【高考数学】2018-2019学年数学高考二轮复习中档大题规范练6不等式选讲-文科
2019高考数学二轮复习三、大题分层,规范特训(一)基础得分,天天练规范练6理
规范练(六)(时间：45分钟 满分：46分)1．(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且S 1010＝S 55＋5. (1)求{a n }的通项公式；(2)若，求数列{b n }的前n 项和T n .[规范解答及评分标准] (1)解法一：设等差数列{a n }的公差为d .∵S 1010＝S 55＋5，∴a 1＋a 10210－a 1＋a525＝5，(2分)∴a 10－a 5＝10，∴5d ＝10，解得d ＝2.(4分) ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n .(5分) 解法二：设等差数列{a n }的公差为d .∵S 1010＝S 55＋5，∴10a 1＋10×92d 10－5a 1＋5×42d5＝5，(2分) ∴5d2＝5，解得d ＝2.(4分) ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n .(5分) (2)由(1)知，a n ＝2n ，∴S n ＝n＋2n 2＝n 2＋n .(6分) (7分)∴T n ＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋n ·2n ＋2，①2T n ＝1×24＋2×25＋3×26＋…＋(n －1)·2n ＋2＋n ·2n ＋3，②(8分)①－②，得－T n ＝23＋24＋…＋2n ＋2－n ×2n ＋3＝23－2n1－2－n ×2n ＋3＝2n ＋3－8－n ×2n ＋3＝(1－n )2n ＋3－8.(11分)∴T n ＝(n －1)2n ＋3＋8.(12分)2．(12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，AD ⊥平面PCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2AB ，Q 为棱PC 上一点．(1)若点Q 是PC 的中点，证明：BQ ∥平面PAD ；(2)PQ →＝λPC →，试确定λ的值使得二面角Q —BD —P 的大小为60°. [规范解答及评分标准] (1)证明：如图，取PD 的中点M ，连接AM ，MQ .∵点Q 是PC 的中点，∴MQ ∥CD ，MQ ＝12CD .(1分)又AB ∥CD ，AB ＝12CD ，∴MQ ∥AB ，MQ ＝AB ，∴四边形ABQM 是平行四边形．∴BQ ∥AM .(3分)又AM ⊂平面PAD ，BQ ⊄平面PAD ，∴BQ ∥平面PAD .(4分)(2)由AD ⊥平面PCD ，PD ⊥CD ，可得DA ，DC ，DP 两两垂直，以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)．(5分)设Q (x 0，y 0，z 0)，则PQ →＝(x 0，y 0，z 0－1)，PC →＝(0,2，－1)．∵PQ →＝λPC →，∴(x 0，y 0，z 0－1)＝λ(0,2，－1)，∴Q (0,2λ，1－λ)．(7分) 又易证BC ⊥平面PBD ，∴n ＝(－1,1,0)是平面PBD 的一个法向量．(8分) 设平面QBD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·DB →＝0，m ·DQ →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2λy ＋－λz ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y ，z ＝2λλ－1y .令y ＝1，则m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，2λλ－1.(9分)∵二面角Q —BD —P 的大小为60°， ∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝22·2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2λλ－12＝12，解得λ＝3± 6.(11分)∵点Q 在棱PC 上，∴0≤λ≤1，∴λ＝3－ 6.(12分)3．(12分)从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z )，由测量的结果得到如下的频率分布直方图：(1)公司规定：当Z ≥95时，产品为正品；当Z <95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；(2)由频率分布直方图可以认为，Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．①利用该正态分布，求P (87.8<Z <112.2)；②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X 表示这500件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)的产品件数，利用①的结果，求E (X )．附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.9544. [规范解答及评分标准] (1)由频率估计概率，产品为正品的概率为(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67.(2分)所以随机变量ξ的分布列为(3分)所以E (ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝50.4.(4分)(2)①由频率分布直方图知，抽取的产品的该项质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2分别为x －＝70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02＝100.(5分)s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(6分)所以Z ～N (100,150)，所以P (87.8<Z <112.2)＝P (100－12.2<Z <100＋12.2)＝0.6826.(8分)②由①知，一件产品的该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)的概率为0.6826. 依题意知，X ～B (500,0.6826)，(10分) 所以E (X )＝500×0.6826＝341.3.(12分)选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．4．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝42，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝2sin α(α为参数)．(1)将曲线C 上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C 1，写出C 1的极坐标方程； (2)射线θ＝π3与C 1，l 的交点分别为M ，N ，射线θ＝2π3与C 1，l 的交点分别为A ，B ，求四边形ABNM 的面积．[规范解答及评分标准] (1)设曲线C 1上的任意一点为(x ，y )，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2在曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y2＝2sin α(α为参数)，则曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2分) 所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4.(4分)(2)将θ＝π3，θ＝2π3分别代入直线的极坐标方程，得ρN ＝42sin π12，ρB ＝42sin 5π12.(6分)所以S △OBN ＝12ρB ·ρN ·sin π3＝12×42sin 5π12×42sinπ12×32＝32 3.(8分)因为S △OAM ＝12×4×4×sin π3＝43，所以S 四边形ABNM ＝S △OBN －S △OAM ＝28 3.(10分) 5．[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －1|.(1)当a ＝0时，求不等式f (x )>x 2＋|x －1|的解集； (2)当x ∈R 时，有f (2x )＋a ≥3成立，求a 的取值范围． [规范解答及评分标准] (1)当a ＝0时，原不等式等价于|x |>x 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x >x2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x >x 2，解得－1<x <0或0<x <1.所以原不等式的解集为(－1,0)∪(0,1)．(4分) (2)因为当x ∈R 时，有f (2x )＋a ≥3成立，所以当x ∈R 时，有|2x ＋a |＋|2x －1|≥3－a 成立．(6分) 又因为|2x ＋a |＋|2x －1|≥|2x ＋a －(2x －1)|＝|a ＋1|，(8分) 所以|1＋a |≥3－a ，解得a ≥1. 故a 的取值范围是[1，＋∞)．(10分)。
2019高考数学(文科)二轮复习选择填空狂练六等差等比数列含答案
6 等差、等比数列1．[2018·阜阳三中]{}n a 为等差数列，且7421a a -=-，30a =，则公差d =（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．22．[2018·阜阳三中]在等比数列{}n a 中，若37a =，前3项和321S =，则公比q 的值为（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-3．[2018·阜阳调研]已知等比数列{}n a 中有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77a b =，则59b b +=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．164．[2018·南海中学]已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．4-5．[2018·长春实验]已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是（ ）A ．29B ．30C ．31D ．326．[2018·琼海模拟]朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中第3天共分发大米（ ）A ．192升B ．213升C ．234升D ．255升7．[2018·长寿中学]在等差数列{}n a 中，满足4737a a =，且10a >，n S 是{}n a 前n 项的和，若n S 取得最大值，则n =（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108．[2018·潮南冲刺]已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a -成等差数列，则42S S =（ ）A ．3B ．9C ．10D ．139．[2018·诸暨适应]等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差d 不等于零，若2a ，3a ，6a 成等比，则（一、选择题）A ．10a d >，30dS >B ．10a d >，30dS <C ．10a d <，30dS >D ．10a d <，30dS <10．[2018·湖北模拟]设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，44a =，515S =，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和为1011，则m =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1111．[2018·郑州质测]已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na <对2n ≥恒成立”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必条件12．[2018·衡水中学]已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，点()222,log M a 、()255,log N a 都在直线1y x =-上，则数列{}n a 的前n 项和为（ ）A ．22n -B ．122n +-C ．21n -D ．121n +-13．[2018·长春质测]各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知630S =，970S =，则3S =_____．14．[2018·定远模拟]等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++=_____．15．[2018·郑州质测]设有四个数的数列1a ，2a ，3a ，4a 前三个数构成一个等比数列，其和为k ，后三个数构成一个等差数列，其和为15，且公差非零．对于任意固定的实数k ，若满足条件的数列个数大于1，则k 的取值范围为________．16．[2018·山西二模]数列{}n a 满足1111,231,n n n n n a a a a a ----⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，若134a =，则数列{}n a 的前100项的和是__________．二、填空题1．【答案】B【解析】7421a a -=- ，()33421a d a d ∴+-+=-，421d d ∴-=-，12d ∴=-．故选B ．2．