初一数学竞赛讲座(四)有理数的有关知识
初中数学有理数知识点总结
初中数学有理数知识点总结1.有理数的定义有理数是整数和分数的统称。
整数是正整数、负整数和0。
分数是一个整数除以一个非零整数得到的数，可以是正分数和负分数。
理论上，有理数可以表示为分数的形式，也可以表示为小数的形式。
2.有理数的大小比较对于有理数a和b，可以根据它们的大小关系进行比较。
（1）当a和b符号相同，并且a和b的绝对值相等时，a=b。
（2）当a和b符号相同，并且a的绝对值大于b的绝对值时，a>b。
（3）当a和b符号相同，并且a的绝对值小于b的绝对值时，a<b。
（4）当a和b符号相反时，不论它们的绝对值大小，都有a<b。
3.有理数的加法和减法有理数的加法和减法遵循以下原则：（1）符号相同的有理数相加，保留符号，并将绝对值相加。
（2）符号不同的有理数相加，先求绝对值的差，再给结果加上较大的绝对值的符号。
（3）有理数相减可以转化为有理数相加。
4.有理数的乘法和除法有理数的乘法和除法遵循以下原则：（1）符号相同的有理数相乘，结果为正，绝对值为两个有理数绝对值的乘积。
（2）符号不同的有理数相乘，结果为负，绝对值为两个有理数绝对值的乘积。
（3）有理数相除可以转化为有理数相乘。
5.有理数的乘方有理数的乘方是指一个有理数以自己为底数的n次方的运算，其中n是正整数。
（1）正数的幂是一个正数，其底数的绝对值不变，指数是幂的个数。
（2）负数的幂是一个正数，其底数的绝对值不变，指数是幂的个数。
（3）0的正数次幂为0。
（4）0的负数次幂没有定义。
（5）数的0次幂等于16.有理数的约分和化简有理数的约分是指将一个有理数的分子和分母同时除以一个公因数，使分数的分子和分母都没有公约数。
7.有理数的小数表示有理数可以表示为小数的形式。
有理数的小数形式可以是有限的小数、无限循环小数和无限不循环小数。
8.有理数的绝对值有理数的绝对值是指这个数离0的距离。
对于正数，绝对值等于这个数本身；对于负数，绝对值等于这个负数去掉负号。
初一有理数的知识点归纳总结
初一有理数的知识点归纳总结有理数是数学中一种重要的数类，是整数和分数的统称。
在初中数学中，有理数的概念常常会出现，学好有理数的相关知识点对于后续数学学习的顺利进行至关重要。
下面对初一学习的有理数相关知识点进行归纳总结。
一、有理数的定义及表示法1. 有理数是整数和分数的统称，可以表示为p/q的形式，其中p、q为整数且q≠0。
2. 有理数可以用数轴上的点表示，数轴上的0表示0，正方向表示正有理数，负方向表示负有理数。
二、有理数的大小比较1. 相反数：对于有理数a，存在一个有理数-b，使得a+b=0，称-b为a的相反数。
相反数具有相等的绝对值，但符号相反。
2. 绝对值：对于有理数a，如果a≥0，则a的绝对值为a；如果a<0，则a的绝对值为-a，记作|a|。
三、有理数的四则运算1. 加法和减法：- 同号数相加减：同号数相加减，绝对值不变，符号不变。
- 异号数相加减：异号数相加减，绝对值减小，结果的符号由绝对值大的数的符号决定。
2. 乘法和除法：- 同号数相乘除：同号数相乘除，结果为正数。
- 异号数相乘除：异号数相乘除，结果为负数。
- 0的乘法：任何数与0相乘，结果都为0，0除以任何非零数结果为0。
四、有理数的化简与还原1. 化简是指将一个有理数的分子和分母的公因数约分，从而得到一个和原有数等值的简化分数。
2. 还原是指将一个有理数的分子和分母经过运算，得到一个相对较大的数。
五、有理数的实际应用1. 有理数在数轴上的表示可以帮助我们了解数值的大小关系和相对位置关系。
2. 有理数在生活中的应用包括温度计的读数、海拔高度的标定等。
3. 有理数在数学问题中的应用包括解方程、分数的运算等。
六、有理数的乘方与开方1. 乘方：对于有理数a和正整数n，我们定义a的n次方为an，其中an=a*a*...*a(n个a的积)。
2. 平方根：对于非负有理数a，我们称b为a的平方根，当b*b=a 时。
3. 立方根：对于任意有理数a，我们称b为a的立方根，当b*b*b=a 时。
初一数学竞赛系列训练4有理数的有关知识
