中考数学总复习《第十八讲 二次函数的应用》基础演练 新人教版
2018年中考数学专题复习过关集训 函数图象性质题 类型二 二次函数性质综合题真题回顾 新人教版
类型二 二次函数性质综合题1. 如图，已知经过原点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1.下列结论中：①ab ＞0；②a ＋b ＋c ＞0；③当－2＜x ＜0时，y ＜0.正确的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个第1题图2. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①ac >0；②a －b ＋c <0；③当x <0时，y <0；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个大于－1的实数根．其中，错误的结论是( )A. ②③B. ②④C. ①③D. ①④第2题图3. 如图，垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C 1：y ＝x 2(x ≥0)和抛物线C 2：y ＝x 24(x ≥0)交于A ，B 两点，过点A 作CD ∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 2交于点C ，D ，过点B 作EF ∥x轴分别与y 轴和抛物线C 1交于点E ，F ，则S △OFBS △EAD的值为( ) A.26 B. 24 C. 14 D. 16第3题图答案1. D 【解析】逐个结论分析如下：综上所述，正确的结论有3个，故选D. 2. C 【解析】逐个结论分析如下： 综上所述，错误的结论为①③，故选C.3. D 【解析】设点A 的横坐标为a ，则A(a ，a 2)，B (a ，a 24)，C (0，a 2)，D (2a ，a 2)，∴OC＝a 2，AD ＝CD －AC ＝2a －a ＝a ，∵点E ，F ，B 的纵坐标相同，∴E (0，a 24)，F(a 2，a 24)，∴OE＝ a 24，BE ＝a ，EF ＝a 2，∴BF ＝BE －EF ＝a －a 2＝a 2，∴EC ＝OC －OE ＝a 2－a 24＝3a 24，∴S △OFBS △EAD＝12OE·BF 12EC·AD ＝12·a 24·a 212·3a 24·a ＝ 16.。
备考2022年中考数学一轮复习-函数_二次函数_二次函数的实际应用-几何问题-综合题专训及答案
备考2022年中考数学一轮复习-函数_二次函数_二次函数的实际应用-几何问题-综合题专训及答案二次函数的实际应用-几何问题综合题专训1、(2018长春.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G 2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y≤9时，直接写出L的取值范围．2、(2020余杭.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2分别交x 轴、y轴于点A、B.点C的坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C 两点且交y轴于点D.点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）.（1）求点A的坐标.（2）求抛物线的表达式.（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值.3、(2015宁德.中考真卷) 已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）（1）求抛物线的函数表达式.（2）求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数.（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P的坐标.4、(2014河南.中考真卷) 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P 的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、(2018东莞.中考模拟) 已知抛物线y= x2+1（如图所示）．（1）填空：抛物线的顶点坐标是（，），对称轴是；（2）如图1，已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x 轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；（3）如图，在第二问的基础上，在抛物线上有一点C（x，y），连接AC、OC、BC、PC，当△OAC的面积等于△BCP的面积时，求C的横坐标．6、(2018湛江.中考模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s．FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．（1）连结EF、DQ，若四边形EQDF为平行四边形，求t的值；（2）连结EP，设△EPC的面积为ycm2，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；（3）若△EPQ与△ADC相似，请直接写出t的值．7、(2017南山.中考模拟) 如图，抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD 于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．8、(2019贵港.中考模拟) 如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点.（1）求该抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由.（3）在（2）的条件下，点Q是线段OB上一动点，当△BPQ与△BAC相似时，求点Q的坐标.9、(2017贵港.中考真卷) 如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设S△BCD ：S△ABD=k，求k的值；（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．10、(2013遵义.中考真卷) 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；（3）以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．11、(2018乌鲁木齐.中考真卷) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点A（﹣2，0），B（8，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D．①是否存在点P，使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②当△PDC与△COA相似时，求点P的坐标．12、(2019兰州.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，二次函数y＝x2+bx﹣2的图象经过C 点.（1）求二次函数的解析式；（2）平移该二次函数图象的对称轴所在直线l，若直线l恰好将△ABC的面积分为1：2两部分，请求出此时直线l与x轴的交点坐标；（3）将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折180°，得到△AB′C，那么在二次函数图象上是否存在点P，使△PB′C是以B′C为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.13、(2020青浦.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，点A的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），联结PC．当∠PCB=∠ACB时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P关于x轴的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．14、(2020营口.中考模拟) 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点D.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.15、(2021中.中考模拟) 如图，已知边长为10的正方形是边上一动点（与不重合），连结是延长线上的点，过点E作的垂线交的角平分线于点F，若．（1）求证：；（2）若，求的面积；（3）请直接写出为何值时，的面积最大．二次函数的实际应用-几何问题综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
2022年中考数学专项复习(18)《二次函数的应用》练习 浙教版
