高等数学课件：导数的定义
高等数学精品课件2-2导数的计算法则
3(x sin2 x)2 (1 sin 2x)
12
一、复合函数的求导法则
第二章 一元函数微分学及其应用
例２ 求 y 1 x 的导数. 1 x
解
y
2
1 1 x
1 1
x x
'
2
1 1
x
1 x 1 1 x2
x
1
1
x 1
x2
1 x
1 x
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一、复合函数的求导法则
第二章 一元函数微分学及其应用
如果 y f u 在点 u 处可导，u g x 在点 x 处可导，则复合函数
y f g x 在点 x 处可导，且有
dy dy du（即yx f u gx）
dx du dx
由 u 在g 点x 处连续x (可导⇒连续)知，
当 x 时，0
u g x x g x 0， 故 lim ，li因m 此，0
x0
u0
dy dx
lim y x0 x
lim
x0
f
u
u x
u x
f u gx
即
dy dx
dy du du dx
7
一、复合函数的求导法则
第二章 一元函数微分学及其应用
复合函数的求导法则也称为链式法则，它可推广到有限个函数复合的情形.
比如，若 y f u，u g v 和 v h x 可导，则 y f {g[h(x)]}
例如， y sin2 x 由 u sin x 和 y u2 复合而成，
y
ln
x2 x2
1 1
由
u
x2 x2
1 1
和 y ln u复合而成.
2
课前导读
高等数学 第二章 极限和导数2-9导数的概念
例1 已知f ( 3) 2, 求
(1)
f ( 3 h) f ( 3) lim h0 2h
1 f [ 3 ( h)] f ( 3) 解 原式 lim ( ) 2 ( h) h 0
h x
1 f ( 3 x ) f ( 3 ) ( ) lim 2 x 0 x
2°导数的其它形式
f ( x0 x ) f ( x0 ) x x 0 x h lim f ( x0 h) f ( x0 ) h h 0 x x0 x f ( x ) f ( x0 ) lim . x x0 x x0
f ( x0 ) lim
3°在一点的导数是因变量 在点 x0处的变化率,
它反映了因变量随自变量的变化 而变化的 快慢程度.
运动质点的位置函数 s f (t ) 在 t0时刻的瞬时速度
f ( t 0 )
曲线 C : y f ( x ) 在 M 点处的 切线斜率
f ( x0 )
此外在经济学中, 边际成本率, 边际劳动生产率 和边际税率等，从数学角度看就是导数.
证 设
从而 故
在点 x 0处可导, 即
y f ( x0 ) ， 其中 x
x 0
函数 f ( x )在点 x0连续 .
x 1, 例9 讨论 f ( x ) x 1,
解
x 0
x0 x0
在 x 0处的可导性.
y
O x
f (0 ) lim ( x 1) 1 f (0 ) lim ( x 1) 1
h 0
∴
定理成立.
例2 讨论函数 f ( x ) x 在点x 0处的可导性.