初一数学竞赛系列训练4有理数的有关知识一、选择题1、若的值是，则aa a 12=( ) A 、1 B 、-1 C 、1或-1 D 、以上都不对2、方程132=-+-x x 的解的个数是( ) (第四届祖冲之杯数学邀请赛试题)A 、0B 、1C 、2D 、3E 、多于3个3、下面有4个命题：①存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同．②存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同．③存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同．④存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同．其中正确的命题是：（ ）（A ）①和② （B ）②和③（C ）③和④ （D ）④和①4、两个质数的和是49，则这两个质数的倒数和是( )A 、4994B 、9449C 、4586D 、8645 5、设y ＝ax 15+bx 13+cx 11-5(a 、b 、c 为常数)，已知当x ＝7时，y ＝7，则x ＝ -7时，y 的值等于( )A 、-7B 、-17C 、17D 、不确定6、若a 、c 、d 是整数，b 是正整数，且满足a +b ＝c ，b +c ＝d ，c +d ＝a ，则a +b +c +d 的最大值是( )A 、-1B 、0C 、1D 、-5二、填空题7、设a <0，且x ≤21 ,--+x x aa 则＝ . 8、a 、b 是数轴上两个点，且满足a ≤b ．点x 到a 的距离是x 到b 的距离的2倍，则x ＝ .9、 若()236-+m a 与互为相反数，则=m a . 10、计算：=+++++++++++++100321132113211211 . 11、若a 是有理数，则|)|(||||)(a a a a -+-++-的最小值是 .12、有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，化简._____|1||||1|||=------+c c a b b a三、解答题13、化简：325-++x x14、已知()200222110112⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++-b a b a ，求15、若abc ≠0，求c c b b a a ++的所有可能的值．16、x 是有理数，求22195221100++-x x 的最小值．17、已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值为1，求a +b +x 2-cdx 的值．18、求满足1=++b a ab 的所有整数对(a ，b ).19、若631542+-+-+x x x 的值恒为常数，求x 的取值范围及此常数的值．20、已知方程1+=ax x 有一个负根而没有正根，求a 的取值范围．初一数学竞赛系列训练4答案1、选C2、132=-+-x x 表示x 到2与3的距离和等于1，可见x 在这两点之间(包括这两点)，所以方程的解是2≤x ≤3的所有数，故应选E3、既然只有零和它的相反数相同，所以①不正确，②是正确的，另外1与－1都等于其倒数，因此④不正确，③是正确的．所以选择B ．4、两个质数的和是49，则这两个质数必是2和47，944947121=+ 选B 5、∵x ＝7时，y ＝7，∴a ⋅715+b ⋅713+c ⋅711-5＝7，∴a ⋅715+b ⋅713+c ⋅711＝12则x ＝ -7时，y ＝a (-7)15+b (-7)13+c (-7)11-5＝ -( a ⋅715+b ⋅713+c ⋅711)-5＝ -12-5＝ -17，选B6、∵a +b ＝c ，c +d ＝a ，∴b ＝c -a ，d ＝a -c ，∴d ＝ -b∵b +c ＝d ，∴c ＝d -b ＝-2b ，由c +d ＝a ，∴a ＝-3b∴a +b +c +d ＝ a +c ＝-3b -2b ＝-5b ，∵b 是正整数 ，∴-5b 的最大值是-5，选D7、∵a <0，∴1-=aa ,∴x ≤-1， 则()()=+---=--+-=--+x x x x x x 212121 -38、由题意得：b x a x -=-2，所以x -a ＝2(x -b ) 或x -a ＝ -2(x -b ) 解得：322a b x a b x +=-=或 9、∵()236-+m a 与互为相反数，∴()236-++m a ＝0，则a +6＝0且m -3＝0∴a ＝-6,m ＝3, ∴=m a (-6)3＝ -21610、原式＝()()()2100100112331122211⨯+++⨯++⨯+ 10199101211011212101110014131312121011002432322=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-=⨯++⨯+⨯= 11、若,0≥a 则|)|(||||)(a a a a -+-++-＝0若a <0，则a a a a a 2|)|(||||)(-=-+-++->0．所以|)|(||||)(a a a a -+-++-的最小值是0．