【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的首项为a ，公比为q ，所以有方程组22721aq a aq aq ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，解得1q =或12q =-，答案选择C ．3．【答案】C【解析】在等比数列{}n a 中有31174a a a =，所以2774a a =，74a =，所以774a b ==，又{}n b 是等差数列，59728b b b +==，答案选择C ．4．【答案】C【解析】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+，故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=， 数列{}n a 是等比数列，则11a =，故412λ+=，解得2λ=-，故选C ．5．【答案】C【解析】设正项等比数列的公比为q ，则3416a q =，6716a q =，4a 与7a 的等差中项为98，即有4794a a +=，即36916164q q +=，解得12q =（负值舍去），则有()5515116112311112a q S q ⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭===--．故选C ．6．【答案】C【解析】根据题意设每天派出的人数组成数列{}n a ，可得数列是首项164a =，公差为7的等差数列，则第三天派出的人数为3a ，且3642778a =+⨯=，又根据每人每天分发大米3升，则第3天共分发大米783234⨯=升，故选C ．答案与解析一、选择题7．【答案】C【解析】设等差数列首项为1a ，公差为d ，由题意可知14330a d +=，10a >，()()2111352233n n n da S na n n -=+=-，二次函数的对称轴为358.754n ==，开口向下，又因为n ∈*N ，所以当9n =时，n S 取最大值．故选C ．8．【答案】C【解析】设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为0q >，满足6a ，43a ，5a -成等差数列，4656a a a ∴=-，()2446a a q q ∴=-，0q >，260q q ∴--=，0q >，解得3q =，则()()4124221313131103131a S S a --==+=--，故选C ．9．【答案】C【解析】由2a ，3a ，6a 成等比数列．可得2326a a a =，可得()()()211125a d a d a d +=++，即2120a d d +=，∵公差d 不等于零，10a d ∴<，120a d +=，()23133302dS d a d d ∴=+>=，故选C ．10．【答案】C【解析】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，设公差为d ，44a =，515S =，则4534155a S a ===⎧⎨⎩，解得1d =，则()44n a n n =+-=．由于()1111111n n a a n n n n +==-++，则11111110112231111m S m m m =-+-++-=-=++ ，解得10m =，故答案为10．故选C ．11．【答案】A【解析】由题可得，()12n n n n a a S na +=<，化简可得1n na na <，即1n a a <，所以()111a a n d <+-，即()102n d n ->≥当恒成立，所以0d >，即数列{}n a 为递增数列，故为充分条件．若数列{}n a 为递增数列，则0d >，()()()1111122n n n n n n d na S n a n d na d --⎡⎤-=+--+=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当2n ≥时，0n n na S ->，即n n S na <，故为必要条件，综上所述为充分必要条件．故选A ．12．【答案】C【解析】因为点()222,log M a 、()255,log N a 都在直线1y x =-上，所以22log 211a =-=，可得22a =，25log 514a =-=，可得516a =，35122128 21112n n n q a q S a a =⎧-==⇒⇒==-⎨=-⎩，故选C ．13．【答案】10【解析】根据等比数列的前n 项和的性质，若n S 是等比数列的和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -， ，仍是等比数列，得到：()()263396S S S S S -=-，解得310S =，故答案为10．14．【答案】5【解析】由题意知21534a a a ==，且数列{}n a 的各项均为正数，所以32a =，()()()225123451523433352a a a a a a a a a a a a a ∴=⋅⋅=⋅==，()521222324252123452log log log log log log log 25a a a a a a a a a a ∴++++===．15．【答案】()()15,55,1515,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】因为后3个数成等差数列且和为15，故可依次设后3个数为5d -，5，5d +，（0d ≠且5d ≠），又前3个数构成等比数列，则第一个数为()255d -，即()25555d d k -+-+=，化简得2157550d d k -+-=，因为满足条件的数列的个数大于1，需要0Δ>，所以154k >．再由0d ≠且5d ≠，得5k ≠，且15k ≠，故答案为()()15,55,1515,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．16．【答案】450二、填空题【解析】∵数列{}n a 满足1111,231,n n n n n a a a a a ----⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，∵134a =，∴211712a a ==，3231317152a a =+=⨯+=，432612a a ==，541312a a ==，653140a a =+=，762012a a ==，871012a a ==，98125a a ==，1093116a a =+=，1110128a a ==，1211142a a ==，1312122a a ==，1413121a a ==，同理可得：154a =，162a =，171a =， ．可得此数列从第12项开始为周期数列，周期为3．则数列{}n a 的前100项的和()()1211121314151629a a a a a a a a =++++++++ ()()341752261340201051684229142=+++++++++++++⨯++450=．故答案为450．。
2019年高考文科数学二轮复习分专题解答题训练共八套 Word版附答案及解析
2019年高考文科数学（通用版）二轮复习解答题训练共八套PS ：答案及解析页码为：14～35页专题一：解三角形1.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C .(1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，边长a ＝4，当m ·n 取最大值时，求b 的值.2.已知△ABC 中， AC ＝2，A ＝2π3，3cos C ＝3sin B .(1)求AB ；(2)若D 为BC 边上一点，且△ACD 的面积为334，求∠ADC 的正弦值.3.已知函数f (x )＝1＋23sin x 2cos x 2－2cos 2x2，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)求f (A )的取值范围；(2)若A 为锐角且f (A )＝2，2sin A ＝sin B ＋2sin C ，△ABC 的面积为3＋34，求b 的值.4.(2018·北京11中模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，32，且相邻两条对称轴的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＋cos A ＝12，求角A 的大小.专题二：数 列1.在等差数列{a n }中， a 1＝－2，a 12＝20. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，求数列{3b n }的前n 项和S n .2.(2018·巩义模拟)已知数列{a n }满足a 1＝12，1a n ＋1＝1a n ＋2(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12.3.(2018·衡水金卷模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝5,3a 5＋a 9＝S 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋1a n ，且b 1＝a 6，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .4.(2018·大庆模拟)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 9＝81.记b n ＝[log 5a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[log 516]＝1. (1)求b 1，b 14，b 61； (2)求数列{b n }的前200项和.专题三：立体几何1.如图，在三棱柱ABF －DCE 中， ∠ABC ＝120°， BC ＝2CD, AD ＝AF , AF ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥EC ；(2)若AB ＝1，求四棱锥B －ADEF 的体积.2.如图，在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1).(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； (2)是否存在实数λ，使得平面BEF ⊥平面ACD .3.如图，在四棱锥P —ABCD 中，PC ＝AD ＝CD ＝12AB ＝2，AB ∥DC ，AD ⊥CD ，PC ⊥平面ABCD .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若M 为线段P A 的中点，且过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 交于点N ，确定点N 的位置，说明理由；并求三棱锥A —CMN 的高.4.(2018·乐山联考)如图， AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点， PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； (2)求三棱锥P －ABC 体积的最大值；(3)若BC ＝2，点E 在线段PB 上，求CE ＋OE 的最小值.专题四：解析几何1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且C 过点⎝⎛⎭⎫1，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P ，Q 均在第一象限)，且直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，证明：直线l 的斜率为定值.2.已知抛物线Γ：x 2＝2py (p >0)，直线y ＝2与抛物线Γ交于A ，B (点B 在点A 的左侧)两点，且|AB |＝43.(1)求抛物线Γ在A ，B 两点处的切线方程；(2)若直线l 与抛物线Γ交于M ，N 两点，且MN 的中点在线段AB 上，MN 的垂直平分线交y 轴于点Q ，求△QMN 面积的最大值.3.已知A ，F 分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点、右焦点，点P 为椭圆C 上一动点，当PF ⊥x 轴时，|AF |＝2|PF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若椭圆C 上存在点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形(点P 在第一象限)，求直线AP 与OQ 的斜率之积； (3)记圆O ：x 2＋y 2＝aba 2＋b 2为椭圆C 的“关联圆”. 若b ＝3，过点P 作椭圆C 的“关联圆”的两条切线，切点为M ，N ，直线MN 在x 轴和y 轴上的截距分别为m ，n ，求证：3m 2＋4n 2为定值.4.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |>|PN |)，若S △P AM ∶S △PBN ＝λ，求实数λ的取值范围.专题五：概率与统计1.(2018·安徽省六安一中适应性考试)全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2019年1月某日起连续n天监测空气质量指数(AQⅠ)，数据统计如下：(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；(2)在空气质量指数分别属于[50,100)和[150,200)的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率.2.为了丰富退休生活，老王坚持每天健步走，并用计步器记录每天健步走的步数.他从某月中随机抽取20天的健步走步数(老王每天健步走的步数都在[6,14]之间，单位：千步)，绘制出频率分布直方图(不完整)如图所示.(1)完成频率分布直方图，并估计该月老王每天健步走的平均步数(每组数据可用区间中点值代替)；(2)某健康组织对健步走步数的评价标准如下表：现从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，求这2天的健步走结果属于同一评价级别的概率.3.