状态空间模型计算和例子
第2章(4)-控制系统的状态空间表达式
2-5 系统状态方程的线性变换2-5-1 系统状态空间表达式的非唯一性系统动态方程建立，无论是从实际物理系统出发，还是从系统方块图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性，因而求得的系统的状态方程也有很大的人为因素，很大的随意性，因此会得出不同的系统状态方程。
实际物理系统虽然结构不可能变化，但不同的状态变量取法就产生不同的动态方程；系统方块图在取状态变量之前需要进行等效变换，而等效变换过程就有很大程度上的随意性，因此会产生一定程度上的结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生，因而也肯定产生不同的动态方程。
所以说系统动态方程是非唯一的。
虽然同一实际物理系统，或者同一方块图，或同一传递函数所产生的动态方程各种各样，其独立的状态变量的个数是相同的，而且各种不同动态方程间也是有一定联系的，这种联系就是变量间的线性变换关系。
设给定的系统为：作线性变换：Tz x = 即x T z 1-=T --为非奇异矩阵（变换矩阵）则：Bu T ATz T z11--+= ， ()()01100x T x T z --== 因为T 为任意非奇异矩阵，所以状态空间表达式为非唯一的。
2-5-2系统特征值的不变性及系统的不变量 1． 系统特征值 特征方程：0=-A I λ系统特征值即为特征方程的根。
2． 系统的不变量与特征值的不变性 系统经非奇异变换后，其特征值是不变的。
证明：系统经非奇异变换后，得 其特征方程为：()AI A I T T T A I TTA I T AT T T T AT T T T AT T I -=-=-=-=-=-=---------λλλλλλλ11111111所以，特征值是不变的。
因为 00111=++++=---a a a A I n n n λλλλ所以，1210,,,--n n a a a a 是不变的，为系统的不变量。
车辆二自由度模型状态空间方程
车辆二自由度模型状态空间方程一、车辆二自由度模型状态空间方程车辆二自由度模型是车辆动力学中常用的简化模型之一，它将车辆简化为一个在平面上运动的质点。
在这个模型中，车辆可以做平面上的平移和转动运动，因此被称为车辆的二自由度模型。
而状态空间方程则是描述这一模型运动规律的数学工具。
在车辆二自由度模型中，通常采用平移运动的位置和速度以及转动运动的姿态角和角速度作为描述车辆状态的变量。
通过对车辆动力学和控制理论的研究，可以得到描述车辆二自由度模型的状态空间方程。
这些方程包括车辆的位置、速度、姿态角和角速度之间的动态关系，可以用来描述车辆在不同行驶状态下的运动规律。
二、深度分析车辆二自由度模型状态空间方程车辆二自由度模型状态空间方程的深度分析需要从车辆动力学和控制理论的角度进行。
我们需要深入了解车辆的平移和转动运动规律，包括车辆在不同速度和转角条件下的运动特性，以及外部环境对车辆运动的影响。
我们需要探讨车辆控制系统对车辆状态的影响，包括如何通过控制输入来影响车辆的运动状态。
我们需要分析车辆二自由度模型状态空间方程的数学推导和物理意义，以深入理解车辆状态空间方程的结构和参数含义。
在具体的分析过程中，我们可以通过建立车辆运动的动力学模型和控制模型，使用数学工具进行模型分析和仿真验证，从而深入理解车辆二自由度模型状态空间方程的动态性质和稳定性。
三、撰写高质量车辆二自由度模型状态空间方程文章基于以上的深度分析，我们可以着手撰写一篇高质量的文章。
我们可以介绍车辆二自由度模型的基本原理和概念，然后逐步展开对车辆状态空间方程的分析和推导，包括车辆运动学和动力学的描述，以及状态空间方程的数学结构和物理意义。
在文章中，我们可以多次提及车辆二自由度模型状态空间方程的关键词，以加强文章的专业性和知识性。
我们还可以结合个人的观点和理解，对车辆二自由度模型状态空间方程进行综合性的总结和回顾，为读者提供全面、深刻和灵活的理解。
一篇关于车辆二自由度模型状态空间方程的高质量文章需要具备深度和广度兼具的分析能力，结合个人观点和实践经验，以及对读者的引导和启发。
