现代控制理论状态空间表达式的建立
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现代控制理论 第一章状态空间表达式的建立：实现的方法之一
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Байду номын сангаас
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M
M
M
M
M
M
M
M
C
O
M
O
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中
C
O
O
O
C
M
国
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O
C
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大
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M
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O
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O
O
O
O
O
O
O
O
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≤
M
O
大
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国
O
O
C
M
国
大
学
中
()
中
C
O
M
O
大
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国
1
O
O
C
M
学
国
大
中
M
学
M
学
国
大
中
O
C
C
C
C
C
C
C
C
+−1 −1 +⋯+1 +0
… −n−1
1
中
C
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M
O
大
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O
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C
M
国
大
学
现代控制理论知识点汇总
现代控制理论知识点汇总Revised at 2 pm on December 25, 2020.第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式 n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
现代控制理论 状态空间表达式的建立：方框图法
一. 从系统方框图出发建立状态空间表达式
例： 已知系统的模拟结构图如下，建立其状态空间表达式
()
+
−
+
+
−
+ +
−
解： 1. 传递函数变换
积分环节
න
()
1.2 状态空间表达式的建立
一. 从系统方框图出发建立状态空间表达式
−
−
−1
න
ሶ
න
ሶ
න
输出方程
+
+
状态空间表达式
状态方程
+
ሶ න
1
ሶ
源自 + u(s)
ሶ
න
()
《现代控制理论》MOOC课程
1.2 状态空间表达式的建立
1.2 状态空间表达式的建立
建立系统状态空间表达式的三种方法
一. 根据系统的方框图列写
二. 从系统的基本原理进行推导
三. 根据传递函数或高阶微分方程实现
1.2 状态空间表达式的建立
一. 从系统方框图出发建立状态空间表达式
方框图法的基本步骤
二阶振荡环节
例： 已知系统的模拟结构图如下，建立其状态空间表达式
()
+
−
+
现代控制理论 复习第一章
约旦形实现：A中有约旦块
D(s) (s 1 )k (s 2 )...( s n )
n c1k ci c11 c12 N ( s) W ( s) ... k k 1 D(s) ( s i ) ( s i ) ( s i ) i k 1 ( s i )
1 1 1 0 x1 0 x x 1 u x 0 1 0 2 2 3 0 0 3 1 x x3 x1 y [2 1 0.5] x 2 x3
线性定常系统
状态方程 输出方程