为了解某地区某种农产品的年产量x (单位：吨)对价格y (单位：千元/吨)和利润Z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：(1)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量约为多少时，年利润Z 取到最大值？(保留两位小数)参考公式：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .4.某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩(满分120分)的频率分布直方图如下，已知分数在100～110的学生有21人.(1)求总人数N 和分数在110～115的人数n ；(2)现准备从分数在110～115的n 名学生⎝⎛⎭⎫女生占13中任选2人，求其中恰好有一名女生的概率；(3)为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x (满分150分)，物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩.已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .专题六：函数与导数1.已知函数f (x )＝2x 2＋x＋ln x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求证：f (x )>0.2.已知函数f (x )＝ln x, g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴.(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性.3.已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x (a 为实数). (1)当a ＝5时，求函数g (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)求f (x )在区间[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(3)若存在两个不等实数x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，使方程g (x )＝2e x f (x )成立，求实数a 的取值范围.4.(2018·安徽省六安一中模拟)已知函数f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋a ln x (a 为实常数).(1)若a ＝－2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≤0成立，求实数a 的取值范围.专题七：坐标系与参数方程1.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过点M (－1,0)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－t ，y ＝t －1(t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 2：ρ＝8sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)判断直线C 1与曲线C 2的位置关系，若相交，求出弦长.3.(2018·河北省武邑中学期中)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，曲线C 3的极坐标方程为θ＝π6(ρ>0). (1)求曲线C 1的极坐标方程和C 3的直角坐标方程；(2)设C 3分别交C 1，C 2于点P ，Q ，求△C 1PQ 的面积.4.已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标；(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△AOB 的面积(O 为坐标原点).专题八：不等式选讲1.已知函数f(x)＝|x－2a|＋|x－3a|.(1)若f(x)的最小值为2，求a的值；(2)若对∀x∈R, ∃a∈[－2,2]，使得不等式m2－|m|－f(x)<0成立，求实数m的取值范围.2.(1)已知x∈R，求f(x)＝|x＋1|－|x－2|的最值；(2)若|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R，求a的取值范围.3.已知函数f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常数，a∈R).(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)＝|x－2m|－|x＋m|(m>0).(1)当m＝2时，求不等式f(x)≥1的解集；(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)≤|t＋3|＋|t－2|恒成立，求m的取值范围.答案及解析专题一：解三角形1.解 (1)由题意得，a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22， ∵B ∈(0，π)， ∴B ＝π4. (2)∵m ·n ＝12cos A －5cos 2A ＝－10⎝⎛⎭⎫cos A －352＋435， ∴当cos A ＝35时，m ·n 取最大值，此时sin A ＝45. 由正弦定理得，b ＝a sin B sin A ＝522. 2.解 (1)因为A ＝2π3，所以B ＝π3－C ， 由3cos C ＝3sin B 得，cos C ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ， 所以cos C ＝3⎝⎛⎭⎫32cos C －12sin C ＝32cos C －32sin C ， 所以12cos C ＝32sin C ， 即tan C ＝33. 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π6，从而得B ＝π3－C ＝π6，所以AB ＝AC ＝2. (2)由已知得12·AC ·CD sin π6＝334，所以CD ＝332， 在△ACD 中，由余弦定理得，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos C ＝74，即AD ＝72，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC， 故sin ∠ADC ＝AC sin C AD ＝277. 3.解 (1)f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，∴f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎫A －π6，由题意知，0<A <π，则A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫A －π6∈⎝⎛⎦⎤－12，1， 故f (A )的取值范围为(－1,2].(2)由题意知，sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝22，∵A 为锐角，即A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3， ∴A －π6＝π4，即A ＝5π12. 由正、余弦定理及三角形的面积公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝b ＋2c ，12bc ·sin 5π12＝3＋34，cos 5π12＝b 2＋c 2－a 22bc ，解得b ＝ 2.4.解 (1)由相邻两条对称轴的距离为π2，可得其周期为T ＝2π＝π，所以ω＝2，由图象过点⎝⎛⎭⎫π4，32，且ω>0,0<φ<π2，得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z . 所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π. (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＋cos A ＝12， 可得sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＋cos A ＝12， 则32sin A ＋12cos A ＝12，得sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝12， 因为0<A <π，所以π6<A ＋π6<7π6，所以A ＋π6＝5π6， 所以A ＝2π3. 专题二：数 列1.解 (1)因为a n ＝－2＋(n －1)d ，所以a 12＝－2＋11d ＝20，于是d ＝2，所以a n ＝2n －4(n ∈N *).(2)因为a n ＝2n －4，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n －6)2＝n (n －3)，于是 b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n＝n －3，令c n ＝3b n ，则c n ＝3n －3， 显然数列{c n }是等比数列，且c 1＝3－2，公比q ＝3，所以数列{3b n }的前n 项和S n ＝c 1()1－q n 1－q ＝3n －118(n ∈N *). 2.(1)解 由条件可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且首项为2，公差为2，所以1a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故a n ＝12n(n ∈N *). (2)证明 依题意可知a 2n ＝⎝⎛⎭⎫12n 2＝14·1n 2<14·1n ·1n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，n ≥2，n ∈N *. 又因为a 21＝14， 所以a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n < 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝14⎝⎛⎭⎫2－1n <14×2＝12. 故a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12. 3.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝5,3a 5＋a 9＝S 6，得3(5＋4d )＋(5＋8d )＝6×5＋6×52d ，解得d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋2(n －1)＝2n ＋3(n ∈N *).(2)由(1)得，b 1＝a 6＝2×6＋3＝15.又因为b n ＋1＝a n ＋1a n ，所以当n ≥2时，b n ＝a n a n －1＝(2n ＋3)(2n ＋1)，当n ＝1时，b 1＝5×3＝15，符合上式，所以b n ＝(2n ＋3)(2n ＋1)(n ∈N *).所以1b n ＝1(2n ＋3)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝n 3(2n ＋3)(n ∈N *). 4.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知S 9＝81，根据等差数列的性质可知，S 9＝9a 5＝9(a 1＋4d )＝81，∴a 1＋4d ＝9.∵a 1＝1，∴d ＝2，∴a n ＝2n －1，∴b 1＝[log 51]＝0，b 14＝[log 527]＝2，b 61＝[log 5121]＝2.(2)当1≤n ≤2时，1≤a n ≤3(a n ∈N *)，b n ＝[log 5a n ]＝0，共2项；当3≤n ≤12时，5≤a n ≤23，b n ＝[log 5a n ]＝1，共10项；当13≤n ≤62时，25≤a n ≤123，b n ＝[log 5a n ]＝2，共50项；当63≤n ≤200时，125≤a n ≤399，b n ＝[log 5a n ]＝3，共138项.∴数列{b n }的前200项和为2×0＋10×1＋50×2＋138×3＝524.专题三：立体几何1.(1)证明 已知ABF －DCE 为三棱柱，且AF ⊥平面ABCD ，∴DE ∥AF ，ED ⊥平面ABCD .∵BD⊂平面ABCD，∴ED⊥BD，又ABCD为平行四边形，∠ABC＝120°，故∠BCD＝60°，又BC＝2CD，故∠BDC＝90°，故BD⊥CD，∵ED∩CD＝D，ED，CD⊂平面ECD，∴BD⊥平面ECD，∵EC⊂平面ECD，故BD⊥EC.(2)解由BC＝2CD得AD＝2AB，∵AB＝1，故AD＝2，作BH⊥AD于点H，∵AF⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴AF⊥BH，又AD∩AF＝A，AD，AF⊂平面ADEF，∴BH⊥平面ADEF，又∠ABC＝120°，∴在△ABH中，∠BAH＝60°，又AB＝1，∴BH＝3 2，∴V B－ADEF＝13×(2×2)×32＝233.2.(1)证明∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF⊂平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC. (2)解假设存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD. 由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF ⊥平面ACD ，平面BEF ∩平面ACD ＝EF ，BE ⊂平面BEF ，∴BE ⊥平面ACD .又∵AC ⊂平面ACD ，∴BE ⊥AC .∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝∠ABD ＝90°，∠ADB ＝60°，∴BD ＝2，∴AB ＝2tan 60°＝6，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7.