状态和状态空间表达式
补偿器解耦(7/7)
基于所求解的补偿器Gc(s),可实现如图4-3示的解耦控制系统。 例4-8求得的解耦补偿器Gc(s)的传递函数阵的某个元素 出现分子多项式阶次高于分母多项式阶次,这会带来该解 耦控制器工程上物理实现的困难,一般工程上只能做到近 似实现。
状态反馈解耦(1/16)
4.4.2 状态反馈解耦
状态反馈解耦(14/16)
由于E是非奇异阵,所以系统可以解耦。 因此,状态反馈解耦矩阵为
0 0 1 K E F 1 2 3 1 0 1 H E 0 1
1
状态反馈解耦(15/16)
此时闭环系统状态方程和输出方程为：
0 x (t ) 0 0 1 y (t ) 0
为实现系统解耦,要求为W(s)对角线矩阵，因此, I-W(s)也为 对角线矩阵。 故，得出Gp(s)Gc(s)也需为对角线矩阵。 即为实现如图6-3所示结构的系统的解耦,应取合适补偿 器Gc(s)使Gp(s)Gc(s)是非奇异对角线矩阵。
补偿器解耦(4/7)—例6-8
例4-8 已知系统如图4-4所示,
1 s l2 1
状态反馈解耦(9/16)
可以看出W(s)是对角线矩阵,所以其闭环系统是一个完全解 耦系统。 另外,传递函数对角元素均是积分环节,故称这样的系统 为具有积分型的解耦系统。 下面通过例子来说明如何借助状态反馈实现解耦。
状态反馈解耦(10/14)
例4-9 设系统的状态空间模型为：
s 2 3s 1 s ( s 1)( s 2) 1 G ( s) C ( sI A) B 1 ( s 1)( s 2)
因此,系统存在耦合现象。 系统的状态图如图4-6所示。
实验三系统可控性与可观测性分析(word文档)
实验三系统的可控性与可察看性解析一、实验目的1．牢固控制系统能控、能观等知识；控制系统的最小实现和控制系统的能控、能察看标准型等基础知识；2．掌握使用 MATLAB 判断系统可控性与可察看性的方法；3．掌握使用 MATLAB 控制系统的标准型实现；4．经过 Matlab 编程，上机调试，掌握和考据所学控制系统的基本理论。
二、实验原理与步骤( 一) 、可控性和可察看性的定义1.可控性的定义若对状态空间的任一非零状态 x(t0)，都存在一个有限时辰 t1>t0 和一个同意控制 u[t0, t1]，能在 t1 时辰使状态 x(t0) 转移到零，则称状态方程X AX BU在 t0 时辰是可控的。
反之称为在t0 时辰不可以控。
2.可察看性的定义定义：若对状态空间中任一非零初态x(t0) ，存在一个有限时辰t1>t0，使得由输入u[t0,t1] 和输出y[t0,t1] 可以唯一确定初始状态x(t0)，则称动向方程X AX BUY CX DU在 t0 时辰是可察看的。
反之称为是不可以察看的。
( 二) 、可控性和可察看性判据1、可控性构造一个相似变换矩阵T c( B, AB ,, A n 1B)公式中，n是系统的阶次；矩阵Tc 称为系统的可控性变换矩阵。
矩阵Tc 可以由控制系统工具箱中供应的ctrb ()函数来产生。
其调用格式为T c ctrb ( A, B)公式中，Tc的秩，即rank (Tc)称为系统的可控性指数，它的值表示系统中可控制的状态的数目。
若是 rank (T c )n ，则系统是完好可控制的。
【例题 1】考虑系统的状态方程模型为0 1 0 0 00 0 1 0x 1x0 0 1 u0 00 0 5 0 2解析系统的可控性。
A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,5,0] B=[0;1;0;-2]Tc=ctrb(A,B)rank(Tc)结果以下：>> rank(Tc)ans =4可见，系统完好能控。
马尔可夫链的定义及例子
3、转移概率
定义 i, j S, 称 P Xn1 j Xn i
的一步转移概率。
pij n 为n时刻
若i, j S, pij n pij ，即pij与n无关，称转移概率
具有平稳性.此时称{Xn,n≥0}为齐次（或时齐的）马尔 可夫链。记P=(pij)，称P为{Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵.