12、由图可见，,)(||,00,0b a b a b a b a +-=+⇒〈+⇒〈〈又 )1(|1|0110--=-⇒〈-⇒〈〈b b b b ；)(||00c a c a c a c a --=-⇒〈-⇒〈〈 由图可知 .1|1|011c c c c -=-⇒〉-⇒〈 所以：[][])1()()1()(|1||||1|||c c a b b a c c a b b a --------+-=------+.211)1()()1()(-=+--+-+--=---+-++-=c c a b b a c c a b b a13、由x +5＝0得x ＝ -5，由2x -3＝0得x ＝3/2所以，当x <-5时，原式＝ -(x +5)-(2x -3)＝-3x -2当235<≤-x x <-5时，原式＝ (x +5)-(2x -3)＝-x +8 当23≥x 时，原式＝ (x +5)+(2x -3)＝3x +2 即原式＝⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤-+--<--)23(,23)235(,8)5(,23x x x x x x 14、由题意得：2a -1＝0且b +1＝0，所以a ＝1/2，b ＝ -1则514(-1)2112002220022=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛b a15、∵abc ≠0，∴a 、b 、c 均不等于0．① 若a 、b 、c 均为正，则3=++=++cc b b a a c c b b a a ② 若a 、b 、c 中仅有一个为正，不妨设a >0，b <0，c <0，则1-=-+-+=++cc b b a a c c b b a a ③ 若a 、b 、c 中有二个为正，不妨设a >0，b >0，c <0，则1=-++=++cc b b a a c c b b a a ④ 若a 、b 、c 均为负，则3-=-+-+-=++c c b b a a c c b b a a∴cc b b a a ++有四种可能的不同取值：±1，±3 16、分三种情况讨论：（1） 当22195〈-x 时，|22195||221100|++-x x .17152211952215)22195()2(22152)2295()221100(==+-⋅-〉+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=x x x （2） 当22110022195≤≤-x 时，|22195||221100|++-x x .1715221195)22195()221100(==++--=x x (3)当221100〉x 时， .17152211952215221100222152)22195()221100(|22195||221100|==-⨯〉-=++-=++-x x x x x 综合（1），（2），（3），可得，最小值是.1715 17、∵a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值为1∴a +b ＝0，cd ＝1，x ＝±1∴当x ＝1时，原式＝0+1-1⨯1＝0当x ＝ -1时，原式＝0+1-1⨯(-1)＝218、∵ab ≥0，b a +≥0，且a ，b 为整数， ∴ab ＝0 且b a +＝1 ①，或ab ＝1 且b a +＝0 ②，由①得⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧-====-====10 10 10 10a b a b b a b a 或或或 由②得⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-=-==11 11b a b a 或所以，满足条件的所有整数对是(0，1)、(0，-1)、(1，0)、(-1，0)、(1，-1)、(-1，1).19、要使631542+-+-+x x x 的值恒为常数，必须使得631542+-+-+x x x的值与x 无关，即要使得去掉绝对值后的x 项相互合并为0，所以应该有4-5x ≥0，1-3x ≤0, ∴5431≤≤x ，此时631542+-+-+x x x ＝2x +4-5x +3x -1+6＝920、∵方程有一个负根，则有 -x ＝ax +1，即 (a +1)x ＝ -1 ∴有011<+-=a x ，∴a >-1 假设方程有正根，则有 x ＝ax +1，即 (a -1)x ＝ -1 ∴有011>--=a x ，∴a <1，从而方程没有正根应a ≥1 所以方程1+=ax x 有一个负根而没有正根时，a 的取值范围为a ≥1。
七年级有理数部分知识点
