现代控制理论CA08-状态方程
现代控制理论能控性、能观测性
.
例：设系统的状态方程为 x Ax bu
其中：
A
1
0
1
2
b
b1 b2
试判断系统的能控性．
解： Sc [b Ab]
b 而Sbc 1是b任A意b值，bb12且ra1nbk11Sb2cb2=2
20
2
则该系统能控．
5.
当Ａ的特征 值 l ( l重根）,
1
(1重根）1
22
(2重根l ）n
B 0 0 1
1 0 0
0 1 0
1 0 0
Br 1
0 1
1 0
0 0
行线性无关
B
r 2
1
0
0
不全为零
能控
6. 线性变换后系统的能控性不变
设
.
x Ax Bu
令
x
SPC
x
[
B
AB . An1B] 则：x Ax Bu
其中：A P1AP, B P1B
SC
[B
AB
n1
A
B]
rank Sc rank[P1B (P1AP)P1B(P1AP)n1 P1B] rank[P1B P1AB P1An1B]
能控．
说明：
① 任意初态 x(t0 ) x(状态空间中任
一点),零终态 x(t f ) ＝０ 能控
② 零初态x(t0) 0
任意终态 x(t f ) x
能达
2. 定理1
设 x Ax Bu
状态完全可控的充要条件是能控性矩阵：
Sc B AB
An1B的秩为n
即： rankSc rank B AB
0 1 0 0
0
0
状态方程
例6 输出: uc , iC , uR
电路理论基础
解 若已知状态量 uC在
t=0
R
ic
uc(t1)=3V和us=10V，也 uR us uc 可以确定t>t1电路的响应 uc , iC , uR。 uc 3e 500 ( t t1 ) 10(1 e 500 ( t t1 ) ) 500 ( t t1 ) ic 3.5e mA uR 7e 500( t t1 ) V 可推广到一阶、二阶和高阶动态电路中，当t =t1 时uC ， iL 和t t1 后的输入 uS(t)为已知，就可以确 定t1及t1以后任何时刻系统的响应。问题是确定状 态变量及初始值。
上例中也可选uC和duC /dt为状态变量
duC uC d(C ) dt R u u (t ) L C S dt d 2 uC L duC LC uC uS ( t ) 2 R dt dt
iL L + uL + + uC uS(t)
电路理论基础
iL iC
C R 2 + uR
状态方程为
x (t ) A x (t ) Bv(t )
式中，A、B为系数阵，由电路结构和参数确定。 状态方程特点： (1)联立的一阶微分方程组 (2)左端为一个状态变量的一阶导数 (3)右端为状态变量和输入量的线性表示 (4)方程数等于状态变量数，等于独立储能元件数
电路理论基础
整理为矩阵形式
duC 1 dt RC di 1 L dt L
状态变量
1 0 u C C i 1 uS ( t ) 0 L L
输入量
现代控制理论_第5章_状态反馈与状态观测器
y 10 0 0 x
状态反馈阵
k k k k 1 2 0
状态反馈系统特征方程：
2 1 j 1 j 3 4 2 6 4 0
、x 、x 根据两特征方程同次项系数相等的条件，可求出由x1 2 3 引出的反馈系数为：
x x 0 1 0 10 1 1 0 0 －2 x 10 u x 2 2 0 1 3 0 x x 3 3
二、用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条 件是：受控对象能控 证明： 若式(5-1)所示对象可控，定可通过变换化为能 控标准形，有
0 0 A 0 a 0
1 0 0
0 0 0
a a 1 2
0 1 a n1
G C sI A 1
1 b
10
11 q1
1,n1
1 sn a sn1 a s a n1 1 0 q0
q,n1
I A bk n a
k n1 a k 2 a k 1 n1 2 1 1 n 2 1 a k 0 0 0 (5-9)
， k ，可使特征方程的 显见，任意选择k 阵的 n 个元素 k0， n1 个系数满足规定要求，能保证特征值（即闭环极点）任意配 置。
控制理论lesson8§1-7状态方程的线性变换
AX Bu 定义：线性定常系统的状态方程为 X 系统矩阵A的特征值，称为系统的特征值。
2.基本性质： 定理：状态变换不改变系统的特征值。 证明：若 I A I A
则矩阵A和 A 的特征值必然相等 P1 AP 设 A
P 1 P P 1 AP I A
~
P 1 I AP P 1 I A P