0
j!
j 0,1, i
pi0公式略有不同，它是服务台由有i个顾客转为空闲的
概率，即第n个顾客来到时刻到第n+1个顾客来到时刻之
间系统服务完的顾客数≥i+1。
pi0 P X n1 0 X n i P(Yn i 1) P(Yn k) k i1
et (t)k dG t ,
0 P{Yn
j Tn1 x}dG x
( x) j exdG x, j 0,1, 2,
0 j!
因此， {Xn，n≥1}是马尔可夫链。其转移概率为
P0 j P( X n1 j X n 0) P(Yn j X n 0)
P(Yn
P( X n1 in1 X n in )
所以{Xn,n≥0}是马尔可夫链，且
pij P( X n1 j X n i) P( f i,Yn1 j) P( f i,Y1 j)
二、切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
1，随机矩阵 定义：称矩阵A=(aij)S×S为随机矩阵，若aij ≥0，且
一步转移概率矩阵
0.5009
0.0458 0.2559 0.1388 0.2134
0.0466 0.0988 0.36584 0.14264
状态空间模型计算和例子
状态空间模型计算和例子x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)其中，x(t)是n维的状态向量，表示系统在时刻t的状态；u(t)是m维的输入向量，表示系统在时刻t的输入；y(t)是p维的输出向量，表示系统在时刻t的输出；A是n×n的矩阵，描述状态向量x(t)的转移规律；B是n×m的矩阵，描述输入向量u(t)对状态向量x(t)的影响；C是p×n的矩阵，描述状态向量x(t)对输出向量y(t)的影响；D是p×m的矩阵，描述输入向量u(t)对输出向量y(t)的影响。
下面以一个简单的例子来说明状态空间模型的应用。
假设我们有一个竖直方向上的弹簧振子系统，其中弹簧的运动受到外界施加的力的影响。
我们希望通过状态空间模型来描述和控制弹簧振子系统的运动。
首先，我们需要定义系统的状态变量。
在这个例子中，我们可以选择弹簧的位置和速度作为系统的状态变量。
设弹簧位置为x(t)，速度为v(t)，则系统的状态向量可以表示为：x(t)=[x(t);v(t)]接下来，我们需要建立状态向量的转移方程。
弹簧振子系统的运动由弹簧的力和外界施加的力共同决定。
设弹簧的劲度系数为k，质量为m，外界施加的力为f(t)，则弹簧振子系统的转移方程可以表示为：x(t+1)=Ax(t)+Bf(t)其中，A是2×2的矩阵，描述位置和速度的转移规律；B是2×1的矩阵，描述外界施加的力对位置和速度的影响。
最后，我们需要定义系统的输出方程。
在这个例子中，我们可以选择弹簧的位置作为系统的输出变量。
则输出方程可以表示为：y(t)=Cx(t)其中，C是1×2的矩阵，描述位置对输出的影响。
通过建立状态空间模型，我们可以分析和预测弹簧振子系统的运动。
例如，我们可以通过模型计算系统在给定初始状态和外界施加力的情况下，弹簧的位置随时间的变化。
同时，我们还可以设计控制算法，通过调节外界施加的力，控制弹簧振子系统的运动。
状态空间方程表示二次方程
状态空间方程表示二次方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：二次方程是一种常见的数学方程，具有形式为ax^2 + bx + c = 0的特点。
我们可以通过多种方法来解决二次方程，其中一种方法就是使用状态空间方程来表示它。
状态空间方程是一种描述动态系统的数学模型，通过它我们可以描述系统在不同状态下的行为和演变。
在处理二次方程时，我们可以将其转化为状态空间方程的形式。
假设我们有一个简单的二次方程y = ax^2 + bx + c，我们可以定义状态变量x和y。
然后，我们可以将这个二次方程表示为状态空间方程的形式：x' = x + 0*yy' = -a*x^2 - b*x - cx'和y'分别代表状态变量x和y的变化率。
通过这样的表示，我们可以更清晰地理解二次方程在不同状态下的演变过程。
值得注意的是，状态空间方程对于二次方程的表示并非唯一的。
我们可以根据系统的特点和需求来选择不同的状态变量和方程形式，以便更好地理解和分析二次方程。
通过状态空间方程的表示，我们可以更深入地了解二次方程的性质和行为规律，为进一步的数学研究和应用提供更多的可能性。
第二篇示例：状态空间方程是描述系统动态行为的一种数学工具，它将系统的输入、输出和状态之间的关系以矩阵形式表示，通常用于控制系统的分析与设计。
在控制理论中，线性动态系统通常可以用状态空间方程表示，其中最典型的就是二次方程系统。
本文将介绍二次方程系统的状态空间方程表示，并探讨其性质及应用。
二次方程是一种具有最高次为二次的多项式方程，通常表示为：\[ a x^2 + b x + c = 0 \]其中\(a\), \(b\), \(c\)是系数，\(x\)是变量。
这类方程在数学和物理中有着广泛的应用，比如在力学中描述自由落体运动、在电路分析中描述振动系统等等。
二次方程系统可以用状态空间方程表示为：其中\(x\)是状态向量，\(\dot{x}\)是状态向量的导数，\(u\)是输入向量，\(y\)是输出向量，\(A\), \(B\), \(C\), \(D\)分别是状态空间方程的系数矩阵。
2-控制系统状态变量法建模21
态。
➢ 随着时间的推移,状态不断地变化,tt0各瞬时的状态在状 态空间构成一条轨迹,它称为状态轨线。
➢ 状态轨线如图2-2所示。
系统的状态空间模型(1/11)
2.1.2 系统的状态空间模型
