2021年九年级中考数学 三轮专题突破：全等三角形(含答案)

2021中考数学三轮专题突破：全等三角形一、选择题1. 如图所示，P是∠BAC内一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PE＝PF，则直接得到△PEA≌△PF A的理由是()A．HL B．ASA C．AAS D．SAS2. 如图，P为OC上一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N，PM＝PN，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数为()A．30°B．45°C．60°D．50°3. 如图，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E，F.若BE＝CF，则图中全等三角形有()A．1对B．2对C．3对D．4对4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是()A．3 B．4C．5 D．75. 如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点．若M、N是边AD 上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有()A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对6. 如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，△AEC≌△DFB.如果AD=37 cm，BC=15 cm，那么AB的长为()A.10 cmB.11 cmC.12 cmD.13 cm7. 如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE ＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为()A．a＋c B．b＋cC．a－b＋c D．a＋b－c8. 如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF 于点H.若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为()A．40°B．50°C．55°D．60°二、填空题9. 如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________.10. 如图，AC＝BD，AC与BD相交于点O，要使△ABC≌△BAD，则应添加的一个条件为__________(只需填一个)．11. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要添加条件：____________．12. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB 的直线交DE的延长线于点F.若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是________．13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若△DBE的周长为20，则AB＝________．14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.若EF＝5 cm，则AE ＝________cm.15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB的中点，D为AC上一点，BF∥AC，交DE的延长线于点F，AC=6，BC=5，则四边形FBCD周长的最小值是.16. 如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC交AC的延长线于点E.若△ABC的周长为11，PE=2，S△BPC =2，则S△ABC=.三、解答题17. 如图所示，在△ADF和△BCE中，∠A＝∠B，点D，E，F，C在同一条直线上，有如下三个关系式：①AD＝BC；②DE＝CF；③BE∥AF.(1)请你用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题(用序号写出命题的书写形式，如：如果⊗⊗，那么⊗)；(2)选择(1)中你写的一个命题，说明它的正确性．18. 如图，△ABC中，AB＝AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE.(1)求证：AD∥BC；(2)过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G.若AF＝4，求BC的长．19. (2019•苏州)如图，ABC △中，点E在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ． (1)求证：EF BC =；(2)若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．20. 如图所示，已知在△ABC中，AB=AC=10 cm ，BC=8 cm ，D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以3 cm/s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 以a cm/s 的速度运动，设运动的时间为t s(t>0). (1)求CP 的长(用含t 的式子表示);(2)若以C ，P ，Q 为顶点的三角形和以B ，D ，P 为顶点的三角形全等，且∠B 和∠C 是对应角，求a 的值.21. 