由Rt △AEB ∽Rt △ABC ，得AB 2＝AE ·AC ，∴AE ＝67， ∴λ＝AE AC ＝67. 故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD . 3.(1)证明 连接AC ，在直角梯形ABCD 中，AC ＝AD 2＋DC 2＝22，BC ＝(AB －CD )2＋AD 2＝22，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC ⊥BC .又PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC ⊥BC ，又AC ∩PC ＝C ，AC ，PC ⊂平面P AC ，故BC ⊥平面P AC .(2)解 N 为PB 的中点，连接MN ，CN .因为M 为P A 的中点，N 为PB 的中点，所以MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝2. 又因为AB ∥CD ，所以MN ∥CD ，所以M ，N ，C ，D 四点共面，所以N 为过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 的交点.因为BC ⊥平面P AC ，N 为PB 的中点，所以点N 到平面P AC 的距离d ＝12BC ＝ 2. 又S △ACM ＝12S △ACP ＝12×12×AC ×PC ＝2， 所以V 三棱锥N —ACM ＝13×2×2＝23. 由题意可知，在Rt △PCA 中，P A ＝AC 2＋PC 2＝23，CM ＝3，在Rt △PCB 中，PB ＝BC 2＋PC 2＝23， CN ＝3，所以S △CMN ＝12×2×2＝ 2. 设三棱锥A —CMN 的高为h ，V 三棱锥N —ACM ＝V 三棱锥A —CMN ＝13×2×h ＝23， 解得h ＝2，故三棱锥A —CMN 的高为 2.4.(1)证明 在△AOC 中，因为OA ＝OC, D 为AC 的中点，所以AC ⊥OD .又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO ⊥AC .因为DO ∩PO ＝O ，DO ，PO ⊂平面PDO ，所以AC ⊥平面PDO .(2)解 因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1.又AB ＝2，所以△ABC 面积的最大值为12×2×1＝1. 又因为三棱锥P －ABC 的高PO ＝1，故三棱锥P －ABC 体积的最大值为13×1×1＝13. (3)解 在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，所以PB ＝12＋12＝ 2.同理PC ＝2，所以PB ＝PC ＝BC .在三棱锥P －ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面C ′PB ，使之与平面ABP 共面，如图所示.当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值. 又因为OP ＝OB ，C ′P ＝C ′B ， 所以OC ′垂直平分PB ，即E 为PB 中点. 从而OC ′＝OE ＋EC ′＝22＋62＝2＋62，即CE ＋OE 的最小值为2＋62.专题四：解析几何1.(1)解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， ∵直线l 与椭圆交于两点，∴Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. ∵直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，∴k 2＝y 2x 2·y 1x 1＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2，整理得km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∴－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0， 又m ≠0，∴k 2＝14，结合图象(图略)可知k ＝－12，故直线l 的斜率为定值.2.解 (1)由x 2＝2py ，令y ＝2，得x ＝±2p ，所以4p ＝43，解得p ＝3，所以x 2＝6y ，由y ＝x 26，得y ′＝x 3，故y ′|x ＝23＝233. 所以在A 点的切线方程为y －2＝233(x －23)，即2x －3y －23＝0，同理可得在B 点的切线方程为2x ＋3y ＋23＝0.(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0，故设l ：y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x 2＝6y 与y ＝kx ＋m 联立， 得x 2－6kx －6m ＝0，Δ＝36k 2＋24m >0， 所以x 1＋x 2＝6k ，x 1x 2＝－6m ， 故|MN |＝1＋k 2·36k 2＋24m ＝23·1＋k 2·3k 2＋2m .又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6k 2＋2m ＝4，所以m ＝2－3k 2，所以|MN |＝23·1＋k 2·4－3k 2， 由Δ＝36k 2＋24m >0，得－233<k <233且k ≠0.因为MN 的中点坐标为(3k,2)，所以MN 的垂直平分线方程为y －2＝－1k (x －3k )，令x ＝0，得y ＝5，即Q (0,5)，所以点Q 到直线kx －y ＋2－3k 2＝0的距离d ＝|－5＋2－3k 2|1＋k2＝31＋k 2，所以S △QMN ＝12·23·1＋k 2·4－3k 2·31＋k 2＝33·(1＋k 2)2(4－3k 2).令1＋k 2＝u ，则k 2＝u －1，则1<u <73，故S △QMN ＝33·u 2(7－3u ).设f (u )＝u 2(7－3u )，则f ′(u )＝14u －9u 2，结合1<u <73，令f ′(u )>0，得1<u <149；令f ′(u )<0，得149<u <73，所以当u ＝149，即k ＝±53时，(S △QMN )max ＝33×1497－3×149＝1473. 3.(1)解 由PF ⊥x 轴，知x P ＝c ，代入椭圆C 的方程， 得c 2a 2＋y 2Pb 2＝1，解得y P ＝±b 2a. 又|AF |＝2|PF |，所以a ＋c ＝2b 2a ，所以a 2＋ac ＝2b 2，即a 2－2c 2－ac ＝0，所以2e 2＋e －1＝0， 由0<e <1，解得e ＝12.(2)解 因为四边形AOPQ 是平行四边形， 所以PQ ＝a 且PQ ∥x 轴，所以x P ＝a 2，代入椭圆C 的方程，解得y P ＝±32b ，因为点P 在第一象限，所以y P ＝32b ， 同理可得x Q ＝－a 2，y Q ＝32b ，所以k AP k OQ ＝3b2a 2－(－a )·3b2－a 2＝－b 2a 2，由(1)知e ＝c a ＝12，得b 2a 2＝34，所以k AP k OQ ＝－34.(3)证明 由(1)知e ＝c a ＝12，又b ＝3，解得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝237. ①连接OM ，ON (图略)，由题意可知，OM ⊥PM ，ON ⊥PN ， 所以四边形OMPN 的外接圆是以OP 为直径的圆，设P (x 0，y 0)，则四边形OMPN 的外接圆方程为⎝⎛⎭⎫x －x 022＋⎝⎛⎭⎫y －y 022＝14(x 20＋y 20)， 即x 2－xx 0＋y 2－yy 0＝0.②①－②，得直线MN 的方程为xx 0＋yy 0＝237，令y ＝0，则m ＝237x 0，令x ＝0，则n ＝237y 0.所以3m 2＋4n 2＝49⎝⎛⎭⎫x 204＋y 203， 因为点P 在椭圆C 上，所以x 204＋y 203＝1，所以3m 2＋4n 2＝49(为定值).4.解 (1)因为BF 1⊥x 轴，得到点B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a ，所以⎩⎨⎧ a ＝2，b 2a (a ＋c )＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为S △P AM S △PBN ＝12|P A ||PM |·sin ∠APM12|PB ||PN |·sin ∠BPN ＝2·|PM |1·|PN |＝λ，所以|PM ||PN |＝λ2(λ>2)，所以PM →＝－λ2PN →.由(1)可知P (0，－1)，设MN 方程为y ＝kx －1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0，Δ>0恒成立，即得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝8k4k 2＋3，x 1·x 2＝－84k 2＋3，(*)又PM →＝(x 1，y 1＋1)，PN →＝(x 2，y 2＋1)，有x 1＝－λ2x 2，将x 1＝－λ2x 2代入(*)可得，(2－λ)2λ＝16k 24k 2＋3.因为k >12，所以16k 24k 2＋3＝163k 2＋4∈(1,4)，则1<(2－λ)λ2<4且λ>2，即得4<λ<4＋2 3.综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋23).专题五：概率与统计1.解 (1)∵0.004×50＝20n，∴n ＝100，∵20＋40＋m ＋10＋5＝100， ∴m ＝25，40100×50＝0.008；25100×50＝0.005；10100×50＝0.002；5100×50＝0.001.(2)在空气质量指数为[50,100)和[150,200)的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为[50,100)的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气质量指数为[150,200)的1天记为e ，从中任取2天的基本事件分别为：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10种，其中事件A “两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6种，所以事件A “两天空气质量等级都为良”发生的概率是P (A )＝610＝35.2.解 (1)设落在分组[10,12)中的频率为x ，则⎝⎛⎭⎫0.05＋0.075＋x2＋0.125×2＝1，得x ＝0.5， 所以各组中的频数分别为2,3,10,5. 完成的频率分布直方图如图所示：老王该月每天健步走的平均步数约为(7×0.05＋9×0.075＋11×0.25＋13×0.125)×2＝10.8(千步).(2)设评价级别是及格的2天分别为a ，b ，评价级别是良好的3天分别为x ，y ，z ， 则从这5天中任意抽取2天，共有10种不同的结果： ab ，ax ，ay ，az ，bx ，by ，bz ，xy ，xz ，yz ，所抽取的2天属于同一评价级别的结果共4种：ab ，xy ，xz ，yz .所以，从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，属于同一评价级别的概率P ＝410＝25.3.解 (1)x ＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y ＝15(7.0＋6.5＋5.5＋3.8＋2.2)＝5，∑i ＝15x i y i ＝1×7.0＋2×6.5＋3×5.5＋4×3.8＋5×2.2＝62.7，∑i ＝15x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＝55， ∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝62.7－5×3×555－5×32＝－1.23，a ^＝y －b ^x ＝5－(－1.23)×3＝8.69，∴y 关于x 的线性回归方程是y ^＝8.69－1.23x . (2)年利润Z ＝x (8.69－1.23x )－2x ＝－1.23x 2＋6.69x ， ∴当年产量约为2.72吨时，年利润Z 最大.4.解 (1)分数在100～110内的学生的频率为P 1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35， 所以该班总人数N ＝210.35＝60，分数在110～115内的学生的频率为P 2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.1， 分数在110～115内的人数n ＝60×0.1＝6.(2)由(1)可知，分数在110～115内有6名学生，其中女生有2名，男生有4名， 设男生为A 1，A 2，A 3，A 4，女生为B 1，B 2，从6名学生中选出2人的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15个.其中恰好有一名女生的基本事件有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，共8个， 所以所求的概率为P ＝815.(3)x ＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100，y ＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67＝100.由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据公式得到b ^＝497994＝0.5，a ^＝100－0.5×100＝50，所以线性回归方程为y ^＝0.5x ＋50，所以当x ＝130时，y ^＝115.所以他的物理成绩的估计值是115分.专题六：函数与导数1.(1)解 f (x )＝2x 2＋x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－2(2x ＋1)(x 2＋x )2＋1x ＝x 3＋2x 2－3x －2(x 2＋x )2， 所以f ′(1)＝－12，又f (1)＝1，则切线方程为x ＋2y －3＝0. (2)证明 令h (x )＝x 3＋2x 2－3x －2， 则h ′(x )＝3x 2＋4x －3， 设h ′(x )＝0的两根为x 1，x 2， 由于x 1x 2＝－1<0， 不妨设x 1<0，x 2>0，则h (x )在(0，x 2)上是单调递减的，在(x 2，＋∞)上是单调递增的. 