P 1 P I A I A
2 5 例：试求系统矩阵 A 4 3
的特征值。
并说明经过线性变换后，其特征值的不变性。 解：
0 c p 1 0
4. 验证两状态空间表达式的变换关系
0 1 1 0 c 1 p 1 1 0 p 0 c
经变换后的状态为：
0 1 uc i u c 1 p x 1 x i 0 uc u c c c
Du Y Cx
比较可得：
P 1 AP A 1 B P B C CP D D
可见，满足上述条件的变换矩阵P有无穷多。 故状态变量不是唯一的。
例: 试建立下面RLC网络的状态空间表达式：
R L
C
u(t )
y(t )
解：根据电路原理，得基本方程
则
1 R 1 L L x L ur x 1 0 0 C y 0 1 x
1 uc , x 2 u c 2.取 x
1 x 2 x
1 R 1 2 1 x 2 x x ur LC L LC
现代控制理论
x
1
y c1
u
2
x
b1 b2
u
0x
b1
b2
x1 1x1 b1u
x2 2 x2 b2u
y c1x1
x1
x1 c1
x2 1 x2
系统不能观测！
y, x2 无任何联系
2
x2 既未直接反映在 y 中，也未 通过 x1 间接反映在 y 中
它元素只包含了部分状态变量。要使每个状态变量至少与一个输出 变量发生联系，C矩阵的第一列元素不能全为0。所以有如下判据：
结论：若A为只含一个约当块的约当阵，系统完全
能观的充要条件是：输出矩阵C的第一列不全为0。
x
1
y c1
1 0
1
x
b2
u
0x
x1 1x1 x2 x2 1x2 b2u y c1x1
例：考察如下系统的能观测性：
7
0
1
x
0
5
x
1
y 0 4 5x
7
0
2
x
0
5
x
1
y
3 0
2 3
0 1 x
系统不能观测！ 系统能观测！
（2）A为约当阵时系统的能观性判据
能观测性：反映了输出对系统状态的判断能力。 状态能否由输出反映（估计问题）
直观地说，一个状态变量xi (t)能通过输出量确定（间接 量测），该状态变量应该与输出量 y(t) 有联系，如：
x1 5x1
第1章现代控制理论
1.1 状态变量及状态空间表达式
1.1.1 状态变量 状态变量是既足以完全确定系统运动状态而个数又是最小的一组变量，
当其在t=t0时刻的值已知时，则在给定t≥t0时刻的输入作用下，便能完全确 定系统在任何t≥t0时刻的行为。
1.1.2 状态矢量
如果 个状态变量用
表示，并把这些状态变量看作
是矢量 的分量，则 就称为状态矢量，记作：
（34）
这种形式下，状态的选取
1.4.3 多输入一多输出系统微分方程的实现 一双输入一双输出的三阶系统为例，设系统的微积分方程为：
（35） 同单输入单输出系统一样，式(35)系统的实现也是非唯一的。现采用 模拟结构图的方法，按高阶导数项求解：
对每一个方程积分：
故得模拟结构图，如下图所示：
取每个积分器的输出为一个状态变量，如上图所示。则式（35）的一种 实现为：
1.1.3 状态方程 以状态变量
为坐标轴所构成的 维空间，称为
状态空间。
1.1.4 状态方程
由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程。 用图下所示的 网络，说明如何用状态变量描述这一系统。
图一
根据电学原理，容易写出两个含有状态变量的一阶微分方程组：
亦即
（1）
式(1)就是图1.1系统的状态方程，式中若将状态变量用一般符号 ，
第一章 控制系统的状态空间表 达式
回忆：经典控制中学过的控制系统的数学表达式 微分方程、传递函数、方框图、信号流图、频率特性、伯德图等
a 0 ( t ) d d n c t ( n t ) a 1 ( t ) d d n t 1 n c ( 1 t ) a n 1 ( t ) d c d ( t t ) a n ( t ) c ( t ) b 0 ( t ) d d m t r m ( t ) b 1 ( t ) d d m t 1 m r ( 1 t ) b m 1 ( t ) d r d ( t t ) b m ( t ) r ( t )
现代控制理论-第二章 控制系统的状态空间描述
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
DgXu
30 中南大学信息学院自动化系
DgXu
3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
现代控制理论状态变量及状态空间PPT课件
