状态和状态空间表达式
控制系统的状态空间表达式
第一章 控制系统的状态空间表达式Chapter 1 State space representation of control systems本章内容• 状态变量及状态空间表达式 • 状态空间表达式的模拟结构图 • 状态空间表达式的建立(1) • 状态空间表达式的建立(2) • 状态矢量的线性变换 • 由传递函数求状态方程• 由状态空间表达式求传递函数阵 • 离散系统的状态空间表达式• 时变系统和非线性系统的状态空间表达式系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。
1.1 状态变量及状态空间表达式1.1 State space representation of control systems 状态变量 (State variables)状态：表征系统运动的信息和行为状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量x 1(t ), x 2(t ), …, x n (t ) 状态向量(State vectors)由状态变量构成的向量 x (t )T 123()(),(),()...()n x t x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦状态空间 (State space) • 以各状态变量x 1(t ),x 2(t ),…… x n (t )为坐标轴组的几维空间。
•状态轨迹：在特定时刻t ，状态向量可用状态空间的一个点来表示，随着时间的推移，x (t )将在状态空间描绘出一条轨迹线。
状态方程 (State equations)• 由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。
例1.1 设有一质量弹簧阻尼系统。
试确定其状态变量和状态方程。
解：系统动态方程2()().()().()()()d yF t ky t f yt m dt my t f yt ky t F t ⎧--=⎪⎨⎪++=⎩ 设1()()y t x t =，2()()yt x t = 12()()............................................(1)1()()()()........(2)x t y t f k x t y t y t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩12212()()1()()()()xt x t k f x t x t x t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩1122010()()()1()()xt x t F t f k x t x t m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ＝ 状态方程的标准形式：()()()xt Ax t Bu t =+ （A ：系统矩阵 B ：输入矩阵） 输出方程 (O u t p u t e q u a t i o n )系统的输出量与状态变量之间的关系[]112()()()10 ()x t y t x t x t ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦()()y t Cx t =(C:输出矩阵）状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。
状态空间表达式
y x1 x2
2014-2-16
电信学院 苗荣霞
(4)
1 a11 x1 a12 x 2 b11u1 b12u2 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 b21u1 b22u2 x y1 c11 x1 c12 x 2 y2 c21 x1 c22 x 2
现代控制理论
第一章：控制系统的 状态空间表达式
2007年度
主要内容：
状态的概念、状态方程的建立、由状态空 间表达式求传递函数(阵)、线性变换、离 散系统的状态空间表示等。
§ 1-1 状态变量及状态空间表达式
一、 状态
首先看一力学系统
