现代控制理论--1.状态空间模型
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现代控制理论 第九章 现代控制理论-控制系统的数学模型
1 C
∫ i (t )dt
= u c (t )
i (t ) | t = t 0 = i (t 0 )
u c (t ) | t = t 0 = u c (t 0 )
若将 i (t ) 和 u c (t ) 视为一组信息量，则这样一 组信息量就称为状态。这组信息量中的每个变 量均是该电路的状态变量。 状态:表征系统运动的信息和行为 状态 表征系统运动的信息和行为。 表征系统运动的信息和行为 状态变量：系统的状态变量就是确定系 统状态的最小一组变量。（或完全表征 系统运动状态的最小一 组变量。）
di dt
=
R x1 L
1 L
x2+ 1 u( t )
L
x
2
1 x c 1
y = x2 = u c (t )
写成矩阵— 写成矩阵—向量的形式为：
x
1
=
R L
1 L
x1
x
2
1 c
0
x2
+
1 L u( t )
0
y=
x1
0 1
x2
为状态向量
x 1 x2 T 令x =
则：
x=
R L
1 L
1 c
1 x+ L
状态方程 输出方程
一 、状态、状态变量和状态空间
R + u(t)
输入
L
+ + y C uc(t) _ 输出 _
i(t)
_
解：以 i(t) 作为中间变量，列写该回路的微分方程
di (t ) L + Ri (t ) + u c (t ) = u (t ) dt
求解这个微分方程组， 出现两个积分常数。 它们由初始条件
现代控制系统的状态空间模型
u x y
状态空间模型－－系统的内部描述。
第1章 控制系统的状态空间模型
一些特殊的模型
f ( x , u, t ) = A(t ) x + B (t )u
线性系统模型
& = A(t ) x + B (t )u x
g ( x , u, t ) = C (t ) x + D(t )u
y = C (t ) x + D(t )u
¾ 线性系统是实际非线性对象的线性化近似； ¾ 线性系统的处理方法可以为非线性系统问题的解决 提供思路
例子：倒立摆装置
用小车的位移和速度及摆杆 偏离垂线的角度和角速度来 描述系统的动态特性 小车的水平位移：y 小球中心位置：y + l sin θ
&& cos θ − mlθ & 2 sin θ = u & + mlθ y 水平方向： (M + m) &
u y l m mg
θ
M
&& = mg sin θ & cos θ + mlθ y 垂直方向： m&
g：重力加速度
非线性模型
例子：倒立摆装置
考虑在垂直位置附近的线性化模型
sin θ ≈ θ , cos θ ≈ 1
由
&& cos θ − mlθ & 2 sin θ = u & + mlθ ( M + m) & y && = mg sin θ & cos θ + mlθ m& y
是否可能？ 如何得到？
传递函数到状态空间模型
传递函数的一般形式：
状态空间模型－－系统的内部描述。
第1章 控制系统的状态空间模型
一些特殊的模型
f ( x , u, t ) = A(t ) x + B (t )u
线性系统模型
& = A(t ) x + B (t )u x
g ( x , u, t ) = C (t ) x + D(t )u
y = C (t ) x + D(t )u
¾ 线性系统是实际非线性对象的线性化近似； ¾ 线性系统的处理方法可以为非线性系统问题的解决 提供思路
例子：倒立摆装置
用小车的位移和速度及摆杆 偏离垂线的角度和角速度来 描述系统的动态特性 小车的水平位移：y 小球中心位置：y + l sin θ
&& cos θ − mlθ & 2 sin θ = u & + mlθ y 水平方向： (M + m) &
u y l m mg
θ
M
&& = mg sin θ & cos θ + mlθ y 垂直方向： m&
g：重力加速度
非线性模型
例子：倒立摆装置
考虑在垂直位置附近的线性化模型
sin θ ≈ θ , cos θ ≈ 1
由
&& cos θ − mlθ & 2 sin θ = u & + mlθ ( M + m) & y && = mg sin θ & cos θ + mlθ m& y
是否可能？ 如何得到？
传递函数到状态空间模型
传递函数的一般形式：
【武汉大学】控制系统的状态空间模型【现代控制理论】
的结构图如图2-5所示。
D(t)
+
u
+ B(t)
x& ∫
x C(t)
y
+
+
A(t)
图2-5 多输入多输出线性时变系统的结构图
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
2.1.3线性系统状态空间模型的结构图
