§7.2 上极限和下极限 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件
*点击以上标题可直接前往对应内容定义1上(下)极限的基本概念注点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于:若数列{}n x 满足: 在数0x 的任何一个邻域内均含有中的无限多项, 则称x 0 是数列的{}n x {}n x 常数列()n a a 只有一个聚点: a .的一个聚点.限多个项”. 前者要求“含有无限多个点”, 后者要求“含有无现举例如下:后退前进目录退出定理7.4有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大聚点和但作为数列来说, 它却有两个聚点:1 1.-和有五个聚点:π{sin }4n 数列0,.k n x x k →→∞从数列聚点的定义不难看出, x 0 是数列的聚{}n x {(1)}n-作为点集来说它仅有两个点, 点的一个充要条件是:最小聚点.故没有聚点;,1-,22-,0,22.1{},k n x {}n x 存在的一个子列又设{}|{},n E x x x =是的聚点由于E 非空有界, 故由确界原理, sup ,inf .A E A E ==下面证明A 是{ x n } 的最大聚点, 亦即.E A ∈证设}{n x 为有界数列, 的一个聚点.0{}n x x 是于是首先, 由上确界的性质, 由致密性定理, 存在一个收敛子列{},k n x ),(0∞→→k x x kn ,E a n ∈使.A a n →存在存在因为i a 是}{n x 的聚点, ,ε所以对任意正数在区间,11=ε存在,1n x 使;1||11<-a x n ,212=ε存在221(),n x n n >使221||;2n x a -<,1k k =ε存在1(),k n k k x n n ->使;1||k a x k n k <-........................(,)i i a a εε-+{}n x 内含有的无限多项. 现依次令这样就得到了{ x n } 的一个子列满足:,}{k n x lim lim ()lim ,k k n n k k k k k x x a a A →∞→∞→∞=-+=.A E 所以∈同理可证.E A ∈即证得{},n A x 也是的一个聚点定义2称为}{n x 的上、下极限, 记为lim ,lim .n n n n A x A x →∞→∞==有界数列}{n x 的最大聚点A 与最小聚点A 分别注由定理7.4 得知, 有界数列必有上、下极限. 提供了一个新的平台.的上、下极限总是存在的, 这为研究数列的性质极限来研究该数列往往是徒劳的; 数列若有界, 它的极限可以不存在, 此时想通过这样, 上、下极限的优越性就显现出来了: 但是有界数列一个例1 考察以下两个数列的上、下极限:lim (1)1,lim (1) 1.11n nn n n n n n →∞→∞-=-=-++111lim lim 0(lim );n n n n nn →∞→∞→∞===从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限之间存在着的内在联系. 详细讨论请见下文.定理7.6定理7.5上(下)极限的基本性质由上、下极限的定义, 立即得出:对任何有界数列,}{n x 有下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关系.有界数列}{n x 存在极限的充要条件是:lim lim .n n n n x x →∞→∞≤(1)lim lim .n n n n x x →∞→∞=(2)lim lim .n n n n x x →∞→∞=证设lim .n n x A →∞=对于任意正数,ε在(;)U A ε这样, 对任意的,B A ≠0(;))U A ε在之外只有有限项. }{n x 那么在内( 此时必0(;)U B ε0||0,2B A ε-=>取反之, 若上式成立, 则的聚点唯一(设为A ) , }{n x 若这就是说, B 从而}{n x 的聚点,不是故仅有一个聚点A , }{n x 有限项.之外只有}{n x一的假设相矛盾.另一聚点, 导致与聚点唯性定理, 这无限多项必有{}n x 的无限多项. 0(;)U A ε之外含有使得在00,ε>倘若不然,则存在lim .n n x A →∞=此时易证由致密定理7.7设}{n x 为有界数列, 则有1lim n n x A →∞=的充要条件是: 对于任意的,0>ε(i) 存在N , 当n > N 时, ;ε+<A x n (ii){},,1,2,.k k n n x x A k ε>-=存在lim 2n n x B →∞=的充要条件是: 对于任意的0,ε>(i) 存在N , 当n > N 时, ;ε->B x n (ii){},,1,2,.k k n n x x B k ε<+=存在证在形式上是对称的, 所以仅证明.12和1必要性.lim A x n n =∞→设因为A 是}{n x 的一个聚点,所以存在,}{k n x 使得(),kn x A k →→∞故对于任意的0,ε>当k > K 时，.k n A x ε-<将{}k n x 中的前面K 项剔除, 这样就证明了(ii).[,)A ε++∞上, 至多只含}{n x 的有限项. 话, 因为}{n x 有界,这与A 是最大聚点相矛盾.又因A 是}{n x 的最大聚点, 所以对上述ε ,0,K >存在在区间不然的}{n x 在[,)A ε++∞故上还有聚点,设这有限项的最大下标为N , .n x A ε<+那么当n > N 时,充分性任给,0>ε综合(i) 和(ii), 上含有{ x n } 的无限项, 02n A A x A ε'+>+=的项至多只有有限个,这说明在),(00εε+'-'A A ),(εε+-A A 在即A 是{ x n }的聚点.而对于任意的,A A >',20A A -'=ε令由于满足lim .n n x A →∞={ x n } 的有限项, 上也至多只有从而有所以A 是的最大聚点.{}n x A '故不是{ x n }的聚点,定理7.8(保不等式性)设{ x n }, { y n } 均为有界数列,并且满足: 存在.n n x y ≤当n > N 0 时,有00,N >则取上(下)极限后, 原来的不等号方向保持不变:特别若则更有,n n a x y b ≤≤≤lim lim ,lim lim .n n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞→∞≤≤(3).lim lim b y x a n n n n ≤≤≤∞→∞→(4)证设lim ,lim ,n n n n x A y B →∞→∞==因为B 是{ y n } 的lim .k j n j x A →∞'=.A AB '≤≤而(4) 式则可由,k k j jn n x y ≤又因(1) 与(3) 式直接推得.}{n x 的最小聚点A 理应满足它与}{n x A '也是由于.A B '≤j →∞的极限,便得取聚点,.lim B y kn k =∞→{},k n x 又有界故存在的一个收敛子列,{}k n x {}k j n x 的聚点,同理可证关于上极限的不等式;所以存在, {}k n y证这里只证明(i) , (ii) 可同理证明. lim ,lim .n n n n A a B b →∞→∞==由定理7.7, 存在N , ,2,2εε+<+<B b A a n n (i)lim ()lim lim ;n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞+≤+(5)(ii)lim ()lim lim .n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞+≥+(6)例1}{,}{n n b a 都是有界数列, 那么设当n > N 时,设故.