二次函数的应用（18）一、解答题1．如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P 为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．2．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．4．如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．5．如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P 点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣2．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E 向上运动．设点P运动的时间为t秒．①当t为秒时，△PAD的周长最小？当t为秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C （0，1）．（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A 位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）b= ，点B的横坐标为（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=x2+bx+c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为（2，0）．当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得△PBC 的面积为S．①求S的取值范围；②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有个．10．抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．（1）求点B及点D的坐标．（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标．②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标．11．如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O 点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x 轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．13．如图，已知直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．（1）点C的坐标是线段AD的长等于；（2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x2+bx+c经过点C，M，求抛物线的解析式；（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由．14．已知抛物线y n=﹣（x﹣a n）2+a n（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜a n）与x轴的交点为A n﹣1（b n﹣1，0）和A n（b n，0），当n=1时，第1条抛物线y1=﹣（x﹣a1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推．（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为（，）；依此类推第n条抛物线y n的顶点坐标为（，）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是；（3）探究下列结论：①若用A n﹣1A n表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出A0A1的值，并求出A n﹣1A n；②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．15．如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．16．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA 面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，点P是直线l：y=﹣2x﹣2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A、B 两点．（1）若直线m的解析式为y=﹣x+，求A，B两点的坐标；（2）①若点P的坐标为（﹣2，t）．当PA=AB时，请直接写出点A的坐标；②试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得PA=AB成立．（3）设直线l交y轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．18．阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（x p，y p）．由x p﹣x1=x2﹣x p，得x p=，同理y p=，所以AB的中点坐标为．由勾股定理得AB2=，所以A、B两点间的距离公式为AB=．注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．解答下列问题：如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；（2）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．19．已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求D点的坐标；（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．20．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l 与x的函数关系式，并求出l的最大值．21．如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．22．如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（﹣2，0）和点C（0，﹣8）．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K 的坐标为；（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ 的面积为S．①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值．23．如图，已知抛物线y=2x2﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）写出以A，B，C为顶点的三角形面积；（2）过点E（0，6）且与x轴平行的直线l1与抛物线相交于M、N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点做平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P的坐标；（3）过点D（m，0）（其中m＞1）且与x轴垂直的直线l2上有一点Q（点Q在第一象限），使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长（用含m的代数式表示）．24．如图，已知：如图①，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止）；对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a（x﹣k）2+h（a＜0）始终经过点E，过E作EG∥OA交抛物线于点G，交AB于点F，连结DE、DF、AG、BG．设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，运动时间为t秒．（1）用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；（2）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？判断此时△AFG与△AGB是否相似，并说明理由；（3）当△ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式．25．在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P在AB上，PA=1，AO=2．经过原点的抛物线y=mx2﹣x+n的对称轴是直线x=2．（1）求出该抛物线的解析式．（2）如图1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O和C．现在利用图2进行如下探究：①将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OA、OC于点E、F，当点E和点A重合时停止旋转．请你观察、猜想，在这个过程中，的值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出的值．②设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M，在①的旋转过程中，是否存在点F，使△DMF为等腰三角形？若不存在，请说明理由．26．如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上．（1）求抛物线的解析式．（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标．（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）27．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（﹣1，﹣1﹣m）．（1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；（2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．28．如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．（1）求b的值；（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）求证：x1•OB+y2•OA=0．29．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．30．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．。
中考数学 考点系统复习 第三章 函数 第八节 二次函数的实际应用
(1)c的值为666 ； 【分层分析】 (1)根据起跳台的高度OA为66 m，即可得c＝6666；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝－
1 50
层分析】
(2)①由a＝－
1 50
，b＝
9 10
，知y＝－
1 50
x2＋
9 10
x＋66，根据基准点K到起跳
第八节 二次函数的实际 应用
命题点：二次函数的实际应用(近 6 年考查 14 次) 1. (2022·黔西南州第 17 题 3 分)如图是一名男生推铅球时，铅球行进 过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度 y(单位：m)与水平距离 x(单位：m)之间的关系是 y＝－112x2＋23x＋53，则 铅球推出的水平距离 OA 的长是 1100 m.