而h (0)<0，h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一零点x 0，且x 0∈(1,2)， 所以f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增. 所以f (x )≥f (x 0)＝2x 20＋x 0＋ln x 0，因为x 0∈(1,2)，ln x 0>0，f (x )>2x 20＋x 0>0，所以f (x )>0.2.解 (1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，x >0，则g ′(x )＝1x＋2ax ＋b ，由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴得， g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0， ∴b ＝－2a －1.(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－()2a ＋1x ＋1x＝()2ax －1()x －1x.∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时， g ′(x )＝－x －1x ，由g ′()x >0得0<x <1， 由g ′()x <0得x >1； 若0<12a <1，即a >12时，由g ′()x >0得x >1或0<x <12a ，由g ′()x <0得12a <x <1；若12a >1，即0<a <12时， 由g ′()x >0得x >12a 或0<x <1，由g ′()x <0得1<x <12a；若12a ＝1，即a ＝12时，在()0，＋∞上恒有g ′()x ≥0. 综上得，当a ＝0时，函数g ()x 在(0,1)上单调递增，在()1，＋∞上单调递减；当0<a <12时，函数g ()x 在()0，1上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减；在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数g ()x 在()0，＋∞上单调递增；当a >12时，函数g ()x 在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减；在()1，＋∞上单调递增.3.解 (1)当a ＝5时，g (x )＝(－x 2＋5x －3)e x ，g (1)＝e ，g ′(x )＝(－x 2＋3x ＋2)e x ，故切线的斜率为g ′(1)＝4e ，所以切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0.(2)函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞).因为f ′(x )＝ln x ＋1， 所以在(0，＋∞)上，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当t ≥1e 时，在区间[t ，t ＋2]上，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t ln t ，当0<t <1e 时，在区间⎣⎡⎭⎫t ，1e 上，f (x )为减函数，在区间⎝⎛⎦⎤1e ，t ＋2上，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e . (3)由g (x )＝2e xf (x )，可得2x ln x ＝－x 2＋ax －3， 则a ＝x ＋2ln x ＋3x ，令h (x )＝x ＋2ln x ＋3x ，x >0，则h ′(x )＝1＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2.当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：因为h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋3e －2，h (e)＝3e＋e ＋2，h (1)＝4，所以h (e)－h ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－2e ＋2e<0， 所以h (e)<h ⎝⎛⎭⎫1e ，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤4，3e ＋e ＋2. 4.解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ，则f ′(x )＝2x －2x，f ′(1)＝0，所求切线方程为y ＝1.(2)f ′(x )＝2x －(a ＋2)＋a x ＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x ＝(2x －a )(x －1)x，x ∈[1，e]. 当a 2≤1，即a ≤2时，x ∈[1，e]，f ′(x )≥0，此时f (x )在[1，e]上单调递增. 所以f (x )的最小值为f (1)＝－a －1，所以－1≤a ≤2；当1<a 2<e ，即2<a <2e ，x ∈⎝⎛⎭⎫1，a 2时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1，a 2上单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫a 2，e 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫a 2，e 上单调递增， 所以f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 24－a ＋a ln a 2＝a ⎝⎛⎭⎫ln a 2－a 4－1. 因为2<a <2e ，所以0<ln a 2<1， 所以f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ⎝⎛⎭⎫ln a 2－a 4－1<0恒成立，所以2<a <2e ；当a 2≥e ，即a ≥2e 时，x ∈[1，e]，f ′(x )≤0，此时f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )的最小值为f (e)＝e 2－(a ＋2)e ＋a ，因为a ≥2e>e 2－2e e －1，所以f (e)<0， 所以a ≥2e ，综上，a ≥－1.专题七：坐标系与参数方程1.解 (1)曲线C 化为普通方程为x 23＋y 2＝1， 由22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－1＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入x 23＋y 2＝1化简得，2t 2－2t －2＝0， 设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－1，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝1.2.解 (1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－t ，y ＝t －1(t 是参数)消去t 得x ＋y －3＝0， 所以直线C 1的普通方程为x ＋y －3＝0.把ρ＝8sin θ的两边同时乘ρ，得ρ2＝8ρsin θ，因为x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16.(2)由(1)知，曲线C 2：x 2＋(y －4)2＝16是圆心坐标为(0,4)，半径为4的圆，所以圆心(0,4)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|0＋4－3|2＝22<4， 所以直线C 1与曲线C 2相交，其弦长为242－⎝⎛⎭⎫222＝62. 3.解 (1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ.曲线C 3的直角坐标方程为y ＝33x (x >0). (2)依题意，设点P ，Q 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫ρ1，π6， ⎝⎛⎭⎫ρ2，π6，将θ＝π6代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝23， 将θ＝π6代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1， 所以||PQ ＝||ρ1－ρ2＝23－1，依题意得，点C 1到曲线θ＝π6的距离为d ＝||OC 1sin π6＝1， 所以S △C 1PQ ＝12||PQ ·d ＝12()23－1＝3－12. 4.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝2cos θ，y ＝2sin θ， 所以(x ＋2)2＋y 2＝4，又由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，得x 2＋y 2＝4y ，把两式作差得，y ＝－x ，代入x 2＋y 2＝4y 得交点坐标为(0,0)，(－2,2).(2)如图，由平面几何知识可知，当A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时，|AB |最大，此时|AB |＝22＋4，O 到AB 的距离为2，∴△OAB 的面积为S ＝12(22＋4)·2＝2＋2 2. 专题八：不等式选讲1.解 (1)|x －2a |＋|x －3a |≥|(x －2a )－(x －3a )|＝|a |，当且仅当x 取介于2a 和3a 之间的数时，等号成立，故f (x )的最小值为|a |,∴a ＝±2.(2)由(1)知f (x )的最小值为|a |，故∃a ∈[－2,2]，使m 2－|m |<|a |成立，即 m 2－|m |<2，∴(|m |＋1)(|m |－2)<0，∴－2<m <2.2.解 (1)∵|f (x )|＝||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴－3≤f (x )≤3，∴f (x )min ＝－3，f (x )max ＝3.(2)∵|x －3|＋|x ＋1|≥|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴|x －3|＋|x ＋1|≥4.∴当a ＜4时，|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集为R .又∵|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集不是R ，∴a ≥4.∴a 的取值范围是[4，＋∞).3.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎨⎧ －x －4，x <12，3x －6，x ≥12， 由f (x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，－x －4≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x －6≥0，解得x ≤－4或x ≥2，故不等式f (x )≥0的解集为{x |x ≤－4或x ≥2}.(2)令f (x )＝0，得|2x －1|＝5－ax ，则函数f (x )恰有两个不同的零点转化为y ＝|2x －1|与y ＝－ax ＋5的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当－2<a <2时，函数f (x )恰有两个不同的零点，故实数a 的取值范围为(－2,2).4.解 (1)f (x )＝|x －2m |－|x ＋m |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3m ，x ≥2m ，－2x ＋m ，－m <x <2m ，3m ，x ≤－m ，当m ＝2时，由－2x ＋2≥1得－2<x ≤12， 又当x ≤－2时，f (x )≥1恒成立，所以不等式f (x )≥1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12. (2)不等式f (x )≤|t ＋3|＋|t －2|对任意的实数t ，x 恒成立，等价于对任意的实数x ，f (x )≤(|t ＋3|＋|t －2|)min 恒成立，即f (x )max ≤(|t ＋3|＋|t －2|)min ，∵f (x )＝|x －2m |－|x ＋m |≤|(x ＋m )－(x －2m )|＝3m ，|t ＋3|＋|t －2|≥|(t ＋3)－(t －2)|＝5， ∴3m ≤5，又m >0，∴0<m ≤53.。
【高考数学】2018-2019学年高三理科数学二轮复习：中档大题规范特训“3+2选1”限时规范练(四)-含解析
其方差为 [(92－68)2＋(92－72)2＋(92－88)2＋2×(92－95)2＋2×(92－96)2＋(92－97)2＋(92－98)2＋(92－99)2＋2×(92－100)2]＝ (242＋202＋42＋2×32＋2×42＋52＋62＋72＋2×82)＝ .(6分)
(1)求证：平面ABD⊥平面BDF；
(2)若二面角B－AD－F的大小为60°，求EA的长度．
[规范解答及评分标准](1)由题意知EA綊 FD，EB綊 FC，所以AB∥CD，即A，B，C，D四点共面．(2分)
由EF＝EB＝ FC＝2，EF⊥AB，得FB＝BC＝2 ，则BC⊥FB，又翻折后平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF＝EF，DF⊥EF，所以DF⊥平面EBCF，因而BC⊥DF，又DF∩FB＝F，所以BC⊥平面BDF，由于BC⊂平面BCD，则平面BCD⊥平面BDF，又平面ABD即平面BCD，所以平面ABD⊥平面BDF.(6分)
化为极坐标方程，得4ρcosθ－6ρsinθ＋5＝0.(10分)
5．选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－2s，t∈A，求证： < .