ε++<+B A b a n n再由定理7.8 的(4) 式, 得lim().n n n a b A B ε→∞+≤++因为是任意的, 故εlim ()lim lim .n n n n n n n a b A B a b →∞→∞→∞+≤+=+注这里严格不等的情形确实会发生, 例如1(1),(1).n n n n a b -=-=-lim 1,lim 1,n n n n a b →∞→∞==lim ()0.n n n a b →∞+=而例2设, 且lim lim n n n n x A B x →∞→∞=<=1lim ()n n n x x -→∞-.0=求证的全体聚点的集合为}{n x ].,[B A 证设E 是的全体聚点的集合, 显然有}{n x ],,[B A E ⊂,.A EB E ∈∈,00>ε内仅含的有限项:}{n x 00(;)U x ε在任给, 欲证),(0B A x ∈0.x E ∈如若不然, 则存在1212,,,().N n n n N x x x n n n ⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<所以存在,K '当这就是说, 当时, 所有的均不在N n n >n x 0(;)U x ε之内.1lim ()0,n n n x x -→∞-=又因n K '>时,有010.(7)n n x x εε--<-<max{,},N K K n 令'=当n > K 时, 由(7) 导致所有前者与B 是的聚点矛盾; {}n x 00.n x x ε≥+或者都有00,n x x ε≤-的或者都有n x {}n x 后者与A 是].,[B A E =故证得, 即E x ∈0[,],A B E ⊂的聚点矛盾.从而定理7.9设{ x n } 为有界数列. 则有(i) A 是{ x n } 的上极限的充要条件是(ii) B 是{ x n } 的下极限的充要条件是lim sup {};k n k n A x →∞≥=(8)lim inf {}.k n k n B x →∞≥=(9)递减数列, 并且有界, lim .n n a a →∞=设一方面, 因为,n n x a ≤所以另一方面, 0,ε∀>112sup {,,},a x x =由于根据上确界定义,1111,.n n x a ε∃≥>-使得又因{},,1,2,,n n a a a n ≥=递减故所以有11.n x a a εε>-≥-同理,由于证}{n a 显然是一这里仅证(i). 设, sup{}n k k na x ≥=n n n n a x A ∞→∞→≤=lim lim n n a ∞→=lim .a =这样得到的子列因仍为有界的,{}k n x 照此做下去,可求得使12,k n n n <<<<11,1,2,.(10)k k n n x a a k εε++>-≥-=111112sup {,,},n n n a x x +++=211.,n n x a a εε+>-≥-2111,n n n ∃≥+>使得2.A A a ε'≥≥-不等式性质(4), 得出故其上极限(10)式关于k 求上极限,.a A =从而证得.a A ≥所以又得因是任意的,ε亦存在,设为,A '.A A '≥且显然有例3 用上、下极限证明: 若为有界发散数列,{}n x lim lim lim lim .j j n n n n j n j n x x x x →∞→∞→∞→∞'''=≠=注本例命题用现在这种证法,可以说是最简捷的. {},{},j jn n x x '''使得{}n x 证由定理7.6 , 有界数列发散的充要条件{}n x 则存在的两个子列, 收敛于不同的极限. lim lim .n n n n x x →∞→∞≠为{}n x 于是存在的两个子列例4 证明: 对任何有界数列有{},{},n n x y lim ()lim lim .n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+(11)lim ()lim lim ,n n n n n n n x y y x →∞→∞→∞+-≤(12)lim lim sup {}n k n n k ny y →∞→∞≥-=-证根据定理7.9 的(8) 与(9), 可得lim lim (),n n n n y y →∞→∞-=-若能证明便不难得出结果.分析将(11) 式改写为liminf{}k n k n y →∞≥=-).(lim n n y -=∞→把它用于(12) 式, 并利用例1 的结论(6), 便有lim ()lim lim ()lim ()n n n n n n n n n n x y y x y y →∞→∞→∞→∞+-=++-这也就证明了(11) 式.lim ()lim ,n n n n n n x y y x →∞→∞≤+-=lim ()lim lim ,n n n n n n n x y y x →∞→∞→∞+-≤(12)复习思考题种定义方式各有哪些特点?试从直观性、应用的方便性等方面, 分析这三它们的充要条件( 定理7.7 与定理7.9 ) 来定义.数列的上、下极限, 除用定义2 定义外,也可用。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第1章 实数集与函数
(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S,使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S,使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S, 使得 | x0 | M .
其中 p n.
反之, 若x a0 .a1a2 akak1ak p ,
则 x
a0
k i 1
ai 10i
10
1 p
1
a p k j 10k j p j 1
Q.
4. 无理数为无限不循环小数.
如:π 3.1415926 ; x 0.1010010001.
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二、实数的大小
定义1 x, y R+ , 若 x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn
§2 数集 ·确界原理
确界原理本质上体现了实数的完备 性，是本章学习的重点与难点.
一、有界集 二、确界 三、确界的存在性定理 四、非正常确界
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记号与术语
U (a; ) { x | | x a | } : 点 a 的 邻域 U (a; ) {x | 0 | x a | } : 点 a 的 空心邻域 U (a; ) {x | 0 x a } : 点 a 的 右邻域 U(a; ) {x | 0 a x } : 点 a 的 左邻域
3. 令 a0 .a1a2 ,则 是正规小数表示. 4. sup S.
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四、实数的阿基米德性
实数具有阿基米德性: a,b R+ , n N+ , 使得 nb a. 理由如下：设
a a0 .a1a2 an , a0 k N, 则 a k 1 10k1. 设 b b0 .b1b2 bn , bp为第一个不为零的正整数, 令 n 10 pk1, 则 nb 10k1 a.