如图，已知AP ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于点E ，过点E的直线分别交AP ，BC 于点D ，C .求证：AD ＋BC ＝AB .22. 如图①，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点． (1)观察猜想图①中，线段PM 与PN 的数量关系是________，位置关系是________； (2)探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由； (3)拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．2021中考数学 三轮专题突破：全等三角形-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】C[解析] ∵点P 在OC 上，PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，PM ＝PN ，∴OC 是∠AOB 的平分线．∵∠BOC ＝30°，∴∠AOB ＝60°.3. 【答案】C[解析] ①∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，∴∠CFB ＝∠BEC ＝90°.在Rt △BCF 和Rt △CBE 中，⎩⎨⎧CF ＝BE ，BC ＝CB ，∴Rt △BCF ≌Rt △CBE(HL)．②∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，∴∠AFC ＝∠AEB ＝90°.在△ABE 和△ACF 中，⎩⎨⎧∠AEB ＝∠AFC ，∠A ＝∠A ，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△ACF(AAS)． ③设BE 与CF 相交于点O. ∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ， ∴∠OFB ＝∠OEC ＝90°.∵△ABE ≌△ACF ，∴AB ＝AC ，AE ＝AF. ∴BF ＝CE.在△BOF 和△COE 中，⎩⎨⎧∠OFB ＝∠OEC ，∠BOF ＝∠COE ，BF ＝CE ，∴△BOF ≌△COE(AAS)．4. 【答案】A5. 【答案】C【解析】由题意可知，△ABD ≌△CBD ，△MON ≌△M ′ON ′，△DON ≌△BON ′，△DOM ≌△BOM ′共4对．6. 【答案】B [解析] ∵△AEC ≌△DFB ，∴AC=DB.∴AC-BC=DB-BC ，即AB=CD. ∵AD=37 cm ，BC=15 cm ， ∴AB==11(cm).7. 【答案】D[解析] ∵AB ⊥CD ，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ，∴∠CED ＝∠AFB ＝90°，∠A ＝∠C.又∵AB ＝CD ，∴△CED ≌△AFB.∴AF ＝CE ＝a ，DE ＝BF ＝b ，DF ＝DE －EF ＝b －c.∴AD ＝AF ＋DF ＝a ＋b －c.故选D.8. 【答案】B[解析] 如图，过点F 分别作FZ ⊥AE 于点Z ，FY ⊥CB 于点Y ，FW ⊥AB 于点W.∵AF 平分∠BAC ，FZ ⊥AE ，FW ⊥AB ， ∴FZ ＝FW.同理FW ＝FY . ∴FZ ＝FY .又∵FZ ⊥AE ，FY ⊥CB ， ∴∠FCZ ＝∠FCY .由∠AFB ＝40°，易得∠ACB ＝80°. ∴∠ZCY ＝100°.∴∠BCF ＝50°.二、填空题 9. 【答案】120° 【解析】由于△ABC ≌△A′B′C′，∴∠C ＝∠C′＝24°，在△ABC 中，∠B ＝180°－24°－36°＝120°.10. 【答案】答案不唯一，如BC ＝AD11. 【答案】AB ＝AC12. 【答案】2[解析] ∵CF ∥AB ，∴∠A ＝∠FCE.在△ADE 和△CFE 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠FCE ，∠AED ＝∠CEF ，DE ＝FE ，∴△ADE ≌△CFE(AAS)． ∴AD ＝CF ＝3.∴BD ＝AB －AD ＝5－3＝2.13. 【答案】20[解析] 由角平分线的性质可得CD ＝DE.易证Rt △ACD ≌Rt △AED ，则AC ＝AE ，DE ＋DB ＝CD ＋DB ＝BC ＝AC ＝AE ，故DE ＋DB ＋EB ＝AE ＋EB ＝AB.14. 【答案】3[解析] ∵∠ACB ＝90°，∴∠ECF ＋∠BCD ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠BCD ＋∠B ＝90°.∴∠ECF ＝∠B.在△ABC 和△FCE 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠ECF ，BC ＝CE ，∠ACB ＝∠FEC ，∴△ABC ≌△FCE(ASA)．∴AC ＝FE. ∵AE ＝AC －CE ，BC ＝2 cm ，EF ＝5 cm ， ∴AE ＝5－2＝3(cm)．15. 【答案】16[解析] ∵BF ∥AC ，∴∠EBF=∠EAD. 在△BFE 和△ADE 中，∴△BFE ≌△ADE (ASA).∴BF=AD.∴BF+FD+CD+BC=AD+CD+FD+BC=AC+BC+FD=11+FD. ∵当FD ⊥AC 时，FD 最短，此时FD=BC=5， ∴四边形FBCD 周长的最小值为5+11=16.16. 【答案】7[解析] 过点P 作PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥AB 于点G ，连接AP .∵△ABC 的两条外角平分线BP ，CP 相交于点P ，∴PF=PG=PE=2.