高等数学导数的概念教学ppt
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导数的概念ppt课件
解: y x x x,
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒 末 的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
(4) f(x) ＝ 1 ； x
并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
0时
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解： y [(1 x)2 2] (12 2) 2x (x)2
y 2x (x)2
2 x
x
x
y 2 x,当x 0时 x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
例2.若f (x) (x 1)2 , 求f (2)和( f (2))
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒 末 的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
(4) f(x) ＝ 1 ； x
并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
0时
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解： y [(1 x)2 2] (12 2) 2x (x)2
y 2x (x)2
2 x
x
x
y 2 x,当x 0时 x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
例2.若f (x) (x 1)2 , 求f (2)和( f (2))
高等数学A1教学PPT课件1：10-第10讲导数的概念
好像见过面啊！
三、导数的几何意义
函数 f (x) 在点 x0 的导数 f ( x0) 就是对应的平面 曲线 y = f (x) 在点 (x0, y0) 处的切线的斜率 k :
k tan f (x0 )
此时, 切线方程为: y y0 f (x0 )(x x0 )
f (x0) = 0 y
y=c
2
22
物体由 t 到 t + t 一段的平均速度是
V (t) S(t t) S(t) 1 g(2t t t 2 )
(t t) t 2
t
gt 1 g t 2
求物体在时刻 t 的瞬时速度 vt , 就是 令 t0 的极限过程：
Vt
lim V
t 0
(t)
lim
t 0
S (t
t) t
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第十讲 导数的概念
第四章 函数的导数和微分
本章学习要求： ▪ 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可
导、可微、连续之间的关系。 ▪ 熟悉一阶微分形式不变性。 ▪ 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 ▪ 了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。 ▪ 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。 ▪ 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
O
x0
x
y f (x0)不存在
f (x0) = y
三、导数的几何意义
函数 f (x) 在点 x0 的导数 f ( x0) 就是对应的平面 曲线 y = f (x) 在点 (x0, y0) 处的切线的斜率 k :
k tan f (x0 )
此时, 切线方程为: y y0 f (x0 )(x x0 )
f (x0) = 0 y
y=c
2
22
物体由 t 到 t + t 一段的平均速度是
V (t) S(t t) S(t) 1 g(2t t t 2 )
(t t) t 2
t
gt 1 g t 2
求物体在时刻 t 的瞬时速度 vt , 就是 令 t0 的极限过程：
Vt
lim V
t 0
(t)
lim
t 0
S (t
t) t
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第十讲 导数的概念
第四章 函数的导数和微分
本章学习要求： ▪ 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可
导、可微、连续之间的关系。 ▪ 熟悉一阶微分形式不变性。 ▪ 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 ▪ 了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。 ▪ 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。 ▪ 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
O
x0
x
y f (x0)不存在
f (x0) = y
高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
导数的概念-课件-导数的概念
导数的计算 练习
通过计算导数的练 习，我们可以巩固 导数的基本计算方 法。
导数与几何 问题的练习
通过几何问题的练 习，我们可以将导 数与图形之间的关 系运用到实际问题 中。
导数与极值 的练习
通过极值问题的练 习，我们可以运用 导数的概念来解决 优化问题。
导数与凹凸 性的练习
通过凹凸性问题的 练习，我们可以运 用导数的凹凸性判 定方法来分析函数 图像。
2 作用
导数用于研究函数的局部特性、极值、凹凸性和切线斜率等。
3 符号与表示方法
导数通常用f'(x)、dy/dx或y'表示，其中f为函数，x为自变量。
导数的定义