七年级有理数部分知识点有理数是数学中的一个重要概念，这个概念在初中数学中也发挥着重要的作用。
在七年级有理数部分，我们将学习到有理数的概念、有理数的大小比较、有理数的加减乘除等。
一、有理数的概念有理数是指可以表示为两个整数之比的数，包括正有理数、负有理数和零。
它们可以用分数的形式表示，相对于无理数而言，有理数是一类较为特殊的数。
二、有理数的大小比较1.同号比大小：如果两个有理数同为正数或同为负数，则绝对值越大的数越大。
2.异号比大小：如果两个有理数异号，则它们的绝对值大小比较，绝对值大的数绝对值大说明数值小。
三、有理数的加减乘除1.有理数的加法有理数的加法遵循“正负相加，取绝对值大的符号”的原则。
例如，2+3=5，-2+3=1，-2+(-3)=-5。
2.有理数的减法有理数的减法可以转换为加法，例如，a-b=a+（-b）。
因此，有理数的减法也满足“正负相减，取绝对值大的符号”的原则。
3.有理数的乘法有理数的乘法遵循“同号得正，异号得负”的原则。
例如，2×3=6，-2×3=-6，-2×(-3)=6。
4.有理数的除法有理数的除法可以转换为乘法，例如，a÷b=a×（1/b）。
注意，除数不能为零，所以在进行有理数的除法时，要注意除数不能为零的情况。
四、小数和分数的相互转换小数和分数是常见的有理数表达形式。
在数学中，小数和分数之间可以相互转换。
具体转换方法如下：1.小数转分数把小数的小数点后的数字作为分母，分子为小数点前的数字。
例如，0.5可以转换为1/2。
2.分数转小数把分数的分子÷分母即可得到小数。
例如，3/4可以转化为0.75。
总之，在七年级有理数部分，我们会学习到有理数的概念、大小比较、加减乘除等知识。
这些知识不仅仅只在初中阶段有用，更是数学基础的必修内容，对于我们今后的学习和生活都有着重要的作用。
七年级数学 有理数知识点
七年级数学有理数知识点七年级数学--有理数知识点有理数是指带分数、正整数、负整数和0四种数的统称。
在学习有理数的概念、性质、运算等知识点中，初中数学的七年级是基础阶段，下面我们来逐一了解。
一、有理数定义有理数定义是指一些可以表示为分数形式的数，这些数皆可以用整数表示，在它们组成的集合中，0和平方不大于0的整数属于这个集合。
二、绝对值数轴被分为两段，以0为分界点，左侧全是负数，右侧全是正数；对于同一数轴上的任何两个点a，b，它们的距离就是|a-b|，也就是它们所代表的有理数的绝对值。
三、有理数的比较有理数可以使用大小关系符号进行比较。
对于两个不同的有理数a、b，如果a<b，我们说a小于b，同理，如果a>b，我们说a 大于b，a和b的大小关系有三种可能情况：a=b、a<b、a>b。
对于相等关系的判定，我们使用等于号“=”，对于大小关系的判定，只需看括号内的符号，如a<b，则a小于b。
四、有理数的负数- 一个正整数的相反数是用相反符号表示的数；- 零的相反数仍然是零；- 一个负整数的相反数是用相反符号表示的正整数。
五、有理数的加减法有理数的加减法运算是根据同号异号进行分类讨论，基本法则可以总结为：1. 同号相加，取相同符号，结果取绝对值之和；2. 异号相加，取较大数的符号，结果取较大数的绝对值减去较小数的绝对值；3. 同号相减，取相反符号，结果取绝对值之差；4. 异号相减，取前一个数的符号，结果取前一个数的绝对值加上后一个数的绝对值。
六、有理数的乘除法有理数的乘除法同样是根据同号异号进行分类讨论，基本法则可以归结为：1. 同号相乘，结果为正；异号相乘，结果为负；2. 分子分母同色，约掉后需保留符号；异色无需再约分，最终结果直接相乘即可。
七、有理数的混合运算有理数可以进行混合运算，包括加减乘除四种基本运算方法。
在实际应用中，混合运算更常见，需要注意转换运算法则为逐步化简，先乘除后加减。
初一有理数的知识点总结 初一有理数知识结构图
初一有理数的知识点总结引言有理数是数学中的一个重要概念，也是初中数学的基础知识之一。
在初一学习有理数的过程中，我们需要掌握有理数的定义、有理数的大小比较、有理数的加减乘除运算等基本知识点。
本文将对初一有理数的知识点进行总结和归纳。
有理数的定义有理数是可以表示成两个整数的比值形式的数。
有理数包括整数和分数两种形式。
整数可以表示为正整数、负整数和 0，分数可以表示为有限小数或循环小数。
有理数可以用分数的形式表示为 a/b，其中 a 是整数，b 是非零整数。
例如，1/2、-3/4、5/8 都是有理数。
有理数的大小比较在初一学习有理数时，我们需要掌握有理数的大小比较。
有理数的大小比较可以通过以下几种方法进行判断： 1. 同号比大小：正数大于负数，负数小于正数。
2. 绝对值比大小：绝对值大的数较大，绝对值小的数较小。
3. 分数相等时比分子大小：如果两个分数的分母相等，分子较大的数较大。
