中考复习之三三角形
2014年中考专题复习 三角形的初步知识
20114年中考专题复习 三角形的初步知识彩虹教育 杨义茂一、考点知识与应用考点一 三角形的性质：1、三角形的内角和是 ，三角形的任意一个外角 和它不相邻两个内角的和，三角形的一个外角 任意一个和它不相邻的内角2、三角形任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边3、三角形具有 性.应用：1、已知三角形的三边长分别是3、x 、9，则化简513x x -+-= ；2、有4根木条,长度分别为6cm ,8cm ,12cm ,20cm ,选其中三根作为边组成三角形,请问:共有多少种组合方法?其中能构成三角形的有几种?3、如图所示，P 为△ＡＢＣ内任意一点，∠１＝∠２，求证：∠ＡＣＢ与∠ＢＰＣ互补。
4、如图，在ΔABC 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC，AF 平分外角∠BAD，BE 与FA 交与点E 。
求∠E 的度数。
考点二 定义与命题:1、定义:_______________________________________________________________2、命题:_____________________________________________________________应用：1、下列语句：①明天下雨吗? ②中国加油！四川加油！③锐角都相等．④过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．其中是命题的有（ ）Ａ、１个 Ｂ、２个 Ｃ、３个 Ｄ、４个 2、下列语句中，属于定义的是（ ）A 、对顶角相等B 、三角形的内角和等于1800C 、连接A 、B 两点并延长至点CD 、连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
3、下列命题中，是假命题的为（ ） A 、邻补角的平分线互相垂直；B 、平行于同一直线的两条直线互相平行；C 、如果一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角一定相等；D 、平行线的一组内错角的平分线互相平行。
4、有如下命题：①无理数就是开方开不尽的数；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③无理数包括正无理数，0，负无理数；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0。
2023年中考数学二轮复习之三角形(含解析)
2023年中考数学二轮复习之三角形一．选择题（共8小题）1．（2022秋•长沙县期末）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD ＝120°，则∠A＝（ ）A．40°B．60°C．80°D．120°2．（2022秋•裕华区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝2，EC＝1，则BC的长是（ ）A．2B．3C．4D．53．（2022秋•长沙县期末）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC＝14cm，BE＝8cm，则EC的长为（ ）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm4．（2022秋•武汉期末）在等腰△ABC中，∠A＝80°．则∠B的度数不可能为（ ）A．55°B．50°C．80°D．20°5．（2022秋•洪山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，点E在AC 边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝24°，则∠CDE的度数为（ ）A．12°B．14°C．16°D．24°6．（2022秋•裕华区期末）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据HL 证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（ ）A．∠A＝∠B B．∠C＝∠E C．AD＝BF D．AC＝BE 7．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（ ）A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°8．（2022秋•镇海区校级期末）如图，分别以直角三角形的三边向外作等边三角形，然后将较小的两个等边△AFG和△BDE放在最大的等边△ABC内（如图），DE与FG交于点P，连结AP，FE．欲求△GEC的面积，只需要知道下列哪个三角形的面积即可（ ）A．△APG B．△ADP C．△DFP D．△FEG二．填空题（共8小题）9．（2022秋•海口期末）在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，若沿AB的垂直平分线DE线剪下（如图所示），则DE的长为 ．10．（2022秋•海口期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，BC＝12，AD＝4，则△DBC的面积为 ．11．（2022秋•龙华区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值为 ．12．（2022秋•武汉期末）下列结论：①两条边和一个角分别对应相等的两个三角形全等；②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；③a0＝1；④0.00003用科学记数法表示为3×10﹣5；⑤无论a取何值，代数式（2a﹣1）2+8a的值都一定为非负数．其中正确的结论有： （将正确结论的序号填在横线上）．13．（2022秋•裕华区期末）在等腰△ABC中，AC为腰，O为BC中点，OD∥AC交AB于点D，∠C＝30°，则∠ADO的度数是 ．14．（2022秋•龙华区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD、CE都是△ABC的高，它们交于点H，若BD＝5，则AH的长为 ．15．（2022秋•洪山区期末）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC 的平分线分别交AC，AD于E，F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．则下列结论：①AE＝AF，②AM＝DM，③DF＝DN，④AF＝EC；其中正确的有 ．（填写正确结论的序号）16．（2022秋•南通期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC，以AB，BC，AC三边为边长的三个正方形面积分别为S1，S2，S3．若△ABC的面积为7，S1＝40，则S2﹣S3的值等于 ．三．解答题（共4小题）17．（2022秋•叙州区期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF，AC＝DF．请你添加一个适当的条件： ，使得△ABC≌△DEF．结合所添加的条件证明△ABC≌△DEF．18．（2022秋•莲湖区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠B，AD平分∠BAC，CE⊥AD 于点E，若∠BAC＝60°，求∠DCE的度数．19．（2022秋•南昌期末）如图，∠CAB和∠CBA的角平分线AF，BD相交点P，∠C＝60°．（1）直接写出∠APB＝ °；（2）求证PD＝PF；（3）若∠ABC＝80°，求证AP＝BC．20．（2022秋•武汉期末）（1）【问题背景】如图1，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，连接BC、DE．求证：△ABC≌△ADE；（2）【运用探究】如图2，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线DE经过BC边的中点F，连接BD．求证：BD⊥AD；（3）【创新拓展】如图3，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线DE经过BC边的中点F，连接CE，使DE＝CE，连接BD．若P为△ABD内一点，当AP＝AD，PB＝PD时，直接写出∠PAD的度数 ．（不需要写出求解过程）变式：【运用探究】如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC ＝∠DAE，直线DE经过BC边的中点F，连接BD．求证BD⊥AD．2023年中考数学二轮复习之三角形参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2022秋•长沙县期末）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD ＝120°，则∠A＝（ ）A．40°B．60°C．80°D．120°【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【专题】三角形；推理能力．【分析】由∠A＝∠ACD﹣∠B，直接可得答案．【解答】解：∵∠B＝40°，∠ACD＝120°，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣40°＝80°，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握“三角形的一个外角等于和其不相邻的两个内角之和”是解本题的关键．2．（2022秋•裕华区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝2，EC＝1，则BC的长是（ ）A．2B．3C．4D．5【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BE＝AE＝2，进一步可得BC的长．【解答】解：∵AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，∴BE＝AE，∵AE＝2，∴BE＝2，∵EC＝1，∴BC＝BE+EC＝3．故选：B．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．3．（2022秋•长沙县期末）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC＝14cm，BE＝8cm，则EC的长为（ ）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得AE＝BE＝8 cm，从而可得解．【解答】解：∵DE是AB垂直平分线，∴AE＝BE＝8（cm），∴EC＝AC﹣AE＝14﹣8＝6（cm），故答案为：B．【点评】本题主要考查垂直平分线的性质，熟记垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）是解决本题的关键．4．（2022秋•武汉期末）在等腰△ABC中，∠A＝80°．则∠B的度数不可能为（ ）A．55°B．50°C．80°D．20°【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B的度数即可确定正确的选项．【解答】解：当∠A为顶角，；当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．5．（2022秋•洪山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，点E在AC 边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝24°，则∠CDE的度数为（ ）A．12°B．14°C．16°D．24°【考点】三角形内角和定理．【专题】三角形；推理能力．【分析】根据三角形的外角性质得到∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠AED＝∠C+∠CDE，再根据题设条件得到2∠CDE＝∠BAD即可求解．【解答】解：∵∠ADC是△ABD的一个外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∵∠AED是△CDE的一个外角，∴∠AED＝∠C+∠CDE，∵∠ADE＝∠AED，∠B＝∠C，∴∠C+∠BAD＝∠C+∠CDE+∠CDE，∴2∠CDE＝∠BAD＝24°，∴．故选：A．【点评】本题考查三角形内角和定理及三角形外角的性质、角的运算，熟练掌握三角形的外角性质是解答的关键．6．