导数的定义涉及函数的极限，几何和物理意义的理解。通过导数的定义，我们能够深入了解导数的本质 和作用。
函数的极限与导数 的定义
通过极限的概念，导数的定 义表达了函数在某一点的切 线斜率的极限值。
总结
导数作为数学的重要概念，具有广泛的应用前景和未来发展趋势。通过深入理解导数的概念和应用，我 们能够提升数学思维和问题解决能力。
参考文献
计算数学导论，陈红，2019 导数在现代物理中的应用，张立，2020 从函数到导数，王海，2018
导数的概念-课件-导数的 概念
导数的概念课件将带领我们深入探索导数的世界。我们将了解导数的定义、 计算方法和应用，以及导数在几何和物理中的意义。
什么是导数
导数是函数在某一点上的变化率，表示了函数的极小变化量与自变量的极小变化量之间的关系。 导数帮助我们理解函数的变化规律。
1 定义
导数是函数变化率的极限，衡量了函数在某一点上的变化速度。
导数的几何意义
导数代表了函数图像在某一 点的切线斜率，可以帮助我 们理解函数的曲线特征。
导数概念ppt
平均变化率;
4）在x=xo处的导数反映的是函数在 x=xo处变化的快慢程度。
三、根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数的
三个步骤：
1.求增量： y f (x x) f (x)
2.算比值： y f (x x) f (x)
x
x
3.取极限： y lim y lim f (x x) f (x)
导数的概念（一）
引例 定义
求导举例
一、导数概念引入
变速直线运动的瞬时速度
设一物体作变速直线运动，其运动方程为s=t2，
计算从t=2到t=2+△t之间的平均速度， 并计
算当△t=0.1和-0.1时的平均速度。
s(2) s(2 t)
O
s
v
s
s(2
t)
s(2)
(2
t)2
22
4
t
t
t
t
当t 0.1时 v 4 0.1 4.1
即：物体运动的瞬时速度是路程增量与时 间增量之比当时间增量趋于零时的极限。
二、导数的概念
函数f(x)在 x=xo 处的瞬时变化率是
lim lim f(xo +Δx)- f(xo )= Δf ,
Δx→0
Δx
Δx→0 Δx
这就是函数y=f(x)在x=xo 处的导数
记作
f
'
(
xபைடு நூலகம்
)
0
lim lim 即
f
(xo )
当t 0.1时v 4 0.1 3.9
物体在某一段时间内的平均速度：
v s s(t t) s(t )
t
t
观察：当Δt趋近于0时，平均速度v有 什么变化趋势
4）在x=xo处的导数反映的是函数在 x=xo处变化的快慢程度。
三、根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数的
三个步骤：
1.求增量： y f (x x) f (x)
2.算比值： y f (x x) f (x)
x
x
3.取极限： y lim y lim f (x x) f (x)
导数的概念（一）
引例 定义
求导举例
一、导数概念引入
变速直线运动的瞬时速度
设一物体作变速直线运动，其运动方程为s=t2，
计算从t=2到t=2+△t之间的平均速度， 并计
算当△t=0.1和-0.1时的平均速度。
s(2) s(2 t)
O
s
v
s
s(2
t)
s(2)
(2
t)2
22
4
t
t
t
t
当t 0.1时 v 4 0.1 4.1
即：物体运动的瞬时速度是路程增量与时 间增量之比当时间增量趋于零时的极限。
二、导数的概念
函数f(x)在 x=xo 处的瞬时变化率是
lim lim f(xo +Δx)- f(xo )= Δf ,
Δx→0
Δx
Δx→0 Δx
这就是函数y=f(x)在x=xo 处的导数
记作
f
'
(
xபைடு நூலகம்
)
0
lim lim 即
f
(xo )
当t 0.1时v 4 0.1 3.9
物体在某一段时间内的平均速度：
v s s(t t) s(t )
t
t
观察：当Δt趋近于0时，平均速度v有 什么变化趋势
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
《导数定义》课件
2023
《导数定义》ppt课 件
REPORTING
2023
目录
• 导数定义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史发展
2023
PART 01
导数定义
REPORTING
导数的定义
总结词
导数的定义是函数在某一点的变化率 ，是函数在这一点附近的小范围内取 值的平均变化率的极限。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率， 即函数在该点的切线斜率。具体来说 ，对于可微函数，其导数是函数值随 自变量变化的速率。
隐函数的导数
总结词
隐函数的导数是导数计算中的另一个重要内容，掌握隐函数的导数计算方法有助于解决实际问题。
详细描述
隐函数的导数是通过对隐函数求偏导数来得到的，其核心思想是利用偏导数和全微分的概念，将隐函 数转化为显函数，然后利用显函数的导数计算方法进行计算。
2023
PAR学等。
导数的早期应用
物理学的应用
在研究速度、加速度、斜率等问 题中，导数发挥了关键作用。
经济学应用
在研究成本、收益、效用和供需 关系时，导数提供了重要的分析
工具。
工程学应用
在优化设计、控制理论和流体动 力学等领域，导数也有广泛应用
。
导数在现代数学中的地位
导数是微积分的重要组成部分， 是研究函数性质和变化率的关键
详细描述
导数具有一些重要的基本性质，如线性性质、常数性质、乘积法则、商的法则 和链式法则等。这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面具有 广泛应用。
2023
PART 02
导数的计算
REPORTING
导数的四则运算
总结词
理解导数的四则运算法则是掌握导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法 。
《导数定义》ppt课 件
REPORTING
2023
目录
• 导数定义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史发展
2023
PART 01
导数定义
REPORTING
导数的定义
总结词