4. 分数不等时通分比大小：将两个分数通分，然后比较分子的大小。
有理数的加减乘除运算加法运算有理数的加法运算是指两个有理数相加的操作。
有理数的加法运算规则如下： 1. 同号相加：两个正数相加，保留正号，数值相加；两个负数相加，保留负号，数值相加。
2. 异号相减：正数减去负数，保留正号，数值相加；负数减去正数，保留负号，数值相加。
3. 绝对值相等时：将同号数的绝对值相加，并使用原来的符号。
减法运算有理数的减法运算是指两个有理数相减的操作。
有理数的减法运算规则如下： 1. 减去一个数相当于加上这个数的相反数。
2. 两个数相减时，把减法变成加法，然后按照加法的规则进行计算。
乘法运算有理数的乘法运算是指两个有理数相乘的操作。
有理数的乘法运算规则如下： 1. 同号相乘为正，异号相乘为负。
2. 乘以零时结果为零。
3. 绝对值相等时，异号数相乘得负数。
除法运算有理数的除法运算是指两个有理数相除的操作。
有理数的除法运算规则如下： 1. 同号相除为正，异号相除为负。
七年级有理数知识点总结
七年级有理数知识点总结
1. 有理数的定义
有理数是整数和分数的统称，可以表示为分子和分母都是整数的分数形式。
2. 有理数的分类
有理数可以分为正有理数、负有理数和零。
3. 有理数的比较
对于两个有理数的大小比较，可以通过比较其大小关系，如大于、小于、等于。
4. 有理数的运算
4.1 加法和减法
对于有理数的加法和减法运算，可以采用分数的通分法来进行计算，并将分子部分进行加减运算，保持分母不变。
4.2 乘法和除法
对于有理数的乘法和除法运算，可以将分数进行约分后，分别
计算分子和分母的乘除运算。
5. 有理数的应用
有理数在实际生活中有广泛的应用，例如计算货币、温度等。
6. 有理数的绝对值
有理数的绝对值就是去掉其符号，保留其数值部分。
7. 有理数的倒数
有理数的倒数就是将其分子和分母交换位置后得到的新有理数。
8. 有理数的表示与运算规律
有理数可以通过分数形式或小数形式来表示，并且在运算时遵
守数字的运算规律。
以上是对七年级有理数知识点的简要总结。
有理数的应用广泛
且实用，掌握了这些知识点，可以更好地理解和运用有理数概念。
七年级数学思维探究：有理数的运算(有答案)(数学竞赛)
七年级数学思维探究：有理数的运算(有答案)(数学竞赛)杨辉,中国南宋时期杰出的数学家,大约于13世纪中叶至末叶生活在钱塘（今杭州）一带．他一生著作很多,著名的数学书共5种21卷．大家熟悉的“杨辉三角”数表就在他1261年所著的《详解九章算术》一书里记载着,他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的“纵横图”及有关的构造方法． 3．有理数的运算有理数及其运算是整个数与代数的基础,有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上．深刻理解有理数相关概念,掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础．有理数的运算不同于算术数的运算：这是因为有理数的运算每一步要确定符号,有理数的运算很多是字母运算,也就是常说的符号演算．运算能力是运算技能与推理能力的结合．这就要求我们既能正确地算出结果,又善于观察问题的结构特点,选择合理的运算路径,提高运算的速度．有理数运算常用的技巧与方法有： 利用运算律；以符代数；恰当分组；裂项相消；分解相约；错位相减等． 问题解决例1 （1）已知()()21,2,3,1n aa n n ==+,记()1121b a =-,()()212211b a a =--,…,()()()122111n n b a a a =---,则通过计算推测n b 的表达式n b =________．（用含n 的代数式表示）（2）若a 、b 是互为相反数,c 、d 是互为倒数,x 的绝对值等于2,则42x cdx a b +--的值是____． 试一试对于（2）,运用相关概念的特征解题．例2 已知整数a 、b 、c 、d 满足25abcd =,且a b c d >>>,那么a b c d +++等于（）． A ．0 B ．10 C ．2 D ．12试一试解题的关键是把25表示成4个不同整数的积的形式． 例3计算（1）1121231259233444606060⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）111112123123100+++++++++++；（3）77371217381727111385271739172739⎛⎫⎛⎫+-÷+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 试一试对于（1）,设原式S =,将各括号反序相加；对于（2）,若计算每个分母值,则易掩盖问题的实质,不妨先从考察一般情形入手；对于（3）,视除数为一整体,从寻找被除数与除数的关系入手,例4在数学活动中,小明为了求2341111122222n+++++的值（结果用n 表示）,设计了如图所示的几何图形．