一质量为m物体与弹簧、阻尼器相连。如图示：在u的作用下求物质运动 的过程？ 设y表示物体的位移,由牛顿定律：f =ma 有：
注意：时变：比例器变为时变 放大器 系统方框图表明了系统输入、状态、输出的关系，既表示了系统的 外部特性，也反映了系统的内部关系。 非线性：比例器－非线性函数发生器
2014-2-16
电信学院 苗荣霞
2．状态变量图：又模拟结构图 描述出了系统的详细结构，反映了系统各个变量之间的信息传递关 系，来源于模拟计算机的模拟结构图。 由积分器、加法器和比例器组成。 上面的串联电路系统的状态变量图：
2014-2-16
电信学院 苗荣霞
习题: 多输入多输出系统（MIMO） 如图25所示机械系统,质量m1，m2各受到f1，f2的 作用，其相对静平衡位置的位移分别为x1， x2。
2014-2-16
电信学院 苗荣霞
根据牛顿定律，分别对m1，m2进行受力分 析，我们有：
现代控制理论总结
现代控制理论总结第一章：控制系统的状态空间表达式1、状态变量，状态空间与状态轨迹的概念：在描述系统运动的所有变量中，必定可以找到数目最少的一组变量，他们足以描述系统的全部运动，这组变量就称为系统的状态变量。
以状态变量X1,，X2，X3，……X n为坐标轴所构成的n维欧式空间（实数域上的向量空间）称为状态空间。
随着时间的推移，x（t）在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
2、状态空间表达式：状态方程和输出方程合起来构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。
3、实现问题：由描述系统输入输出关系的运动方程或传递函数建立系统的状态空间表达式，这样的问题称为实现问题单入单出系统传函：W(s)=错误!未找到引用源。
，实现存在的条件是系统必须满足m<=n，否则是物理不可实现系统最小实现是在所有的实现形式中，其维数最低的实现。
即无零，极点对消的传函的实现。
三种常用最小实现：能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）4、能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）传函无零点错误!未找到引用源。
系统矩阵A的主对角线上方元素为1，最后一行元素是传函特征多项式系数的负值，其余元素为0，A为友矩阵。
控制矩阵b除最后一个元素是1，其他为0，矩阵A，b具有上述特点的状态空间表达式称为能控标准型。
将b与c矩阵元素互换，另输出矩阵c除第一个元素为1外其他为0，矩阵A，c具有上述特点的状态空间表达式称为能观标准型。
传函有零点见书p17页……..5、建立空间状态表达式的方法：①由结构图建立②有系统分析基里建立③由系统外部描述建立（传函）6、子系统在各种连接时的传函矩阵：设子系统1为子系统2为1）并联：另u1=u2=u，y=y1+y2的系统的状态空间表达式所以系统的传递函数矩阵为：2）串联：由u1=u，u2=y1，y=y2得系统的状态空间表达式为：W(S)=W2(S)W1(S)注意不能写反，应为矩阵乘法不满足交换律3）反馈：系统状态空间表达式：第二章：状态空间表达式的解：1、状态方程解的结构特征：线性系统的一个基本属性是满足叠加原理，把系统同时在初始状态错误!未找到引用源。
第二章现代控制理论状态空间表达式
即
(2-11)
(3) 列出状态空间描述iL 1 − ( R + R )C 1 2 R1 L( R1 + R2 ) − R1 1 ( R1 + R2 )C uC ( R1 + R2 )C (2-12) + e(t ) R1 R2 iL R2 − L( R + R ) L( R1 + R2 ) 1 2
§2.1 状态空间描述的概念 2.1.2 控制系统的状态空间描述举例
例2-1 R-L-C系统，求其状态空间描述
R
u
L i
C
uC
解 (1) 确定状态变量 选择电容两端电压 uC (t )、电感通过的电流 i (t ) (2) 列写微分方程并化为一阶微分方程组 基尔霍夫（Kirchhoff）电压定律，
(2-13)
令
1 − ( R + R )C 1 2 A= R1 L( R + R ) 1 2
1 ( R + R )C 2 b= 1 R2 L( R + R ) 1 2
−
R1 ( R1 + R2 )C R1 R2 − L( R1 + R2 )
