§7.2 上极限和下极限 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件

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定义1上(下)极限的基本概念

注点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于:

若数列{}n x 满足: 在数0x 的任何一个邻域内均含有中的无限多项, 则称x 0 是数列的{}n x {}n x 常数列()n a a 只有一个聚点: a .

的一个聚点.

限多个项”. 前者要求“含有无限多个点”, 后者要求“含有无现举例如下:

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定理7.4

有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大聚点和但作为数列来说, 它却有两个聚点:1 1.

-和有五个聚点:π{sin }4

n 数列0,.

k n x x k →→∞从数列聚点的定义不难看出, x 0 是数列的聚{}n x {(1)}n

-作为点集来说它仅有两个点, 点的一个充要条件是:最小聚点.

故没有聚点;,1-,22-,0,22.1{},

k n x {}n x 存在的一个子列

又设{}|{},n E x x x =是的聚点由于E 非空有界, 故由确界原理, sup ,inf .

A E A E ==下面证明A 是{ x n } 的最大聚点, 亦即.E A ∈证设}{n x 为有界数列, 的一个聚点.

0{}n x x 是于是首先, 由上确界的性质, 由致密性定理, 存在一个收敛子列{},k n x ),(0∞→→k x x k

n ,E a n ∈使.A a n →存在存在

因为i a 是}{n x 的聚点, ,ε所以对任意正数在区间

,11=ε存在,1n x 使;

1||11<-a x n ,212=ε存在221(),n x n n >使221||;2n x a -<,1k k =ε存在1(),k n k k x n n ->使;1||k a x k n k <-........................

(,)i i a a εε-+{}n x 内含有的无限多项. 现依次令

这样就得到了{ x n } 的一个子列满足:

,}{k n x lim lim ()lim ,k k n n k k k k k x x a a A →∞→∞→∞

=-+=.A E 所以∈同理可证.

E A ∈即证得{},n A x 也是的一个聚点

定义2

称为}{n x 的上、下极限, 记为

lim ,lim .

n n n n A x A x →∞→∞

==有界数列}{n x 的最大聚点A 与最小聚点A 分别注由定理7.4 得知, 有界数列必有上、下极限. 提供了一个新的平台.

的上、下极限总是存在的, 这为研究数列的性质极限来研究该数列往往是徒劳的; 数列若有界, 它的极限可以不存在, 此时想通过这样, 上、下极限的优越性就显现出来了: 但是有界数列一个

例1 考察以下两个数列的上、下极限:

lim (1)1,lim (1) 1.11n n

n n n n n n →∞→∞-=-=-++111lim lim 0(lim );n n n n n

n →∞→∞→∞===从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限之间存在着的内在联系. 详细讨论请见下文.

定理7.6

定理7.5上(下)极限的基本性质

由上、下极限的定义, 立即得出:

对任何有界数列,}{n x 有

下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关系.

有界数列}{n x 存在极限的充要条件是:

lim lim .

n n n n x x →∞→∞≤(1)

lim lim .n n n n x x →∞→∞

=(2)

lim lim .n n n n x x →∞

→∞=证设lim .n n x A →∞

=对于任意正数,ε在(;)U A ε这样, 对任意的,B A ≠0(;))U A ε在之外只有有限项. }{n x 那么在内( 此时必0(;)U B ε0||0,2

B A ε-=>取反之, 若上式成立, 则的聚点唯一(设为A ) , }{n x 若

这就是说, B 从而

}{n x 的聚点,不是故仅有一个聚点A , }{n x 有限项.之外只有}{n x

一的假设相矛盾.

另一聚点, 导致与聚点唯性定理, 这无限多项必有{}n x 的无限多项. 0(;)U A ε之外含有使得在00,ε>倘若不然,则存在lim .n n x A →∞

=此时易证由致密

定理7.7

设}{n x 为有界数列, 则有

1lim n n x A →∞=的充要条件是: 对于任意的,

0>ε(i) 存在N , 当n > N 时, ;ε+<A x n (ii){},,1,2,

.k k n n x x A k ε>-=存在lim 2n n x B →∞=的充要条件是: 对于任意的0,ε>(i) 存在N , 当n > N 时, ;

ε->B x n (ii){},,1,2,

.k k n n x x B k ε<+=存在证在形式上是对称的, 所以仅证明.

12和1

必要性.lim A x n n =∞

→设因为A 是}{n x 的一个聚点,所以存在,}{k n x 使得(),k

n x A k →→∞故对于任意的0,ε>当k > K 时，.k n A x ε-<将{}k n x 中的前面K 项剔除, 这样就证明了(ii).

[,)A ε++∞上, 至多只含}{n x 的有限项. 话, 因为}{n x 有界,

这与A 是最大聚点相矛盾.

又因A 是}{n x 的最大聚点, 所以对上述ε ,0,K >存在在区间

不然的

}{n x 在[,)A ε++∞故上还有聚点,设这有限项的最大下标为N , .

n x A ε<+那么当n > N 时,