（2022秋•裕华区期末）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据HL 证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（ ）A．∠A＝∠B B．∠C＝∠E C．AD＝BF D．AC＝BE【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的判定．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断．【解答】解：∵CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，∴∠ADC＝∠BFE＝90°，∵CD＝EF，∴当添加AC＝BE时，根据“HL”判断Rt△ACD≌Rt△BEF．故选：D．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．7．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（ ）A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°【考点】全等三角形的性质．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．【解答】解：∵△AOB≌△ADC，∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，∴∠BAC＝∠OAD＝α，在△ABC中，，∵BC∥OA，∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，∴，整理得，α＝2β．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，解题的关键是熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系．8．（2022秋•镇海区校级期末）如图，分别以直角三角形的三边向外作等边三角形，然后将较小的两个等边△AFG和△BDE放在最大的等边△ABC内（如图），DE与FG交于点P，连结AP，FE．欲求△GEC的面积，只需要知道下列哪个三角形的面积即可（ ）A．△APG B．△ADP C．△DFP D．△FEG【考点】等边三角形的性质．【专题】三角形；推理能力．【分析】先根据勾股定理得S△ABC＝S△AFG+S△BDE，FG∥BC，CG∥PE，则四边形CEPG 是平行四边形，再由S四边形ECGP＝S△DFP，可以得到．【解答】解：由题意得S△ABC＝S△AFG+S△BDE，FG∥BC，CG∥PE，∴四边形CEPG是平行四边形，∴，∵S△ABC＝S△AFG+S四边形BFPE+S四边形ECGP，∴S四边形ECGP＝S△DFP，∴．故选：C．【点评】本题主要考查的是等边三角形的性质及以直角三角形三边组成的图形的面积，平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够正确理解题意．二．填空题（共8小题）9．（2022秋•海口期末）在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，若沿AB的垂直平分线DE线剪下（如图所示），则DE的长为 ．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．【分析】根据勾股定理可求出AB＝10，由线段垂直平分线的性质可得∠ADE＝90°，AD ＝BD，再证明△ADE∽△ACB，最后根据相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴由勾股定理得，∵DE垂直平分线段AB，∴∠ADE＝90°，AD＝BD＝5，∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C＝90°，∴△ADE∽△ACB，∴，即，∴DE＝．故答案为：．【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．10．（2022秋•海口期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，BC＝12，AD＝4，则△DBC的面积为 24 ．【考点】角平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【分析】过点D作DE⊥BC于点E，根据角平分线的性质可得AD＝DE，根据△DBC的面积＝即可求解．【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，如图，∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，∴AD＝DE＝4，∴＝＝24．故答案为：24．【点评】本题主要考查角平分线的性质，正确作出辅助线，再借助角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．11．（2022秋•龙华区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值为 2π ．【考点】勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力．【分析】根据图形得到，，根据勾股定理可以得出结论．【解答】解：由题意，得，，∵AC2+BC2＝AB2，∴，故答案为：2π．【点评】此题考查勾股定理的应用，观察图形理解各部分图形的面积的关系，利用勾股定理解决问题是解题的关键．12．（2022秋•武汉期末）下列结论：①两条边和一个角分别对应相等的两个三角形全等；②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；③a0＝1；④0.00003用科学记数法表示为3×10﹣5；⑤无论a取何值，代数式（2a﹣1）2+8a的值都一定为非负数．其中正确的结论有： ②④⑤ （将正确结论的序号填在横线上）．【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；非负数的性质：偶次方；科学记数法—表示较小的数；零指数幂．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】根据全等三角形的判定定理、线段垂直平分线的性质、零指数幂的运算、科学记数法、完全平方公式，即可一一判定．【解答】解：①有两条边和它们的夹角分别对应相等的两个三角形全等，故该说法错误；②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，故该说法正确；③a0＝1（a≠0），故该说法错误；④0.00003用科学记数法表示为3×10﹣5，故该说法正确；⑤无论a取何值，代数式（2a﹣1）2+8a＝（2a+1）2的值都一定为非负数，故该说法正确，故其中正确的结论有：②④⑤，故答案为：②④⑤．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理、线段垂直平分线的性质、零指数幂的运算、科学记数法、完全平方公式，熟练掌握和运用各运算的法则及各图形的性质是解决本题的关键．13．（2022秋•裕华区期末）在等腰△ABC中，AC为腰，O为BC中点，OD∥AC交AB于点D，∠C＝30°，则∠ADO的度数是 60°或23.79° ．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．【专题】三角形；推理能力．【分析】分AB＝AC，AC＝BC两种情况，利用等腰三角形的性质，勾股定理和三角函数的定义进行分析求解．【解答】解：如图，当AB＝AC时，∵O为BC的中点，∴AO⊥BC，∵OD∥AC，∠C＝30°，∴∠DOB＝∠C＝∠B＝30°，∴∠AOD＝∠OAC＝60°；如图，当AC＝BC时，过B作BE⊥OD，OF⊥BD，设OB＝a，∴BC＝AC＝2a，∵O是BC的中点，OD∥AC，∴D为AB的中点，∠DOB＝∠C＝30°，∴，∵OF⊥AB，∴，∵∠DOB＝30°，BE⊥OB，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，∴∠OAF≈51.21°，∴∠AOD＝90°﹣∠OAF﹣∠DOF≈23.79°，故答案为：60°或23.79°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，直角三角形的性质等知识，运用分类讨论思想求解是解答本题的关键．14．（2022秋•龙华区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD、CE都是△ABC的高，它们交于点H，若BD＝5，则AH的长为 10 ．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定得出△AEH≅△CEB，然后求解即可．【解答】解：∵AC＝AB，AD⊥BC，∴BD＝CD＝5，BC＝10，∵∠BAC＝45°，CE⊥AB，∴AE＝EC，∵∠BAD+∠B＝90°，∠BAD+∠AHE＝90°，∴∠AHE＝∠B在△AEH和△CEB中，，∴△AEH≅△CEB（AAS），∴AH＝BC＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，证明△AEH≅△CEB（AAS）是解题的关键．15．（2022秋•洪山区期末）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC 的平分线分别交AC，AD于E，F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．则下列结论：①AE＝AF，②AM＝DM，③DF＝DN，④AF＝EC；其中正确的有 ①②③ ．（填写正确结论的序号）【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】①证明∠AEB＝∠AFE，即可得到AE＝AF；②先根据ASA证明△ABM≌△NBM，则可得AM＝MN．然后在Rt△ADN中，根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”即可得到AM＝DM；③根据ASA证明△BDF≌△ADN，则可得DF＝DN；④根据已知条件可判断AF≠EC．【解答】解：①∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBF，∵∠BAE＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∵∠ADB＝90°，∴∠DBF+∠BFD＝90°，∴∠AEB＝∠BFD，又∵∠BFD＝∠AFE，∴∠AEB＝∠AFE，∴AE＝AF，∴①正确．②∵AE＝AF，M为EF的中点，∴AN⊥BE，∴∠BMA＝∠BMN＝90°，又∵BM＝BM，∠ABM＝∠NBM，∴△ABM≌△NBM（ASA），∴AM＝MN，∴M是AN中点，在Rt△ADN中DM是斜边AN的中线，∴，∴AM＝DM，∴②正确．③∵AD⊥BC，∴∠BDF＝∠ADN＝90°，∵△ABC中AB＝AC，∠BAC＝90°，∴，∴∠ABC＝∠BAD，∴BD＝AD，∵∠DBF+∠BNM＝90°，∠DAN+∠BNM＝90°，∴∠DBF＝∠DAN，在△BDF和△ADN中，，∴△BDF≌△ADN（ASA），∴DF＝DN，∴③正确．④BE平分∠ABC，但AE≠EC，∵AF＝AE，∴④不正确．综上，正确的有①②③．故答案为：①②③．【点评】本题难度较大主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．16．（2022秋•南通期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC，以AB，BC，AC三边为边长的三个正方形面积分别为S1，S2，S3．若△ABC的面积为7，S1＝40，则S2﹣S3的值等于 4 ．【考点】勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【分析】结合正方形面积公式，平方差公式，勾股定理，三角形面积公式，可知，BC2+AC2＝40，BC⋅AC＝14，然后运用完全平方公式（a±b）2＝a2+b2±2ab求解即可．【解答】解：根据题意，，，，∴，在Rt△ABC中，根据勾股定理，BC2+AC2＝AB2，∴BC2+AC2＝40，∵S Rt△ABC＝7，∴•BC•AC＝7，∴BC•AC＝14，∴BC+AC＝＝＝＝2，BC﹣AC＝＝＝2，∴，即，故答案为：．【点评】本题考查勾股定理与三角形、正方形的面积，完全平方公式与平方差公式的灵活应用，掌握并熟练应用勾股定理和各类公式是解题的关键．三．解答题（共4小题）17．（2022秋•叙州区期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF，AC＝DF．请你添加一个适当的条件： ∠A＝∠D（答案不唯一） ，使得△ABC≌△DEF．结合所添加的条件证明△ABC≌△DEF．