高等数学导数
高等数学导数
导数是高等数学中的一个重要概念，意思是表示函数的变化速率的概念，它是高等数学中的一个基本概念。
导数的定义是：当函数y=f（x）的自变量x经过一个微
小的变化时，函数y的变化量与自变量x变化量之比，记作f′（x）或y′，称为函数f（x）在x处的导数，记作d/dx[f （x）], 或f′（x）。
导数的性质可概括为：（1）函数的导数表示函数变化率
的变化，即函数变化速率；（2）函数的导数指示函数在某一
点处的变化状况，如曲线在某点的切线的斜率；（3）函数的
导数可以用来求函数的极值。
导数在微积分中具有重要的意义，它与微积分的基本概念——定积分密切相关，它使微积分中的许多定理更加清晰明了。
如果不考虑导数，微积分中的定理将是模糊的，将难以推导。
因此，导数是高等数学中非常重要的概念。
导数的应用也十分广泛，在物理、化学、经济学等多学科中都有其重要的作用。
它可以用来计算某一物体在受到力的作用时的速度变化，从而求得物体的运动轨迹；它也可以用来计算某一物体在受到力的作用时的加速度变化，从而求得物体的动量；它还可以用来计算某一物体在受到力的作用时的位置变
化，从而求得物体的位置；它在经济学中也可以用来分析某一经济指标的变化趋势。
总之，导数是高等数学中的一个重要概念，它的应用也十分广泛，具有重要的意义。
高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
高等数学讲义
第3讲导数与微分高等数学基础课程的主要研究对象是函数，函数是变量之间的对应关系，怎样研究函数的变化是这一讲的主要问题。
3.1导数的概念一、函数的变化率对于函数)(x f y =，我们要研究y 怎样随x 变化，进一步我们还要研究变化的速率，可以先看看下面这个图我们可以看出，对于相同的自变量的改变量x ∆，所对应的函数改变量y ∆是不同的。
xy∆∆可以表示变化的速率，但这是一个平均速率，怎样考虑函数)(x f y =在一点0x 的变化率呢？二、导数的概念根据前面的介绍，我们给出下面的定义。
定义3.1设函数)(x f y =在点0x 及其某个邻域U 内有定义，对应于自变量x 在0x 处的改变量x ∆，函数相应的改变量为)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果当0→∆x 时极限 存在，则此极限值称为函数)(x f y =在点0x 处的导数，或在点0x 处函数)(x f 关于自变量x 的变化率，记作)(0x y '，或)(0x f '这时，称函数)(x f y =在点0x 处是可导的。
根据导数定义，我们来求一些基本初等函数的导数。
例1根据导数定义求c y =在点x 处的导数。
解根据定义求导数通常分三步： （Ⅰ）求)()(00x f x x f y -∆+=∆：（Ⅱ）求xy∆∆： （Ⅲ）求xyx ∆∆→∆0lim ：因此得出0)(='x y 。
如果函数)(x f 在其定义域内每一点都可导，那么我们就得到了一个新的函数)(x f '，称)(x f '为)(x f 的导函数。
)(x f '在点0x x =的函数值)(0x f '就是)(x f 在点0x x =的导数。
例2根据导数定义求2)(x x f =在点x 处的导数。
解按照由定义求导数的步骤： 因此得出x x f 2)(='。
例3根据导数定义求n x x f =)(（n 为自然数）在点x 处的导数。
《高数数学(上)》-导数与微分
解 （1）根据导数定义并运用极限的运算法则
u(x)v(x) lim u(x x)v(x x) u(x)v(x)
x0
x
u(x x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x)
定理2.1
函数f (x)在x0 处可导的充要条件是左、右导数都存在
且相等.
7
一、 导数的定义
例 1 若函数f (x)在x=0 处连续，且 lim f (x) 存在， x0 x
证明f (x)在x=0 处可导.
证法一
设 lim f (x) A(A为常数)，则 x0 x
lim f (x) lim x f (x) 0 A 0，
证 若函数y f (x)在x0 处可导，由导数的定义可得
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (x0 )，所以利用函数极限与无穷小之间的
关系可得
f (x) f (x0 ) x x0
f
( x0
)
，lim x x0
0，即
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) (x x0 )
x
所以k 1 时，f (x) 在 x 0 处可导. 2
12
本讲内容
01 导数的定义 02 导数的几何意义 03 可导与连续的关系
二、 导数的几何意义
几何意义
若函数 f (x)在x x0 处可导，f (x0 ) 是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x0 )) 处切线的斜率.
x0
高等数学第二章导数与微分
x0
x
瞬时变化率
点导数是因变x0量 处在 的点 变化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快 慢程.度
根据导数定义求导，可分为如下三个步骤：
( 1 ) 求y 增 f( x 量 x ) f( x );
曲线 y = f (x)在点x0处的切线斜率
tan lim y
x0 x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0）
f x0
左右导数
设函数 y = f (x)在点x0的某一个邻域内有定义.