§17.2 复合函数微分法 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件
*设函数(,)(,)x s t y s t ϕψ==与(1)定义在st 平面的区域D 上, =(,)z f x y (2)定义在xy 平面的区域__D 上. {}__(,)(,),(,),(,),x y x s t y s t s t D D ϕψ==∈⊂则可构成复合函数:(,)((,),(,)),(,).z F s t f s t s t s t D ϕψ==∈(3)其中(1) 为内函数, (2)为外函数, (s , t ) 为自变量.复合函数的求导法则后退前进目录退出函数若( x , y ) 为中间变量,定理17.3下面将讨论复合函数F 的可微性.(,)z f x y =(,)((,),(,))x y s t s t ϕψ=在点可微,且关于s 与t 的偏导数分别为((,),(,))z f s t s t ϕψ=(,)s t 则复合函数在点可微，(,)(,)(,)(,)(,),s t x y s t x y s t z z x z y s x s y s ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂(4)公式(4) 也称为链式法则.(,),(,)x s t y s t ϕψ==(,)s t D ∈在点可微，若函数(,)(,)(,)(,)(,).s t x y s t x y s t z z x z y t x t y t ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂22,y y y s t s t s tαβ∂∂∆=∆+∆+∆+∆∂∂(6)(,),(,)x s t y s t ϕψ==(,)s t 证由假设在点可微, 于是11,x x x s t s t s tαβ∂∂∆=∆+∆+∆+∆∂∂(5),z z z x y x y x y αβ∂∂∆=∆+∆+∆+∆∂∂(7)(,)(0,0)s t ∆∆→1122(,,,)(0,0,0,0).αβαβ→其中时=(,)z f x y (,)x y 又由在点可微, 故有(,)(0,0)x y ∆∆→(,)(0,0),αβ→其中时，0x y ∆=∆=0.αβ==定义: 当时, 并可补充现把(5), (6) 两式代入(7) 式，得到11z x x z s t s t x s t ∆ααβ⎛⎫⎛⎫∂∂∂=+⋅∆+∆+∆+∆+ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭22.z y y s t s t y s t βαβ⎛⎫⎛⎫∂∂∂++⋅∆+∆+∆+∆ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭整理后又得z x z y z s x s y s ⎛⎫∂∂∂∂∆=⋅+⋅∆ ⎪∂∂∂∂⎝⎭(8),z x z y t s t x t y t αβ⎛⎫∂∂∂∂+⋅+⋅∆+∆+∆ ⎪∂∂∂∂⎝⎭1212.z z x y x y t tβββαβαβββ∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂ (10) 由于(,),(,)s t s t ϕψ在点(,)s t 可微，因此在点(,)s t 并求得z 关于s 和t 的偏导数公式(4)．(,)(0,0),αβ→从而1122(,,,)(0,0,0,0).αβαβ→以及于是在(9), (10) 两式中, 当(,)(0,0)s t ∆∆→时, 有1212,z z x y x y s sααααβααβα∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂ (9) 其中都连续，(,)(0,0).x y ∆∆→(,)(0,0)s t ∆∆→即当时，(,)(0,0).αβ→故由(8)式推知复合函数(3)可微，能轻易省略的, 否则上述复合求导公式就不一定成立．例如注如果只是求复合函数((,),(,))f s t s t ϕψ关于s 或t 的偏导数, 因为以s ∆或t ∆0s ∆→0,t ∆→除(7) 式两边, 然后让或但是对外函数f 的可微性假设是不须具有关于s 或t 的偏导数就够了. 到相应的结果. (,),(,)x s t y s t ϕψ==只则上述定理中也能得2222222,0,(,)0,0.x y x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩()(,)2,z F t f t t t ===(4),若形式地使用法则将得出错误结论:为内函数，(0,0)(0,0)0,x y f f ==(,)f x y 由§1 习题6 已知但(,)f x y ,x t y t ==若以为外函数, 000(0,0)(0,0)d d d d d d t t t z z x z y t x t y t ===∂∂=⋅+⋅∂∂在点(0,0) 不可微. ≡d 1.d 2z t 有则得到以t 为自变量的复合函数01010.=⨯+⨯=这说明：在使用链式法则时, 必须注意外函数可微这个条件.则复合函数11,(,,)(,,)m m f u u u u 一般地若在点可微,1(,,)(1,2,,)k k n u g x x k m == 1(,,)(1,2,,),n i x x x i n =在点具有对于的偏导数 11211((,,),(,,),,(,,))n n m n f g x x g x x g x x 1(1,2,,).m k k i k iu f f i n x u x =∂∂∂=⋅=∂∂∂∑ 关于自变量(1,2,,)i x i n = 的偏导数为函数组多元函数的复合求导一般比较复杂，必须要区分哪些是中间变量，哪些是自变量，法则求出正确的结果.z x y s t s t z x ∂∂z y ∂∂x s ∂∂x t ∂∂y s ∂∂y t ∂∂可以按照各变量间的复合关系,画如图那样的树形图.首先从因变量z 向中间变量x , y 画两个分枝, 别从中间变量x , y 向自变量s ,t 画分枝, 分枝上写上对应的偏导数.这样才能正确使用链式为了便于记忆，然后再分并在每个zz s s∂∂例如，求时，只要把从到的每条路径上的各个∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂.z z x z y s x s y s z z x z y t x t y t∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂zxys tstz x ∂∂z y ∂∂xs ∂∂x t ∂∂y s ∂∂y t ∂∂偏导数相乘，然后再将这些乘积相加即得类似地, 考察从z 到t 的路径,得.z z x y∂∂∂∂求与解所讨论的复合函数以(u , v ) 为中间变量, (x , y ) 为自变量, 并满足定理17.5 的条件. 222ln(),e,1,x y z u v u v x y +=+==+而例设试22,z uu u v∂=∂+22e ,2e ,x y x y u u y x y++∂∂==∂∂因此由21,z v u v∂=∂+2,1,v v x x y ∂∂==∂∂根据链式法则得到22221e 2x y u x u v u v +=⋅+⋅++z z u z v x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂222(e ),x y u x u v+=⋅++221(4e 1).x y u y u v+=⋅++z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂例2 (,),cos ,u u x y x r θ==设可微在极坐标变换222221.u