若需要用结构图表示出各状态变量、各输入变量和各输出变 量间的信息传递关系,则必须根据实际的状态空间模型,画出各 变量间的结构图。
或观测的量； – 可以是物理的,也可以是非物理的、没有实际物理量与之
直接相对应的抽象数学变量。
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
2.1.1.1系统的状态和状态变量
状态变量与输出变量的关系: – 状态变量是能够完全描述系统内部动态特性行为的变
量。
– 而输出变量是仅仅描述在系统分析和综合(滤波、优化 与控制等)时所关心的系统外在表现的动态特性,并非 系统的全部动态特性。
RiL
L
diL dt
uC
ui
iL
C
duC dt
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
2.1.2系统的状态空间模型
2. 选择状态变量。 状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容) 的个数。 对本例
x1(t) iL , x2 (t) uC
3. 将状态变量代入各物理量所满足的方程,整理得一规范形式 的一阶矩阵微分方程组--状态方程。
武汉大学 自动化系 丁李
目录
2.1 状态和状态空间模型 2.2 根据系统机理建立状态空间模型 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范形 2.5 传递函数阵 2.6 用MATLAB进行系统模型转换
现代控制理论状态空间法
根据系统微分方程建立状态空间表达式.
1.输入项中不含输入导数项的线性系统空间状态 表达式
• 系统描述为:
y (n ) a1 y (n1) an1 y an y u
(1)
讨论:状态如何选择
y(t) C (t)x(t) D(t)u(t)
2)线性时不变系统: x Ax Bu y Cx Du
在通常情况下，大多数还是研究线性时不变 系 统，即线性定常系统，因此本课程的主要研究对 象是线性定常系统。
4.状态空间描述的结构图(或称状态变量图)
• 例:根据上例画出结构图. • 解:先将例子写成下述形式
现代控制理论
第一章 状态空间法
控制系统的状态空间描述
一.问题的引出 1 --古典控制理论的局限性 1、仅适用于SISO的线性定常系统(外部描述，
时不变系统) 2、古典控制理论本质上是复频域的方法.(理论) 3、设计是建立在试探的基础上的.(应用) 4、系统在初始条件为零,或初始松驰条件下,才
能采用传递函数.
定义2.状态变量
状态变量是确定系统状态的最小一组变量,如果以最
少的n个变量 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 可以完全描述系
统的行为 (即当t≥ 时输入和
t0
在t= t0初始状态给定后,系统的状态完全可以确定),那 么
x1 (t ), x2 (t ), 是一, xn组(t )状态变量.
(2)状态变量选取不唯一,有时选取状态变量仅为数 学描述所需,而非明确的物理意义。
(3)状态变量是系统的内部变量,一般情况下输出是 状态的函数,但输出总是希望可量测的。
(4)仅讨论有限个状态变量的系统。 (5)有限个数的状态变量的集合,称为状态向量。 (6)状态向量的取值空间称为状态空间。
现代控制理论控制系统的状态空间模型
方程 x：小车的水平位移
x l sin : 摆心瞬时位置
m
x l
在水平方向，利用牛顿第二定律，得到
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
设： x1 i(t) x2 uC (t)
x
x1
x2
A -1RL
-
1 L
0
C
1
b
L 0
C 0 1
x Ax bu
则可以写成状态空间表达式：
y Cx
内部描述
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
uc
u
传函表示形式：
图 R-L-C网络
Uc (s)
1
U (s) LCS 2 RCS 1
外部描述
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
一阶微分方程表示形式：
C
d uc dt
i
L
di dt
Ri
uc
u
di(t) R i(t) uC (t) u(t)
dt L
x1 x2
ub
x
x
a
18
1.1 状态空间模型
1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常多变量系统
状态变量图：
输入向量
r×1 维
u
+ B
Bu
输入矩阵 +
n ×r维
传递矩阵 m×r维
x Ax Bu
y
Cx
Du
D
状态向量
+
x
∫
nx×1
维
状态空间模型
状态空间模型状态空间模型是一种用于描述动态系统行为的数学模型。