图①图②（1）请你用这个几何图形求2341111122222n +++++的值； （2）请你用图②,再设计一个能求2341111122222n+++++的值的几何图形． 试一试求原式的值有不同的解题方法,而剖分图形面积是构造图形的关键． 例5在1,2,…,2002前面任意添上正号和负号,求其非负和的最小值．分析与解首先确定非负代数和的最小值的下限,然后通过构造法证明这个下限可以达到即可．整数的和差仍是整数,而最小的非负整数是0．代数和的最小值能是0吗？能是1吗？由于任意添“+”号或“-”号,形式多样,因此,不可能一一尝试再作解答,从奇数、偶数的性质入手． 因a b +与a b -的奇偶性相同,故所求代数和的奇偶性与()20021200212320012002100120032⨯++++++==⨯的奇偶性相同,即为奇数．因此,所求非负代数和不会小于1．又()()()()()123456789101112131419992000200120021-++--++--++--+++--+=∵,∴所求非负代数和的最小值为1．类比类比是一种推理方法,根据两种事物在某些特征上的相似,作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通,即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 例6观察下面的计算过程111111111111141122334451223344555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 问：（1）从上面的解题方法中,你发现了什么？用字母表示这一规律．（2）“学问”,既要学会解答,又要学会发问．爱因斯坦曾说：。
初中数学有理数常考必考知识点总结
初中数学有理数常考必考知识点总结一、有理数的概念和性质有理数是整数和分数的统称，包括正数、负数和零。
有理数具有以下性质：1.有理数可以通过有限次四则运算（加、减、乘、除）得到。
2.有理数可以表示为分数形式，其中分子和分母都是整数。
3.有理数可以进行大小比较，即两个有理数可以比较大小，可以用“<”、“>”或“=”来表示大小关系。
二、有理数的加法和减法1.有理数的加法：同号相加，异号相减。
2.有理数的减法：减去一个有理数等于加上它的相反数。
三、有理数的乘法和除法1.有理数的乘法：同号得正，异号得负。
2.有理数的除法：除以一个非零有理数等于乘以它的倒数。
四、有理数的大小比较1.两个正数比较大小时，数值大的数较大。
2.两个负数比较大小时，数值小的数较大。
3.一个正数和一个负数比较大小时，数值大的正数较大。
4.两个正数或两个负数的绝对值相等时，数值大的数较大。
五、有理数的绝对值1.正数的绝对值等于它本身。
2.负数的绝对值等于它的相反数。
3.零的绝对值等于零。
六、有理数的数轴表示和相反数1.数轴可以用来表示有理数，数轴上每个点都对应一个唯一的有理数。
2.数轴上的零点是原点，正数在原点右侧，负数在原点左侧。
3.有理数的相反数表示为在数轴上关于原点对称的点。
七、有理数的四舍五入1.对于正数，四舍五入分两种情况：如果小数部分大于等于5，则整数部分加1；如果小数部分小于5，则保留整数部分。
2.对于负数，四舍五入的规则与正数相同，但是整数部分需要减去1八、有理数的分数表示1.有限小数可以表示为分数形式，将小数部分的每位数作为分子，分母为10的幂次（1、10、100等），最后将分子和分母化简。
2.循环小数也可以表示为分数形式，将循环部分的每位数作为分子，分子为循环节的位数，分母为9的幂次减1的值，最后将分子和分母化简。
九、有理数的实际应用1.温度计上的温度可以是正数、负数和零。
2.银行账户的余额可以是正数、负数和零。
七年级有理数的知识点总结
七年级有理数的知识点总结有理数是由整数和分数构成的数集，是数学中重要的基础概念之一。
在七年级的数学学习中，有理数是必须掌握的知识点之一。
本文将对七年级有理数的知识点进行总结，以帮助学生更好地掌握有理数的理论和应用。
1. 有理数的概念有理数包括正有理数、负有理数和零。
其中正有理数是指可以表达为两个正整数之比的数；负有理数是指可以表达为两个负整数之比的数；零是可以表示为分母为1的分数。
即有理数可以用形如 a/b（其中 a 和 b 都是整数，且b ≠ 0）表示。
例如，1、-2、3/4 都是有理数。