假设极限l i m x 0
－
y x
存在，那么称 y = f (x)在点 x0 左可 导，
且称此极限值为函数 y = f (x) 在点 x0 的左导数，
解：由导数的几何意义, 得切线斜率为
k
y
x1 2
1 x
x 1 2
1 x2
x1 2
4.
切线方程为 y24x12, 即 4 xy 4 0 .
法线方程为
y
2
1 4
x
12,
即 2 x 8 y 1 5 0 .
2.1.4 函数的可导性与连续性的关系
〔1〕假设 f (x)在 x0点可导，那么它在 x0点必连续.
记作 f(x0 ). 同样可定义右导数： f(x0 ).
f (x)在x0可导的充要条件是： f (x)在 x0 既左可导
又右可导，且 f (x0)f (x0). 即 f(x0)存在 f (x 0 )f (x 0 )存 在 .
导函数的概念
假设函数 y = f (x)在开区间I内每一点都可导，那么称
f (x)在I 内可导. 此时对xI, 有导数 f ( x ) 与之
《高等数学教案》课件
《高等数学教案》PPT课件第一章：导数与微分1.1 导数的概念引入导数的定义解释导数的几何意义举例说明导数的计算方法1.2 基本函数的导数计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数总结常用函数的导数公式1.3 微分的概念与应用引入微分的定义解释微分的几何意义举例说明微分的计算方法介绍微分在实际问题中的应用第二章：积分与微分方程2.1 积分的概念引入积分的定义解释积分的几何意义举例说明积分的计算方法2.2 基本函数的积分计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的积分总结常用函数的积分公式2.3 微分方程的概念与解法引入微分方程的定义解释微分方程的意义举例说明微分方程的解法介绍微分方程在实际问题中的应用第三章：级数与极限3.1 级数的概念引入级数的定义解释级数的收敛性与发散性举例说明级数的计算方法3.2 幂级数的概念与应用引入幂级数的定义解释幂级数的收敛区间与收敛半径举例说明幂级数的计算方法介绍幂级数在实际问题中的应用3.3 极限的概念与性质引入极限的定义解释极限的意义举例说明极限的计算方法介绍极限在实际问题中的应用第四章：向量与矩阵4.1 向量的概念与运算解释向量的几何意义举例说明向量的运算方法4.2 矩阵的概念与运算引入矩阵的定义解释矩阵的意义举例说明矩阵的运算方法4.3 向量空间与线性变换引入向量空间的概念解释线性变换的意义举例说明线性变换的性质介绍向量空间与线性变换在实际问题中的应用第五章：概率与统计5.1 概率的基本概念引入概率的定义解释概率的意义举例说明概率的计算方法5.2 随机变量的概念与分布引入随机变量的定义解释随机变量的意义举例说明随机变量的分布方法5.3 统计的基本概念与方法解释统计的意义举例说明统计的计算方法介绍统计在实际问题中的应用第六章：多变量微积分6.1 多元函数的概念引入多元函数的定义解释多元函数的意义举例说明多元函数的计算方法6.2 偏导数与全微分引入偏导数的定义解释偏导数的意义举例说明偏导数的计算方法介绍全微分的概念与应用6.3 多重积分的概念与应用引入多重积分的定义解释多重积分的意义举例说明多重积分的计算方法介绍多重积分在实际问题中的应用第七章：常微分方程7.1 常微分方程的概念引入常微分方程的定义解释常微分方程的意义举例说明常微分方程的解法7.2 线性微分方程与非线性微分方程引入线性微分方程与非线性微分方程的定义解释线性微分方程与非线性微分方程的区别与联系举例说明线性微分方程与非线性微分方程的解法7.3 常微分方程的应用介绍常微分方程在物理、工程等领域的应用举例说明常微分方程解决实际问题的方法第八章：数值计算方法8.1 数值计算方法的概念引入数值计算方法的定义解释数值计算方法的意义举例说明数值计算方法的计算过程8.2 数值积分与数值微分引入数值积分与数值微分的定义解释数值积分与数值微分的意义举例说明数值积分与数值微分的计算方法8.3 常微分方程的数值解法引入常微分方程的数值解法的定义解释常微分方程的数值解法的意义举例说明常微分方程的数值解法第九章：概率与统计（续）9.1 描述统计与推断统计引入描述统计与推断统计的定义解释描述统计与推断统计的意义举例说明描述统计与推断统计的方法9.2 假设检验与置信区间引入假设检验与置信区间的定义解释假设检验与置信区间的意义举例说明假设检验与置信区间的计算方法9.3 回归分析与相关分析引入回归分析与相关分析的定义解释回归分析与相关分析的意义举例说明回归分析与相关分析的方法第十章：高等数学在实际问题中的应用10.1 高等数学在物理学中的应用介绍高等数学在经典力学、电磁学等物理学领域中的应用举例说明高等数学解决物理学问题的方法10.2 高等数学在工程学中的应用介绍高等数学在土木工程、机械工程等工程领域中的应用举例说明高等数学解决工程学问题的方法10.3 高等数学在经济学、生物学等领域的应用介绍高等数学在经济学、生物学等领域中的应用举例说明高等数学解决经济学、生物学等领域问题的方法重点解析第一章：导数与微分重点：理解导数和微分的定义及其几何意义，掌握基本函数的导数和微分计算。