u u u r x y r θ⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭证 把u 看作,r θ的复合函数(cos ,sin )u u r r θθ=，因此有sin ,y r θ=之下证明:u u x u y r x r y r ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂u u x u y x y θθθ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂cos sin ,u u x y θθ∂∂=+∂∂(sin )cos .u u r r x yθθ∂∂=-+∂∂于是2221u u r r θ⎛⎫⎛⎫∂∂+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭221sin cos u ur r x y r θθ⎛⎫∂∂+-+ ⎪∂∂⎝⎭22.u u x y ⎛⎫⎛⎫∂∂=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭2cos sin u ux y θθ⎛⎫∂∂=+⎪∂∂⎝⎭解复合后仅是自变量t 的一元函数．d d d d d d d d z z u z v z t t u t v t t t ∂∂∂=++∂∂∂例3 d sin ,e ,cos ,.d tz z uv t u v t t=+==设其中求e (sin )cos tv u t t =+-+e (cos sin )cos .tt t t =-+注上面第一个等式中，左边的d d zt是作为一元函数的复合函数对t 求导数(又称“全导数”);是外函数(是u, v, t 的三元函数) 对t 求偏导.注意区分．z u v tttz u ∂∂zv∂∂z t ∂∂ut∂∂v t∂∂于是zt∂∂右边的例4用多元复合微分法计算下列一元函数的导数:2(1)ln (2).sin cos x x y x x+=+解 (1) 令,,,,v xy u v w u x w x ====从而有()d d d d y y u y x u x v ∂∂=⋅+∂∂11ln [ln ]x xxx x x xx xxx x xx x --=⋅+⋅+21ln (ln ).x xxx xx x x ⎡⎤=⋅++⎢⎥⎣⎦1ln []v vvuu u -=+(1);xx y x =d d v w v w x x∂∂⋅+∂∂1ln x x xw w w -+,sin cos ,vwy u x x u ==+令解则有d d d d y y u x u x ∂=⋅∂221(sin cos )(1)ln (sin cos )x x x x x x ⎡=-+⎣+2(cos sin )v wx x u-=-21(sin cos )(2ln ).xx x x x x+⎤+++⎦2(1)ln (2).sin cos x x y x x +=+21,ln ,v x w x =+=d d y v v x ∂+⋅∂d d y ww x∂+⋅∂2w x u +⋅1v u x +⋅由此可见，以前用“对数求导法”求一元函数导数的问题, 如今可用多元复合函数的链式法则来计算.例5 设(,),(1,1)1,(1,1),x f x y f f a ==为可微函数 (1,1),()(,(,(,))),(1).y f b x f x f x f x x ϕϕ'==试求解令()(,),(,),(,),,x f x y y f x z z f x u u x ϕ====d ()d x y y x f f x ϕ'=+⋅则有d .d x y x z x u u f f f f f f x ⎡⎤⎛⎫=+⋅+⋅+⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦d d x y x z z f f f f x ⎛⎫=+⋅+⋅ ⎪⎝⎭23(1)[()].a b a b a b a ab ab b ϕ'=+++=+++因此d 1,(1,1),(1,1)(1,1)(1,1),d x y z u u f a f f f b x由=====而实用的写法(省去了引入中间变量):说明上面的解法是通过引进中间变量,,y z u 后, 借助链式法则而求得的; 121212()[(1)],x f f f f f f ϕ'=+⋅+⋅+⋅[()].a b a b a b =+++121(1)(1,1)(1,1){(1,1)f f f ϕ'=+⋅212(1,1)[(1,1)(1,1)]}f f f +⋅+上述过程还有一种比较简洁()()(),,,,,,,.u f x y z y x t t x z u u x z ϕψ设都有一阶连续偏例6导数，求 ===∂∂∂∂u x z y x t z x f x ∂∂f y ∂∂f z ∂∂x ϕ∂∂t ϕ∂∂x ψ∂∂z ψ∂∂代入中间变量解 ，得复合函数()()(),,,,,u f x x x z z x z ϕψ=为的()函数见图，u f x x ∂∂=∂∂u f z y t z ϕψ∂∂∂∂=∂∂∂∂()()(),,,,u u f x x x z z x ϕψ∂=∂注意，这里用表示复合函数得到：f y x ϕ∂∂+∂∂f y t x ϕψ∂∂∂+∂∂∂f z ∂+∂(,)(,).x y y f x y x f x y ⋅=⋅0.f θ∂=∂证明: 在极坐标系里f 只是r 的函数．为此设 (,),cos ,sin ,u f x y x r y θθ===则得证本题是要证明: 经极坐标变换后, f 满足2R f 例7 设在上的可微函数满足方程(),,f x u f x y z x对的偏导数,而用表示函数对第一∂=∂.x 个变量的偏导数，以区别两者的不同(sin )(cos )u u r r x yθθ∂∂=⋅-+⋅∂∂u u y x x y∂∂=-⋅+⋅∂∂是r 的函数．f 2R θf 从而在上的极坐标系里与无关, 于是只0.f f y x x y∂∂=-⋅+⋅=∂∂u u x u y x y θθθ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂若以,x y 为自变量的函数(,)z f x y =可微, 其全微分为(,),(,),x s t y s t ϕψ==d d d .z z z x y x y∂∂=+∂∂(11),x y ,s t 如果作为中间变量, 又是自变量的可微函数则由定理17.5 知道, 复合函数((,),(,))f s t s t ϕψ是可微的, 其全微分为复合函数的全微分d z x z y s x s y s ⎛⎫∂∂∂∂=⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂⎝⎭由于,x y 又是(,)s t 的可微函数, 因此同时有 d d d z z z s t s t∂∂=+∂∂将(13) 式代入(12) 式, 得到与(11) 式完全相同的结果, d z x z y t x t y t ⎛⎫∂∂∂∂+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂⎝⎭d d z x x s t x s t ⎛⎫∂∂∂=⋅+ ⎪∂∂∂⎝⎭(12)d d .z y y s t y s t ⎛⎫∂∂∂+⋅+ ⎪∂∂∂⎝⎭d d d ,d d d .x x y y x s t y s t s t s t∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂(13)这就是多元函数的一阶(全) 微分形式不变性.必须指出,在 (11)式中当,x y 作为自变量时,d x 和 d y 如 (13) 式所示, 它们的值由,,d ,d s t s t 所确定．