【考点】全等三角形的判定．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．【解答】解：添加∠A＝∠D，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）．【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．18．（2022秋•莲湖区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠B，AD平分∠BAC，CE⊥AD 于点E，若∠BAC＝60°，求∠DCE的度数．【考点】三角形内角和定理．【专题】三角形；推理能力．【分析】根据三角形内角和定理求得∠ACB+∠B，再由∠ACB＝3∠B，求得∠ACB，根据角平分线定义求得∠CAD，由三角形内角和定理求得∠ACE，进而由角的和差求得结果．【解答】解：∵∠ACB+∠B+∠BAC＝180°，∠BAC＝60°，∴∠ACB+∠B＝120°，∵∠ACB＝3∠B，∴∠B＝30°，∠ACB＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∵CE⊥AD，∴∠ACE＝90°﹣∠CAD＝60°，∴∠DAE＝∠ACB﹣∠ACE＝30°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，关键是根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数．19．（2022秋•南昌期末）如图，∠CAB和∠CBA的角平分线AF，BD相交点P，∠C＝60°．（1）直接写出∠APB＝ 120 °；（2）求证PD＝PF；（3）若∠ABC＝80°，求证AP＝BC．【考点】等腰三角形的判定．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和定理计算即可；（2）过P作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，根据角平分线的性质得到PE＝PG，PE＝PH，可得PH＝PG，再证明△PDG≌△PFH（AAS），即可证明结论；（3）作∠CBD的平分线交AC于点N，则，先分别求出∠CAB，∠CBD，∠ABD，∠CAF，∠BDC，∠CBN，∠DBN，∠ANB的度数，得到AD＝BD，∠ANB＝∠BDC＝80°，BD＝BN，再根据AAS证明△APD≌△CBN即可证明结论．【解答】（1）解：∵AF，BD分别平分∠CAB和∠CBA，∴，，∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝＝＝120°．故答案为：120；（2）证明：过P作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，∵AF，BD分别平分∠CAB和∠CBA，∴PE＝PG，PE＝PH，∴PH＝PG，∵PH⊥BC，PG⊥AC，∴∠PGC＝∠PHC＝90°，∴∠GPH＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴∠GPH＝∠APB＝120°＝∠DPF，∴∠DPG＝∠FPH，在△PDG和△PFH中，，∴△PDG≌△PFH（AAS），∴PD＝PF；（3）证明：如图，作∠CBD的平分线交AC于点N，则，∵∠ABC＝80°，∠C＝60°，∴∠CAB＝180°﹣60°﹣80°＝40°，，∴，∠CAB＝∠ABD＝40°，∴AD＝BD，∠BDC＝∠CAB+∠ABD＝80°，∴，∴∠ANB＝∠C+∠CBN＝60°+20°＝80°，∴∠ANB＝∠BDC＝80°，∴BD＝BN，∴AD＝BN，在△APD和△BCN中，，∴△APD≌△CBN（AAS），∴AP＝BC．．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内角和，证明三角形全等是解题的关键．20．（2022秋•武汉期末）（1）【问题背景】如图1，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，连接BC、DE．求证：△ABC≌△ADE；（2）【运用探究】如图2，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线DE经过BC边的中点F，连接BD．求证：BD⊥AD；（3）【创新拓展】如图3，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线DE经过BC边的中点F，连接CE，使DE＝CE，连接BD．若P为△ABD内一点，当AP＝AD，PB＝PD时，直接写出∠PAD的度数 30° ．（不需要写出求解过程）变式：【运用探究】如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC ＝∠DAE，直线DE经过BC边的中点F，连接BD．求证BD⊥AD．【考点】三角形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【分析】（1）由∠BAD＝∠CAE，得∠BAC＝∠DAE，利用SAS即可证明△ABC≌△ADE；（2）连接CE，延长DF至G，使DF＝FG，连接CG，由（1）可知，△ABD≌△ACE，易知BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，由F是BC边的中点，可得BF＝FC，可证△BDF≌△CGF，可得BD＝CG＝CE，∠BDF＝∠G，设∠CEF＝α，可知∠G＝∠CEF＝∠BDF＝α，∠AEC ＝∠AED+∠CEF＝60°+α，由平角可得∠ADB＝180°﹣（∠ADE+∠BDF），根据∠ADB ＝∠AEC，可得α＝30°，进而可得∠ADB＝90°，即得证BD⊥AD；（3）作PM⊥AD，PN⊥BD，垂足分别为M、N，易知△PMD≌△DNP，进而可得由（2）易证△ABD≌△ACE，，则AD＝CE＝BD＝AP，则，如图①所示，作∠PMO＝∠P交PA于点O，连接MO，可证△PMO为等边三角形，即可得∠A ＝30°，即得∠PAD＝30°，（另外一种方法：如图②，延长PM至Q，使PM＝MQ，连接AQ，可证△APQ是等边三角形，即可得∠PAM＝30°即得∠PAD＝30°）；变式：由等腰三角形的性质可知∠ADE＝∠AED，连接CE，延长DF至G，使DF＝FG，连接CG，类比（1）（2）可证△ABD≌△ACE，△BDF≌△CGF，由平角可得∠ADB＝90°，即得证BD⊥AD．【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠CAC，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS）；（2）连接CE，延长DF至G，使DF＝FG，连接CG，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，∵F是BC边的中点，∴BF＝FC，在△BDF和△CGF中，∵BF＝FC，∠BFD＝∠CFG，DF＝FG∴△BDF≌△CGF（SAS），∴BD＝CG＝CE，∠BDF＝∠G，设∠CEF＝α，∴∠G＝∠CEF＝∠BDF＝α，∠AEC＝∠AED+∠CEF＝60°+α，∵E、D、F在一条直线上，∴∠ADB＝180°﹣（∠ADE+∠BDF）＝180°﹣（60°+α）＝120°﹣α，∵∠ADB＝∠AEC，∴120°﹣α＝60°+α，∴α＝30°，∴∠ADB＝120°﹣α＝90°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AD；（3）作PM⊥AD，PN⊥BD，垂足分别为M、N，∴△PMD≌△DNP，∴PM＝DN，∵PB＝PD，∴，∵由（2）易证，△ABD≌△ACE，则AD＝CE＝BD＝AP，∴，方法1：如图①所示，作∠PMO＝∠P交PA于点O，连接MO，∴MO＝PO，∵∠PMA＝90°，∴∠P+∠A＝∠PMO+∠AMO＝90°，∴∠A＝∠AMO，∴，∴△PMO为等边三角形，∴∠P＝60°，∴∠A＝30°，方法2：如图②，延长PM至Q，使PM＝MQ，连接AQ．∵AM⊥PQPM＝MQ，∴△APO是等腰三角形，∴AP＝AQ，又∵，∴AP＝2PM＝AQ＝PQ，∴△APQ是等边三角形，∴∠PAQ＝60°，∴∠PAM＝30°，故答案为：∠PAD＝30°；变式：证明：∵△ABC与△ADE都是等腰三角形，∴AD＝AE，即∠ADE＝∠AED，连接CE，延长DF至G，使DF＝FG，连接CG，类比（1）（2）可证△ABD≌△ACE，△BDF≌△CGF，∴∠ADB＝∠AEC＝∠AED+∠CEF，∠G＝∠CEF＝∠BDF，∴∠ADB＝∠AED+∠CEF＝∠ADE+∠BDF，又∵∠ADB+∠ADE+∠BDF＝180°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AD．【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．考点卡片1．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．2．科学记数法—表示较小的数用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10﹣n ，其中1≤|a |＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【规律方法】用科学记数法表示有理数x 的规律 x 的取值范围表示方法a 的取值n 的取值|x |≥10a ×10n 整数的位数﹣1|x |＜1a ×10﹣n 1≤|a |＜10第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）3．零指数幂零指数幂：a 0＝1（a ≠0）由a m ÷a m ＝1，a m ÷a m ＝a m ﹣m ＝a 0可推出a 0＝1（a ≠0）注意：00≠1．4．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．5．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．6．全等三角形的性质（1）性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等（2）关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．7．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．8．直角三角形全等的判定1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．9．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．10．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE11．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．12．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．13．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．14．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖。
中考数学考点专题复习 三角形与全等三角形
剖析
先看一个事实，如图，将等腰△ABC 的底边 BC 延长线上的任一点和顶 点 A 相连，所得的△DAB 和△DAC 无疑是不全等的，由此可知，有两边及 其一边的对角对应相等的两个三角形(简称“边边角”)不一定全等．因此， 在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上当哟．
正解 证明：∵EB＝EC，∴∠3＝∠4.又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝ ∠2＋∠4，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.在△AEB和△AEC中， ∵EB＝EC，∠1＝∠2，AB＝AC，∴△AEB≌△AEC(SAS)， ∴∠BAE＝∠CAE
的长可能是下列哪个值( B )
A．11
B．5 C．2 D．1
(2)(2015·巴中)若 a，b，c 为三角形的三边，且 a，b 满足 a2－9＋(b－
2)2＝0，则第三边 c 的取值范围是 1＜c＜5
．
【点评】 三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最 短”．根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a，b，可确 定三角形第三边长c的取值范围|a－b|＜c＜a＋b.