导数的定义是函数在某一点的变化率 ，是函数在这一点附近的小范围内取 值的平均变化率的极限。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率， 即函数在该点的切线斜率。具体来说 ，对于可微函数，其导数是函数值随 自变量变化的速率。
隐函数的导数
总结词
隐函数的导数是导数计算中的另一个重要内容，掌握隐函数的导数计算方法有助于解决实际问题。
详细描述
隐函数的导数是通过对隐函数求偏导数来得到的，其核心思想是利用偏导数和全微分的概念，将隐函 数转化为显函数，然后利用显函数的导数计算方法进行计算。
2023
PAR学等。
导数的早期应用
物理学的应用
在研究速度、加速度、斜率等问 题中，导数发挥了关键作用。
经济学应用
在研究成本、收益、效用和供需 关系时，导数提供了重要的分析
工具。
工程学应用
在优化设计、控制理论和流体动 力学等领域，导数也有广泛应用
。
导数在现代数学中的地位
导数是微积分的重要组成部分， 是研究函数性质和变化率的关键
详细描述
导数具有一些重要的基本性质，如线性性质、常数性质、乘积法则、商的法则 和链式法则等。这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面具有 广泛应用。
2023
PART 02
导数的计算
REPORTING
导数的四则运算
总结词
理解导数的四则运算法则是掌握导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法 。
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。
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13
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
二.导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线y=f(x)上点
'
y
y f ( x)
P0 ( x0 , f ( x0 ))处切线的斜率。
o
T
M
x0
x
切线方程为 y y 0 f ( x 0 )( x x 0 ).
1 ( x x 0 ). 法线方程为 y y 0 f ( x 0 )
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
第二章
导数与微分
第一节 导数的概念
第二节 导数的计算
第三节 函数的微分
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
第一节
导数的概念
本节主要内容:
一.导数的定义
二.导数的几何意义 三.函数的可导性与连续性的关系
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
一.导数的定义
例1. 瞬时速度问题 一质点在x轴上作变速直线运动,运动方程 x=f(t), 求 t 0 时刻的瞬时速度。 f (t ) f (t 0 ) x 平均速度 v t t0 t
注意:
f ( x0 ) f ( x )
x x0
.
8
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
定义2.1.2 单侧导数 1.左导数:
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim lim ; x x0 x 0 x x0 x
o
x
f(0) lim
h 0
f ( 0 h) f ( 0 ) h lim 1. h 0 h h
即 f (0) f (0), 函数y f ( x )在x 0点不可导.
17
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
内容小结
一.导数的定义
增量比的极限
2.右导数:
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim lim ; x x0 x 0 x x0 x
定理2.1.1
函数 f ( x )在点x 0 处可导 左导数 f ( x 0 ) 和右 导数 f ( x 0 ) 都存在且相等.
当 t t 0时,
取极限得瞬时速度
f (t ) f (t 0 ) v|t t lim 0 t t t t0 0
3
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例2.切线问题
y
y f ( x)
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线 o 极限位置即
函数 f ( x )在点 x0 连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
16
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10
讨论函数 f ( x ) x 在x 0处的可导性.
y
y x
解: f (0 h) f (0) h ,
h h
f ( 0 h) f ( 0 ) h 1 , lim f(0) lim h 0 h 0 h h
第一节 导数的概念
对于任一 x I , 都对应着 f ( x ) 的一个确定的 导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x ) 的导函数. dy df ( x ) 记作 y, f ( x ), 或 . dx dx
f ( x x ) f ( x ) 即 y lim x 0 x f ( x h) f ( x ) 或 f ( x ) lim . h 0 h
sin( x h) sin x h 0 h h sin h 2 cos x. lim cos( x ) h 0 h 2 2 (sin x ) cos x .
x 4
.
即
(sin x )
x
4
cos x
x
4
2 . 2
11
第二章 导数与微分
f ( x h) f ( x ) C C 解：f ( x ) lim lim h 0 h 0 h h 0.
即
(C ) 0.