利用微分形式不变性, 能更有条理地计算复合函数的全微分．d d d .z z z x y x y ∂∂=+∂∂(11)d d d ,d d d .x x y y x s t y s t s t s t∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂ (13) d x 和d y 各自独立取值; ,x y 作为中间变量时,当解 令e sin ,,u z v u xy v x y ===+．由于d d d u v z z u z v =+d d d ,u y x x y =+因此d e sin (d d )e cos (d d )u u z v y x x y v x y =+++e [sin()cos()]d x y y x y x y x=+++e [sin()cos()]d ,x yx x y x y y ++++.z z x y∂∂∂∂与d ,z 算并由此导出例8e sin(),x yz x y =+设利用微分形式不变性计e sin d e cos d ,u u v u v v =+d d d ,v x y =+e [sin()cos()],x y z y x y x y x∂=+++∂e [sin()cos()].x y z x x y x y y∂=+++∂并由此得到d e [sin()cos()]d x y z y x y x y x=+++e [sin()cos()]d ,x yx x y x y y ++++1. 在一元函数章节里，利用对数求导法曾得到过一个结果:1()(1ln )ln .x x x x x x x x x x x -'=+=⋅+不难看出等式右边两项恰好是把x x 分别看成幂函数与指数函数求导数而得到的. 有人认为这是偶然的巧合，也有人认为这是必然的结果．种看法是正确的？请说出依据．试问哪一到((,),(,),)u u x s t y s t t =,它是一个以,s t 为自变量的复合函数. 写法:,u u x u y u t x t y t t ∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+∂∂∂∂∂∂试问这个写法有何不妥？怎样纠正？2. 设由可微的(,,),(,),(,)u u x y t x x s t y y s t ===得考察下面计算复合函数偏导数的一种。
§3函数概念数学分析(华师大四版)课件高教社ppt华东师大教材配套.ppt
初等 函数
定义1
D与M是R中非空数集,若有对应法则 f , 使 D内每一个数 x , 都有唯一的一个数 yM 与它相 对应, 则称 f 是定义在 D上的函数,记作
f :D M, x y.
D 称为 f 的定义域;
f (D){ y y f ( x), x D} 称为 f 的值域;
数学分析 第一章 实数集与函数
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
§3 函 数 概 念
反函数
函数的定义
函数的四 则运算
复合 函数
反函 数
初等 函数
若函数 f 的定义域为 Df , 满足 : y f (D), 惟一 x D, 使 f ( x) y,
则存在函数 f 1, D f 1 f (D) 且 y f (D), f 1( y) x ,其中 x 是使 f ( x) y 的惟一的 x D. 注 反函数表示式 f 1( y) x 中, y 是自变量, x 是
且 g( x) 0}, x Df , g
f g
(
x)
f (x) g( x)
.
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
§3 函 数 概 念
函数的定义
复合函数
函数的四 则运算
复合 函数
反函 数
初等 函数
设函数 f 的定义域为D f ,函数 g 的定义域为Dg , 复合函数 f g 的定义域为
表法和图象法. 解析法表示函数时, 若没有特别指
明其定义域, 则一般约定其定义域为使该解析式
有意义的自变量的全体(即存在域).
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
《数学分析》PPT课件
当n无限增大时,xn 无限接近于1.
8
数列的极限
研究数列{1 (1)n1 }当 n 时的变化趋势. n
当n无限增大时, xn无限接近于1.
“无限接近”意味着什么?
如何用数学语言刻划它.
|
xn
1|
(1 (1)n1
1)1 n
1 n
xn 1 可以要多么小就多么小,只要n充分大,
则要看 xn 1小到什么要求.
n
yn
b,
且 a b, 则存在 N , 当 n N时，有 xn yn .
26
• Thm 3.6 若对任意正整数 n, 有xn yn ,
且
lim
n
xn
a,
lim
n
yn
b,
则 a b.
• Remark
（1）因为数列的前有限项不影响数列的 极限，故上不等式的条件可减弱为：
“若 N 0,
当 n N 时，xn yn ”；
积仍为无穷大;
∗ 用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.
例 求 lim ( x 1 x) x
解 lim ( x 1 x) x
32
无穷小与无穷大
注 (1) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆; (2)切勿将 lim f ( x) 认为极限存在.
x x0
(3) 无穷大与无界函数的区别: 它们是两个不同的概念. 无穷大一定是无界函数, 但是无界函数 未必是某个过程的无穷大.
9
数列的极限
|
xn
1 |
1 n
给定
1 100
,
由
1 n
1, 100
只要 n 100时,有
xn
1
1, 100
7.3上极限和下极限
《数学分析》教案 第七章 实数的完备性1 §7.3 上极限和下极限一、上（下）极限的定义对于数列,我们最关心的是其收敛性；如果不收敛,我们希望它有收敛的子列,这个愿望往往可以实现.例如：{}(1)n -.一般地,数列{}n x ,若{}k n x ：k n x a →（k →∞）,则称a 是数列{}n x 的一个极限点.如点例{}(1)n -有2个极限点.数列{}n x 的最大（最小）极限点如果存在,则称为该数列的上（下）极限,并记为lim n n x →∞（lim n n x →∞）.如lim(1)1n n →∞-=,lim(1)1n n →∞-=-. 例1 求数列sin 3n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭的上、下极限. 例2 [1(1)]n n x n =+-,求上、下极限.二、上（下）极限的存在性下面定理指出,对任何数列{}n x ,它的上（下）极限必定存在.定理1 每个数列{}n x 的上极限和下极限必定唯一,且lim n n x →∞＝1sup{,,}limsup n n k n k n x x x +→∞≥= ,lim n n x →∞＝1inf{,,}lim inf n n k n k nx x x +→∞≥= . 三、上下极限和极限的关系lim n n x →∞≥lim n n x →∞. 定理2 {}n x 存在极限则{}n x 的上极限和下极限相等,即lim n n x →∞＝lim n n x →∞＝lim n n x →∞. 四、上（下）极限的运算普通的极限运算公式对上（下）极限不再成立.例如：11lim[(1)(1)]0lim(1)lim(1)2n n n n n n n ++→∞→∞→∞-+-=<-+-= . 一般地有：lim()lim lim n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+,当{}n x 收敛时,等号成立.。
华东师范大学数学分析PPT课件
3
x3 3
x2.