[对应训练] 1．(1)(2014·宜昌)已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第 三边的长可能是( )B A．5 B．10 C．11 D．12
(2)(2014·淮安)若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可 以为___4_．(只需填一个整数)
【例2】 (1)(2014·赤峰)如图，把一块含有30°角(∠A＝30°)的 直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌 面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝40°，那么 ∠AFE＝( ) D
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．(2015·柳州)如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB 的是( D )
人教版2020年九年级中考数学一轮复习 第15讲 三角形(有答案)
第十五节三角形【知识点梳理】一、三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做（简称）。
2．三角形的中位线三角形的中位线平行于，并且等于．3.三角形的三边关系定理及推论三角形三边关系：任意两边之和第三边；任意两边之差第三边．4、三角形的内角和定理及推论1．三角形内角和：三角形三内角之和等于．2．三角形外角的性质：(1)三角形的一个外角任何一个和它不相邻的内角；(2)三角形的一个外角与它不相邻的两内角之和．1．三角形的分类：(1)按边分：三角形分为和等腰三角形；等腰三角形又分为及 .(2)按角分：三角形和斜三角形；斜三角形又分为：和 .答案：一、三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的角平分线。
（2）三角形的中线。
（3）三角形的高线（简称三角形的高）。
2．三角形的中位线：三角形的第三边，并且等于第三边长的一半．3.三角形的三边关系定理及推论：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．4、三角形的内角和定理及推论1． 180°．2．三角形外角的性质：(1)大于；(2)等于．1．三角形的分类：(1)按边分：三角形分为不等边三角形和等腰三角形；等腰三角形又分为底和腰不等的三角形及等边三角形.(2)按角分：三角形直角三角形和斜三角形；斜三角形又分为：锐角三角形和钝角三角形.【课堂练习】一．选择题（共9小题）1．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A．中线B．角平分线C．高D．中位线【考点】K3：三角形的面积；K2：三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答．【解答】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选A．2．如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，BC上，若AD：DB=CE：EB=2：3，则△DBE与△ADC的面积比为（）A．3：5 B．4：5 C．9：10 D．15：16【考点】K3：三角形的面积．【分析】根据三角形面积求法进而得出S△BDC：S△ADC=3：2，S△BDE：S△DCE=3：2，即可得出答案．【解答】解：∵AD：DB=CE：EB=2：3，∴S△BDC：S△ADC=3：2，S△BDE：S△DCE=3：2，∴设S△BDC=3x，则S△ADC=2x，S△BED=1.8x，S△DCE=1.2x，故△DBE与△ADC的面积比为：1.8x：2x=9：10．故选：C．3．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（）A．1 B．3C．32D．2【考点】K5：三角形的重心；KW：等腰直角三角形．【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是△ABC的中线，PD=CD，根据直角三角形的性质求出CD，计算即可．【解答】解：连接CP并延长，交AB于D，∵P是Rt△ABC的重心，∴CD是△ABC的中线，PD=CD，∵∠C=90°，∴CD=AB=3，∵AC=BC，CD是△ABC的中线，∴CD⊥AB，∴PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1，故选：A．4．三角形的重心是（）A．三角形三条边上中线的交点B．三角形三条边上高线的交点C．三角形三条边垂直平分线的交点D．三角形三条内角平行线的交点【考点】K5：三角形的重心．【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点解答．【解答】解：三角形的重心是三条中线的交点，故选：A．5．如图，直角△ABC中，∠B=30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则MOMF的值为（）A．12B．54C．23D．33【考点】K5：三角形的重心；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】根据三角形的重心性质可得OC=CE，根据直角三角形的性质可得CE=AE，根据等边三角形的判定和性质得到CM=CE，进一步得到OM=CE，即OM=AE，根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质可得EF=AE，MF=EF，依此得到MF=AE，从而得到的值．【解答】解：∵点O是△ABC的重心，∴OC=CE，∵△ABC是直角三角形，∴CE=BE=AE，∵∠B=30°，∴∠FAE=∠B=30°，∠BAC=60°，∴∠FAE=∠CAF=30°，△ACE是等边三角形，∴CM=CE，∴OM=CE﹣CE=CE，即OM=AE，∵BE=AE，∴EF=AE，∵EF⊥AB，∴∠AFE=60°，∴∠FEM=30°，∴MF=EF，∴MF=AE，∴==．故选：D．6．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）A．4 B．5 C．6 D．9【考点】K6：三角形三边关系．【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的．【解答】解：由三角形三边关系定理得7﹣2＜x＜7+2，即5＜x＜9．因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，故选：C．7．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（）A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0【考点】K6：三角形三边关系．【分析】先根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c与c﹣b+a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三条边长，∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，∴原式=a+b﹣c+（c﹣a﹣b）=0．故选D．8．若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）A．6 B．7 C．11 D．12【考点】K6：三角形三边关系．【分析】首先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范围，据此求出答案．【解答】解：设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是2和4，∴4﹣2＜x＜2+4，即2＜x＜6．则三角形的周长：8＜C＜12，C选项11符合题意，故选C．9．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（）A．54°B．62°C．64°D．74°【考点】K7：三角形内角和定理；JA：平行线的性质．【分析】根据平行线的性质得到∠C=∠AED=54°，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠C=∠AED=54°，∵∠A=62°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=64°，故选C．二．填空题（共5小题）10．在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为cm．【考点】K5：三角形的重心；KQ：勾股定理．【分析】连接AO并延长，交BC于H，根据勾股定理求出DE，根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形的性质求出OH，根据重心的性质解答．【解答】解：连接AO并延长，交BC于H，由勾股定理得，DE==2，∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线，∴BC=2DE=4，O是△ABC的重心，∴AH是中线，又BD⊥CE，∴OH=BC=2，∵O是△ABC的重心，∴AO=2OH=4，故答案为：4．11．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为．【考点】K7：三角形内角和定理．【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，∴∠A的度数为：40°．故答案为：40°．12．如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．【考点】KB：全等三角形的判定．【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．【解答】解：∵BC∥EF，∴∠ABC=∠E，∵AC∥DF，∴∠A=∠EDF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，同理，BC=EF或AC=DF也可证△ABC≌△DEF．故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可）．13．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：①∠ABC=∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S=12 AC•BD．正确的是（填写所有正确结论的序号）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】①证明△ABC≌△ADC，可作判断；②③由于AB与BC不一定相等，则可知此两个选项不一定正确；④根据面积和求四边形的面积即可．【解答】解：①在△ABC和△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠ABC=∠ADC，故①结论正确；②∵△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴OB=OD，AC⊥BD，而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，故②结论不正确；而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；故③结论不正确；④∵AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=BD•AO+BD•CO=BD•（AO+CO）=AC•BD．故④结论正确；所以正确的有：①④；故答案为：①④．14．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是．【考点】KI：等腰三角形的判定．【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．【解答】解：分三种情况：①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，∴MC⊥OB，∵∠AOB=45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC=OC=4，∴OM=4，当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4﹣4或4．故答案为：x=0或x=4﹣4或4．三．解答题（共9小题）15．如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：△ADF≌△BCE．【考点】KB：全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形的判定即可求证：△ADF≌△BCE【解答】解：∵AE=BF，∴AE+EF=BF+EF，在△ADF与△BCE中，∴△ADF≌△BCE（SAS）16．如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A=∠D的结论．【解答】证明：∵BE=FC，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE；又∵AB=DC，∠B=∠C，∴△ABF≌△DCE；（SAS）17．如图，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证：AC∥DF．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】首先由BE=CF可以得到BC=EF，然后利用边角边证明△ABC≌△DEF，最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解决问题．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DEF，又∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即：BC=EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB=∠DFE，∴AC∥DF．18．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD；（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE与△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，（2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）19．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．（1）如图1，若AB=4，BE=5，求AE的长；（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC=AB=4，根据勾股定理得到CE==3，于是得到结论；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°，由于∠AFB=∠ACB=90°，推出A，F，C，B四点共圆，根据圆周角定理得到∠CFB=∠CAB=45°，求得∠DFC=∠AFC=135°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴AC=BC=AB=4，∵BE=5，∴CE==3，∴AE=4﹣3=1；（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∵AF⊥BD，∴∠AFB=∠ACB=90°，∴A，F，C，B四点共圆，∴∠CFB=∠CAB=45°，∴∠DFC=∠AFC=135°，在△ACF与△DCF中，，∴△ACF≌△DCF，∴CD=AC，∵AC=BC，∴AC=BC．20．在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）连接AQ，作ME⊥QB，由AAS证明△APC≌△QME，得出PC=ME，△MEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM=90°，∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α；（2）PQ=MB；理由如下：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：∵AC⊥QP，CQ=CP，∴∠QAC=∠PAC=α，∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，∴AP=AQ=QM，在△APC和△QME中，，∴△APC≌△QME（AAS），∴PC=ME，∴△MEB是等腰直角三角形，∴PQ=MB，∴PQ=MB．21．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】（1）证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论．