(3)物价部门规定该品牌贵州特产的销售单价不得高于 85 元/kg，公司想
获得不低于 2 000 元的周利润，销售单价的取值范围是多少？ 【分层分析】(3)令获得的周利润等于 2 000 元，列方程为－－22((xx－－8855))22
＋＋2 244505＝0＝2 000，结合 w 的函数图象可知 x 的取值范围为 700≤≤x≤x≤1001，00 再2结00合0物价部门规定该品牌贵州特产的销售单价不得高于 85 元/kg 即可
工人不会碰到头，理由： ∵小船距 O 点 0.4 m，小船宽 1.2 m，工人直立在小船中间，由题意得工 人距 O 点距离为
1 0．4＋2×1.2＝1(m)， ∴将 x＝1 代入 y＝－14x2＋2x，解得 y＝1.75 m， ∵1.75 m＞1.68 m， ∴此时工人不会碰到头．
重难点：二次函数的实际应用
2．(2022·铜仁第 23 题 12 分)为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作 社种植了“千亩桃园”.2022 年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调 查发现：当批发价为 4 千元/t 时，每天可售出 12 t，每吨涨 1 千元，每 天销量将减少 2 t，据测算，每吨平均投入成本 2 千元，为了抢占市场， 薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于 4 千元，不高于 5.5 千元．
人教版中考数学考点系统复习 第三章 函数 第八节 二次函数的实际应用
此类问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等．解决此类问 题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义．最高点为抛物线的顶 点，抛出点为抛物线中的 c 值，落地点为抛物线与 x 轴的交点，落地点 到抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值．
(1)抛球运动判断球是否过网即判断此点的坐标是否在抛物线上方；(2) 投篮判断是否能投中即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线上； (3)判断货车是否能通过隧道即判断两端点的坐标是否在抛物线的下方； (4)判断船是否能通过拱桥即判断船两端的高度是否比桥上对应点到水 面的距离小；(5)判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水的高度 是否比人的身高高．
Ⅱ)为庆祝节日，在钢缆和拱桥之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的
最小值． 【分层分析】Ⅱ)设彩带长度为 Lm，则 L＝y2－y1＝x182x2－x－＋x4＋4，所以当
x＝44时，L 有最小值为 22 m. m
解：设彩带的长度为 L m，则 L＝y2－y1＝112(x－6)2＋1－－214x2＝18x2－x＋4＝18(x－4)2＋2， ∴当 x＝4 时，L 最小值＝2， 答：彩带长度的最小值是 2 m.
【分层分析】(1)设 y 与 x 之间的函数解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，取表格 中任两组对应数据，用待定系数法解得 k＝－－22，b＝224400，因此 y 与 x 之间的函数解析式为 yy＝＝－－2x 2＋x＋240. 解：设 y 与 x 之间的函数24解0析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
将(56，128)和(65，110)分别代入，得 56k＋b＝128， k＝－2， 65k＋b＝110，解得b＝240， ∴y 与 x 之间的函数解析式为 y＝－2x＋240.