状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一 种数学模型,它是应用现代控制理论对系统进行分析和综合的 基础。 ➢ 状态空间模型由 ✓ 描述系统的动态特性行为的状态方程和 ✓ 描述系统输出变量与状态变量间的变换关系的输出 方程 所组成。 ➢ 下面以一个由电容、电感等储能元件组成的二阶RLC电 网络系统为例,说明状态空间模型的建立和形式,然后再进 行一般的讨论。
定义2-1 动态系统的状态,是指能够完全描述系统时间域动态 行为的一个最小变量组。 ➢ 该变量组的每个变量称为状态变量。 ➢ 该最小变量组中状态变量的个数称为系统的阶数。
系统的状态和状态变量(2/5)
“状态”定义的三要素
➢ 完全描述。即给定描述状态的变量组在初始时刻(t=t0)的 值和初始时刻后(tt0)的输入,则系统在任何瞬时(tt0)的行 为,即系统的状态,就可完全且唯一的确定。
系统的状态空间(1/1)
2. 系统的状态空间
x2 x(t0)
x(t1)
若以n个状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)
为坐标轴,就可构成一个n维欧氏空
x(t2)
间,并称为n维状态空间,记为Rn.
x(t)
状态向量的端点在状态空间中的位 置,代表系统在某一时刻的运动状
x1 图2-2 二维空间的状态轨线
概述(12/12)
状态和状态空间模型(1/2)
2.1 状态和状态空间模型
系统的状态空间模型是建立在状态和状态空间概念的基础上 的,因此,对这些基本概念进行严格的定义和相应的讨论,必须 准确掌握和深入理解。 ➢ 状态 ➢ 状态变量 ➢ 状态空间 ➢ 状态空间模型
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15 Series 1 0 5 10
1955
1960
1965
1970
1975
1980
Example: FKF
Example: FKF
#Shumway Example 6.12 newdat = read.table("f:/xzwu/2009/berkeley/ts/shumway/mydata/Newbold1.txt", comment.char="#") y = newdat[1:50,2] # quarterly inflation (column 2) z = newdat[1:50,3] # quarterly interest rates (column 3) plot(ts(y,start=c(1953,1),frequency=1)) points(ts(y,start=c(1953,1),frequency=1),type='p',pch=15) lines(ts(z,start=c(1953,1),frequency=1),lty=2) points(ts(z,start=c(1953,1),frequency=1),type='p',pch=18)
Step 2: Log Likelihood Function
• FKF: write function such as objective to create log likelihood function • Shumway: write function via Kfilter0, Kfilter1, Kfilter2 to create log likelihood function • dlm: write function such as buildFun
seriesNamesInput(my)="CPI" seriesNamesOutput(my)="BILLS“ bb=estBlackBox(my,g=3) #lag=?!!! tfplot(bb) bb$model #Giving F, G, H, K bb$estimates #giving $cov, $like, $pred attributes(bb)#model #看结果
• dse: skips this step
Step 3: Get estimates from result of step2
பைடு நூலகம்
• • • •
FKF: directly using R function optim Shumway directly using R function optim dlm: using function dlmMLE dse: using functions such as estVARXls, estVARXar, estSSfromVARX, estMaxLik, bft, estBlackBox, etc, directly
状态空间模型及例子
吴喜之
Models and Computation Steps for State-Space Model
Sources (for four packages): Package: FKF, related article (not for R, but having formulas): /p/dgr/kubcen/1998141.html (file3826.pdf) Package: dlm dlm.pdf (in R project or your R directory) Package: Shumway: /stoffer/tsa2/chap6.htm Package: dse In your R directory : dse-guide.pdf and article: http://www.bank-banque-canada.ca/pgilbert/gil93.pdf