[规范解答及评分标准](1)解法一：不等式f(x)<3等价于|2x＋1|＋|x－2|<3，(*)
(2)抽取的12名新手中，成绩低于95分的有3个，成绩不低于95分的有9个，故抽取的12名新手中合格的频率为 ＝ ，故从该市新手中任选1名合格的概率为 .
(7分)
X的所有可能取值为0,1,2,3,4，
则P(X＝0)＝C 0 4＝ ，
P(X＝1)＝C 1 3＝ ＝ ，
2019高考数学(文科)二轮习题：专题六第十二讲 圆锥曲线及其性质 Word版含解析
第十二讲 圆锥曲线及其性质1.(2018广西南宁二中、柳州高中联考)已知双曲线x 23-y 2b 2=1(b>0)的一个焦点与抛物线y 2=8x 的焦点重合,则该双曲线的渐近线方程为( )A.y=±13x B.y=±√33x C.y=±3xD.y=±√3x 2.(2018四川成都模拟)如图,已知双曲线E:x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),长方形ABCD 的顶点A,B 分别为双曲线E 的左,右焦点,且点C,D 在双曲线E 上,若|AB|=6,|BC|=52,则此双曲线的离心率为( )A.√2B.32C.52D.√53.直线l 过抛物线y 2=-2px(p>0)的焦点,且与该抛物线交于A,B 两点,若线段AB 的长是8,AB 的中点到y 轴的距离是2,则此抛物线的方程是( )A.y 2=-12xB.y 2=-8xC.y 2=-6xD.y 2=-4x4.(2018广东惠州模拟)设F 1,F 2为椭圆x 29+y 25=1的两个焦点,点P 在椭圆上,若线段PF 1的中点在y 轴上,则|PF 2||PF 1|的值为( ) A.514 B.59 C.49 D.513 5.(2018课标全国Ⅱ,11,5分)已知F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点.若PF 1⊥PF 2,且∠PF 2F 1=60°,则C 的离心率为( )A.1-√32B.2-√3 C.√3-12D.√3-16.(2018安徽合肥模拟)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=()A.13B.√23C.23D.2√237.(2018北京,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.8.(2018江西南昌模拟)已知双曲线C:x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作圆(x-a)2+y2=c216的切线,若该切线恰好与C的一条渐近线垂直,则双曲线C的离心率为.9.P是椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点,A为左顶点,F为右焦点,PF⊥x轴,若tan∠PAF=12,则椭圆的离心率e为.10.已知双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为.11.(2018湖北武汉调研)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x 2a2+y2=1(a>1,a∈R)上,过O的直线交椭圆C于A,B两点,F为椭圆C的左焦点.(1)若△FAB的面积的最大值为1,求a的值;(2)若直线MA,MB的斜率乘积等于-13,求椭圆C的离心率.。
2019高考数学二轮复习 专题8 选修专题 第三讲 不等式选讲练习 文.doc
第三讲 不等式选讲配套作业一、选择题1．不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是(D )A ．[－5，7]B ．[－4，6]C ．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)解析：当x ≤－3时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x －x －3＝2－2x ≥10，即x ≤－4，∴x ≤－4.当－3<x <5时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x ＋x ＋3＝8≥10，不成立，∴无解．当x ≥5时，|x －5|＋|x ＋3|＝x －5＋x ＋3＝2x －2≥10，即x ≥6，∴x ≥6.综上可知，不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)，故选D.2．(2015·延边州质检)函数y ＝x 2＋5x ＋15x ＋2(x ≥0)的最小值为(B ) A ．6 B ．7 C.7 D ．9解析：原式变形为y ＝（x ＋2）2＋（x ＋2）＋9x ＋2＝x ＋2＋9x ＋2＋1，因为x ≥0，所以x ＋2>0，所以x ＋2＋9x ＋2≥6.所以y ≥7，当且仅当x ＝1时取等号．所以y min ＝7(当且仅当x ＝1时)．3．若x ，y ∈R 且满足x ＋3y ＝2，则3x ＋27y ＋1的最小值是(D )A ．339B ．1＋2 2C ．6D ．7解析：3x ＋33y ＋1≥23x ·33y ＋1＝23x ＋3y ＋1＝7.当且仅当3x ＝33y时，即x ＝3y ＝1时取等号．4．设x >0，y >0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y 1＋y，则A ，B 的大小关系是(B ) A ．A ＝B B ．A <B C ．A ≤B D ．A >B解析：B ＝x 1＋x ＋y 1＋y >x 1＋x ＋y ＋y 1＋y ＋x ＝x ＋y 1＋x ＋y＝A ，即A <B .5．设a ，b ，c 为正数且a ＋2b ＋3c ＝13，则3a ＋2b ＋c 的最大值为(C )A.1693B.133C.1333D.13 解析：(a ＋2b ＋3c )⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3）2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥(3a ＋2b ＋c )2，∵a ＋2b ＋2c ＝13，∴(3a ＋2b ＋c )2≤1693.∴3a ＋2b ＋c ≤1333，当且仅当a 3＝2b 1＝3c 13时取等号．∵a ＋2b ＋3c ＝13，∴a ＝9，b ＝32，c ＝13时，3a ＋2b ＋c 取最大值1333.二、填空题6．不等式1<|x ＋1|<3的解集为________________．答案：(－4，－2)∪(0，2)7．不等式|x －8|－|x －4|>2的解集为____________．解析：令f (x )＝|x －8|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，－2x ＋12，－4，x >8，4<x ≤8，当x ≤4时，f (x )＝4>2；当4<x ≤8，时f (x )＝－2x ＋12>2，得x <5，∴4<x <5；当x >8时，f (x )＝－4>2不成立．故原不等式的解集为{x |x <5}．答案：{x |x <5}8．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是________． 解析：∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k <1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k <1.答案：k <1三、解答题9．(2015·柳州一模)已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a (其中a >0)．(1)当a ＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝4时，不等式即|2x ＋1|－|x －1|≤2.当x <－12时，不等式为－x －2≤2，解得－4≤x <－12. 当－12≤x ≤1时，不等式为3x ≤2，解得－12≤x ≤23.当x >1时，不等式为x ＋2≤2，此时x 不存在．综上，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－4≤x ≤23. (2)设f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x <－12，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x >1.故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，＋∞，即f (x )的最小值为－32.所以当f (x )≤log 2a 有解，则有log 2a ≥－32，解得a ≥24，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞.10．(2014·辽宁卷)设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，求证：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14. 解析：(1)由f (x )＝2|x －1|＋x －1≤1可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3x －3≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，1－x ≤1.解⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3x －3≤1得1≤x ≤43， 解⎩⎪⎨⎪⎧x <1，1－x ≤1得0≤x <1. 综上，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43. (2)由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4，得－14≤x ≤34， ∴N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34.∴M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34. ∵当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，∴x 2f (x )＋x [f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14，故要证的不等式成立．11．已知不等式|a －2|≤x 2＋2y 2＋3z 2对满足x ＋y ＋z ＝1的一切实数x ，y ，z 都成立，求实数a 的取值范围． 解析：由柯西不等式，得[x 2＋(2y )2＋(3z )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥(x ＋y ＋z )2.∴x 2＋2y 2＋3z 2≥611. 当且仅当x 1＝2y 12＝3z 13时取等号，即x ＝611，y ＝311，z ＝211取等号． 则|a －2|≤611. 所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1611，2811.。