例1-1可写成
1 0 x k x 2 m 1 x 0 b 1 1 u x2 m m
Ax bu x y Cx du
x y 1 0 1 x2
令
x1 y x2 y ... xn y ( n 1)
1 x2 x 2 x3 x .... n 1 xn x n an 1 xn an 2 xn 1 ... a1 x2 a0 x1 b0u x
1 0 1 0 0 x1 0 x x 0 x 0 0 1 0 2 2 u xn 1 0 0 0 1 xn 1 0 1 n a0 a1 a2 an 1 x xn y (b0 0 0 0) x
对角形实现：A为对角形
D(s) (s 1 )(s 2 )...( s n ) ci N ( s) n W ( s) D( s) i 1 ( s i )
现代控制理论 状态空间表达式的建立：方框图法
一. 从系统方框图出发建立状态空间表达式
例： 已知系统的模拟结构图如下，建立其状态空间表达式
()
+
−
+
+
−
+ +
−
()
解： 1. 传递函数变换
+
= +
+
PI环节
න
+
+
一. 从系统方框图出发建立状态空间表达式
例： 已知系统的模拟结构图如下，建立其状态空间表达式
()
+
−
+
+
−
+ +
−
解： 1. 传递函数变换
积分环节
න
()
1.2 状态空间表达式的建立
一. 从系统方框图出发建立状态空间表达式
《现代控制理论》MOOC课程
1.2 状态空间表达式的建立
1.2 状态空间表达式的建立
建立系统状态空间表达式的三种方法
一. 根据系统的方框图列写
二. 从系统的基本原理进行推导
三. 根据传递函数或高阶微分方程实现
1.2 状态空间表达式的建立
一. 从系统方框图出发建立状态空间表达式
方框图法的基本步骤
二阶振荡环节
1. 方框图变换，将系统方框图中的各环节变换为只包含比例、积分和加法环节的方框图；
2. 选取状态变量，将每一个积分器的输出选作一个状态变量；
现代控制理论_制系统的状态空间表达式
UC (s) U (s)
LCs2
1 RCs
1
传递函数
只反映外部情况，无法获知内部联系
定义状态变量
R +
u(t) i(t)
输入
_
x1(t) uc (t) x2 (t) i(t)
二阶微分方程，选择两个状态变量
状态向量
x(t) [x1(t), x2 (t)]T
定义输出变量
y(t) x1(t)
L +
如何选取内部信息？
•由控制任务决定： 不同的系统有 不同的控制任务。
•选取应全面，应覆盖所有的内部信息
•信息量恰到好处：“少一个不全，多一个多余”， 即线性无关。
1.1 状态变量及状态空间表达式 •状态：系统内部运动信息的集合
•系统状态为各元器 件的电压和电流 •状态变量：用变量来表示状态的话，能完全描述系统 运动状况的个数最小的一组变量即为状态变量。 •特性：线性无关、个数唯一、状态不唯一
第一章 控制系统的状态空间表达式
本章主要内容： • 状态变量及状态空间表达式 • 状态变量及状态空间表达式的系统结构图 • 状态变量及状态空间表达式的建立 • 状态矢量的线性变换 • 从状态空间表达式求传递函数阵
课程回顾
➢经典控制理论描述系统数学模型的方法： 外部描述：时域内为高阶微分方程、复频域内为输入－输 出关系的传递函数；
1 L
uc
(t)
R L
i(t)
1 L
u(t)
选 x1 uc , x2 uc，则得到一阶微分方程组：
即：
x1 x2
x2
1 LC
x1
R L
x2
1 LC
u
0 1 0
x
现代控制理论-状态空间表达式的建立
即 Y (sC 1 s 1 1)3(sC 1 s 2 1)2sC 13 s1sC 2 s2sC 3 s3 U ( • s )
选取
X 11
(s
1 s1
)
3
U
X 13
s
1
U s1
X12
(s
1 s1
)2
U
X
2
s
1 s2
U
X3
s
1 s3
U
x•11 s1 x 1 1 x 1 2 x12 s1x12 x13
x2
s 1
xY
s 1 3
8
（ 1 ） 、 确 定 状 态 变 量 ， 若 选 择
若将传递函数进行一般实现，并取积分 器的输出为状态变量。
（ 2 ） 、 列 写 状 态 方 程
•
x1 8x3 15u
•
x2 x114x38u
•
x3 x2 7x3u
（ 3 ） 、 写 成 矩 阵 形 式
7 14
0 0 8 15
G (s)G 1(s)G 2(s) [ 3 ] 、 系 统 一 和 二 反 并 联 时 ( 负 反 馈 )