第2页/共77页
(iii)ln( x 1 x2 ) 是 1 的一个原函数: 1 x2
ln( x 1 x2 ) 1 . 1 x2
(iv)
1 2
x
1 x2 arcsin x 是
1 x2 的一个原函数 :
1
2
x
1 x2
arcsin x
1 x2 .
s(t) v0 dt v0 t C.
若 t0 时刻质点在 s0 处, 且速度为 v0, 则有 s (t ) v0(t t0 ) s0 .
第11页/共77页
四、基本积分表
由基本求导公式可得以下基本积分公式:
1. 0dx C. 2. 1dx dx x C. 3. xdx x1 C ( 1, x 0).
第4页/共77页
第一个问题由以下定理回答. 定理8.1 (原函数存在性定理) 若函数 f 在区间 I 上连续, 则 f 在 I 上存在原函 数 F, 即
F( x) f ( x). 在第九章中将证明此定理.
第5页/共77页
定理8.2 (原函数族的结构性定理) 设 F ( x) 是 f ( x) 在区间 I 上的一个原函数, 则 (i) F ( x) C 也是 f ( x) 在 I 上的原函数, 其中 C 为任意常数. (ii) f (x) 在 I 上的任意两个原函数之间, 只可能相差 一个常数.
11. sec x tan xdx sec x C.
12. csc x cot xdx csc x C.
13.
dx arcsin x C arccos x C. 1 x2
dx
14. 1 x2 arctan x C arccot x C.
数学分析(华东师范版)PPT
这种间断点称为 震荡间断点。
y
1
y sin
1 x
●
x
●
x x
●●
1
●：Hi, 小蓝点，你停不住， 我也停不住啊。还想连上， 你可真逗！
●：Hi, 小红点，你能不能停 住？我怎么也停不住，那可 怎么连上啊？
1 例8 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性 . x 解 在x 0处没有定义,
第四章 函数的连续性
4.1 连续性概念
4.2 连续函数的性质
4.3 初等函数的连续性
4.1连续性概念
一、函数在一点的连续性 1.函数的增量
设函数 f ( x )在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于x的增量.
解 f (0 0) 0,
f (0 0) ,
o x
x 1为函数的第二类间断点.
第一类间断点
•可去间断点 •跳跃间断点
第二类间断点
•无穷间断点 •震荡间断点
第一类间断点
可去间断点 无定义、值太高、值太低 跳跃间断点
第二类间断点
无穷间断点 震荡间断点
情形1.1 ：f ( x)在x0处无定义 .
y sin( x x ) sin x 2 sin
x cos( x ) 1, 2
对任意的, 当 0时,
x 当x 0时, y 0. 故 y 2 sin x , 2 即 函数 y sin x对任意 x ( ,)都是连续的.
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
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由图容易看出：
lim arctan x ,
x
2
2
y arctan x x
lim arctan x ,
x
2
由定理可知： lim arctan x 不存在. x
2
请同学们 自己证一下.
.精品课件.
18
二. x x0 时, f (x) 的极限
x x0 时函数的 极限, 是描述当 x 无限 接近 x0 时, 函数 f (x) 的变化趋势.
想想：如何从几何的角度来表示该定义？
| f (x) a | a f (x) a
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5
lim f (x) a 的几何意义
x
y
y f (x)
y a ya
y a
O
X
x
当 x X 时, a f (x) a , 即函数的图
形夹在两条平行线 y a 和 y a 之间.
非
常
非
常
严
格
！
.精品课件.
24
例5
证明 lim 2(x2 4) 8 . x2 x 2
证 0, 要 2(x2 4) (8) ,
x2
x 2
只要 | 2(x 2) 8 | 2 | x 2 | 2 | x (2) |
故取 , 则当 0 | x (2) | 时, 有
第二章 极 限
数列的极限 函数的极限 无穷小量与无穷大量 极限的运算 极限存在定理 两个重要极限 无穷小量的比较
结束
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1
第二节 函数的极限
一. x 时, f (x) 的极限 二. x x0 时, f (x) 的极限 三. 函数极限的性质 四. x x0 时, f (x) 的左、右极限
§6.2 柯西中值定理和不定式极限 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件
*定理6.6（柯西中值定理）设函数在区间(),f x )(x g ],[b a 上满足:(i) f (x ) , g (x ) 在闭区间[a , b ] 上连续;(iii);0)()(22>'+'x g x f (iv).)()(b g a g ≠则在开区间内必定(至少) 存在一点),(b a ,ξ柯西中值定理(ii) f (x ) , g (x ) 在开区间(a , b ) 上可导;'-='-()()().()()()f f b f ag g b g a ξξ后退前进目录退出使得几何意义首先将f , g 这两个函数视为以x 为参数的方程,)(x g u =.)(x f v =它在O -uv 平面上表示一段曲线. 恰好等于曲线d d x v u ξ=存在一点( 对应于参数)的导数ξ()().()()ABf b f a kg b g a -=-由拉格朗日定理的几何意义,))(,)((ξξf g P ))(,)((b f b g B ((),())A g a f a O uv ∙∙∙端点弦AB 的斜率:证作辅助函数()()()()()(()()).()()f b f a F x f x f ag x g a g b g a -=----显然,满足罗尔定理的条件, )(x F ),,(b a ∈ξ使得, 0)(='ξF 0()()()().()()f b f a fg g b g a ξξ-''-=-()0(()(iii)),g f ξξ''≠因为否则也为零,与条件矛盾()()().()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='-从而所以存在点即例1 设函数 f 在区间[a , b ](a > 0) 上连续, 在(a , b ).ln )()()(abf a f b f ξξ'=-显然f (x ),g (x ) 在[a , b ] 上满足,ln )(x x g =于是存在, 使得),(b a ∈ξ1()()(),ln ln f b f a f b aξξ'-=-变形后即得所需的等式.),(b a ∈ξ上可导, 则存在, 使得证设柯西中值定理的条件,例2 设 f 在区间(0, 1] 上可导, ().x f x M '≤得(0,1]则f 在上一致连续.||1,M A =+证设0lim ()x x f x A +→'=因为0lim (),x x f x A +→'=当10,x δ<<时1[,](0,]x y δ⊂在上，()x f x 运用柯西中值定理，(,),x y ξ∈知存在()()f x f y x y--2()f ξξ'=2.M ≤2|()()|.f x f y Mx y -≤-11(01)δδ∃<<从而f 在1(0,]δ上一致连续.1(0,]x δ在上一致连续，又f 在1[,1] δ上一致连续，因此f 在(0,1]上一致连续.在极限的四则运算中, 往往遇到分子,分母均为无不定式极限究这类极限,这种方法统称为洛必达法则.称为不定式极限.比较复杂，各种结果均会发生.穷小量(无穷大量) 的表达式. 这种表达式的极限我们将这类极限统现在我们将用柯西中值定理来研定理6.7满足：和若函数g f 00(i)lim ()lim ();x x x x f x g x →→==00(ii)()x U x 在点的某空心邻域内两者均可导，0();g x '≠且()0()(iii)lim ,.