★(2022·南充)如图，水池中心点 O 处竖直安装一水管，水管喷头喷出 抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水 柱落点与点 O 在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高 2.5 m 时，水 柱落点距 O 点 2.5 m；喷头高 4 m 时，水柱落点距 O 点 3 m．那么喷头高 8 8 m 时，水柱落点距 O 点 4 m.
人教版中考数学一轮复习--二次函数的应用(精品课件)
∵A(1，0)，即二次函数图象的对称轴为直线x＝1，
∴x＝－2×b－14＝1，∴b＝12，
∴二次函数的解析式为 y＝－14x2＋12x＋3.
(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值.
解：过点D作x轴的垂线，垂足为E.
∵∠CAD＝90°，∴∠BAO＋∠DAE＝90°.
解：当m＝－2时，直线l2：y＝－2x＋n(n≠10)， ∴直线l2：y＝－2x＋n(n≠10)与直线l1：y＝－2x＋10不重合， 假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P(xP，yP)， ∴ yyPP＝ ＝－ －22xxPP＋ ＋n10，，解得n＝10. ∵n＝10与已知n≠10矛盾，∴l1与l2不相交，∴l2∥l1.
综上所述，当a≥50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1 250 m2； 当0＜a＜50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为 50a－12a2 m2.
考点3 销售问题 例4 某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过
程中发现，每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间存在 一次函数关系(其中10≤x≤21，且x为整数).当每瓶消毒 液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售 价为15元时，每天销售量为75瓶. (1)求y与x之间的函数关系式；
∴直线MN的解析式为y＝－x＋4，
由－x2＋2x＋3＝－x＋4 得，x＝3±2 5，
∴M 点横坐标为3＋2
5或3－2
5 .
例2 【2020福建节选14分】已知直线l1：y＝－2x＋10交y轴 于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交 x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任 意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2.
(通用版)2018年中考数学总复习 专题检测12 二次函数试题 (新版)新人教版
专题检测12 二次函数(时间60分钟满分100分)一、选择题(每小题3分,共36分)1.若函数y=a是二次函数且图象开口向上,则a=(B)A.-2B.4C.4或-2D.4或32.抛物线y=x2-6x+3的顶点坐标为(A)A.(3,-6)B.(3,12)C.(-3,-9)D.(-3,-6)3.在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为(D)4.直线y=x-2与抛物线y=x2-x的交点个数是(C)A.0B.1C.2D.互相重合的两个5.2根据表格提供的信息,下列说法错误的是(C)A.该抛物线的对称轴是直线x=-2B.该抛物线与y轴的交点坐标为(0,-2.5)C.b2-4ac=0D.若点A(0.5,y1)是该抛物线上一点,则y1<-2.56.喜迎圣诞,某商店销售一种进价为50元/件的商品,售价为60元/件,每星期可卖出200件,若每件商品的售价每上涨1元,则每星期就会少卖出10件.设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每星期销售该商品的利润为y元,则y与x的函数解析式为(A)A.y=-10x2+100x+2 000B.y=10x2+100x+2 000C.y=-10x2+200xD.y=-10x2-100x+2 000 〚导学号92034168〛7.抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有交点,则m的取值范围是(A)A.m≤2B.m<-2C.m>2D.0<m≤28.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象相交(如图),则不等式ax2+bx+c>的解集是(B)A.1<x<4或x<-2B.1<x<4或-2<x<0C.0<x<1或x>4或-2<x<0D.-2<x<1或x>-4 〚导学号92034169〛9.如图,O为坐标原点,边长为的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,将正方形OABC绕顶点O 顺时针旋转75°,使点B落在某抛物线的图象上,则该抛物线的解析式为(B)A.y=x2B.y=-x2C.y=-x2D.y=-3x210.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴相交于A,B两点,Q是二次函数y=ax2+bx+c图象上一点,且AQ⊥BQ,则a的值为(D)A.-B.-C.-1D.-211.