全等三角形历年中考难题

红城教育培训学校数学教研组制作制作人：汪皞监制：汪校长黄校长童老师全等三角形专题（一） 姓名：1.如图，OP 平分,MON PA ON ∠⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若2PA =，则PQ 的最小值为（ ）A.1B.2C.3D. 42.如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。

有以下四个结论：①AF ⊥BC ；②△ADG ≌△ACF ； ③O 为BC 的中点； ④AG ：DE=3：4，其中正确结论的序号是 .（错填得0分，少填酌情给分）3．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ． 试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．4．八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：（Ⅰ）∠AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线.（Ⅱ）∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM=ON ，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线. （1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由.（2）在方案（Ⅰ）PM=PN 的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.ABCDE（第6题）AONMQP5．（2010湖南娄底）如图10，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD6．（2010江苏扬州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=6，AC=7，BC=8．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第一次落点)处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第一次落点)处，且AP2=AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第三次落点)处，且BP3=BP2；……；跳蚤按上述规则一致跳下去，第n次落点为P n（n为正整数），则点P2007与P2010之间的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2010安徽蚌埠）在ABC∆中，ED、分别是ACBC、上的点，CDBDCEAE2,2==，BEAD、交于点F，若3=∆ABCS，则四边形DCEF的面积为________。

8．（2010安徽蚌埠）三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线。

现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为__________。

9.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有个．AB C03P2P1第8题10、（2009临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=o，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．11、（2009年牡丹江）已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ． 当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．ADFC GE B图1ADF CGE B 图2 ADFGE B图3AE CF BD图1图3ADFECBADBCE 图2F12．（2008山东泰安）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ⊥．13、在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC V 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2 图3（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时=LQ； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时， 若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．图1图2DA B（第22题）F ED C B A14、已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC =o∠，60MBN =o∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）于E F ，． 当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=． 当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE CF ，，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．15 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.16、如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE相交于点F 。

请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

（图1） A B CD E FM N（图2）A B CD E FM N（图3）ABC DE F MN(第23题图)O P AM NE B CDF AE F BD 图①图② 图③DCB17、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD18、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.（1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥ACE DGFC BACDBA1.在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝20°，D、E 分别是AB、AC 上的点，∠DCB＝50°，∠EBC＝60°，求∠DEB 的度数。

2.在三角形ABC 中，AB=AC,AD 平分角ABC 交AC 于D，AD+BD=BC，求角A 的度数。

3.在直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E 是直线AC 上的两个动点，且AD=EC，AM⊥BD，垂足为M，AM 的延长线交BC 于N，直线BD 直线NE 相交于点F，试判断三角形DEF的形状，并加以证明。

4.如图，在△ABC 中，∠C = 2∠B ，D 是BC 上的一点，且AD ⊥AB ，点E 是BD的中点，连结AE ．（1）求证：∠AEC = ∠C（2）求证：BD = 2AC（3）若AE = 6.5，AD = 5，那么△ABE 的周长是多少？全等三角形中的动态几何问题汪老师：动态几何题，是指以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型；解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动．本文以中考试题中的全等三角形动态几何题为例，谈谈这类问题的解题思路，供同学们学习时参考．例1．（扬州）在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD⊥MN 于D ，BE⊥MN 于E ． （1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE ； （2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD －BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 证明：评注：本题以直线MN 绕点C 旋转过程中与△ABC 的不同的位置关系为背景设置的三个小题，第（1）小题的两个小题中，①是②的台阶，只要证明了①，不难得到②；第（1）小题思路又作为解决第（2）小题的借鉴；第（3）小CBAED 图1 NM ABC DE M N图2ACBEDN M 图3题为探索性问题，探索的结论及证明过程可借鉴第（1）、（2）两小题，整个试题考查了同学们从具体、特殊的情形出发去探究运动变化过程中的规律的能力．例2 （锦州）如图A，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE．（1）线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；（2）将图A中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图B，（1）中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；（3）若将图A中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形C（草图即可），（1）中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现．答：′ O全等三角形提高练习1.如图所示，△AB C ≌△ADE ，BC 的延长线过点E ，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°， ∠B=50°，求∠DEF 的度数 。