(文理通用)2019届高考数学大二轮复习 第1部分 专题8 选考系列 第2讲 不等式选讲练习
第一部分 专题八 第二讲 不等式选讲A 组1．已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R . (1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0，求a 的取值范围．[解析] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x >2，5－3x ，32≤x ≤2，x －1，x <32.当x >2时，1－x >0，即x <1，此时无解； 当32≤x ≤2时，5－3x >0，即x <53，解得32≤x <53； 当x <32时，x －1>0，即x >1，解得1<x <32.∴不等式解集为{x |1<x <53}．(2)2－x －|2x －a |<0⇒2－x <|2x －a |⇒x <a －2或x >a ＋23恒成立．∵x ∈(－∞，2)，∴a －2≥2，∴a ≥4.2．(2018·南宁二模)设实数x ，y 满足x ＋y4＝1.(1)若|7－y |<2x ＋3，求x 的取值范围． (2)若x >0，y >0，求证：xy ≥xy . [解析] (1)根据题意，x ＋y4＝1，则4x ＋y ＝4，即y ＝4－4x ，则由|7－y |<2x ＋3，可得|4x ＋3|<2x ＋3， 即－(2x ＋3)<4x ＋3<2x ＋3， 解得－1<x <0. (2)x >0，y >0， 1＝x ＋y4≥2x ·y4＝xy ，即xy ≤1，xy －xy ＝xy (1－xy )，又由0<xy ≤1，则xy －xy ＝xy (1－xy )≥0， 即xy ≥xy .3．(2018·西安二模)已知函数f (x )＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－a )． (1)当a ＝7时，求函数f (x )的定义域．(2)若关于x 的不等式f (x )≥3的解集是R ，求实数a 的最大值． [解析] (1)由题设知：|x ＋1|＋|x －2|>7； ①当x >2时，得x ＋1＋x －2>7，解得x >4； ②当－1≤x ≤2时，得x ＋1＋2－x >7，无解； ③当x <－1时，得－x －1－x ＋2>7，解得x <－3； 所以函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞)． (2)不等式f (x )≥3，即|x ＋1|＋|x －2|≥a ＋8；因为x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3； 又不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a ＋8解集是R ； 所以a ＋8≤3，即a ≤－5. 所以a 的最大值为－5.4．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x －4|.(1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)若关于x 的不等式f (x )≥ax ＋1恒成立，试求实数a 的取值范围． [解析] (1)由于f (x )＝|x ＋1|＋|2x －4| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤－1，－x ＋5，－1<x ≤2，3x －3，x >2，则函数y ＝f (x )的图象如图所示．(2)当x ＝2时，f (2)＝3.当直线y ＝ax ＋1过点(2,3)时，a ＝1. 由函数y ＝f (x )与函数y ＝ax ＋1的图象知，当且仅当－3≤a ≤1时，函数y ＝f (x )的图象没有在函数y ＝ax ＋1的图象的下方， 因此f (x )≥ax ＋1恒成立时，a 的取值范围为[－3，1]．B 组1．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －3|. (1)解不等式f (x )>0；(2)已知关于x 的不等式a ＋3<f (x )恒成立，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )＝|2x ＋1|－|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4， x ≥3，3x －2， －12≤x <3，－x －4， x <－12.∴不等式f (x )>0化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4>0，x ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0，－12≤x <3，或⎩⎪⎨⎪⎧－x －4>0，x <－12.∴x <－4或x >23，即不等式的解集为(－∞，－4)∪(23，＋∞)．(2)∵f (x )min ＝－72，∴要使a ＋3<f (x )恒成立，只要a ＋3<－72，∴a <－132.2．已知函数f (x )＝|x －3|＋|x －a |，a ∈R . (1)当a ＝0时，解关于x 的不等式f (x )>4；(2)若∃x ∈R ，使得不等式|x －3|＋|x －a |<4成立，求实数a 的取值范围． [分析] (1)按x ＝0和3分段讨论或利用绝对值的几何意义求解．(2)∃x ∈R ，使不等式f (x )<4成立，即f (x )的最小值小于4. [解析] (1)由a ＝0知原不等式为|x －3|＋|x |>4 当x ≥3时，2x －3>4，解得x >72.当0≤x <3时，3>4，无解． 当x <0时，－2x ＋3>4，解得x <－12.故解集为{x |x <－12或x >72}．(2)由∃x ∈R ，|x －3|＋|x －a |<4成立可得，(|x －3|＋|x －a |)min <4. 又|x －3|＋|x －a |≥|x －3－(x －a )|＝|a －3|， 即(|x －3|＋|x －a |)min ＝|a －3|<4. 解得－1<a <7.3．(2018·临川二模)已知函数f (x )＝|x ＋a －1|＋|x －2a |. (1)若f (1)<3，求实数a 的取值范围． (2)若a ≥1，x ∈R ，求证：f (x )≥2.[解析] (1)因为f (1)<3，所以|a |＋|1－2a |<3. ①当a ≤0时，得－a ＋(1－2a )<3， 解得a >－23，所以－23<a ≤0；②当0<a <12时，得a ＋(1－2a )<3，解得a >－2，所以0<a <12；③当a ≥12时，得a －(1－2a )<3，解得a <43，所以12≤a <43；综上所述，实数a 的取值范围是(－23，43)．(2)因为a ≥1，x ∈R ，所以f (x )＝|x ＋a －1|＋|x －2a |≥|(x ＋a －1)－(x －2a )|＝|3a －1|＝3a －1≥2. 4．(2018·安徽江南十校3月模拟)已知函数f (x )＝|x |－|2x －1|，记不等式f (x )>－1的解集为M .(1)求M ；(2)已知a ∈M ，比较a 2－a ＋1与1a的大小．[解析] (1)f (x )＝|x |－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤0，3x －1，0<x <12，－x ＋1，x ≥12，由f (x )>－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x －1>－1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，3x －1>－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，－x ＋1>－1，解得0<x <2， 故M ＝{x |0<x <2}． (2)由(1)，知0<a <2，因为a 2－a ＋1－1a ＝a 3－a 2＋a －1a＝a －a 2＋a，当0<a <1时，a －a 2＋a<0，所以a 2－a ＋1<1a. 当a ＝1时，a －a 2＋a ＝0，所以a 2－a ＋1＝1a. 当1<a <2时，a －a 2＋a>0，所以a 2－a ＋1>1a.综上所述：当0<a <1时，a 2－a ＋1<1a.当a ＝1时，a 2－a ＋1＝1a .当1<a <2时，a 2－a ＋1>1a.。
2019版3年高考2年模拟专题攻略高考文科数学二轮复习课标版中档解答题规范练(一)