在1~7月份,某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜,并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示,则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是(C)A.1月份B.2月份C.5月份D.7月份12.如图,对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,得出了下面五条信息:①c>0;②b=6a;③b2-4ac>0;④a+b+c<0;⑤对于图象上的两点(-6,m),(1,n),有m<n.其中正确的个数有(C)A.2B.3C.4D.5二、填空题(每小题4分,共32分)13.抛物线y=-ax2+2ax+3(a≠0)的对称轴是直线x=1.14.如图所示的四个二次函数的图象中,分别对应的是①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2,则a,b,c,d 的大小关系为a>b>d>c.15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,当x=2时,y的值为2.16.已知A(2,y1),B(3,y2)是抛物线y=-(x-1)2+的图象上两点,则y1>y2.(填不等号)17.如图,抛物线y=x2沿直线y=x向上平移个单位长度后,顶点在直线y=x上的M处,则平移后抛物线的解析式为y=(x-1)2+1.18.已知函数y=其图象如图中的实线部分,图象上两个最高点分别是A,B,连接AB,则图中曲四边形ABCO(阴影部分)的面积是2.19.某体育公园的圆形喷水池的水柱(如图1),如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流(如图2),其上的水珠的高度y(单位:米)关于水平距离x(单位:米)的函数解析式为y=-x2+4x+,那么圆形水池的半径至少为米时,才能使喷出的水流不落在水池外.20.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x-1交y轴于点A,过点A作AB∥x轴交抛物线于点B,点P在抛物线上,连接PA,PB,若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上,则△ABP的面积是2.三、解答题(共32分)21.(15分)如图,抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点,并与x轴交于点A(2,0).(1)求此抛物线的解析式;(2)求此抛物线顶点坐标及对称轴;(3)若抛物线上有一点B,且S△OAB=1,求点B的坐标.抛物线解析式为y=x(x-2),即y=x2-2x.(2)因为y=x2-2x=(x-1)2-1,所以抛物线的顶点坐标为(1,-1),对称轴为直线x=1.(3)设B(t,t2-2t),因为S△OAB=1,所以×2×|t2-2t|=1,所以t2-2t=1或t2-2t=-1,解方程t2-2t=1得t1=1+,t2=1-,则点B的坐标为(1+,1)或(1-,1);解方程t2-2t=-1得t1=t2=1,则点B的坐标为(1,-1),所以点B的坐标为(1+,1)或(1-,1)或(1,-1).〚导学号92034170〛22.(17分)某电子科技公司开发一种新产品,公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次.在1~12月份中,公司前x个月累计获得的总利润y(单位:万元)与销售时间x(单位:月)之间满足二次函数关系式y=a(x-h)2+k,其一部分图象如图所示,点A为抛物线的顶点,且点A,B,C的横坐标分别为4,10,12,点A,B的纵坐标分别为-16,20.(1)试确定函数解析式y=a(x-h)2+k;(2)分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润;(3)在前12个月中,哪个月该公司一个月内所获得的利润最多?最多利润是多少万元?根据题意可设y=a(x-4)2-16,当x=10时,y=20,所以a(10-4)2-16=20,解得a=1,所求函数解析式为y=(x-4)2-16.(2)当x=9时,y=(9-4)2-16=9,所以前9个月公司累计获得的利润为9万元.又由题意可知,当x=10时,y=20,而20-9=11,所以10月份一个月内获得的利润为11万元.(3)设在前12个月中,第n个月该公司一个月内所获得的利润为s万元.则有s=(n-4)2-16-[(n-1-4)2-16]=2n-9,因为s是关于n的一次函数,且2>0,所以s随着n的增大而增大,而n的最大值为12,所以当n=12时,s=15,所以12月份该公司一个月内所获得的利润最多,最多利润是15万元.。
2023年中考数学一轮复习课件：二次函数的实际应用
一、抛物线型问题
例1 教材原题 华师九下P30第1题如图，一个运动员推铅球，铅球在 点A处出手，出手时铅球离地面的高度约为1.6 m，铅球在点B处落地． 铅球在运动员前4 m处(即OC＝4)达到最高点，最高点离地面的高度为 3.2 m．已知铅球经过的路线是抛物线，试利用图示的平面直角坐标系 算出这个运动员的成绩．
线的解析式为y＝ax2＋c(a≠0)，把点B(4，0)，D(－3
，4)代入，
16a c 0 9a c 4
,
得
解得
a c
4 7
64 7
,
4
64
7
7
∴该抛物64线的解析式6为4 y＝－ x2＋ ，∴C(0，
7
7
).∴OC＝ m≈9.1 m.答：这个门洞的高度约为9.1 m.