[解]：
+ _u1
i1 R1
+_u2 i2 R2
1) 选择状态变量
两个储能元件L1和L2，可以选择i1和i2为状态 变量，且两者是独立的。
2）根据基尔霍夫电压定律，
L1 uA L2
列写2个回路的微分方程：
u1
L1
di1 dt
(i1
i2)R1
u2
左回路
+ _u1
i1 R1
(i1
i2)R1
u2
L2
di2 dt
特征值，非零向量 x称为 A的对应于 的特征 向量。
xAx (A)x0 (IA)x0
方阵 的 n次多项式 f()IA为 A的特征
多项式。IA 0为 A的特征方程。
IA 0 的解为特征根。
(IA) x0 的解为特征向量。
例：求
A
1 0
1 1
的特征值和特征向量。
解：
IA1
0
1
10
( 1 )( 1 ) 0 1 1 , 2 1
注:负反馈时为－
D
u
x x
y
B
C
A
1.3 状态变量及状态空间表达式的建立（1）
建立Байду номын сангаас态空间描述的三个途径： 1、由系统框图（方块图）建立 2、由系统机理进行推导 3 、由微分方程或传递函数演化而得
1.3.1 从系统框图出发建立状态空间
将系统每个环节变换成相应的模拟结构图，然后组合 起来，最终得到状态空间。
u2
di2
dt
R1 L2
i1
R1 R2 L2
i2
1 L2
u2
uA i1R1 i2R1 u2 3）状态空间表达式为：
Matlab程序解现代控制理论与工程中的状态方程.docx
用矩阵指数法解状态方程的MATLAB函数vslovel：函数vslovel:求解线性定常连续系统状态方程的解function [Phit z PhitBu]=vsolvesl(A,B,ut)%vsolvesl求线性连续系统状态方程X^AX+Bu的解%[Phit,phitBu]=vsolvesl(A,B,ut)%A,B系数矩阵%ut控制输入，必须为时域信号的符号表达式，符号变量为t%Phit——输出Phi(t)%P hitBu ------ 输出phi (t-tao)*B*u(tao)在区间(0, t)的积分syms t ta o %定义符号变量t,taoPhit=expm(A*t);%求矩阵指数exp(At)if (B==0)B=zeros(size(A J)J);%重构系数矩阵Bendphi=s ub(Phit/t7t-tao z);%求e xp[A(t-tao)]PhitBu=int(p hi*B*ut/tao 求exp[A(t -tao)]*B*u(t ao)在0~t 区间的积分用拉氏变换法解状态方程的MATLAB函数vslo ve2：函数vslove 2:求解线性定常连续系统状态方程的解functi on [sl_A,sl_ABu]=vsolves l(A,B,us)%vs olves2求线性连续系统状态方程X^AX+B u的解%[sl_A,sl _ABu]=vsolve sl(A,B,ut)%A,B系数矩阵%us控制输入，必须为拉氏变换后的符号表达式，符号变量为s%sl_A——输出矩阵(s l-A)A(-l)拉式反变换的结果%sl_ABu——输出(sl-A)"-l)*B*u(s)拉式反变换后的结果syms s %定义符号变量t,taoAA=s*eye(siz e(A))-A;%求sl-AinvAA=inv(AA );%求(sl-A )矩阵的逆intAAtA A=ilaplace(i ntAA) ;%求intA A 的拉氏反变换sl_A=simplify;%简化拉式反变换的结果if (B==0)B=zeros(siz e(A,l)J);%重构系数矩阵BendtAB=ilaplace(int AA*B*us) ;%求intAA *B*us 的拉氏反变换s l_ABu=simpli fy(tAB);%化简拉式反变换的结果求解时变系统状态方程的MATLAB函数tslove：函数ts love:求解线性时变连续系统状态方程的解fun ction [Phi,P hiBu]=tsolve s(A z B,u,x z a,n)%tsolves求吋变系统状态方程%[Phi ,phiBu]=vsol vesl(A,B,u z x ,a,n)%A,B时变系数矩阵%Phi——状态转移矩阵计算结果%PhiB u——受控解分量%u——控制输入向量，吋域形式%x一一符号变量，指明矩阵A中的时变参数，通常为时间t%a一一积分下限%n ——时变状态转移矩阵屮计算重积分的最大项数，n=0时无重积分项% n=l时包含二重积分项，.....Phi=trans