()x x f x A A g x →'=±∞∞'可以为实数，则00()()lim lim .()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='01.0型不定式极限),(0x U x∈任取应用柯西中值定理，有000()()()()(.()()()()f x f x f x f x xg x g x g x g ξξξ'-=='-介于与之间)0()lim()x x f x g x →00,,x x x ξ→→令则于是有证00()()0,f x g x ==补充定义,f g 所以.0连续在点x 00[,]([,])x x x x 则在区间或上0()lim ()x x f g ξξ→'='0()lim .()x x f x A g x →'=='只要修正相应的邻域，的情形,,-∞→+∞→x x 结论同样成立.注，，改为中的将定理-+→→→0001x x x x x x例１π41tan lim .sin4求x xx →-解0.容易验证：这是一个型不定式000()lim ,()x x f x g x 如果仍是型不定式极限只要满足洛→''41tan lim sin4x x x π→-.2142=--=24sec lim 4cos4x x x π→-=0()lim()x x f x g x →''考察必达法则的条件,可再用该法则.存在性.例2.)1ln()21(e lim 2210x x xx ++-→求解2201ln()~,x x x →+因为当时，所以11222200e (12)e (12)lim lim ln(1)x xx x x x x x→→-+-+=+x x xx 2)21(e lim 210-→+-=2)21(e lim 230-→++=x xx .1=这里在用洛必达法则前，使用了等价无穷小量的代换，其目的就是使得计算更简洁些.00型例301lim .e求+→-xx x解可直接利用洛必达型不定式极限这显然是,00法则. 00,t x x t ++=→→令当时有01lim exx x +→-01lim e t t t +→=-于是011lim .et t +→==--但若作适当变换, 在计算上会显得更简洁些.例410(1)e lim .xx x x→+-求解1100(1)(1)e limlim 1xxx x x x x →→'⎡⎤++-⎣⎦=120ln(1)1lim(1)x x xx xx x→-++=+12000(1)ln(1)1lim(1)lim lim 1xx x x x x x x xx →→→-++=++xx 21)1ln(1lim e 0x -+-=→.2e -=对数求求导法定理6.8.2.∞型不定式极限满足：和若函数g f 0(i)lim ()x x g x +→=∞；00(ii)()x U x +在点的某右邻域内二者均可导，0();g x '≠且()0()(iii)lim ,,.()x x f x A A g x →'=±∞∞'可以为实数则00()()lim lim .()()x x x x f x f x A g x g x ++→→'=='证01,x x x x <<满足不等式的每一个(),()f x Ag x ε'-<'1(,),x x ξ∈由柯西中值定理，存在使11()()().()()()f x f x fg x g x g ξξ'-='-从而有11()()(),(1)()()()2f x f x f A Ag x g x g ξεξ'--=-<'-.为实数设A ,0>ε对于任意的),(01x U x+∈∃从而112()()()()()()()f x f x g x A g x g x g x g x ε⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭11()()()(2)()()()2f x f x f A g x g x g ξεξ'-==<+'-()2由式得,1)()()(lim 10=-→x g x g x g xx 因为所以由保号性，存在正数110()x x δ<-，001x x x δ<<+使得当时，1()0,()()g x g x g x >-→=∞0lim (),x x g x 因为所以)()()()(2)()(111x g x f x g x f A x g x g <+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-ε)3( )()(2)()(111x g x f A x g x g +⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<ε110()()lim 1()2()x x g x f x A g x g x ε→⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;2ε-=A 110()()lim 1()2()x x g x f x A g x g x ε→⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;2ε+=A再由保号性得知，().()f x A A g x εε-<<++→=0()lim .()x x f x A g x 这就证明了,A =+∞-∞∞思：若，或考应该如何证明？<<<+100(),x x x δδδ存在正数当时注00x x x x x x +-→→→这里的可以用，，件要作相应的改变..x x →-∞→∞，来替换当然定理的条,x →+∞例5.ln limxxx +∞→求解.型不定式这是一个∞∞1ln lim lim 0.1x x x x x→+∞→+∞==例6.e lim 3x xx +∞→求解233e lim e lim x x x x x x +∞→+∞→=x x x 6e lim +∞→=6e lim x x +∞→=.+∞=例72sin lim .2sin x x xx x →∞+-求极限解,.如果用洛必达法则型不定式这是一个∞∞22322sin cos lim lim .()sin cos x x x x x x x x →∞→∞++=--22cos lim ,cos x xx→∞+-而极限不存在但是原极限sin sin 22sin lim lim 1.2sin 2x x xx x xx xx x →∞→∞++==--→∞→∞'∴'()()lim lim .()()x x f x f x g x g x 不存在时,不能推出不存在例8lim .arctan2xx A x→+∞=求极限解ππlim arctan ,lim arctan2,22x x x x →+∞→+∞==因为所以A = 1. →+∞arctan lim arctan2x x x 这就产生了错误的结果. 这说明: 在使用洛必达法则前，必须首先要判别它究竟是否是0.0∞或型若错误使用洛必达法则：→+∞+=⋅=+22114lim 2,12x x x3. 其他类型的不定式极限00010,∞⋅∞∞∞±∞不定式极限还有，，，，等类型它0.0∞∞们一般均可化为型或者型.下面我们举例加以说明解1ln ln ,xx x x =注意到则但若采用不同的转化方式:很明显, 这样下去将越来越复杂, 难以求出结果.