ans <- fkf(a0 = c(0, 0), P0 = diag(c(10, 10)), dt = rbind(0, 0), ct = matrix(0), Tt = matrix(c(ar1, 1, ar2, 0), ncol = 2), Zt = cbind(1, 0), HHt = matrix(c(sigma^2, 0, 0, 0), ncol = 2), GGt = matrix(0), yt = rbind(a))
#library(dse) my1=TSdata(output=newdat[,c(3,2),drop = F]) my1=tframed(my1, list(start=c(1953,1), frequency=4)) bb1=estBlackBox(my1,g=3) tfplot(bb1) attributes(bb1)#model
Example: FKF
#Simulationdata ar1 <- 0.6 ar2 <- 0.2 ma1 <- -0.2 sigma <- sqrt(0.2) ## Sample from an ARMA(2, 1) process a <- arima.sim(model = list(ar = c(ar1, ar2), ma = ma1), n = n, innov = rnorm(n) * sigma)
– dlmModARMA , dlmModPoly, dlmModReg , dlmModSeas , dlmModTrig
• dse: using functions such as ARMA, SS (can transfer to each other) to build an empty model (but)
5
例子
ts(y, start = c(1953, 1), frequency = 1)
-2
-1
0
1
2
3
4
1960
1970 Time
1980
1990
2000
library(dse) my=TSdata(input= newdat[,3,drop = F],output=newdat[, 2,drop = F]) my=tframed(my, list(start=c(1953,1), frequency=4))
updating equations where
The MSE of
is Kalman gain
Kalman Smoother: with initial
The Lag-one Covariance Smoother
With initial condition
for t=n,n-1,…,2
Three “levels” of Shumway’s models
0 2
4
6
bb2$model #Giving F, H, K (one dimention) bb2$estimates #giving $cov, $like, $pred
8
10
12
14
1955
1960
1965
1970
1975
1980
bb4=estVARXls(my1,g=3)#two variables (TWO output) bb4$model #Giving A(L), B(L), C(L) bb4$estimates #giving $cov, $like, $pred
One step ahead predictions (dotted) and actual data (solid)
bb2=estBlackBox(my2,g=3) tfplot(bb2) attributes(bb2)#model
Series 1
bb3=estVARXls(my,g=1)#two variables (one input one output) bb3$model #Giving A(L), B(L), C(L) bb3$estimates #giving $cov, $like, $pred
Series 1
One step ahead predictions (dotted) and actual data (solid)
12
bb1$model #Giving F, H, K bb1$estimates #giving $cov, $like, $pred #看结果
0
4
8
1955
1960
Model (Shumway notation)
Transition equation and observation equation
• • • • • • •
xt : p×1 state vector N(m, S) yt : q×1 observation/measurement vector wt : p×1 system noise iid N(0,Q) vt : q×1 observation noise iid N(0,R) ut : r×1 fixed input At : q×p observation/measurement matrix F : p×p ; G : q×r, U: p×r, Q: p×p, R: q×q
library(dse) my=TSdata(input= newdat[,3,drop = F],output=newdat[, 2,drop = F]) my=tframed(my, list(start=c(1953,1), frequency=4)) seriesNamesInput(my)="CPI" seriesNamesOutput(my)="BILLS"