第2题解图
提分要点
＝－120，∴B(－120，－90)，将
点B的坐标代入y＝ax2，得(－120)2a＝－90，
第1题图
1502 902
第1题解图
解得a＝－ 1 ，∴该抛物线的表达式为y＝－
160 1 160
x2(－120≤x≤0)；
第1题解图
(3)若该运动员在空中共飞行了4 s，求他飞行2 s后，垂直下降了多少m?
变式题 1. 将文字型改为图象型，列关系式求最值 某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本 为10万元/件．(1)如图，设第x(0＜x≤20)个生产周期设备售价z万元/件， z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式
(写出x的范围)； 解：(1)由题图可知，当0＜x≤12时，z＝16，当12＜ x≤20时，z是关于x的一次函数，
(通用版)2018年中考数学总复习 专题检测12 二次函数试题 新人教版 含答案
专题检测12 二次函数(时间60分钟满分100分)一、选择题(每小题3分,共36分)1.若函数y=a是二次函数且图象开口向上,则a=(B)A.-2B.4C.4或-2D.4或32.抛物线y=x2-6x+3的顶点坐标为(A)A.(3,-6)B.(3,12)C.(-3,-9)D.(-3,-6)3.在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为(D)4.直线y=x-2与抛物线y=x2-x的交点个数是(C)A.0B.1C.2D.互相重合的两个5.2根据表格提供的信息,下列说法错误的是(C)A.该抛物线的对称轴是直线x=-2B.该抛物线与y轴的交点坐标为(0,-2.5)C.b2-4ac=0D.若点A(0.5,y1)是该抛物线上一点,则y1<-2.56.喜迎圣诞,某商店销售一种进价为50元/件的商品,售价为60元/件,每星期可卖出200件,若每件商品的售价每上涨1元,则每星期就会少卖出10件.设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每星期销售该商品的利润为y元,则y与x的函数解析式为(A)A.y=-10x2+100x+2 000B.y=10x2+100x+2 000C.y=-10x2+200xD.y=-10x2-100x+2 000 〚导学号92034168〛7.抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有交点,则m的取值范围是(A)A.m≤2B.m<-2C.m>2D.0<m≤28.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象相交(如图),则不等式ax2+bx+c>的解集是(B)A.1<x<4或x<-2B.1<x<4或-2<x<0C.0<x<1或x>4或-2<x<0D.-2<x<1或x>-4 〚导学号92034169〛9.如图,O为坐标原点,边长为的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,将正方形OABC绕顶点O 顺时针旋转75°,使点B落在某抛物线的图象上,则该抛物线的解析式为(B)A.y=x2B.y=-x2C.y=-x2D.y=-3x210.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴相交于A,B两点,Q是二次函数y=ax2+bx+c图象上一点,且AQ⊥BQ,则a的值为(D)A.-B.-C.-1D.-211.在1~7月份,某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜,并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示,则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是(C)A.1月份B.2月份C.5月份D.7月份12.如图,对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,得出了下面五条信息:①c>0;②b=6a;③b2-4ac>0;④a+b+c<0;⑤对于图象上的两点(-6,m),(1,n),有m<n.其中正确的个数有(C)A.2B.3C.4D.5二、填空题(每小题4分,共32分)13.抛物线y=-ax2+2ax+3(a≠0)的对称轴是直线x=1.14.如图所示的四个二次函数的图象中,分别对应的是①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2,则a,b,c,d 的大小关系为a>b>d>c.15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,当x=2时,y的值为2.16.