【解答】解：（1）∠ABE=∠ACD；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，由（1）可知∠ABE=∠ACD，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC，∵AB=AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC．22．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；（2）求△PQR面积的最小值；（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠PQR=90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）先利用锐角三角函数表示出QE=4t，QD=3（2﹣t），再由运动得出AP=3t，CR=4t，BP=3（2﹣t），AR=4（2﹣t），最后用三角形的面积公式即可得出结论；（2）借助（1）得出的结论，利用面积差得出S△PQR=18（t﹣1）2+6，即可得出结论；（3）先判断出∠DQR=∠EQP，用此两角的正切值建立方程求解即可．【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，根据勾股定理得，BC=10，sin∠B===，sin∠C=，过点Q作QE⊥AB于E，在Rt△BQE中，BQ=5t，∴sin∠B==，∴QE=4t，过点Q作QD⊥AC于D，在Rt△CDQ中，CQ=BC﹣BQ=10﹣5t，∴QD=CQ•sin∠C=（10﹣5t）=3（2﹣t），由运动知，AP=3t，CR=4t，∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），∴S△APR=AP•AR=×3t×4（2﹣t）=6t（2﹣t），S△BPQ=BP•QE=×3（2﹣t）×4t=6t（2﹣t），S△CQR=CR•QD=×4t×3（2﹣t）=6t（2﹣t），∴S△APR=S△BPQ=S△CQR，∴△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；（2）由（1）知，S△APR=S△BPQ=S△CQR=6t（2﹣t），∵AB=6，AC=8，∴S△PQR=S△ABC﹣（S△APR+S△BPQ+S△CQR）=×6×8﹣3×6t（2﹣t）=24﹣18（2t﹣t2）=18（t﹣1）2+6，∵0≤t≤2，∴当t=1时，S△PQR最小=6；（3）存在，由（1）知，QE=4t，QD=3（2﹣t），AP=3t，CR=4t，AR=4（2﹣t），∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），过点Q作QD⊥AC于D，作QE⊥AB于E，∵∠A=90°，∴四边形APQD是矩形，∴AE=DQ=3（2﹣t），AD=QE=4t，∴DR=|AD﹣AR|=|4t﹣4（2﹣t）|=|4（2t﹣2）|，PE=|AP﹣AE|=|3t﹣3（2﹣t）|=|3（2t﹣2）|∵∠DQE=90°，∠PQR=90°，∴∠DQR=∠EQP，∴tan∠DQR=tan∠EQP，在Rt△DQR中，tan∠DQR==，在Rt△EQP中，tan∠EQP==，∴，∴16t=9（2﹣t），∴t=．23．如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，即S△ABC=absin∠C同理S△ABC=bcsin∠AS△ABC=acsin∠B通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则a2=b2+c2﹣2bccos∠Ab2=a2+c2﹣2accos∠Bc2=a2+b2﹣2abcos∠C用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．解：S△DEF=EF×DFsin∠F=；DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=．（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；方法2、先用正弦定理得出S1，S2，S3，S4，最后用余弦定理即可得出结论．【解答】解：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8，∴EF=3，DF=8，∴S△DEF=EF×DFsin∠F=×3×8×sin60°=6，DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，故答案为：6，49；（2）证明：方法1，∵∠ACB=60°，∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=AC2+BC2﹣AC•BC，两边同时乘以sin60°得，AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°﹣AC•BCsin60°，∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S1=AC•BCsin60°，S2=AB2sin60°，S3=BC2sin60°，S4=AC2sin60°，∴S2=S4+S3﹣S1，∴S1+S2=S3+S4，方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∴S1=absin∠C=absin60°=ab∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S2=c•c•sin60°=c2，S3=a•a•sin60°=a2，S4=b•b•sin60°=b2，∴S1+S2=（ab+c2），S3+S4=（a2+b2），∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°，∴a2+b2=c2+ab，∴S1+S2=S3+S4．。
中考《三角形认识》复习练习题及答案
中考数学复习专题练习认识三角形一、选择题：1、一定在△ABC内部的线段是（）A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线2、有5根小木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm、6cm，任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个3、如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．54、如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是( )A．15° B．25° C．30° D．10°5、如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．40°6、一个多边形少加了一个内角时，它的度数和是1310°，则这个内角的度数为（）A．120° B．130° C．140° D．150°7、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．20°或100° B．120° C．20°或120° D．36°8、一个正多边形的每个内角都等于140°，那么它是正（）边形A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形9、如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）A．140米 B．150米 C．160米 D．240米10、如图，已知点D是△ABC的重心，连接BD并延长，交AC于点E，若AE=4，则AC的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．1211、．光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知∠1=52°，∠3=70°，则∠2是( )A．52° B．61° C．65° D．70°12、如图,在四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点.若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC等于（）A. B. C. D.二、填空题:13、a、b、c为三角形的三条边，则= ．14、如图，△ABC的两条高线AD、BE交于点F，∠BAD=45°，∠C=60°，则∠BFD的度数为15、如果将长度为a﹣2，a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形,a取值范围是．16、一个三角形的两边长为8和10，若另一边为a，当a为最短边时，a的取值范围是；当a为最长边时，a的取值范围是 .17、已知△ABC 的三边长 a、b、c，化简│a＋b-c│-│b-a-c│的结果是 .18、将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是．19、如图，∠2+∠3+∠4=320°，则∠1= ．20、如图，七星形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ．21、如图，将∠BAC沿DE向∠BAC内折叠，使AD与A′D重合，A′E与AE重合，若∠A=30°，则∠1+∠2= ．22、如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为．23、如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N= _．24、如图,一个面积为50平方厘米正方形与另一个小正方形并排放在一下起，则△ABC面积是平方厘米．三、简答题:25、如图,在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm两部分,求三角形各边的长．26、如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；（2）作出△BED的BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？27、（1）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD⊥BC于D，且AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．（2）上题中若∠B=40°，∠C=80°改为∠C＞∠B，其他条件不变，请你求出∠EAD与∠B、∠C之间的数列关系？并说明理由．28、如图，∠O=30°，任意裁剪的直角三角形纸板两条直角边所在直线与∠O的两边分别交于D、E两点．（1）如图1，若直角顶点C在∠O的边上，则∠ADO+∠OEB= 度；（2）如图2，若直角顶点C在∠O内部，求出∠ADO+∠OEB的度数；（3）如图3，如果直角顶点C在∠O外部，求出∠ADO+∠OEB的度数．29、如图（甲），D是△ABC的边BC的延长线上一点．∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1．（1）若∠ABC=80°，∠ACB=40°，则∠P1的度数为；（2）若∠A=α，则∠P1的度数为；（用含α的代数式表示）（3）如图（乙），∠A=α，∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1，∠P1BC、∠P1CD的平分线相交于P2，∠P2BC、∠P2CD的平分线相交于P3依此类推，则∠Pn的度数为（用n与α的代数式表示）30、阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的高．P是BC边上一点，PM，PN分别与直线AB，AC垂直，垂足分别为点M，N．求证：．他发现，连接AP，有，即．由AB=AC，可得．他又画出了当点P在CB的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示．他猜想此时BD，PM，PN之间的数量关系是：．请回答：（1）请补全以下该同学证明猜想的过程；证明：连接AP．∵，∴．∵AB=AC，∴．（2）参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在△ABC中，AB=AC=BC，BD是△ABC的高．P是△ABC所在平面上一点，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q．①如图3，若点P在△ABC 的内部，则BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：；②若点P在如图4所示位置,利用图4探究得出此时BD，PM，PN，PQ之间数量关系是：．31、已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM、EM.（1）若DE=3，BC=8，求△DME的周长；（2）若∠A=60°，求证：∠DME=60°；（3）若BC2=2DE2，求∠A的度数．参考答案1、A.2、C．3、A．4、A．5、D．6、B．7、C．8、D.9、B．10、B．11、B．12、B.13、答案为：2a．14、答案为：60° 15、答案为：a＞5．16、答案为：2<a≤8,10≤a<18.17、答案为：2b-2c. 18、答案为：75°．19、答案为：40°．20、答案为：180°．21、答案为：60°．22、答案为：40°.23、答案为:360°或540°或720°．24、答案为25．25、解：设AB=AC=2，则AD=CD=，（1）当AB＋AD=30，BC＋CD=24时，有2=30，∴ =10，2 =20，BC=24－10=14.三边长分别为：20 cm，20 cm，14 cm．（2）当AB＋AD=24，BC＋CD=30时，有=24，∴ =8，，BC=30－8=22.三边长分别为：16 cm，16 cm，22 cm．26、解：（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°。
中考数学复习知识点：三角形垂心
中考数学复习知识点：三角形垂心三角形的垂心的性质：1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
例如在△ABC中3.垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形。
5.H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6.△ABC，△AB O，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP?tanB+AC/AQ tanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA.10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
12.西姆松(Simson)定理(西姆松线)：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。
13.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3.14.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。
2021年广东省广州市九年级中考数学 三轮冲刺复习：三角形(含答案)