在状态空间模型中，系统的行为由状态方程和观测方程确定。
状态方程描述系统状态如何随时间演变，而观测方程则描述系统状态如何被观测。
通过利用状态空间模型，我们可以对系统进行建模、预测和控制。
状态空间模型的基本概念状态空间模型通常由以下几个要素构成：1.状态变量（State Variables）：描述系统状态的变量，通常用向量表示。
状态变量是系统内部的表示，不可直接观测。
2.观测变量（Observation Variables）：直接观测到的系统状态的变量，通常用向量表示。
3.状态方程（State Equation）：描述状态变量如何随时间演变的数学方程。
通常表示为状态向量的一阶微分方程。
4.观测方程（Observation Equation）：描述观测变量与状态变量之间的关系的数学方程。
状态空间模型的应用状态空间模型在许多领域都有着广泛的应用，包括控制系统、信号处理、经济学和生态学等。
其中，最常见的应用之一是在控制系统中使用状态空间模型进行系统建模和控制设计。
在控制系统中，状态空间模型可以用于描述系统的动态行为，并设计控制器来实现系统性能的优化。
通过对状态方程和观测方程进行数学分析，可以确定系统的稳定性、可控性和可观测性，并设计出满足特定要求的控制器。
状态空间模型的特点状态空间模型具有以下几个特点：1.灵活性：可以灵活地描述各种复杂系统的动态行为，适用于各种不同的应用领域。
2.结构化：将系统分解为状态方程和观测方程的结构使得系统的分析更加清晰和系统化。
3.预测性：通过状态空间模型，可以进行系统状态的预测和仿真，帮助决策者做出正确的决策。
4.优化性：可以通过状态空间模型设计出有效的控制器，优化系统的性能指标。
在实际应用中，状态空间模型可以通过参数估计和参数辨识等方法进行模型的训练和调整，以适应实际系统的特性。
结语状态空间模型是一种强大的数学工具，可以帮助我们理解和分析动态系统的行为。
1.控制系统的状态空间模型
Chapter1控制系统的状态空间模型1.1 状态空间模型在经典控制理论中，采用n 阶微分方程作为对控制系统输入量)(t u 和输出量)(t y 之间的时域描述，或者在零初始条件下，对n 阶微分方程进行Laplace 变换，得到传递函数作为对控制系统的频域描述，“传递函数”建立了系统输入量)]([)(t u L s U =和输出量)]([)(t y L s Y =之间的关系。
传递函数只能描述系统的外部特性，不能完全反映系统内部的动态特征，并且由于只考虑零初始条件，难以反映系统非零初始条件对系统的影响。
现代控制理论是建立在“状态空间”基础上的控制系统分析和设计理论，它用“状态变量”来刻画系统的内部特征，用“一阶微分方程组”来描述系统的动态特性。
系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系，揭示了系统内部状态的运动规律，反映了控制系统动态特性的全部信息。
1.1.1 状态空间模型的表示法例1-1（6P 例1.1.1） 如下面RLC （电路）系统。
试以电压u 为输入，以电容上的电压C u 为输出变量，列写其状态空间表达式。
例1-1图 RLC 电路图解：由电路理论可知，他们满足如下关系⎪⎩⎪⎨⎧==++)(d )(d )()()(d )(d t i t t u C t u t u t Ri t t i L C C 经典控制理论：消去变量)(t i ，得到关于)(t u C 的2=n 阶微分方程：)(1)(1d )(d d )(d 22t u LCt u LC t t u L R t t u C C C =++ 对上述方程进行Laplace 变换：)()()2(20202s U s U s s C ωωζ=++得到传递函数：202202)(ωζω++=s s s G ，LC10=ω，L R 2=ζ 现代控制理论：选择⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(21t u t i x x C 流过电容的电流)(t i 和电容上的电压)(t u C 作为2个状态变量，2=n （2个储能元件）；1个输入为)(t u ，1=m ；1个输出C u y =，1=r 。
第一章状态空间模型
2.一般形式： 对于一般的n阶线性定常系统（n个状态，r个输 入，m个输出）
u1 u2 对象 ur
x1 x2 xn 多输入多输出系统
输出
y1 y2 ym
元件
X ( t ) A X ( t ) B u( t ) n n n1 n r r 1 n1 C D Y ( t ) mn X ( t ) mr u( t ) n1 r 1 m1
3.列写系统的状态方程和输出方程，即得状态 空间表达式。
2.一般形式： 对于一般的n阶线性定常系统（n个状态，r个输 入，m个输出）
u1 u2 对象 ur