已知A(2,y1),B(3,y2)是抛物线y=-(x-1)2+的图象上两点,则y1>y2.(填不等号)17.如图,抛物线y=x2沿直线y=x向上平移个单位长度后,顶点在直线y=x上的M处,则平移后抛物线的解析式为y=(x-1)2+1.18.已知函数y=其图象如图中的实线部分,图象上两个最高点分别是A,B,连接AB,则图中曲四边形ABCO(阴影部分)的面积是2.19.某体育公园的圆形喷水池的水柱(如图1),如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流(如图2),其上的水珠的高度y(单位:米)关于水平距离x(单位:米)的函数解析式为y=-x2+4x+,那么圆形水池的半径至少为米时,才能使喷出的水流不落在水池外.。
18、十八天 二次函数的应用二(抛物线与几何图形问题)(测)
十八天二次函数的应用二(抛物线与几何图形问题)(测)一、期考典测——他山之石
1．(2020·江苏省初三期末)如图，已知二次函数243(0ymxmxmm的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，若CA平分OCB，则m的值为()
A．3B．2C．22D．33
2．(2018·浙江省初三期末)如图，点A为x轴上一点，点B的坐标为(a，b)，以OA，AB为边构造▱OABC，过点O，C，B的抛物线与x轴交于点D，连结CD，交边AB于点E，若AE＝BE，则点C的横坐标为()
A．a﹣bB．2bC．3aD．4
a
3．(2019·全国初三专题练习)已知抛物线31ykxx
k
与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，则
能使ABC为等腰三角形的抛物线的条数是().A．2B．3C．4D．5
4．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-2，0)、B(1，0)，直线x=12与此抛物线交于点C，
与x轴交于点M，在直线上取点D，使MD=MC，连接AC，BC，AD，BD，某同学根据图象写出下列结论：①a-b=0；②当x＜12时，y随x增大而增大；③四边形ACBD是菱形；④9a-3b+c＞0．你认为其中正确的是()A．②③④B．①②③C．①③④D．①②③④5．(2019·白杨坪乡初级中学初三期末)正方形A1B1C2C1，A2B2C3C2，A3B3C4C3按如图所示的方式放置，点A1、A2、A3和点C1、C2、C3、C4分别在抛物线y＝x2和y轴上，若点C1(0，1)，则正方形A3B3C4C3的面积是________．
6．(2020·山东省初三期末)如图，抛物线y＝x2
在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)
依次为A1，A2，A3…An，将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3
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《第十八讲 二次函数的应用》基础演练
【基础演练】
1．(2012·西宁)某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以
水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，
水在空中划出的曲线是抛物线y＝
－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是
( )
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
解析 4ac－b24a＝－424×（－1）＝4，所以水喷出的最大高度是4米．
答案 A
2．(2012·滁州)西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水
的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为12米，在如图所示
的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是
( )
A．y＝－x－122＋3 B．y＝－3x＋122＋3
C．y＝－12x－122＋3 D．y＝－12x＋122＋3
解析 ∵一支喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米，∴顶点坐标为
1
2
，3
，
设抛物线的解析式为y＝ax－122＋3，
而抛物线还经过(0，0)，
∴0＝a122＋3，∴a＝－12，
∴抛物线的解析式为y＝－12x－122＋3.