2021广州中考三轮冲刺复习：三角形一、选择题1. 下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是()2. 在一个三角形中，有一个角是55°，则另外的两个角可能是()A．95°，20°B．45°，80°C．55°，60°D．90°，20°3. 如图，在△ABC中，表示AB边上的高的图形是()4. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的根，则该三角形的周长为()A. 8B. 10C. 8或10D. 125. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BAC的度数为()A. 40°B. 45°C. 60°D. 70°6. 在△ABC中，若∠B＝3∠A，∠C＝2∠B，则∠B的度数为()A．18°B．36°C．54°D．90°7. (2019•荆门)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则1的度数是A．95︒B．100︒C．105︒D．110︒8. 如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC 于点E，则∠ADE的度数是()A．54°B．50°C．45°D．40°二、填空题9. 如图，已知AB，CD相交于点O，且∠A＝38°，∠B＝58°，∠C＝44°，则∠D＝________°.10. 若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是________．11. 如图，已知∠A＝54°，∠B＝31°，∠C＝21°，则∠1＝________°.12. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥OC交BC于点D.若∠A ＝80°，则∠BOD＝________°.13. 在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是________．14. 模拟某人为机器人编制了一段程序(如图)，如果机器人以2 cm/s的速度在平地上按照程序中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需的时间为________s.15. 如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB.若∠A＝70°，则∠BOC＝________°.16. 如图，若该图案是由8个形状和大小相同的梯形拼成的，则∠1＝________°.三、解答题17. 如图，佳佳和音音住在同一小区(A点)，每天一块去学校(B点)上学.一天，佳佳要先去文具店(C点)买练习本再去学校，音音要先去书店(D点)买书再去学校(B，D，C三点在同一条直线上).这天两人从家到学校谁走的路程远?为什么?18. 如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．19. 某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的度数比一个内角度数的15多12°.(1)求出这个正多边形的一个内角的度数; (2)求这个正多边形的边数.20. 如图，CE是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，且CE 交BA 的延长线于点E ，∠B ＝25°，∠E＝30°，求∠BAC 的度数．21. 如图，在△ABC中，BD 是角平分线，CE 是AB 边上的高，且∠ACB=60°，∠ADB=97°，求∠A 和∠ACE 的度数.NMEFCBA22. 观察与转化思想如图是五角星形，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．23. 已知:如图1-Z-20，在四边形ABCD中，∠D=90°，∠ABC=∠BCD，点E在直线BC上，点F在直线CD上，且∠AEB=∠CEF.(1)如图①，若AE平分∠BAD，求证:EF⊥AE;(2)如图②，若AE平分四边形ABCD的外角，其余条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立?说明理由.24. 如图①所示，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C>∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F.(1)试探索∠DEF与∠B，∠C之间的数量关系；(2)如图②所示，当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，你在(1)中探索得到的结论是否还成立？2021广州中考三轮冲刺复习：三角形-答案一、选择题1. 【答案】C2. 【答案】B[解析] ∵在一个三角形中，有一个角是55°，∴另外的两个角的和为125°，各选项中只有B选项中的两个角的和为125°.故选B.3. 【答案】D4. 【答案】B【解析】解一元二次方程x2－6x＋8＝0，得x1＝2，x2＝4.当三角形三边为2，2，4时，∵2＋2＝4，∴不符合三边关系，应舍去；当三角形三边为2，4，4时，∵2＋4>4，符合三边关系，∴三角形的周长为10，故选B.5. 【答案】A【解析】由AE∥BD，可得∠DBC＝∠E＝35°，由BD平分∠ABC可得∠ABC＝2∠DBC＝70°，由AB＝AC可得∠ABC＝∠C＝70°，由三角形内角和定理可得∠BAC＝180°－70°－70°＝40°.6. 【答案】C[解析] ∵在△ABC中，∠B＝3∠A，∠C＝2∠B，∴∠C＝6∠A.设∠A＝x，则∠B＝3x，∠C＝6x.由三角形内角和定理可得x＋3x＋6x＝180°，解得x＝18°，∴∠B＝3x＝54°.7. 【答案】C【解析】如图，由题意得，2454903060∠=︒∠=︒︒=︒，-，∴3245∠=∠=︒， 由三角形的外角性质可知，134105∠=∠+∠=︒，故选C ．8. 【答案】D[解析] 由三角形内角和定理可知∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－46°－54°＝80°.因为AD 平分∠BAC ， 所以∠BAD ＝12∠BAC ＝40°. 因为DE ∥AB ，所以∠ADE ＝∠BAD ＝40°.二、填空题9. 【答案】64[解析] 由三角形内角和定理可知∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∠B ＋∠C ＋∠BOC＝180°.∵∠AOD ＝∠BOC ， ∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C. ∴∠D ＝64°.10. 【答案】720°[解析] 该正多边形的边数为360°÷60°＝6.该正多边形的内角和为(6－2)×180°＝720°.11. 【答案】106[解析] 由三角形的外角性质可知，∠CDB ＝∠A ＋∠C ＝75°，∴∠1＝∠CDB ＋∠B ＝106°.12. 【答案】4013. 【答案】4∶3【解析】如解图，过D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴DE ＝DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)，设DE ＝DF ＝h ，则S △ABD S △ACD＝12AB·h 12AC·h ＝43.14. 【答案】16[解析] 由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形，多边形的边数为36045＝8， 则所走的路程是4×8＝32(cm)， 故所用的时间是32÷2＝16(s)．15. 【答案】125[解析] ∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠ABO ＝∠CBO ，∠BCO ＝∠ACO.∴∠CBO ＋∠BCO ＝12(∠ABC ＋∠ACB)＝12(180°－∠A)＝12(180°－70°)＝55°. ∴在△BOC 中，∠BOC ＝180°－55°＝125°.16. 【答案】67.5三、解答题17. 【答案】解:佳佳从家到学校走的路程远.理由:佳佳从家到学校走的路程是AC+CD+BD ，音音从家到学校走的路程是AD+BD.∵在△ACD 中，AC+CD>AD ，∴AC+CD+BD>AD+BD ，即佳佳从家到学校走的路程远.18. 【答案】延长AM 、AN 交BC 于点Q 、R ．由等腰三角形三线合一可得AM QM =、AN RN =再由三角形中位线可得MN BC ∥．19. 【答案】解:(1)设这个多边形的一个内角的度数是x °，则与其相邻的外角度数是15x °+12°.由题意，得x+1x+12=180，解得x=140.5即这个正多边形的一个内角的度数是140°.=9.(2)这个正多边形的每一个外角的度数为180°-140°=40°，所以这个正多边形的边数是36040 20. 【答案】解：∵∠B＝25°，∠E＝30°，∴∠ECD＝∠B＋∠E＝55°.∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE＝∠ECD＝55°.∴∠BAC＝∠ACE＋∠E＝85°.21. 【答案】解:∵∠ADB=∠DBC+∠ACB，∴∠DBC=∠ADB-∠ACB=97°-60°=37°.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABC=74°.∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=46°.∵CE是AB边上的高，∴∠AEC=90°.∴∠ACE=90°-∠A=44°.22. 【答案】解：如图，∵∠1是△CEG的外角，∴∠1＝∠C＋∠E.同理可得∠AFB＝∠B＋∠D.∵在△AFG中，∠A＋∠1＋∠AFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.23. 【答案】解:(1)证明:∵∠BAE=180°-∠ABC-∠AEB，∠EFC=180°-∠BCD-∠CEF，且∠ABC=∠BCD，∠AEB=∠CEF，∴∠BAE=∠EFC.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE.∴∠EFC=∠DAE.∵∠EFC+∠EFD=180°，∴∠DAE+∠EFD=180°.∴∠AEF+∠D=360°-(∠DAE+∠EFD)=180°.又∵∠D=90°，∴∠AEF=90°.∴EF⊥AE.(2)EF⊥AE仍成立.理由如下:如图.∵∠1=∠ABC-∠AEB，∠F=∠BCD-∠CEF，且∠ABC=∠BCD，∠AEB=∠CEF，∴∠1=∠F.∵AE平分四边形ABCD的外角，∴∠1=∠2.∴∠F=∠2.∵∠2+∠EAD=180°，∴∠F+∠EAD=180°.∴∠AEF+∠D=360°-(∠F+∠EAD)=180°.又∵∠D=90°，∴∠AEF=90°.∴EF⊥AE.24. 【答案】解：(1)∵∠1＝∠2，∴∠1＝12∠BAC.又∵∠BAC ＝180°－(∠B ＋∠C)，∴∠1＝12[180°－(∠B ＋∠C)]＝90°－12(∠B ＋∠C)．∴∠EDF ＝∠B ＋∠1＝∠B ＋90°－12(∠B ＋∠C)＝90°＋12(∠B －∠C)．∵EF ⊥BC ，∴∠EFD ＝90°.∴∠DEF ＝90°－∠EDF ＝90°－[90°＋12(∠B －∠C)]＝12(∠C －∠B)．(2)当点E 在AD 的延长线上时，其余条件都不变，在(1)中探索得到的结论仍成立．。
中考数学一轮复习《三角形及其性质》练习题(含答案)
中考数学一轮复习《三角形及其性质》练习题（含答案）课时1一般三角形及等腰三角形(建议答题时间：40分钟)1. (2017泰州)三角形的重心是()A. 三角形三条边上中线的交点B. 三角形三条边上高线的交点C. 三角形三条边垂直平分线的交点D. 三角形三条内角平分线的交点2. (2017金华)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是()A. 2，3，4B. 5，7，7C. 5，6，12D. 6，8，103. (2017株洲)如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD的度数是()A. 145°B. 150°C. 155°D. 160°第3题图4. (2017甘肃)已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为()A. 2a＋2b－2cB. 2a＋2bC. 2cD. 05. (2017德阳)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第5题图第6题图6. (2017滨州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为()A. 40°B. 36°C. 30°D. 25°7. (2017荆州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC 于点D，则∠CBD的度数为()A. 30°B. 45°C. 50°D. 75°第7题图第8题图第9题图8. (2017郴州)小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于()A. 180°B. 210°C. 360°D. 270°9. (2017天津)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是()．A. BCB. CEC. ADD. AC10. (2017泰州)将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________．第10题图第12题图第13题图11. (2017成都)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为________．12. (2017江西)如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB，若剪刀张开的角为30°，则∠A＝________度．13. (2017湘潭)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E，请任意写出一组相等的线段________．14. (2017徐州)△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DE＝7，则BC＝________.15. (2017丽水)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．16. (2017陕西)如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A ＝52°，则∠1＋∠2的度数为________．第16题图第18题图17. (2017淄博)在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝________. 18. (2017宁夏)在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝13DM，当AM⊥BM时，则BC的长为________．19. (2017达州)△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．20. (2017内江)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．第20题图21. (2017北京)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC 于点D.求证：AD＝BC.第21题图22. (2017连云港)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.第22题图课时2直角三角形及勾股定理(建议答题时间：40分钟)1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是()A. 3，4，5B. 1，2， 3C. 6，7，8D. 2，3，42. (2016沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是()A. 433 B.4 C. 83 D. 4 3第2题图第3题图3. (2017大连)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为()A. 2aB. 22aC. 3aD. 43 3a4. (2017黄石)如图，在△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝32，则∠CDE＋∠ACD＝()A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°第4题图第5题图5. (2017重庆巴蜀月考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若BC＝4，AC＝8，则BD＝()A. 3B. 4C. 5D. 66. (2017陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为()A. 3 3B. 6C. 3 2D. 21第6题图第7题图7. 关注数学文化(2017襄阳)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()A. 3B. 4C. 5D. 68. (2017株洲)如图，在Rt△ABC中，∠B的度数是________度．第8题图第11题图第12题图9. (2017安顺)三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于________．10. (2017岳阳)在△ABC中，BC＝2，AB＝23，AC＝b，且关于x的方程x2－4x ＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为________．11. (2017常德)如图，已知Rt△ABE中∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________．12. (2017娄底)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是________．(用含m的代数式表示)13. (2017杭州)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．第13题图第14题图14. (2017武汉)如图，在△ABC中，AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，BD＝2CE，则DE的长为________．15. (2017山西)一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB ＝∠BCD＝90°，∠A＝60°，∠CBD＝45°.E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F.若AD＝4 cm，则EF的长为________cm.第15题图第16题图16. (2017河南)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终．．落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为________．