u
（A1,B1,C1） y
（A2,B2,C2）
G (s ) [I G 1 (s )G 2 (s )] 1 G 1 (s )
参见 p.461
作业：p.536;9-13,
电气工程学院
➢关于输入输出解耦控制问题 解耦问题是一个比较复杂的问题，对线性定常系统就有几套理论：
于是有； (1)、 选 状 态 变 量
X1(s)
s
1 U(s), 1
X2(s)
s
1
U(s), 2
X3(s)
现代控制理论第一章
为实数方阵，
故特征值或为实数，或为成对共轭复数；如 为实对称方阵，则其特征值都
2．系统的不变量与特征值的不变性 同一系统，经非奇异变换后，得：
其特征方程为： （44）
式(43)与式(44)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换， 其特征值是不变的。可以证明如下：
将特征方程写成多项式形式
由于特征
再以三阶微分方程为例：
将最高阶导数留在等式左边，上式可改写成
它的模拟结构图示于下图
同样，已知状态空间表达式，也可画出相应的模拟结构图，下图是下列 三阶系统的模拟结构图。
下图是下列二输出的二阶系统的模拟结构图。
1.3 状态变量及状态空间表达式的建立(一)
这个表达式一般可以从三个途径求得：一是由系统框图来建立，即根据 系统各个环节的实际连接，写出相应的状态空问表达式；二是从系统的物理 或化学的机理出发进行推导；三是由描述系统运动过程的高阶微分方程或传 递函数予以演化而得。
状态变量及状态空间表达式的模拟结构图
状态空间表达式的框图可按如下步骤绘制：积分器的数目应等于状态变
量数，将它们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量， 然后根据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器，最后用 箭头将这些元件连接起来。 对于一阶标量微分方程：
它的模拟结构图示于下图
变换为： (46)
根据系统矩阵
无重根时
求其特征值，可以直接写出系统的约旦标准型矩阵
有重根时
而欲得到变换的控制矩阵
和输出矩阵CT，则必须求出变换矩阵T。下
面根据A阵形式及有无重根的情况，分别介绍几种求T 的方法。 1.A阵为任意形式 (1)A阵的特征值无重根时 设 矢量 是A的 个互异特征根，求出A的特征矢量 构成，即 则变换矩阵由A的特征
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1、 现代控制论中给定一个传递函数G(s)，若存在一个线性常系数的状态 空间表达式，使之具有原来的传递函数。
传递函数
状态空间 表达式
则称此传递函数是可以实现的。 G(s)传递函数可以实现的充分必要条件：必须是一个严格真有理函数或真有理函数。
2、 同一个G(s)的实现不是唯一的。
电气工程学院
3、 已知系统传递函数，求其几种实现
请大家注意能控标准型 实现中 A、B元素和对应的传函分子 和分母各项 系数之间的关系。
电气工程学院
2、能观标准型实现
1
已知：
G(s)
s3
s 2 8s 15 7 s 2 14 s 8
Y (s) U (s)
8 U
15
x1
s 1
x2
s 1
xY
s 1 3
8
（1）、确定状态变量，若 选择
若将传递函数进行一般实现，并取积分 器的输出为状态变量。
电气工程学院
Section2
➢线性定常系统状态空间表达式的建立→ ➢能控标准形实现→ ➢能观标准型实现→ ➢对角标准型[约当型]实现→ ➢关于状态变量图→ ➢由状态空间表达式求传递函数(阵) → ➢关于输入输出解耦控制问题→ ➢性离散系统的状态空间表达式→
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➢线性定常系统状态空间表达式的建立
X。
对角标准型
（3）、一般情况
G(s)
bm1s m sn
bm s m1 an s n1
b2s a2s a1
b1
n
Ci
i1 s si
若传递函数的特征根两两互异
则对角标准型实现为
s1
1
• X
s2
X
1u
sn
1
y C1 C2 Cn X
此时，系统各状态称解耦 的。
于是有；
(1)、选状态变量
(s),
X 2(s)
s
1
U 2
(s),
X
3
(s)
s
1
U 4