n 维列向量，状态向量
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
n×n方阵，系统矩阵(或状态矩阵)， 反映系统状态的内在联系
§2.1 状态空间描述的概念
第一章状态空间表达式第2讲
2021/2/22
2
1.状态变量及状态空间表达式
状态空间描述常用的基本概念：
1. 状态变量 足以完全表征运动状态的最小个数的一组变量。
2. 状态矢量 如果n个状态变量 x 1 (t)、 x2(t)、 ...、 xn(t)表示，并把这 些状态变量看作是矢量 x ( t )的分量，则 就称为状态矢量。
3
1.1 控制系统的状态空间表达式
状态变量应该是相互独立的，且其个数应等于微分方 程的阶数。 一般的，状态变量的个数等于系统储能元件的个数。
例题1-1，用图1-1所示的R-L-C网络电路，说明如何用
状态空间表达是来描述这一系统。
L
R
根据电路定律可列写如下方程：
u
i
C
uc
RiLddtiC 1idtu
y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) . . . a 1 y a 0 y b m u ( m ) b m 1 u ( m 1 ) . . . b 1 u b 0 u 相应的传递函数为
W (s)U Y ((s s))b m y u (n ()m ) a n b m 1 y 1 u (n ( m 1 ) 1 ) .... .. a 1 b y 1 u a 0 b y 0 u 实现问题就是根据以上两个式子求出系统状态空间表达式。
y x2
x2C 1iR1C(x1x2)
其向量-矩阵形式为：
x1 x2
R1CRL 1
RC 2021/2/22
RR11C Cxx12RL0u
y 0
1
x1 x2
6
由上可见，系统的状态空间表达式不具有唯一性。 选取不同的状态变量，便会有不同的状态空间表达式， 但它们都描述了同一系统。可以推断，描述同一系统 的不同状态空间表达式之间一定存在着某种线性变换 关系。
现代控制理论 第1章 状态空间描述
得动态方程组 1 x2 x k b 1 x 2 y y u y m m m k b 1 x1 x2 u m m m y x 1
问题：到底有 何区别？
13
状态空间表达式为
1 0 x k x 2 m
如果将储能元件的物理变量选为系统的状态变量，则状态变量的个数 等于系统中独立储能元件的个数
5
基本概念
状态方程：系统状态方程描述的结构图如下图所示
假设：causal system ——现在的输出只取决 于现在和过去的输入， 而与将来的输入无关。
输入引起状态的变化是一个动态过程，每个状态变量的一阶导数与所有 状态变量和输入变量的数学表达(常微分方程ODE)称为状态方程，一般形式 为：
1896192019872006状态变量和状态空间表达式状态变量和状态空间表达式化输入化输入输出方程为状态空间表达式输出方程为状态空间表达式系统的线性变换对角线标准型和约当标准型系统的线性变换对角线标准型和约当标准型由状态空间表达式导出传递函数阵由状态空间表达式导出传递函数阵离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的状态空间表达式时变系统的状态空间表达式时变系统的状态空间表达式从系统黑箱的输入输出因果关系中获悉系统特性传递函数描述属系统的外部描述系统的内部描述白箱系统完整地表征了系统的动力学特征状态空间表达式属系统的内部描述状态变量
x1 f1 ( x1 , x2 f 2 ( x1 , xn f n ( x1 , , xn , u1 , , xn , u1 , , xn , u1 , , um , t ) , um , t ) , um , t )
标量形式，繁琐!
6
矢量形式
状态空间表达式
2.5 控制系统的状态空间表达式2.5 控制系统的状态空间表达式随着科学技术的发展，被控制的对象越来越复杂，对自动控制的要求也越来越高。
面对时变系统，多输入多输出系统、非线性系统等被控量和对控制系统高精度、高性能的严格要求，传统的控制理论已不能适用。
同时，计算机技术的发展也要求控制系统地分析，设计中采用计算机技术并在控制系统的组成中使用计算机。
因此，适用这些要求的控制系统的另一种数学描述方法----状态空间就应运而生。