17. (2018原创)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)第17题图18. (2018原创)如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求BC边上高的长．第18题图19. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，(1)求AB的长；(2)求CD的长．第19题图20. (2017徐州)如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝33，将线段AC 绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC、DB.(1)线段DC＝________；(2)求线段DB的长度．第20题图答案课时1 一般三角形及等腰三角形1. A2. C3. B4. D【解析】由三角形中任意两边之和大于第三边，得：a＋b>c，∴c－a－b ＝c－(a＋b)<0，∴|c－a－b|＝a＋b－c，|a＋b－c|＝a＋b－c，∴|a＋b－c|－|c－a －b|＝0.5. B【解析】∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABE＝50°，又∵∠BAC ＝60°，则∠C＝70°，又∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＝20°.6．B【解析】设∠C＝x°，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x°，∴∠ADB＝2x°，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2x°，∴∠B＝180°－4x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x°，∴180°－4x°＝x°，解得x＝36，∴∠B＝∠C＝36°.7．B【解析】∵∠A＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，又∵l为AB的垂直平分线，∴DB＝DA，∠DBA＝∠A＝30°∴∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝75°－30°＝45°.8. B【解析】如解图，∵∠C＝∠F＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠2＋∠5＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠3＝∠5，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠5＝180°－∠β，∵∠α＝∠D＋∠1＝∠D＋180°－∠β，∴∠α＋∠β＝∠D＋180°＝30°＋180°＝210°.第8题解图9. B【解析】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴点B关于AD的对应点为点C，∴CE等于BP＋EP的最小值．10. 15°11. 40°12. 7513. CD＝DE14. 1415. 100°【解析】由三角形内角和定理可知，若等腰三角形的一个内角为100°，则这个内角为顶角，此时两底角均为40°，即该三角形顶角的度数是100°.16. 64°【解析】∵在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线，∴∠1＝∠ABD＝12∠ABC，∠2＝∠ACE＝12∠ACB，∴∠1＋∠2＝12(∠ABC＋∠ACB)，∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－52°＝128°，∴∠1＋∠2＝12(∠ABC＋∠ACB)＝12×128°＝64°.17. 23【解析】假设点D与点B重合，可得DE＋DF为等边三角形AC边上的高，再由等边三角形的边长为4，可求AC边上的高为23，故DE＋DF＝2 3.18. 8【解析】∵AM⊥BM，∴∠AMB＝90°，在Rt△ABM中，∵D是AB的中点，∴DM＝12AB＝3，∵ME＝13DM，∴ME＝1，DE＝4，又∵DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝8.19. 1＜m＜4【解析】如解图，延长AD到点E，使AD＝ED，连接CE，∵AD 是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵在△ABD和△ECD中，BD＝CD，DE＝AD，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB＝EC，在△AEC中，∵AC＋EC＞AE，且EC－AC＜AE，即AB＋AC＞2AD，AB－AC＜2AD，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4即1＜m＜4.第11题解图20. 证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAC.∴∠BAD＝∠ADE，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠B＝90°.∵∠BDE＋∠ADE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形．21. 解：∵AB＝AC∴在△ABC中，∠ABC＝∠C＝12(180°－∠A)＝12×(180°－36°)＝72°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝12∠ABC＝12×72°＝36°，∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD，又∵在△ABC中，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BC.22. (1)解：∠ABE＝∠ACD.理由如下：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD(SAS)．∴∠ABE＝∠ACD；(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.又∵AB＝AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A、F的直线垂直平分线段BC.课时2直角三角形及勾股定理1. B2. D3. B【解析】∵CD⊥AB，CD＝DE＝a，∴CE＝2a，∵在△ABC中，∠ACB ＝90°，点E是AB的中点，∴AB＝2CE＝22a.4. C【解析】∵点E为BC边的中点，CD⊥AB，DE＝32，∴BE＝CE＝DE＝32，∴∠CDE ＝∠DCE ，BC ＝ 3.在△ABC 中，AC 2＋BC 2＝1＋(3)2＝4＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，∴∠CDE ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ＝90°.5. C 【解析】设BD ＝x ，∵边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，∴AD ＝BD ＝x ，则CD ＝8－x ，在Rt △BCD 中，根据勾股定理，得x 2－(8－x )2＝42，解得x ＝5.6. A 【解析】∵∠ACB ＝∠A ′C ′B ′＝90°，AC ＝BC ＝3，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋32＝32，又∵△ABC ≌△A ′B ′C ′， ∴A ′B ′＝ AB ＝32， ∠C ′A ′B ′＝∠CAB ＝45°，∴∠CAB ′＝∠C ′AB ′＋∠CAB ＝ 45°＋45°＝90°，在Rt △CAB ′中，AC ＝3，AB ′＝32，∴B ′C ＝AC 2＋AB′2＝32＋（32）2＝3 3.7. C 【解析】如解图，∵S 正方形ABCD ＝13，∴AB ＝13，∵AG ＝a ，BG ＝b ，∴a 2＋b 2＝AB 2＝13，∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝21，∴2ab ＝(a ＋b )2－a 2－b 2＝21－13＝8，∴ab ＝4，∴S △ABG ＝12ab ＝12×4＝2，∴S 小正方形＝S 大正方形－4S △ABG ＝13－4×2＝5.第7题解图8. 25 9. 5210. 2 【解析】∵方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝16－4b ＝0，解得b ＝4.又∵BC ＝2，AB ＝23，AC ＝b ＝4，∴AB 2＋BC 2＝(23)2＋22＝42＝AC 2，∴∠B ＝90°，∴AC 边上的中线长为2.11. 0<CD ≤5 【解析】如解图，取BE 的中点F ，连接AF ，∵∠A ＝90°，则AF ＝12BE ＝EF ＝5，∴∠EAF ＝∠E ＝90°－∠B ＝30°，又∵∠CDE ＝30°，∴∠CDE＝∠EAF ，∴CD ∥AF ，∴CD AF ＝EDEA .当D 与A 重合时，CD 与AF 重合，取得最大值为5，当D 接近于E 时，DE 越小，CD 越小，∵线段CD 不能为0，∴0<CD≤5.第11题解图12. 2＋2m【解析】如解图，连接BD，∵D为AC的中点，∴BD⊥AC，BD 平分∠ABC，∴∠BDC＝90°，∠ABD＝∠C＝45°，∴∠BDF＋∠FDC＝90°，又∵∠EDF＝90°，∴∠BDF＋∠BDE＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，∴△BED≌△CFD(ASA)，∴BE＝CF，DE＝DF，则BE＋BF＋EF＝BC＋EF＝2＋EF，而Rt △DEF中，DE＝DF＝m，∴EF＝2m，则△BEF的周长为2＋ 2 m.第12题解图13. 78【解析】如解图，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝15，AC＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC＝152＋202＝25，∵AD＝5，∴DC＝20－5＝15，∵DE⊥BC，∠BAC＝90°，∴△CDE∽△CBA，∴CECA＝CDCB，∴CE＝1525×20＝12.第13题解图14. 33－3【解析】∵AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，∴BC＝6，∠B＝∠BCA ＝30°，如解图，将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACD′，∴∠D′CA＝∠B ＝30°，AD＝AD′，∴∠D′CE＝60°，∵∠DAE＝60°，∠DAD′＝120°，∴∠EAD′＝60°，∴△EAD′≌∠EAD(SAS)，∴ED′＝ED，∴ED′＋BD＋EC＝6，∴EC＝6－DE3，∵CD ′＝BD ＝2CE ，∠D ′CE ＝60°，∴∠D ′EC ＝90°，∴D ′E 2＋EC 2＝D ′C 2，即DE 2＋(6－DE 3)2＝(6－DE3×2)2，解得DE ＝33－3(负根舍去)．第14题解图15. 2＋6 【解析】如解图，连接DE ，在EF 上找一点G ，使得DG ＝EG ，连接DG ，在Rt △ABD 中，∠A ＝60°， ∴AD ＝12AB ，又∵E 为AB 的中点，∴AE ＝12AB ＝DE ，∴AD ＝AE ＝DE ，∴△ADE 为等边三角形 ，∴DE ＝AD ＝4 cm ，∠DEA ＝60°，又∵EF ⊥CD ，∠C ＝90°，∴EF ∥CB ，∴∠AEF ＝∠ABC ＝75°，∴∠DEF ＝15°，在Rt △EFD 中，∠EFD ＝90°，∵DG ＝EG ，∴∠GDE ＝∠DEF ＝15°，∴∠DGF ＝30°，设DF ＝x ，则EG ＝DG ＝2x ，FG ＝3x ，EF ＝(2＋3)x ，根据勾股定理得DF 2＋EF 2＝DE 2，即x 2＋(2＋3)2x 2＝16，解得x ＝6－2，∴EF ＝(2＋6) cm .第15题解图16. 2＋12或1 【解析】(1)当∠B ′MC 为直角时，此时点M 在BC 的中点位置，点B ′与点A 重合，如解图①，则BM 长度为12BC ＝2＋12；(2)当∠MB ′C 为直角时，如解图②，根据折叠性质得，BM ＝B ′M ，BN ＝B ′N ，B ′M ∥BA ，∴MC BC ＝B ′MAB ，即MC B ′M ＝BC AB ＝2，∴MC B ′M＝2，即MC ＋BM BM ＝2＋11，即BCBM ＝2＋11，∵BC＝2＋1，∴BM＝1.故BM长为2＋12或1.第16题解图17. 解：∵∠BDC＝45°，∠ABC＝90°，∴△BDC为等腰直角三角形，∴BD＝BC，∵∠A＝30°，∴BC＝12AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，即(2BC)2＝(4＋BD)2＋BC2，解得BC＝BD＝2＋23(负根舍去)．18. 解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴BD＝52－42＝3；(2)如解图，延长CB，过点A作AE⊥CB交CB延长线于点E，∵DB⊥BC，AE⊥BC，∴AE∥DB，∵D为AC边的中点，∴BD＝12AE，∴AE＝6，即BC边上高的长为6.第18题解图19. 解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，∴AB＝AC2＋BC2＝202＋152＝25，即AB的长是25；(2)∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD，∴20×15＝25·CD，∴CD＝12.20. 解：(1) 4；【解法提示】在△ACD中，∵∠A＝60°，AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴DC＝AC＝4.(2)如解图，过点D作DE⊥BC于点E.第20题解图在△CDE中，∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°，CD＝4，∴DE＝2，根据勾股定理得CE＝CD2－DE2＝23，∴BE＝BC－CE＝33－23＝3，∴DB＝BE2＋DE2＝（3）2＋22＝7.。
2023年中考数学总复习第四章《三角形》综合测试卷及答案
2023年中考数学总复习第四章《三角形》综合测试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A.85°B.75°C.65°D.60°（第1题图）（第2题图）2.如图，平行线AB，CD 被直线EF 所截，过点B 作BG⊥EF 于点G，已知∠1=50°，则∠B=（）A.20°B.30°C.40°D.50°3.如图，太阳光线与水平线成70°角，窗子高AB=2米，要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC 的长度至少是（）A．米B．2sin70°米C．米D． 2.2cos70°米（第3题图）（第5题图）4.在Rt△ABC 中，∠C=90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tanB 的值是（）A．B．3C．D．5.如图，每个小方格的边长为1，A，B 两点都在小方格的顶点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且△ABC 是等腰三角形，那么点C 的个数为（）A.1B.2C.3D.46.已知三角形三边长分别为2，x，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为（）A.2B.3C.5D.137.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（）A．2B．3C．4D．（第7题图）（第8题图）8.如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D，DE 是BC 的垂直平分线，点E 是垂足．已知DC=5，AD=2，则图中长为的线段有（）A．4条B．3条C．2条D．1条9.如图，在△ABC 外任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，连接DE，EF，DF，得△DEF，则下列说法错误的是（）A．△ABC 与△DEF 是位似图形B．△ABC 与△DEF 是相似图形C．△ABC 与△DEF 的周长比为1∶2D．△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1（第9题图）（第10题图）10.如图，在数轴上有A，B，C，D 四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A，D 两点表示的数分别为-5和6，且AC 的中点为E，BD 的中点为M，BC 之间距点B 的距离为BC 的点为N，则该数轴的原点为（）A．点EB．点FC．点MD.点N 11.如图，将宽为1cm 的纸条沿BC 折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（）（第11题图）（第12题图）12.如图，在△ABC 中，∠ABC=∠C，将△ABC 绕点B。
《相似》中考复习课件 相似三角形综合复习(共21张PPT)
（2）性质：两个相似三角形中，对应角相等 、对应边成比例.