x1 x2 xn 多输入多输出系统
输出
y1 y2 ym
元件
X ( t ) A X ( t ) B u( t ) n n n1 n r r 1 n1 C D Y ( t ) mn X ( t ) mr u( t ) n1 r 1 m1
三 .线性系统的结构图 根据线性系统的状态空间表达式的一般形式 ：
X AX Bu Y CX Du
按单变量系统的结构图绘制原则，一般线性 系统可用这种图形象的表达出来。
结构图： D(t)
u(t)
B(t)
+ +
X ∫dt
X
C(t)
+ Y(t) +
A(t)
在采用模拟计算机对系统模拟时，必须根据实 际的状态空间表达式，画出各分量间的结构图 例：单输入－单输出系统
a11 b1
+ x1 + +
∫dt a12
x1
c1 + + y
a21
b2
x2
∫dt a22
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UC ( s) 1 U ( s ) LCs 2 RCs 1
只反映外部情况，无法获知内部联系
7
duc (t) 1 i(t) dt C 1 R 1 di(t) uc ( t ) i ( t ) u( t ) dt L L L
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1.2 状态空间模型的建立
x3
试写出其状态空间表达式。 解：选择状态变量：
u
, x3 x1 y, x2 y y
则状态空间表达式为：
3 x
5
x2
x1 y x1
1 x2 x 2 x3 x 3 6 x1 8 x2 5 x3 u x y x1
17
8 6
18
(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t ) x y(t ) C (t ) x(t ) D(t )u(t )
线性离散时间系统状态空间表达式
x (k 1) G (k ) x (k ) H (k )u(k ) y ( k ) C ( k ) x ( k ) D ( k ) u( k )
n r维 输入矩阵 , 表征输入对每个状态变 量的作用
状态空间表达式的系统框图
和经典控制理论相类似，可以用框图表示系统信号传递 的关系。对于上述系统，它们的框图分别如图a和b所示。
Hale Waihona Puke c1n c2 n , c mn
d 1r d 2r , d mr
Ap1
1
0
x1 x1 x Px 2 2
即
x 1 1 0 1 2 1 x1 R x2 y x u x2 LC L LC 1 0 0 1 u 1 x x R L LC LC
1.2 状态空间模型的建立
1 1 (t ) x2 (t ) x C 1 R 1 2 ( t ) x1 ( t ) x 2 ( t ) u( t ) x L L L y x1 ( t )
状态方程
•状态空间表达式：状态方程和输出方程合起来构成对 一个动态系统完整的描述，称为动态系统的状态空间 表达式。 图1所示电路,若 uc (t )为输出,取 x1 (t ) uc (t ), x2 (t ) i (t ) 作为状态变量,则其状态空间表达式为
输出方程
1 x1 (t ) 0 C 1 u (t ) R L x2 (t ) L
矩阵 相乘
(t ) 0 x 1 1 x2 (t ) L
x (t ) y 1 0 1 x2 ( t )
系统描述中常用的基本概念
• 系统的外部描述 • 系统的内部描述 传递函数 状态空间描述
3
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1.1状态空间模型基本概念 •（1）状态：是完全地描述动态系统运动状况的信 息，系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统 运动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为 状态。 •（2）状态变量：是指足以完全描述系统运动状态 的最小个数的一组变量。 •（3）状态空间：以状态变量x1 (t ), , xn (t ) 为坐标轴所 构成的n维空间。在某一特定时刻t，状态向量 x (t ) 是 状态空间的一个点。
状态变量选择不同，状态方程也不同。 若按照如下所示的微分方程：
duc (t) 1 i(t) dt C di(t) 1 R 1 uc (t ) i (t ) u (t ) dt L L L x 0
1.2 状态空间模型的建立
两组状态变量之间 的关系
x1 uc x2 i
x( t ) [ x1 ( t ), x 2 ( t )]T
i(t)
图1
_
解：
c ( t ) RCu c ( t ) uc ( t ) u( t ) LCu
微分方程 传递函数
定义输出变量 y( t ) x1 ( t ) 整理得一阶微分方程组为