2.5.1 状态变量在对系统动态特性描述中，足以表征系统全部运动状态的最少一组变量，称之为状态变量。
只要确定了这组变量在t=时刻的值以及时的输入函数，则系统在任何时刻的运动状态就会全部确定。
状态变量互相间是独立的，但对同一个系统，状态变量的选取并不是唯一的。
一个用n 阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，这n个独立变量就是该系统的状态变量。
若用表示这n个状态变量，则可以把这n个状态变量看作是向量x(t)的分量。
我们称x(t)为状态变量，它是一个n维向量，记为分别以状态变量作为坐标而构成的n维空间，称为状态空间。
系统在t时刻的状态，就是状态空间的一点。
系统在时刻的状态称为初始点，随着时间的变化，x(t)从初始点出发在状态空间描述出一条轨迹，称为状态轨迹。
状态魁及表征了系统状态的变化过程。
2.5.2 状态空间表达式1. 状态方程由系统的状态变量和输入函数构成的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。
对于线性系统，可以写成如下形式(2.59)记为(2.60)式中x(t)是n维列向量u(t)是r维输入向量A是n*n维矩阵，称为系数矩阵B是n*r矩阵，称为输入矩阵或控制矩阵若矩阵A和B的元素都是常数，则状态方程是线性定常的。
若A和B中有随时间变化的元素，状态方程就是线性时变的。
状态方程中不能含有x(t)的高于一阶导数的项和输入函数的导数项。
对于非线性系统，状态方程可以写成如下形式(2.61)记为(2.62)式中f为向量函数。
第一章 状态空间表达式(2013)
Y (s) bm s m bm1 s m1 b1 s b0 W ( s) n U ( s) s a n 1 s n 1 a1 s a 0
cm sm cm1sm1 c1s c0 W (s) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
K1 T 1s 1
K2 T 2s 1
K3 T 3s 1
y
K4
3 状态空间表达式的建立 3.1 从系统方块图出发 变换成模拟结构图； 每个积分器的输出选作一个状态变量； 写出系统的状态方程和输出方程。
u +
K1 T 1s 1
+
K2 T 2s 1
K3 T 3s
y
K4
K1 T1 +
开环和闭环、反馈
控制的性能指标：稳定性、快速、精度。最优控制
控制理论概述
学控制理论做什么？ 系统分析—分析系统的性能
系统设计—设计控制器
所谓系统分析就是在规定的条件下，对数学模型已 知系统的性能进行分析； 所谓系统设计，就是构造一个能够完成给定任务的系统， 这个系统具有希望的瞬态、稳态性能以及抗干扰性能。
f (s) f (t )e dt
0
f (s) sf (s) f (0)
传递函数：线性动态系统零初值条件下输出量的Laplace变 换像函数与输入量的Laplace变换像函数之比。 *线性系统：满足叠加和一致性， 如用线性方程或线性微分方程描述的系统 可以用于分解复杂系统 *定常系统：参数不随时间变化
J u i
x1 i
B
x2
R x1 L x K 2 a J
Kb 1 L x1 L u B x2 0 J
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状态反馈解耦问题的目标是如何设计选取矩阵K与H,从 而使闭环系统是解耦的。 对于该解耦控制问题,有如下完全状态反馈解耦控制律 存在的条件。
状态反馈解耦(5/14)
状态反馈解耦条件 对被控系统和状态反馈解耦控制律,状态反馈解耦系统实 现输入输出间完全解耦的充分必要条件为如下定义的矩 阵E是非奇异矩阵。
系统解耦(2/3)
在许多工程问题中,特别是过程控制中,解耦控制有着重 要的意义。 目前许多在航天,发电,化工等方面的控制系统难于 投入运行,不少是因耦合的原因造成,因此解耦问题 的研究十分重要。
若一个m维输入u和一个m维输出y的动力学系统,其传递函数 矩阵是一个对角线有理多项式矩阵
W11 ( s) W (s) 0 则称该多变量系统是解耦的。
C1 Al1 B l2 C A B E 2 lm Cm A B
Wmm ( s) 0
系统解耦(3/3)
实现解耦有两种方法: 补偿器解耦
状态反馈解耦。 前者方法简单,但将使系统维数增加,