mtx(A,x,a,n);%计算状态转移矩阵P hitao=subs(P hi,x,'tao');%求Phi(tao)讦(B==0)Bt ao=zeros(siz e(AJ),l);%求B(tao)endutao=subs(u,x/ta o');%求u(ta o)PhiBu=simp le(int(Phita o*Btao*utao/taoSa,x));%计算受控分量求解时变系统转移矩阵的MA TLAB函数transm tx：函数transmt x:求解线性时变系统状态转移矩阵function Phi=transmt x(A,x,a,n)%t ransmtx计算时变系统状态转移矩阵%Phi=transmtx(A,x ,a z n)%Phi一一状态转移矩阵计算结果%A时变系数矩阵%x——符号变量，指明矩阵A屮的时变参数，通常为时间t%a ——积分下限%n——吋变状态转移矩阵中计算重积分的最大项数，n=0吋无重积分项 % 时包含二重积分项，••…P hi=eye(size(A));%初始化Phi=lfor Io p=0:nAA=A;for i=l:lop讦(AA==0)break;endAtemp=subs(A A,x,'taoi');AA=sim plify(A*int(Atemp/tao\a,x));endif (AA==O)break;endAte mp=subs(AA,x /taoi')；AA=simplif y(A*int(Atem p,'tao',a,x)); %计算重积分Phi=sim plify(Phi+AA );%修正Phiend求解线性定常离散系统状态方程的MA TLAB函数disolv e：函数disolve:求解线性定常离散系统状态方程的解function [Ak,AkBu]=d isolve(A,B,u z)%disolve求线性离散系统状态方程x(k+l)=Ax(k)+B u(k)的解%[Ak,A kBu]=disolve (A,B,uz)%A,B系数矩阵%uz控制输入，必须为Z变换后的符号表达式，符号变量为z%A k——输出矩阵[((zl -A)A(-l)z]Z反变换后的结果%AkBu——输出矩阵[((zl-A )A(_I)*B*U(Z )]Z反变换后的结果sy ms z %定义符号变量zA A=z*eye(size (A))-A;%求zl-Ai nvAA=inv(AA);%求(zl-A)矩阵的逆intAAtAA =iztrans(int AA*z) ;%求intAA *z 的Z 反变换Ak=si mple(tAA);%简化Z反变换的结果if (B==0)B二zeros⑸ze(AJ)J);%重构系数矩阵BendtAB=izt rans(intAA*B *uz) ;%求intAA*B*u z 的Z 反变换AkBu=s imple(tAB);%化简Z反变换的结果求解线性时变离散系统状态方程的MATLAB函数tds olve：函数tdsol ve:求解线性时变离散系统状态方程的解funct ion xk=tsol ve(Ak,Bk,uk,xO,kstart,ke nd)%tdsolve求线性时变离散系统状态方程x(k+l)=A(k)x(k)+B(k)u(k啲解%xk=tsolv e(Ak,Bk,uk,x O,kstart,ken d)%Ak,Bk系数矩阵%uk控制输入，必须为时域符号表达式，符号变量为k%x0初始状态%kstart——初始时刻%kend——终止吋刻%xk一一输出结果，矩阵每一列分别对应x(k 0+l),x(k0+2)….syms k %定义符号变量kif (B k==0)Bk=z eros(size(AJ)J);%重构系数矩阵Bendxk=[];for kk=kst art+1: kendAA=ey e(size(k));for i=kstart:kk-1 %计算A (k-l)A(k-2)....A(kO+l)A(kO)A=subs (Ak/k'J);AA=A*AA；en dAAB=eye(siz e(Ak));BB=ze ros(size(Bk));for i=kk-l :-l:kk+l %计算A(k-l)A(k-2)....A(j+l)B(j)u(j)的累加和A=subs(Ak，‘k；i);AAB=AAB*A;B =subs(Bk/k\kk-l+i+ksta rt);u=subs (uk/k^kk-l +i+kstart);BB=BB+AAB*B *u;endB=subs(Bk/k\kk-l);u=su bs(uk,'k：kk -1);BB=BB+B*u;xk=[xk AA*xO+BB];%计算x(k)end连续系统状态方程离散化的MAT LAB符号函数sc2d：函数sc2d:线性连续系统状态方程的离散化f unction [Ak,Bk]=sc2d(A,B )%sc2d离散化线性连续系统状态方程X^AX+Bu%sysd=s c2d(A,B)%A,B——连续系统的系数矩阵%Ak,Bk ——离散系统系数符号矩阵%离散状态方程为：x(k+l)=Ak*x(k)+Bk*u(k)%Ak,Bk中变量T为采样周期syms t T %定义符号变量tTPhit=expm(A*t);%求矩阵指数exp(At)if (B==0)B=zeros(s ize(AJ)J);%重构系数矩阵BendPhi tB=int(Phit*B；t：O,T); %求e xp(At)*B 在0~T 区间的积分Ak=si mple(subs(Ph it,'t：T));Bk=simple(P hitB);线性时变系统离散化的MATLAB函数tc2d：函数tc2d :线性吋变系统的离散化function [Ak ,Bk]=tc2d(A,B,x,n)%tc2d线性时变系统的离散化%[Ak,Bk]=tc2d (A z B z x,n)%A,B——连续系统的系数矩阵%Ak ——离散化后的系数矩阵A(kt)%B k 一一离散化后的系数矩阵B(kt)%x 一一符号变量，指明矩阵A \B中的时变参数，通常为时间t%n ——时变状态转移矩阵中计算重积分的最大项数，n=0时无重积分项, %n=l时包含二重积分项，.....syms t TPhit=tra nsmtx(A,x,k*T,n);%计算时变系统的状态转移矩阵Ak=simpli fy(subs(Phi,x,(k+l)*T));%计算离散化后的系数矩阵A(kT)Phitao =subs(Phi,x/tao,)；%求Phi(t ao)if (B==0)Btao=zero s(size(AJ),l);elseBtao =subs(B,x/t ao');%求B(tao)e ndPhitB=simp le(int(Phita o*Btao/tao,k*7；x,))；%计算受控分量Bk=simplify (subs(PhiB,x ,(k+l)*T));%计算离散化后的系数矩阵B(kT)定常系统可控规范I型变换函数ccano nl：函数ccanonl :求线性定常系统的町控规范I型形式functi on [Abar.Bba r,Cbar,T]=cc anonl(A,B,C)%ccanonl求系统X^AX+Bu, y=Cx的可控规范I型系数矩阵%Abar/Bbar,Cbar/——变换后的可控规范I型系数矩阵%T 一一相似变换矩阵n=len gth(A);Co=ct rb(A,B);if (rank(Co)~=n),%判断系统可控性errorC系统不可控！J;endR s=sym(polymt x(A));%计算R矩阵并转变为符号矩阵Rs形式As=sym(A);%讲矩阵A 转变为符号矩阵AsBs=s ym⑻;％讲矩阵B转变为符号矩阵BsTs=Bs;fo r i=l:n-l zTs=[As A i*BsTs];endTs =Ts*Rs;%计算相似变换符号矩阵TsAbar=n umeric(inv(T s)*As*Ts);%实现矩阵A的相似变换并转变为数值形式Bbar=numeric(i nv(Ts)*Bs);%实现矩阵B的相似变换并转变为数值形式Cbar=numer ic(inv(C)*Ts ); %实现矩阵C的相似变换并转变为数值形式T=nume ric(Tc);%相似变换矩阵T转变为数值形式求系统相似变换的R矩阵函数polymt x：函数polymtx:求系统相似矩阵变换的R矩阵function R =polymtx(A)%R=polymtx(A) ------- A 须为方针%[10 0 0]% [a(n-l) 10 0]% R= [a(n-2) a(n-l) 0 0][•・♦••••.. •••]% [a (2) a(3)l 0]% [a(l ) a(2)a(n-l) 1]%英中a(i)(i=l z...n-l)^J矩阵A的特征多项式%|s*l-A|=s A n+a(n-1 )*s A(n-l)+...+a(l)*s+a(0)%的各项系数d=siz e(A);if (len gth(d)~=2),%判断系统可控性errorf错误：非二维矩阵！