10
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x ) sin x , 求(sin x )及(sin x ) 解：(sin x ) lim
( x n ) nx n 1 .
( x ) x 1 .
1
( R )
1 1 1 2 . ( x ) x 2 x 2
( x ) (1) x
1
1 1
1 2. x
12
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例7
sin x, x 0 , 求 f (0). 已知 f ( x) x, x 0
x 0
x
6
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
即 y
x x0
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
f ( x 0 h) f ( x 0 ) f ( x 0 ) lim . h 0 h
14
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
1 1 例9 求等边双曲线 y 在点 ( ,2)处的切线的 x 2 斜率 , 并写出在该点处的切线 方程和法线方程 .
解: 由导数的几何意义,得切线斜率为
k y
1 x 2
1 ( ) x
1 x 2
1 2 x
1 x 2
4.
1 所求切线方程为 y 2 4( x ), 即 4 x y 4 0. 2 1 1 法线方程为 y 2 ( x ), 即 2 x 8 y 15 0. 4 2
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
由定义求导数步骤:
(1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x y ( 3) 求极限 y lim . x 0 x
例4 求函数 f ( x ) C (C为常数) 的导数.
解：
f ( x ) f (0) sin x (0) lim f lim 1 x 0 x 0 x0 x (0) lim f
x 0
f ( x ) f (0) x lim 1 x 0 x x0
f (0) f (0)
f (0) 1
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 ) lim . x x0 x x0
其它形式
例3
f ( x ) 10 x , 求 f (1).
10( x h) 10 x 10h lim 10 h 0 h h
7
解： f (1) lim h0
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例6 求函数 y x n (n为正整数) 的导数.
n n ( x h ) x n ( x 解： ) lim h 0 h n( n 1) n 2 n 1 lim[nx x h hn1 ] nx n 1 h0 2!
即
更一般地 例如,
MN 0, NMT 0.
N T
C
M
x0
x
x
设 M ( x0 , y0 ), N ( x , y ).
y y0 f ( x ) f ( x0 ) 割线MN的斜率为 tan , x x0 x x0 C N 沿曲线 M , x x0 , f ( x ) f ( x0 ) . 切线MT的斜率为 k tan lim x x0 x x0
dy 或 dx
df ( x) x x0 或 dx
x x0
, 或f (x0 )
5
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
y 如果 lim 存在，则称y=f (x)在x0处可导. x 0 x y 如果 lim 不存在，则称y=f (x)在x0处不可导. x 0 x
如果 lim y ，则称y=f (x)在x0处导数为无穷大.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
三.函数的可导性与连续性的关系
定理2.1.2
证
凡可导函数都是连续函数.
设函数 f ( x )在点 x0可导, 即
y lim f ( x 0 ) x 0 x y 有 lim y lim x f ( x0 ) lim x 0 x 0 x 0 x x 0
4
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
定义2.1.1 设函数 y f ( x )在点 x0的某个邻域内
有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x ( 点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x ) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x )在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x )在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
二.导数的几何意义
切线的斜率
三.函数的可导性与连续性的关系
可导一定连续，但连续不一定可导
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
二.导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线y=f(x)上点
'
y
y f ( x)
P0 ( x0 , f ( x0 ))处切线的斜率。
o
T
M
x0
x
切线方程为 y y 0 f ( x 0 )( x x 0 ).
1 ( x x 0 ). 法线方程为 y y 0 f ( x 0 )
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
第二章
导数与微分
第一节 导数的概念
第二节 导数的计算
第三节 函数的微分
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
第一节
导数的概念
本节主要内容:
一.导数的定义
二.导数的几何意义 三.函数的可导性与连续性的关系
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
一.导数的定义
例1. 瞬时速度问题 一质点在x轴上作变速直线运动,运动方程 x=f(t), 求 t 0 时刻的瞬时速度。 f (t ) f (t 0 ) x 平均速度 v t t0 t
注意:
f ( x0 ) f ( x )
x x0
.
8
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
定义2.1.2 单侧导数 1.左导数:
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim lim ; x x0 x 0 x x0 x
o
x
f(0) lim
h 0
f ( 0 h) f ( 0 ) h lim 1. h 0 h h
即 f (0) f (0), 函数y f ( x )在x 0点不可导.
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
内容小结
一.导数的定义
增量比的极限
2.右导数:
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim lim ; x x0 x 0 x x0 x
定理2.1.1
函数 f ( x )在点x 0 处可导 左导数 f ( x 0 ) 和右 导数 f ( x 0 ) 都存在且相等.