∵S △BPC =2，∴BC ·2=2，解得BC=2.∵△ABC 的周长为11，∴AC+AB=11-2=9.∴S △ABC =S △ACP +S △ABP -S △BPC =AC ·PE+AB ·PG-S △BPC =×9×2-2=7.三、解答题17. 【答案】解：(1)如果①③，那么②；如果②③，那么①. (2)对于“如果①③，那么②”说明如下： 因为BE ∥AF ，所以∠AFD ＝∠BEC.在△ADF 和△BCE 中，⎩⎨⎧∠AFD ＝∠BEC ，∠A ＝∠B ，AD ＝BC ，所以△ADF ≌△BCE.所以DF ＝CE.所以DF －EF ＝CE －EF ，即DE ＝CF. 对于“如果②③，那么①”说明如下： 因为BE ∥AF ， 所以∠AFD ＝∠BEC. 因为DE ＝CF ，所以DE ＋EF ＝CF ＋EF ，即DF ＝CE. 在△ADF 和△BCE 中，⎩⎨⎧∠AFD ＝∠BEC ，∠A ＝∠B ，DF ＝CE ，所以△ADF ≌△BCE ， 所以AD ＝BC.18. 【答案】(1)证明：∵AB ＝AC ，AD 平分∠CAE ，∴∠B ＝∠ACB ，∠CAD ＝∠EAD ＝12∠CAE ， 又∵∠CAE ＝∠B ＋∠ACB ， ∴∠B ＝∠EAD ，(3分) ∴ AD ∥BC.(4分) (2)解：∵CG ⊥AD ， ∴∠CFA ＝∠GFA ＝90°， 在△ACF 和△AGF 中，⎩⎨⎧∠CFA ＝∠GFAAF ＝AF∠CAF ＝∠GAF， ∴△ACF ≌△AGF(ASA )， ∴AC ＝AG ，CF ＝GF ，(7分) 又∵AB ＝AC ， ∴AB ＝AG ，(9分)∴AF 是△BCG 的中位线， ∵AF ＝4，∴BC ＝2AF ＝8.(10分)19. 【答案】(1)∵CAF BAE ∠=∠， ∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△，∴EF BC =．(2)∵65AB AE ABC =∠=︒，，∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒，∴50FAG ∠=︒，∵BAC EAF △≌△，∴28F C ∠=∠=︒，∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．20. 【答案】解:(1)依题意得BP=3t cm ，BC=8 cm ，∴CP=(8-3t )cm .(2)∵∠B 和∠C 是对应角，∴分两种情况讨论:①若△BDP ≌△CPQ ，则BD=CP ，BP=CQ.∵AB=10 cm ，D 为AB 的中点，∴BD=5 cm .∴5=8-3t ，解得t=1.∴CQ=BP=3 cm .∴a==3.②若△BDP ≌△CQP ，则BD=CQ ，BP=CP .∵BP=3t cm ，CP=(8-3t )cm ， ∴3t=8-3t ，解得t=.∵BD=CQ ，∴5=a ，解得a=.综上所述，a 的值为3或.21. 【答案】证明：如图，在AB 上截取AF ＝AD ，连接EF.∵AE 平分∠PAB ，∴∠DAE ＝∠FAE.在△DAE 和△FAE 中，⎩⎨⎧AD ＝AF ，∠DAE ＝∠FAE ，AE ＝AE ，∴△DAE ≌△FAE(SAS)．∴∠AFE ＝∠ADE.∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＋∠C ＝180°.又∵∠AFE ＋∠EFB ＝180°，∴∠EFB ＝∠C.∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBF ＝∠EBC.在△BEF 和△BEC 中，⎩⎨⎧∠EFB ＝∠C ，∠EBF ＝∠EBC ，BE ＝BE ，∴△BEF ≌△BEC(AAS)．∴BF ＝BC.∴AD ＋BC ＝AF ＋BF ＝AB.22. 【答案】(1)PM ＝PN ，PM ⊥PN ；【解法提示】∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴BD ＝CE ，∵M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，∴PM //CE 且PM =12CE ，PN ∥BD 且PN =12BD ， ∴PM ＝PN ，∠DPM ＝∠DCE ，∠CNP ＝∠B ，∴∠DPN ＝∠PNC ＋∠PCN ＝∠B ＋∠PCN ，∵∠A ＝90°，∴∠B ＋∠ACB ＝90°，∴∠MPN ＝∠MPD ＋∠DPN ＝∠ACD ＋∠PCN ＋∠B ＝∠ACB ＋∠B ＝90°， ∴PM ⊥PN ；(2)△PMN 为等腰直角三角形．理由如下：由题可知△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝∠DAC＋∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，又∵M，P，N分别是DE，CD，BC的中点，∴PM是△CDE的中位线，∴PM∥CE且PM=12 CE，同理PN∥BD且PN=12 BD，∴PM＝PN，∴∠MPD＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE＝∠ACD＋∠ABD，∠DPN＝∠PNC＋∠PCN＝∠DBC＋∠PCN，∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ACD＋∠ABD＋∠DBC＋∠PCN＝∠ABC＋∠ACB＝90°，∴△PMN为等腰直角三角形；(3)49 2.【解法提示】∵△PMN为等腰直角三角形，∴S△PMN ＝12PM2，要使△PMN的面积最大，即PM最大，由(2)得，PM＝12CE，即当CE最大时，PM最大．如解图，当点C、E在点A异侧，且在同一条直线上时，CE最大，此时CE＝AE ＋AC＝AD＋AB＝14，解图∴PM＝12CE＝12×14＝7，故△PMN的最大面积为S△PMN ＝12×7×7＝492.。