（3）判定：①定义法：对应角相等，对应边 成比例的两个三角形相似.
②三角形相似的预备定理：平行于三角形一 边的直线和其它两边相交，所构成的三角 形与原三角形相似.
（2）性质：①位似图形首先是相似图形，所 以它具有相似图形的一切性质.
②位似图形是一种特殊的相似图形，它又 具有特殊的性质，位似图形上任意一对对 应点到位似中心的距离等于位似比（相似 比）.
③每对位似对应点与位似中心共线，不经 过位似中心的对应线段平行.
达标测试
一.选择题 1.ABC中，D、E、F分别是在AB、AC、BC上的
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/132021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月13日星期一2021/9/132021/9/132021/9/13 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/132021/9/13September 13, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/132021/9/132021/9/132021/9/13
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中考复习之三 三角形 - 1 - 中考复习之三：三角形
知识结构
判定：SSS，SAS，ASA，AAS，HL性质：对应边相等，对应角相等全等三角形
判定：勾股定理的逆定理性质：两个结论、勾股定理直角三角形
钝角三角形锐角三角形斜三角形
按角分
判定性质等边三角形底边和腰不等等腰三角形
不等边三角形
按边分
分类
基本性质：三边关系定理、稳定性、内角和定理及推论、中位线定理基本概念：边、顶点、内角、外角、高、中线、角平分线
三角形
知识要点 1.三边关系定理：三角形两边的 大于第三边，两边的 小于第三边. 2.三角形 稳定性，四边形 稳定性. 3.三角形内角和定理及推论： (1)内角和定理：三角形三个内角的和等于 °； (2)推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 ； (3)推论2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个 角. 4.n边形内角和等于 ，多边形的外角和等于 °. 5.三角形中位线定理：三角形的中位线 第三边，且等于第三边的 . 6.等腰三角形的性质： (1)等腰三角形的两个 角相等，简单说成：等边对等 ； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互 ，简单说成：三线合一. 7.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的 也相等，简单说成：等角对等 . 8.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 °. 9.等边三角形的判定： 中考复习之三 三角形 - 2 - (1) 个角都相等的三角形是等边三角形； (2)有一个角是60°的 三角形是等边三角形. 10.直角三角形的性质： (1)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 ； (2)直角三角形斜边上的中线等于 的一半； (3)勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 . 11.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是 三角形. 12.能够完全重合的两个三角形叫做 三角形，重合的顶点叫做 顶点，重合的边叫做 边，重合的角叫做 角. 13.全等三角形的性质：全等三角形的对应边 ，对应角 . 14.全等三角形的判定： (1)边边边或SSS： 边对应相等的两个三角形全等； (2)边角边或SAS：两边和它们的 角对应相等的两个三角形全等； (3)角边角或ASA：两角和它们的 边对应相等的两个三角形全等； (4)角角边或AAS：两角和其中一角的 边对应相等的两个三角形全等； (5)斜边直角边或HL：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等. 15.角的平分线上的点到角的 距离相等；线段垂直平分线上的点与这条线段两个 的距离相等.
例题精选 例1 如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常钉上AB、CD两条木板条，这样做根据的数学道理是 . 分析：钉上AB、CD木板条后，在上方形成两个三角形，利用 三角形的稳定性可以防止门框变形. 答案：三角形的稳定性. 例2 若一个多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于 度.
分析：多边形的外角和等于360°，所以这个多边形的边数n=36030=12，所以这个正多边形的内角和为(12-2)×180°=1800°. 答案：1800 点评：多边形的内角和由边数确定，外角和与边数无关. 例3 在△ABC中，若AB=8，BC=6，则第三边AC的长度m的取值范围是 . 分析：根据三角形的三边关系可知，第三边大于两边之差且小于两边之和，故8-6＜m＜8+6，即2＜m＜14. 答案：2＜m＜14 例4 如图，AC、BD相交于一点O，∠A=∠D，请你再补一个条件， 使得△AOB≌△DOC，你补充的条件是 . 分析：已有∠A=∠D，∠AOB=∠DOC，只需再给出一边对应相等. 答案：AO=DO或AB=DC或OB=OC. 例5 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC， 若AD=6，则CD= .
ABCOD
ABCD
DCA
B中考复习之三 三角形
- 3 - 分析：易见∠ABD=∠CBD=∠A=30°，所以BD=AD=6，CD=12BD=3. 答案：3 点评：作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质也可求出CD，读者不妨一试. 例6 若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为 . 分析：当70°为等腰三角形顶角的外角时，顶角为110°，则底角为35°；当70°为等腰三角形底角的外角时，底角为110°，这不可能. 答案：35° 例7 已知：如图，等腰三角形的腰长为10，底边为16，则这个三角形 的面积为 . 分析：作CD⊥AB于D，利用勾股定理可求出CD=6. 答案：48 例8 已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥DE，AC∥DF. 求证：AB=DE. 证明：∵AB∥DE， ∴∠B=∠E. ∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE. ∵FB=CE， ∴FB＋FC=CE＋FC，即BC=EF. ∴△ABC≌△DEF. ∴AB=DE. 例9 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是AB、AC的中点. 求证：△BDF≌△CEF. 证明：在△ABE与△ACD中，
ABAC,AA,AEAD,
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∴△ABE≌△ACD. ∴∠ABE=∠ACD. 在△BDF与△CEF中，
ABEACD,BFDCFE,BDCE,
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∴△BDF≌△CEF. 例10 已知：如图，在△ABC中，DB=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点.
求证：EF=12AB. 证明：连结BE. ∵DB=BC，点E是CD的中点， ∴BE⊥CD. 又∵点F是AB的中点，
∴EF=12AB.
AB
C
FEBCD
A
BACDEF
DAEFCB中考复习之三 三角形
- 4 - 中考集训 1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）. （A）1cm，2cm，3cm （B）2cm，3cm，6cm （C）4cm，6cm，8cm （D）5cm，6cm，12cm 2.已知三角形的两条边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ）. （A）4cm （B）5cm （C）6cm （D）13cm 3.已知等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（ ）. （A）9 （B）12 （C）15 （D）12或15 4.若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ）. （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 5.若一个多边形的内角和为n180°，则这个多边形的边数为（ ）. （A）n （B）n+1 （C）n+2 （D）n+3 6.（2006年）七边形的外角和是（ ）. （A）360° （B）720° （C）900° （D）1260° 7.若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数是（ ）. （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 8.（2003年）四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比是2：3：4：3，那么∠D的度数是（ ）. （A）60° （B）75° （C）90° （D）120° 9.如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，点D在BC的延长线上， 则∠ACD等于（ ）. （A）100° （B）120° （C）130° （D）150° 10.（2008年）等腰三角形的一内角的度数为50°，那么它的底角的度数为（ ）. （A）50° （B）65° （C）130° （D）50°或65° 11.如图，在△ABC中，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C， 则∠1＋∠2等于（ ）. （A）315° （B）270° （C）180° （D）135° 12.如图，AB=AC，BD=BC，若∠A=40°，则∠ABD的度数是（ ）. （A）20° （B）30° （C）35° （D）40° 13.（2000年）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∠A=58°， 那么∠BCD等于（ ）. （A）58° （B）32° （C）45° （D）26° 14.（2003年）如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AC的中点，如果DE=3，那么AB等于（ ）.
（A）23 （B）6
（C）9 （D）94 15.（2007年）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=12， 则DE的长是（ ）.
BACD
ABCD
BADECA
BDCE
ABC
12
ABC
D