当 t t 0时,
取极限得瞬时速度
f (t ) f (t 0 ) v|t t lim 0 t t t t0 0
3
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例2.切线问题
y
y f ( x)
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线 o 极限位置即
函数 f ( x )在点 x0 连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
16
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10
讨论函数 f ( x ) x 在x 0处的可导性.
y
y x
解: f (0 h) f (0) h ,
h h
f ( 0 h) f ( 0 ) h 1 , lim f(0) lim h 0 h 0 h h
第一节 导数的概念
对于任一 x I , 都对应着 f ( x ) 的一个确定的 导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x ) 的导函数. dy df ( x ) 记作 y, f ( x ), 或 . dx dx
f ( x x ) f ( x ) 即 y lim x 0 x f ( x h) f ( x ) 或 f ( x ) lim . h 0 h
sin( x h) sin x h 0 h h sin h 2 cos x. lim cos( x ) h 0 h 2 2 (sin x ) cos x .
x 4
.
即
(sin x )
x
4
cos x
x
4
2 . 2
11
第二章 导数与微分
f ( x h) f ( x ) C C 解：f ( x ) lim lim h 0 h 0 h h 0.
即
(C ) 0.
10
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x ) sin x , 求(sin x )及(sin x ) 解：(sin x ) lim
( x n ) nx n 1 .
( x ) x 1 .
1
( R )
1 1 1 2 . ( x ) x 2 x 2
( x ) (1) x
1
1 1
1 2. x
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例7
sin x, x 0 , 求 f (0). 已知 f ( x) x, x 0
x 0
x
6
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
即 y
x x0
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
f ( x 0 h) f ( x 0 ) f ( x 0 ) lim . h 0 h
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
1 1 例9 求等边双曲线 y 在点 ( ,2)处的切线的 x 2 斜率 , 并写出在该点处的切线 方程和法线方程 .
解: 由导数的几何意义,得切线斜率为
k y
1 x 2
1 ( ) x
1 x 2
1 2 x
1 x 2
4.
1 所求切线方程为 y 2 4( x ), 即 4 x y 4 0. 2 1 1 法线方程为 y 2 ( x ), 即 2 x 8 y 15 0. 4 2
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
由定义求导数步骤:
(1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x y ( 3) 求极限 y lim . x 0 x
例4 求函数 f ( x ) C (C为常数) 的导数.
解：
f ( x ) f (0) sin x (0) lim f lim 1 x 0 x 0 x0 x (0) lim f
x 0
f ( x ) f (0) x lim 1 x 0 x x0
f (0) f (0)
f (0) 1
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 ) lim . x x0 x x0
其它形式
例3
f ( x ) 10 x , 求 f (1).
10( x h) 10 x 10h lim 10 h 0 h h
7
解： f (1) lim h0
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例6 求函数 y x n (n为正整数) 的导数.
n n ( x h ) x n ( x 解： ) lim h 0 h n( n 1) n 2 n 1 lim[nx x h hn1 ] nx n 1 h0 2!
即
更一般地 例如,
MN 0, NMT 0.
N T
C
M
x0
x
x
设 M ( x0 , y0 ), N ( x , y ).
y y0 f ( x ) f ( x0 ) 割线MN的斜率为 tan , x x0 x x0 C N 沿曲线 M , x x0 , f ( x ) f ( x0 ) . 切线MT的斜率为 k tan lim x x0 x x0
dy 或 dx
df ( x) x x0 或 dx
x x0
, 或f (x0 )
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
y 如果 lim 存在，则称y=f (x)在x0处可导. x 0 x y 如果 lim 不存在，则称y=f (x)在x0处不可导. x 0 x
如果 lim y ，则称y=f (x)在x0处导数为无穷大.
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
三.函数的可导性与连续性的关系
定理2.1.2
证
凡可导函数都是连续函数.
设函数 f ( x )在点 x0可导, 即
y lim f ( x 0 ) x 0 x y 有 lim y lim x f ( x0 ) lim x 0 x 0 x 0 x x 0
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
定义2.1.1 设函数 y f ( x )在点 x0的某个邻域内
有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x ( 点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x ) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x )在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x )在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
二.导数的几何意义
切线的斜率
三.函数的可导性与连续性的关系
可导一定连续，但连续不一定可导
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