例90lim ln .x x x +→求0()⋅∞型,=x x x x x x ln 1lim ln lim 00++→→=021lim 1ln x x x +→=-220lim ln x x x +→=-00ln lim ln lim 1x x x x x x++→→=021lim 1x x x +→=-.0)(lim 0=--=+→x x解221lncos 20lncos 0(cos )e,lim .0xx x x x x x →=而是型由于20lncos lim x x x →因此2112lim(cos )e .x x x -→=例1021lim(cos ).x x x →求(1)∞型0sin 1lim ,2cos 2x x x x →-==-解πln arctan2limkxxx→+∞⎛⎫-⎪⎝⎭()121limπarctan12x kx kx x →+∞--=⎛⎫-⋅+⎪⎝⎭12 11limπarctan(1)2xkkx x x→+∞-=-⎛⎫-⋅+⎪⎝⎭例1112πlim arctan().kxxx k→+∞⎛⎫->⎪⎝⎭求0()型1211(1)limarctan 2k x x x k xπ-+-→+∞+=--2112221(1)(1)(1)2lim11kk x k x x x x x k x---+-→+∞-+++=-+所以，原式=e 0=1.,0=2211lim((1)2(1))k k x k x x x k --+-→+∞=--++解201lim 2cot 1cos x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭()22320sin 2cos 2cos lim 1cos sin x x x x x x→-+=-22340sin 2cos 2cos 2lim x x x x x→-+=2306sin cos 6sin cos 2lim 4x x x x x x→-=22012cos lim 1cos sin x x x x →⎛⎫=- ⎪-⎝⎭例12201lim 2cot .1cos x x x →⎛⎫-⎪-⎝⎭求()∞-∞型等价无穷小代换300sin sin cos 3lim limcos x x x x x x x→→-=2220cos cos sin 3lim 3x x x x x →-+=222001cos sin lim cos lim x x x x x x x→→-=+131.22=+=30sin sin cos 3lim x x x x x→-=300sin sin cos 3lim limcos x x x x x x x →→-=例13(),0().0,0g x x x f x x ≠⎧=⎨=⎩设(0)(0)0,(0)3,(0).g g g f ''''===已知求解(0)0,g '==()0.f x x =所以在处连续x xg x f x x )(lim )(lim 00→→=因为0)0()(lim 0--=→x g x g x ()0)0()(lim 00--='→x f x f f x x x f x )(lim 0→=20)(lim xx g x →=x x g x 2)(lim 0'=→0)0()(lim 210-'-'=→x g x g x )0(21g ''=.23=证根据洛必达法则，有例14()[,)f x a +∞设在上连续可微，lim (()()).lim ().x x f x f x A f x A →+∞→+∞'+==证明x xx x x f x f e)(e lim )(lim +∞→+∞→=[])()(lim x f x f x '+=+∞→.A =复习思考题数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社例13 中的条件(0)0g =用在何处？为什么在0()lim 2x g x x→'==1(0)2g ''时不用洛必达法则？。
§3.4 两个重要的极限 数学分析(华师大 四版)课件 高教社ppt 华东师大教材配套课件
0sin lim 1x x x →=1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭*点击以上标题可直接前往对应内容)1(.cos 1sin 1xx x <<不等式中的三个表达式均是偶函数, 证πsin tan 0,2x x x x ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭因为所以命题1π0||12x <<时,()式仍成立.后退前进目录退出x 故当sin lim 1x xx →=001lim =1=lim =1cos x x x →→=因为，0lim 1,sin x xx →=所以0sin lim 1.x xx →=即πsin lim πx x x →-解π,t x =-令所以例1 求πsin lim .πx xx →-()sin sin πsin ,x t t =+=-则0sin lim 1.t t t→-==-例2.arctan lim 0x xx →求x x x arctan lim 0→arctan ,tan ,t x x t ==令解.cos 1lim 20xxx -→求例3解2202sin 2lim xx x →=.21=20cos 1lim x x x -→2022sin 21lim ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x t t t tan lim 0→=t t tt t cos lim sin lim 00→→⋅=1=则命题2e 11lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→xx x .e 11lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-→xx x 和证我们只需证明：();,2,1,1,111 =+<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n n x n n x f n 设两个分段函数分别为1lim 1exx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭().,2,1,1,111=+<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n x n n x g n显然有()().),1[,11∞+∈≤⎪⎭⎫⎝⎛+≤x x g x x f x因为(),e 111lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∞→+∞→nn x n x f (),e 11lim lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→+∞→n n x n x g 所以由函数极限的迫敛性，得到1x§4 两个重要的极限sin lim 1x x x →=.e 11lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→xx x 这就证明了())3(.e 1lim 1=+→t t t 注,1xt =若令由此可得在实际应用中，公式(2)与(3)具有相同作用..e 111111lim 11lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∞→-∞→y y x y y xx .0,→∞→t x 时则1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.1111111xy y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+所以时，因为当,+∞→-∞→y x解),3(由公式例4xx x 1)21(lim +→求()10lim 12xx x →+()2120=lim 12xx x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦2e .=例51lim(1)xx x →-求解()10lim 1xx x →-()110=lim 1xx x --→⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1e .-=,01,e 11lim 2→-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n nn ＝而.e 11lim 122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→n n n n n 所以由归结原则，.111lim 2nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→求例6解因为2111nn n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭1122211111---⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n nn n nn n n n .112122--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≥n n n n 11e,nn ⎛⎫<+→ ⎪⎝⎭.e 111lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→nn n n 再由迫敛性, 求得。