中档解答题规范练(一)解答题1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b(cos C+sin C).(1)求角B的大小;(2)若a=1,b=√2,求△ABC的面积.2.已知公差不为零的等差数列{a n}满足a1,a2,a4成等比数列,a3=3;数列{b n}满足b n－b n－1=a n－(n≥2),b4=a1.1(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)记c n=1,求数列{c n}的前n项和T n.b n+2n3.如图,三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2,AA 1⊥平面ABC,E,F 分别为棱A 1B 1,BC 的中点.(1)求证:直线BE ∥平面A 1FC 1;(2)平面A 1FC 1与直线AB 交于点M,指出点M 的位置,说明理由,并求三棱锥B －EFM 的体积.4.选考题(二选一)(Ⅰ)[选修4—4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为{x =－√22t,y =－4+√22t(其中t 为参数),现以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)过点M(1,0)且与直线l 平行的直线l'交曲线C 于A,B 两点,求|AB|.(Ⅱ)[选修4—5:不等式选讲]已知函数f(x)=－|x|－|x+2|.(1)解不等式f(x)<－4;(2)若正实数a,b满足a+b=√5,试比较a2+b 24与f(x)+3的大小,并说明理由.答案精解精析解答题1.解析 (1)在△ABC 中,a=b(cos C+sin C)⇒sin A=sin B(cos C+sin C),则sin(B+C)=sin B(cos C+sin C),所以cos Bsin C=sin Bsin C,又sin C>0,所以cos B=sin B,即tan B=1,又B ∈(0,π),所以B=π4.(2)在△ABC 中,a=1,b=√2,B=π4,由余弦定理,得2=1+c 2－2c ·√22,所以c 2－√2c －1=0,所以c=√2+√62, 所以△ABC 的面积S=12acsin B=1+√34.2.解析 (1)设数列{a n }的公差为d,则a 22=a 1a 4,即(a 1+d)2=a 1(a 1+3d),∴a 1=d,又a 3=3,∴a 1+2d=3d=3,∴d=1,a 1=1,∴a n =a 1+(n －1)·d=n.∵b 1=a 1,∴b 1=1.∵b n －b n －1=a n －1=n －1(n ≥2),∴当n ≥2时,b n =(b n －b n －1)+(b n －1－b n －2)+(b n －2－b n －3)+…+(b 3－b 2)+(b 2－b 1)+b 1=(n －1)+(n －2)+(n －3)+…+2+1+1=n 2－n+22,又b 1=1满足上式,∴b n =n 2－n+22(n ∈N *). (2)∵c n =1bn +2n =2n 2+3n+2=2(n+1)(n+2)=2(1n+1－1n+2),∴T n =2(12－13)+2(13－14)+…+2(1n －1n+1)+2(1n+1－1n+2)=1－2n+2=n n+2. 3.解析 (1)证明:取A 1C 1的中点G,连接EG,FG,于是EG ∥B 1C 1,且EG=12B 1C 1,又BF ∥B 1C 1且BF=12B 1C 1,所以BF EG,所以四边形BFGE 是平行四边形,所以BE ∥FG,而BE ⊄平面A 1FC 1,FG ⊂平面A 1FC 1,所以直线BE ∥平面A 1FC 1.(2)M 为棱AB 的中点.理由如下:因为AC ∥A 1C 1,AC ⊄平面A 1FC 1,A 1C 1⊂平面A 1FC 1,所以直线AC ∥平面A 1FC 1,又平面A 1FC 1∩平面ABC=FM,所以AC ∥FM,又F 为棱BC 的中点,所以M 为棱AB 的中点.S △BFM =14S △ABC =14×(12×2×2×sin60°)=√34,所以V 三棱锥B －EFM =V 三棱锥E －BFM =13×√34×2=√36.4.解析 (Ⅰ)(1)由{x =－√22t,y =－4+√22t 消去参数t,得直线l 的普通方程为x+y+4=0.又由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2－4x=0.(2)过点M(1,0)且与直线l 平行的直线l'的参数方程为{x =1－√22t,y =√22t.将其代入x 2+y 2－4x=0得t 2+√2t －3=0,则t 1+t 2=－√2,t 1t 2=－3,所以|AB|=|t1－t2|=√(t1+t2)2－4t1t2=√14.(Ⅱ)(1)f(x)<－4,即|x|+|x+2|>4.当x≤－2时,－2x－2>4,解得x<－3;当－2<x≤0时,2>4,矛盾,无解;当x>0时,2x+2>4,解得x>1;所以原不等式的解集为{x|x<－3或x>1}.(2)因为|x|+|x+2|≥|x－x－2|=2,当且仅当－2≤x≤0时,取“=”,所以f(x)=－|x|－|x+2|≤－2,即f(x)+3≤1.又a2+b 24=5b24－2√5b+5=5 4(b2－85√5b)+5=54(b－45√5)2+1≥1,当且仅当a=√55,b=4√55时取等号,所以a2+b 24≥f(x)+3.。
2018年高考数学(文)二轮复习 专题突破训练中档大题规范练1 Word版含答案
中档大题规范练
(一)三角函数与解三角形
．(届江苏省南通、扬州、泰州三模)已知函数()＝(>，ω>)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点.
()求函数()的解析式；
()若角α满足(α)＋－＝，α∈(，π)，求角α值．
解()由条件可知，周期＝π，即＝π，
所以ω＝，即()＝.
因为()的图象经过点，
所以＝，所以＝，
所以()＝.
()由(α)＋＝，
得＋＝，
即－＝，
所以＝，
即α＝.
因为α∈(，π)，所以α＝或.
.如图，在△中，已知点在边上，＝，＝，∠＝，＝.
()求的值；
()求的长．
解()在△中，＝，∈(，π)，
所以＝＝＝.
同理可得∠＝.
所以＝[π－(＋∠)]
＝－(＋∠)
＝∠－∠
＝×－×＝.
()在△中，由正弦定理得
＝∠＝×＝.
又＝，所以＝＝.
在△中，由余弦定理得
＝
＝＝.
．(届安徽省合肥市三模)如图，在△中，角，，所对的边为，，，满足＋－＝ · .
()求角；
()点在线段上，满足＝，且＝，(－)＝，求线段的长．
解()由正弦定理及＋－＝·，可得＋－＝，
所以＝＝，
因为∈(，π)，所以＝.
()由条件∠＝∠－∠，
由(－)＝，可得(－)＝，
设＝，则＝，＝－，。
物理小金刚系列-2018-2019高考数学(文)二轮专题复习课件4-5不等式
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3．基本不等式重要结论 a＋b (1) ≥ ab(a＞0，b＞0)； 2
a＋b2 (2)ab≤ 2 (a，b∈R)；
(3)
a2＋b2 a＋b ≥ ≥ ab(a＞0，b＞0)． 2 2
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2．简单分式不等式的解法 fx fx (1) ＞0⇔f(x)g(x)＞0， ＜0⇔f(x)g(x)＜0； gx gx
fxgx≥0， fx fxgx≤0， fx (2) ≥0⇔ ≤0⇔ gx gx gx≠0， gx≠0.
教材母题——体会基本解法 1 2 1．若关于 x 的不等式－ x ＋2x＞mx 的解集为{x|0＜x＜2}， 2 求 m 的值． 1 2．x＞0，当 x 取什么值时，x＋ 的值最小？最小值是多少？ x
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自主解答：
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考点五
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
不等式
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教材知识——熟悉基本理论 1．不等式的性质 (1)a＞b，b＞c⇒a＞c； (2)a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc； (3)a＞b⇒a＋c＞b＋c； (4)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (5)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (6)a＞b＞0，n∈N，n＞1⇒a ＞b ， a＞ b.
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(六)不等式选讲
1．(2017·唐山月考)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|mx－1|.
(1)若m＝1，求f(x)的最小值，并指出此时x的取值范围；
(2)若f(x)≥2x，求m的取值范围．
解 (1)当m＝1时，f(x)＝|x＋1|＋|x－1|
≥|(x＋1)－(x－1)|＝2，
当且仅当(x＋1)(x－1)≤0时取等号，
故f(x)的最小值为2，
此时x的取值范围是[－1,1]．
(2)当x≤0时，f(x)≥2x显然成立，所以此时m∈R；
当x>0时，由f(x)＝x＋1＋|mx－1|≥2x，
得|mx－1|≥x－1.
由y＝|mx－1|及y＝x－1的图象，可得|m|≥1且1m≤1，
解得m≥1或m≤－1.
综上所述，m的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
2．已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.
(1)解不等式f(x)>1；
(2)当x>0时，函数g(x)＝ax2－x＋1x(a>0)的最小值大于函数f(x)，试求实数a的取值范围．
解 (1)当x>2时，原不等式可化为x－2－x－1>1，此时不成立；
当－1≤x≤2时，原不等式可化为2－x－x－1>1，
解得x<0，即－1≤x<0；
当x<－1时，原不等式可化为2－x＋x＋1>1，
解得x<－1.
综上，原不等式的解集是{x|x<0}．
(2)因为g(x)＝ax＋1x－1≥2a－1，
当且仅当x＝aa时等号成立，
所以g(x)min＝gaa＝2a－1.