2. 有理数的比较在数轴上，有理数按大小由左到右依次排列。
任意两个有理数可以进行比较，其比较方法是先求出两数的通分数，然后比较分子的大小即可。
例如，要比较 3/4 和 1/3 的大小，先通分为 9/12和 4/12，比较分子即可。
3. 有理数的运算有理数可以进行加、减、乘、除等基本运算。
其中，加法和乘法满足交换律、结合律和分配律；减法和除法则不满足交换律和结合律。
有理数的运算需要注意符号、分数化简、通分等问题。
4. 有理数的绝对值有理数的绝对值是其到0 点距离的数字表示，可以用|x| 表示。
例如，|3| = 3，|-2| = 2。
有理数的绝对值有以下性质：- 非负性：对任意有理数 x，|x| ≥ 0；- 正零性：对任意有理数 x，当且仅当 x = 0 时，|x| = 0；- 反对称性：对任意有理数 x 和 y，当且仅当 x = -y 时，|x| = |y|；- 三角不等式：对任意有理数 x 和 y，有|x+y|≤|x|+|y|。
5. 有理数的倒数有理数 a 的倒数是指与 a 乘积为 1 的数，可以用 a⁻¹或 1/a 表示。
例如，3 的倒数是 1/3。
有理数的倒数有以下性质：- 非零性：对任意非零有理数 a，a⁻¹也是非零有理数；- 互逆性：对任意非零有理数 a，a 和 a⁻¹互为倒数；- 分配律：对任意非零有理数 a 和 b，有 (ab)⁻¹ = a⁻¹ b⁻¹。
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1
有理数的有关概念（2）
一、 例题精讲
例1 化简 6312xxx
例2 已知312351312xxxxx，求的最大值和最小值。
※例3 解方程0 13.72811 1415926.3 yyxx
例4 有理数cba,,均不为0，且.0cba设|,|||||||bacacbcbax试求代数式
xx99
19
2000之值。(希望杯培训题)
例5已知a、b、c为实数，且514131accacbbcbaab，， 求cabcababc的值。
例6 求方程132xx的实数解的个数。(祖冲之杯数学邀请赛试题)
例7 求关于x的方程1)a(0 012 ax的所有解的和。
※例8 已知：的值，求，且1012422xxxaaxxx。
二、巩固练习
选择题
1、若的值是，则aaa12( )
A、1 B、-1 C、1或-1 D、以上都不对
2、方程132xx的解的个数是( ) （祖冲之杯数学邀请赛试题)
A、0 B、1 C、2 D、3 E、多于3个
3、下面有4个命题：
①存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同。
②存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同。
③存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同。
④存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同。
其中正确的命题是：（ ）
（A）①和② （B）②和③
（C）③和④ （D）④和①
4、两个质数的和是49，则这两个质数的倒数和是( )
2
A、4994 B、9449 C、4586 D、8645
5、设y=ax15+bx13+cx11-5(a、b、c为常数)，已知当x=7时，y=7，则x= -7时，y的值等
于( )
A、-7 B、-17 C、17 D、不确定
6、若a、c、d是整数，b是正整数，且满足a+b=c，b+c=d，c+d=a，则a+b+c+d的最大
值是( )
A、-1 B、0 C、1 D、-5
填空题
7、设a<0，且x≤21 ,xxaa则=
8、a、b是数轴上两个点，且满足a≤b。点x到a的距离是x到b的距离的2倍，则x=
9、 若236ma与互为相反数，则ma
10、计算：
10032113211321121
1
11、若a是有理数，则|)|(||||)(aaaa的最小值是＿＿＿.
12、有理数cba,,在数轴上的位置如图所示，化简
._____|1||||1|||ccabba
解答题
13、化简：325xx
14、已知200222110112baba，求
15、若abc≠0，求ccbbaa的所有可能的值
16、X是有理数，求22195221100xx的最小值。
17、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为1，求a+b+x 2-cdx的值。
18、求满足1baab的所有整数对(a，b).
19、若631542xxx的值恒为常数，求x的取值范围及此常数的值。
20、已知方程1axx有一个负根而没有正根，求a的取值范围。