(s)
（2）、列方程有
•
x1
x1 u
•
x2
2x2 u
•
x3
4x3 u
而
y
8 3
x1
3 2
x2
1 6
x3；
电气工程学院
1
即
•
X
2
1
X
1u
4 1
y
8 3
3 2
1 6
•
x1 x2
•
x2 x3
•
x3 8x1 14 x2 7 x3 u
•
X
•
x1
•
x2
•
0 0
1 0
0 0
1
X
0u
x3
8
14
7
1
（3）、输出方程为 y 15 8 1X
1
•
x3
x3
x2 8 x1
U
s 1
s 1
s 1
15
Y
7 14 8
电气工程学院
(4)、一般情况，若传递函 数为
（2）、列写状态方程
•
x1 8x3 15u
•
x2 x1 14x3 8u
•
x3 x2 7x3 u
（3）、写成矩阵形式
7 14
0 0 8 15
•
X
1
0
14
X
8
u
0 1 7 1
而输出方程为
y 0 0 1X
能观标准型
电气工程学院
（4）、一般情况若
G(s)
bm1s m sn
bm s m1 an s n1
U
X
2
s
1 s2
U
X
3
s
1 s3
U
x• 11 s1 x11 x12
x12 s1x12 x13
•
x13 s1x13 u
•
x
•
2
s2 x2
u
x3 s3 x3 u
电气工程学院
•
x• 11 s1 x11 x12
x12 s1x12 x13
•
x13 s1x13 u
•
例：系统传递函数为，G(s) 解： 1、能控标准形实现。
Y U
s3
s2 8s 15 ，求其实现。 7s2 14s 8
引入中间变量V，使G(s)
Y V
V U
s3
s2 8s 15 7s2 14s 8
令
V U
s3
7s2
1
14s
8
（1）、选择状态变量，
•
••
Y s2 8s 15 V
零初始条件下，将上述两个传递函
C11 (s s1)3
C12 (s s1 )2
C13 s s1
C2 s s2
C3 s s3
即
Y
(s
C11 s1 )3
(s
C12 s1 )2
C13 s s1
C2 s s2
C3 s s3
U (s) •
选取
X 11
(s
1 s1 )3
U
X 13
s
1U s1
X 12
(s
1 s1 )2
电气工程学院
若传递函数有 重根分情况，可将系统化A为对角标准型 或准对角标准型（Jordan 标准型）。
参考《自动控制原理》下册 清华大学 吴麒 P.3 特征值规范型
例：化成约当规范型的 例子 一严格真有理函数，有 三重根 s1 和两两互异特征根 s2， s3。
解：传递函数因式分解 后得到
设
G(s)
b2s a2s a1
b1
0
0
00
a1
1 0 0 0 a2
b1
b2
•
X
0
10
0
a3
X
bm
1
u
0 0 0 0 an1
0
0
01
an
0
y 0 0 0 0 1X
（5）、说明：[1] 请注意 A、C中各元素和 G(s)分子分母各项系数之间 的关系。 [2]、能控、能 观标准型实现中， A互为转置， B和C互为转置。
x
•
2
s2 x2
u
x3 s3 x3 u
约当块
•
x11
x•• 12
s1 0
x13 •
0
x2 0
• x3
0
10 s1 1 0 s1 00 00
Ao AcT , Bo CcT ,Co BcT
电气工程学院
➢对角标准型实现
例； G(s)
s3
s2 8s 7s2
15 14s
8
s2 8s 15
(s 1)(s 2)(s 4)
8
3
1
s
3
1
s
2
2
s
6 4
Y s U s
8
3
1
Y
(s)
3
2
6
U (s)
s 1 s 2 s 4
x1 v, x2 v, x3 v, 则有
•
x1 x2
数变换到时域的微分方程得；
•
x2 x3
•••
••
•
v 7 v14 v 8v u
•
x3 8x1 14 x2 7 x3 u
•• •
y v 8 v15v
(2)、列写状态方程为：
电气工程学院
例：系统传递函数为，G(s)
Y U
s3
s2 8s 15 ，求其实现。 7s2 14s 8
G(s)
bm1s m bm s m1 b2s b1 s n an s n1 a2s a1
可得：
0 1 0 0 0
0
•
X
0
0 1
0 0
0
0
X 0u
1
a1 a2 a3 an 1
输出方程为 y b1 b2 bm1 0 0 X
（5）、说明：当状态空间表 达式A、B 具有上述形式时， 能控标准形实现