答案 C
3．(2012·河北)竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时
间t(s)的函数表达式为h＝at2＋bt，其图象如图所示，
若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时
刻中小球的高度最高的是( )
A．第3秒 B．第3.5秒
C．第4.2秒 D．第6.5秒
解析 由题意可知：h(2)＝h(6)，
即4a＋2b＝36a＋6b，
解得b＝－8a，
函数h＝at2＋bt的对称轴t＝－b2a＝4，
故在t＝4 s时，小球的高度最高，
题中给的四个数据只有C第4.2秒最接近4秒，
故在第4.2秒时小球最高．
答案 C
4．(2012·北海)为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长
为100 m，则池底的最大面积是 ( )
A．600 m2 B．625 m2 C．650 m2 D．675 m2
解析 设矩形的一边长为x m，则其邻边为(50－x)，若面积为S，则
S＝x(50－x)＝－x2＋50x＝－(x
－25)2＋625.
∵－1<0，∴S有最大值．
当x＝25时，最大值为625.
答案 B
5．(2012·绍兴)教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距
离x(m)之间的关系为y＝－112(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是________m.
解析 令函数式y＝－112(x－4)2＋3中，y＝0，
0＝－112(x－4)2＋3，
解得x1＝10，x2＝－2(舍去)，
即铅球推出的距离是10 m.
答案 10
6．(2012·济宁)一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销
售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，
每件需降价的钱数为 ( )
A．5元 B．10元
C．0元 D．3 600元
解析 设每件需降价的钱数为x元，每天获利y元，则
y＝(135－x－100)(100＋4x
)
即：y＝－4(x－5)2＋3 600
∵－4<0，∴当x＝5元时，每天获得的利润最大．
答案 A
7．(2012·襄阳)某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)之间的
函数关系式是y＝60x－1.5x2，该型号飞机着陆后滑行________m才能停下来．
解析 ∵－1.5<0，∴函数有最大值．
∴S最大值＝－6024×（－1.5）＝600，
即飞机着陆后滑行600米才能停止．
答案 600
8．(2012·莆田)如图，某种新型导弹从地面发射点L处发射，在初始竖
直加速飞行阶段，导弹上升的高度y(km)与飞行时间x(s)之间的关系
式为y＝118x2＋16x(0≤x≤10)．发射3 s后，导弹到达A点，此时位于与L同一水面的
R处雷达站测得AR的距离是2 km，再过3 s后，导弹到达B
点．
(1)求发射点L与雷达站R之间的距离；
(2)当导弹到达B点时，求雷达站测得的仰角(即∠BRL)的正切值．
解 (1)把x＝3代入y＝118x2＋16x，
得y＝1，即AL＝1
在Rt△ARL中，AR＝2，
∴LR＝ AR2－AL2＝ 3.
(2)把x＝3＋3＝6代入y＝118x2＋16x，得y＝3，即BL＝3.
∴tan ∠BRL＝BLLR＝33＝ 3.
答 (1)发射点L与雷达站R之间的距离为3 km
(2)雷达站测得的仰角的正切值为3.
【能力提升】
9．(2012·日照)如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P、Q分别从A、B同
时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以
每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2)．
(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)由(1)知，y＝－x2＋9x，∴y＝－x－922＋814， (1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)求△PBQ的面积的最大值．
解 (1)∵S△PBQ＝12PB·BQ，PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x，
∴y＝12(18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0
∵当0
10．(2012·安徽)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处
发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)
2
＋h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离
为18 m.
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
解 (1)∵h＝2.6，球从O点正上方2 m的A处发出，
∴y＝a(x－6)2＋h过(0，2)点，
∴2＝a(0－6)2＋2.6，解得：a＝－160，
所以y与x的关系式为：y＝－160(x－6)2＋2.6.
(2)当x＝9时，y＝－160(x－6)2＋2.6＝2.45>2.43，所以球能过网；
当y＝0时，－160(x－6)2＋2.6＝0，
解得：x1＝6＋2 39>18，x2＝6－2 39(舍去)，
所以会出界．