di(t) uc u ( t ) dt du i(t ) C c dt Ri ( t ) L
1.2 状态空间模型的建立
1 0 x 1 0 C x1 u 1 1 R x x 1.举例 2 2 L L L 例1-1：建立RCL电路的状态方程和输出方程。 x1 y 1 0 x 2. 建立状态空间表达式的步骤 2 1)选取 n个状态变量；确定输入、输出变量；
1.3 状态矢量的线性变换
P：非奇异线性变换矩阵 单输入 单输出 系统
Ax bu x y cx du
2)根据系统微分方程列出n个一阶微分方程； 状态变量、输入变量、参数 3)根据系统微分方程，列出m个代数方程。 输出变量、状态变量、输入变量、参数 结论： (1)状态变量选取具有非唯一性。状态变量个数系统的阶次； (2)状态变量具有独立性； (3)不同组状态变量之间可做等价变换线性变换。
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现代控制原理预览
建立
本部分主要教学内容
求解 转换 第二章 系统性能分析 状态反馈控制器设计 第一章 状态空间模型建立
建模
可控性 可观性 稳定性
状态空间 表达式
分析
状态反馈
第三章
设计
状态观测器 最优控制
1
2
第一章
状态空间模型建立
本章主要内容： • 1-1 状态空间模型基本概念 • 1-2 状态空间模型的建立 • 1-3 状态矢量的线性变换 • 1-4 状态空间表达式的解 • 1-5 从状态空间表达式求传递函数阵
Ap i i p i (i 1,2, , n)
1 2 1 1 x1 7 x x 2 0 1 0 x2 2 u 3 x 0 2 1 x3 3
19
x Px
Ax b u x y y cx d u
P变换
非奇异线性变换
A P 1AP, b P 1b, c cP, d d
用途： 通过线性非奇异变换，可以使 A P 1 AP 规范化 (对角化、约当化），且不改变系统的原有性质， 20 是等价变换。
m n维 输出矩阵
表征输出和每个状态变 量的关系
m r维前馈矩阵 , 又称为 直接传递矩阵 表征输入对输出的直接 传递关系 通常 D＝0
d m2
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例1-2 考虑系统
6y u y 5 y 8y
标量系统结构图
1 x2 x 2 x3 x 3 6 x1 8 x2 5 x3 u x y x1
9
1 x 1 0 x1 0 C u 1 R 1 2 x x2 L L L x 1 y 1 0 x 2
10
x1 uc c x2 u 1 i C
1 C x1 u c ,则得到一阶微分方程组： 选 x1 uc , x2 u 1 R 1 2 x x2 1 x2 x L L L
6
1.2 状态空间模型的建立
1.举例 例1-1：建立如图1所示的RCL电路的 状态方程和输出方程。
R + u(t)
输入
L + uc(t) _
输出
1.2 状态空间模型的建立
+ y _
定义状态变量 x1 ( t ) uc ( t ) x 2 ( t ) i ( t ) 二阶微分方程，选择两个状态变量 状态向量
y y1
c11 c C 21 c m1
d 11 d D 21 d m1
状态方程
输出方程
…
c12 c 22 cm 2
d 12 d 22
(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t ) x y(t ) C (t ) x(t ) D(t )u(t )
y c1
c2 cn x
约当标准型
的解为特征根。
22
( I A)x
0 的解为特征向量。
3.利用线性变化化为对角标准型 （1）A为任意形式的方阵，有n个互异实特征值 1 , 2 , , n 对应的特征向量 p1 , p 2 , , p n ，满足：
[例1-3]
变换系统为对角标准型。
对角标准型
x Ax ( A)x 0
(I A)x 0
方阵 A 的 n 次多项式f ( ) I A 为A 的特征 多项式。 I A 0 为 A 的特征方程。
I A 0
21
1 1 0 0 1 1 x u x 1 1 1
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1.3 状态矢量的线性变换
1.3 状态矢量的线性变换
1.两种标准型
1 x
2
1 x 1 u n 1
y c1
c2 cn x
2. 方阵的特征值与特征向量 设 A 是 n 阶方阵，如果数 和 n 维非零向量 x 使 关系式 x Ax成立，那么数 称为方阵 A 的特征 值，非零向量 x 称为 A 的对应于 的特征向量。
a12 a1n a 22 a 2 n , a n 2 a nn
n n 维系统矩阵 , 表征各状态变量间的关 系