后者虽然不增加系统的维数,但利用它实现解耦的条件比 补偿器解耦相对苛刻。
补偿器解耦(1/7)
4.4.1 补偿器解耦
图4-3所示的为前馈补偿器解耦框图。 图4-3中,Gp(s)为原系统的传递函数阵, Gc(s)为补偿的传递 函数矩阵,即解耦控制器。
所谓状态反馈解耦,即通过对系统设计状态反馈律,构造状态 反馈闭环控制系统,使得闭环系统的输入输出间实现解耦。 状态反馈解耦问题的模型描述为:
对给定的被控系统的状态空间模型为
x Ax Bu y Cx 其中u,y为m维向量,x为n维向量,A为n×n方阵,B为n×m矩 阵,C为m×n矩阵。
U (s)
Y (s)
Gc (s)
G p (s)
图4-3 串联解耦方框图
补偿器解耦(2/7)
根据串联组合系统的传递函数公式可知串接补偿器后前向 通路的传递函数为 G(s)= Gp(s)Gc(s) 其中反馈回路的的传递矩阵为G(s)=I, 那么系统的闭环传递函数为:
W(s)=[I+Gp(s)Gc(s)]-1Gp(s)Gc(s)
为实现系统解耦,要求为W(s)对角线矩阵，因此, I-W(s)也为 对角线矩阵。 故，得出Gp(s)Gc(s)也需为对角线矩阵。 即为实现如图6-3所示结构的系统的解耦,应取合适补偿 器Gc(s)使Gp(s)Gc(s)是非奇异对角线矩阵。
补偿器解耦(4/7)—例6-8
例4-8 已知系统如图4-4所示,
状态反馈解耦(3/16)
如图4-5所示的为用状态反馈实现解耦的系统。
v
u
H
-
B
K
A
x
C
y
图4-5 用状态反馈实现解耦
状态反馈解耦(4/16)
将状态反馈解耦控制律作用在状态空间模型上,可得如下闭 环控制系统状态空间模型
x ( A BK ) x BHu y Cx
用[I+Gp(s)Gc(s)]左乘上式，有 [I+Gp(s)Gc(s)]W(s)=Gp(s)Gc(s)
即
Gp(s)Gc(s)[I-W(s)]=W(s)
补偿器解耦(3/7)
1 ( s)， [I-W(s)]-1左乘与右乘上式，有 分别用 G p
1 Gc ( s) G p ( s)W ( s) I W ( s) 1
u1
Gc11 ( s )
Gc12 ( s )
r1
1 2s 1
对象
y1
1
Gc 21 ( s)
u2
-
Gc 22 ( s)
r2
1 s 1
-
y2
图4-4 串联解耦及补偿器方框图
补偿器解耦(5/7)
试设计一补偿器Gc(s),使闭环 系统的传递函数矩阵为:
u1
Gc11 ( s )
Gc12 ( s )
r1
系统解耦(1/3)
4.4 系统解耦
耦合是生产过程控制系统普遍存在的一种现象。
在一个MIMO系统中,每一个输入都受多个输出的影响, 每个输出受多个输入的控制,当一个控制量的变化必然会 波及其它量的变化,这种现象称为耦合。 所谓解耦,就是消除系统间耦合关联作用。 如果一个输入量只受一个输出量影响,即一个输出仅 受一个输入控制,这样的系统称为无耦合系统。
状态反馈解耦(2/16)
对上述系统,构造如下状态反馈控制律: u=-Kx+Hv
使得闭环系统的输入输出实现完全解耦。
这里K是一个m×n的非奇异的反馈矩阵,H是一个 m×m的实常数非奇异矩阵,v是m维的外部输入向量。 我们通常将v作为系统的输入,y作为系统输出时,求使该系统 解耦的K和H的问题称为借助于状态反馈的解耦问题。
1 2s 1
对象
y1
1 0 s 1 W (s) 1 0 5s 1
1
Gc 21 ( s)
u2
-
Gc 22 ( s)
r2
1 s 1
-
y2
解 由图4-4可求得被控对象部分的传递函数矩阵为:
1 2s 1 G p ( s) 1
补偿器解耦(7/7)
基于所求解的补偿器Gc(s),可实现如图4-3示的解耦控制系统。 例4-8求得的解耦补偿器Gc(s)的传递函数阵的某个元素 出现分子多项式阶次高于分母多项式阶次,这会带来该解 耦控制器工程上物理实现的困难,一般工程上只能做到近 似实现。
状态反馈解耦(1/16)
4.4.2 状态反馈解耦
0 1 s 1
补偿器解耦(6/7)
根据补偿器Gc(s)的求解公式,有
Gc ( s ) G ( s )W ( s ) I W ( s )
1 p
1 1
1 1 s 0 0 0 2s 1 s 1 s 1 1 1 5s 1 0 0 s 1 5s 1 5s 1 2s 1 0 s ( s 1)(2 s 1) s 1 s 5s