9；endif (d(l)-=d (2)),%判断系统可控性error (，错误:A非方针!endn=d(l);A s=sym(A);p=s ym2poly(poly (As));R=[]；f or i=l:nR=[R P(l：nH;P=[o p(l：n)[;en dR二numeric(R );线性定常系统可控分解函数cdecomp：函数cdecomp:线性定常系统的可控性分解fun ction [Abar/Bbar z Cbar,P]=cdecomp(A,B ,C)%cdecomp可控性分解%[Abar,Bbar/Cbar,P]=cdecomp(A z B ,C)%若系统不完全可控，则存在相似变换矩阵P，使得% -1 ・：！%Abar=P*A*P/Bbar=P*B, Cb ar=C*P%其中%Ab ar=|Ac A121 ,Bbar= | Be |z Cbar= |Cc Cu c||0 Auc| |0|%(Ac,Bc)构成系统的可控子空间As =sym(A); %转变为符号矩阵求解Bs=sym(B);Cs=sym(C);nA=size(A s,l);Ms=sym(ctrb(As,Bs));%求可控性矩阵Mn二nume ric(rank(IVIs));P二[];%系统不可控，计算变换矩阵Pi=l；while nume ric (rank(P)%取M的n个线性无关列矢量至P矩阵P=[P Ms (:J)]; if (numeric(e(P,2)),P (:,size (P,2))=[];endi=i+l;endE=s ym(eye(size(A)));i=l；w hile numeric A,%収某一单位向量至P阵使P满秩P=[P E(:,i)];if (n umeric(rank()),P (:,size(P,2))=[];e ndi=i+l;endelseP =ey&size(A));%若系统可控，取P=1endAbar=num enc(inv(P)*A*P);%转变为数值矩阵输岀Bbar =numeric(inv (P)*B);Cbar二nume ric(inv(C*P));P 二numeric(P);线性定常系统可观分解函数odecomp：函数odecomp:线性定常系统的可观性分解f unction [Aba r,Bbar,Cbar/P]=odecomp(A ,B,C)%odecom p可控性分解%[Abar,Bbar,Cbar,P ]=odecomp(A,B,C)%若系统不完全可观，则存在相似变换矩阵P,使得%-1 J%Abar=P*A*P,Bbar=P*B z C bar=C*P%其中%A bar=|Ao 0| /Bbar=|B o |,Cbar=|Co 0|| A 21 Ano||Bno|%(A o,Bo)构成系统的可观子空间%根据对偶原理，应用可控性分解函数cdec omp实现可观性分解[a bar,bbar,cba r,P]二cdecomp (A：B'C)；A bar=abar,;B bar=cbar';C bar=bbar z;。
现代控制理论--刘豹优秀PPT
1.3.1 从系统框图出发建立状态空间表达式 该法是首先将系统的各个环节，变换成相应的模拟结构图，并把每个积
1.4.2 传递函数中有零点时的实现
22
此时，系统的微分方程为： 相应地，系统传递函数为：
设待实现的系统传递函数为：
因为
上式可变换为
（26）
23
令 则 对上式求拉氏反变换，可得： 每个积分器的输出为一个状态变量，可得系统的状态空问表达式：
24
或表示为：
推广到 阶系统，式(26)的实现可以为：
25
（4）
6
在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶微分方程来描述系统的 动态过程。如上图一所示的系统，在以 作输出时，从式(1)消去中间变量 i，得到二阶微分方程为：
（5）
其相应的传递函数为：
（6）
回到式（5）或式（6）的二阶系统，若改选 和 作为两个状态变量，
即令
则得一阶微分方程组为：
7
设单输入一单输出定常系统，其状态变量为 状态方程的一般形式为：
2
1.1.3 状态方程 以状态变量
为坐标轴所构成的 维空间，称为
状态空间。
1.1.4 状态方程
由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程。 用图下所示的 网络，说明如何用状态变量描述这一系统。
图一
3
根据电学原理，容易写出两个含有状态变量的一阶微分方程组：
亦即
（1）
式(1)就是图1.1系统的状态方程，式中若将状态变量用一般符号 ，