高等数学课件第八章方向导数与梯度
2. P73 题 16
P51 2，3，6，7，8，9，10
作业
备用题 1.
函数
在点
处的梯度
解:
则
注意 x , y , z 具有轮换对称性
(92考研)
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 .
在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
记作
(gradient),
在点
处的梯度
说明:
函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
向量
2. 梯度的几何意义
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,
称为函数 f 的等值线 .
则L*上点P 处的法向量为
同样, 对应函数
有等值面(等量面)
当各偏导数不同时为零时,
其上
点P处的法向量为
指向函数增大的方向.
偏导数存在
•
• 可微
梯度在方向 l 上的投影.
思考与练习
1. 设函数
(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线
在该点切线方向的方向导数;
(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向
的夹角 .
2. P73 题 16
曲线
1. (1)
在点
解答提示:
函数沿 l 的方向导数
得
故
对于二元函数
为, ) 的方向导数为
特别:
• 当 l 与 x 轴同向
• 当 l 与 x 轴反向
向角
例1. 求函数
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
3) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
《导数定义》课件
《导数定义》ppt课 件
REPORTING
2023
目录
• 导数定义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史发展
2023
PART 01
导数定义
REPORTING
导数的定义
总结词
导数的定义是函数在某一点的变化率 ，是函数在这一点附近的小范围内取 值的平均变化率的极限。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率， 即函数在该点的切线斜率。具体来说 ，对于可微函数，其导数是函数值随 自变量变化的速率。
隐函数的导数
总结词
隐函数的导数是导数计算中的另一个重要内容，掌握隐函数的导数计算方法有助于解决实际问题。
详细描述
隐函数的导数是通过对隐函数求偏导数来得到的，其核心思想是利用偏导数和全微分的概念，将隐函 数转化为显函数，然后利用显函数的导数计算方法进行计算。
2023
PAR学等。
导数的早期应用
物理学的应用
在研究速度、加速度、斜率等问 题中，导数发挥了关键作用。
经济学应用
在研究成本、收益、效用和供需 关系时，导数提供了重要的分析
工具。
工程学应用
在优化设计、控制理论和流体动 力学等领域，导数也有广泛应用
。
导数在现代数学中的地位
导数是微积分的重要组成部分， 是研究函数性质和变化率的关键
详细描述
导数具有一些重要的基本性质，如线性性质、常数性质、乘积法则、商的法则 和链式法则等。这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面具有 广泛应用。
2023
PART 02
导数的计算
REPORTING
导数的四则运算
总结词
理解导数的四则运算法则是掌握导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法 。
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