2 sin tdt x sin(x2)(x2) x2 sin tdt 2x2 sin(x2) ．
0
0
23-9
例 5.2.2
求
lim
x0
1 x3
xsin(t2)dt ．
存在非负实数M ，使得对任意的t [a,b]，有| f (t) | M ，进而
x0x f (t)dt x0x f (t) dt M x ，
x0
x0
由夹逼定理，得
lim
x0
0
，故
(
x)
在点
x0
处连续．由
x0
的任
意性，知(x) 在[a,b] 上连续．
23-7
续证 ⑵ 因为 f (x) 在[a,b] 上连续，所以由积分中值定理知，
a
1 x
sin x
等等均为积分变限函数．
23-5
㈡ 微积分基本定理微分形式
定理 5.2.1 ⑴ 设函数 f (x) 在[a,b] 上可积，则积分上限函 数 (x) 在[aBiblioteka Baidub] 上连续．
⑵（微积分基本定理微分形式）设函数 f (x) 在[a,b] 上连
续，则
(
x)
在
[a,
b]
上可导，且(
x)
(
x a
0
解 由于 xsin(t2)dt 为连续函数，故 0
lim
x sin(t2)dt
0
sin(t
2
)dt
0
，
x0 0
0
因此此极限为 0 型不定式，由 L'Hospital 法则，得 0
原式 lim x0
x sin(t2 )dt
(
0
x3
lim x0
x sin(t2)dt)
0
( x3 )
lim
t0
t0 s( )d s(t) s(t0) ．
23-3
5.2.2 微积分基本定理微分形式
㈠ 积分上限函数
设函数 f (x) 在[a,b] 上可积，由定理 5.1.2 知，对任意的 x [a,b] ，
x
f (x) 在[a, x]上可积， f (x) 在 [a, x] 上的积分为 f (t)dt ，因此对每 a
s T2 v(t)dt ． T1
现在换一个角度来考虑该问题．
设物体运动的路程函数为 s(t), t 0 ，那么该物体在[T1,T2 ] 中所
走过的路程又为
s s(T2 ) s(T1) ．
因此有
T2 T1
v(t)dt
s(T2 )
s(T1)
．
23-2
T2 T1
v(t)dt
s(T2 )
s(T1)
x
x
一个 x [a,b]，都有惟一确定的值 f (t)dt 与之对应，所以 f (t)dt
a
a
是 x 的函数．
定义 5.2.1
设函数
f
(x)
在[a,b] 上可积，称函数 x a
f
(t)dt
为积分上
限函数，或变上限积分，记为(x) ，即
(x) x f (t)dt ， x [a,b]． a
23-4
f
(t)dt)
f
(x) ．
证 设 x0 为 [a,b] 上 的 任 意 一 点 ， x 为 点 x0 处 的 增 量 ， 且 x0 x [a,b] ，则有
(x0 x) (x0)
x0x f (t)dt
a
x0 f (t)dt
a
x0x f (t)dt ．
x0
23-6
续证 ⑴ 由于 f (x) 在[a,b] 上可积，故 f (x) 在[a,b] 上有界．即
x0x f (t)dt f ( )x ， x0
其中 [x0, x0 x](x 0) 或 [x0 x, x0](x 0) ，当 x 0 时，
总有 x0 ．因此有
lim lim 1
x0 x x0 x
x0 x x0
f
(t)dt
lim 1 x0 x
f
( )x
lim x0
f
( )
f
( x0 )
注
1：在积分上限函数
x a
f
(t)dt
中， x
的取值与积分变量t
无关，
如
x
xf (t)dt x
x f (t)dt ．
a
a
注 2： 将积分上限函数与复合函数结合起来，可得到一类函数
2(x) f (t)dt ，称为积分变限函数． 1 ( x)
例如
x2 f (t)dt ， b f (t)dt ， x f (t)dt
，
所以 (x) 点 x0 处可导，且 (x0 ) f (x0 ) ．由 x0 的任意性， 即知 (x) 在[a,b] 上可导，且 (x) f (x) ．
在定理 5.2.1 的证明过程中，已将端点 a 和b 处的情况包含在内， 届时只需考虑 x 0或 x 0 即可．
23-8
推论 5.2.1 设函数 f (x) 在[a,b] 上连续，1(x), 2 (x) 在[a,b] 上可导，