菱形的性质和判定(含解析)

菱形的性质和判定
一、选择题
1、如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点,BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（ )
A 。

5
B 。

7
C .8
D .
二、解答题
2、如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O,DE//AC，CE//BD，
求证：OE=BC
3、如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△的位置，AB与相交于点D，AC与、分别交于点E、F．
（1）求证：△BCF≌△．
(2）当∠C=α度时，判定四边形的形状并说明理由．
4、如图,矩形ABCD 中,对角线AC 的垂直平分线交AD 、BC 于点E 、F,AC 与EF 交于点O ，连结AF 、CE ．
（1）求证：四边形AFCE 是菱形；
（2）若AB=3,AD=4，求菱形AFCE 的边长。

5、如图，CD 是△ABC 的中线，点E 是AF 的中点，CF∥AB． （1)求证：CF=AD ；
（2）若∠ACB=90°,试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由．
6、如图,将矩形A 1B 1C 1D 1沿EF 折叠,使B 1点落在A 1D 1边上的B 点处；再将矩形A 1B 1C 1D 1沿BG 折叠，使D 1点落在D 点处且BD 过F 点．
（1)求证：四边形BEFG 是平行四边形；
(2）当∠B 1FE 是多少度时,四边形BEFG 为菱形？试说明理由．
菱形的性质和判定的答案和解析
一、选择题
1、答案：
B
试题分析：
作CH⊥AB于H，如图，根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形,则CH=AB=4，
AH=BH=4，再利用勾股定理计算出CP=7，再根据折叠的性质得点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A′在PC上时，CA′的值最小，然后证明CQ=CP即可。

解：作CH⊥AB于H，如图，
∵菱形ABCD的边AB=8,∠B=60°,
∴△ABC为等边三角形，
∴CH=AB=4，AH=BH=4，
∵PB=3,
∴HP=1，
在Rt△CHP中，CP= =7，
∵梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A′，
∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，
∴当点A′在PC上时,CA′的值最小，
∴∠APQ=∠CPQ，
而CD∥AB，
∴∠APQ=∠CQP，
∴∠CQP=∠CPQ，
∴CQ=CP=7．
故选：B．
二、解答题
2、答案：
证明见解析
试题分析：
先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明OCED 是矩形，利用勾股定理即可求出BC=OE．
证明：∵DE∥AC，CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴DE=OC，
∵OB=OD，∠BOC=∠ODE=90°，
∴BC===OE
3、答案：
（1)见解答过程
(2)见解答过程
试题分析:
（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质得到=AB=BC，
∠A=∠=∠C，∠BD=∠，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△
（2)由旋转的性质得到∠=∠A,根据平角的定义得到∠DEC=180°-α，根据四边形的内角和得到∠ABC=360°—∠—∠C—∠=180°-α，证的四边形是平行四边形，由于=BC，即可得到四边形是菱形。

解：（1）证明：∵△ABC是等腰三角形
∴AB=BC，∠A=∠C
∵等腰三角形ABC绕点B逆时针旋转α°到△的位置
∴=AB=BC,∠A=∠=∠C,∠=∠
在△BCF和△D中
∴△BCF≌△
(2）四边形是菱形
等腰三角形ABC绕点B逆时针旋转α°到△的位置,
∴∠ =∠A,
∵∠ADE=∠
∴∠=∠AED=α°
∴∠DEC=180°—α°
∵∠C=α
∴∠=α°
∴∠ABC=360°—∠ -∠C-∠ =180°—α°，
∴∠=∠C，∠=∠AEC
∴四边形BCE是平行四边形
∴=BC
∴四边形是菱形。

4、答案：
（1）见解析
（2）
试题分析：
（1）由矩形的性质得出AD∥B C，∠EAO=∠FCO,证明△AEO≌△CFO，得出AE=CF,证出四边形AFCE是平行四边形，再由对角线AC⊥EF，即可得出结论；
(2)设AF=CF=x，则BF=4—x,在Rt△ABF中，根据勾股定理得出方程，解方程即可。

(1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO=CO,∠EOA=∠FOC=90°,
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA)，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形,
又∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形;
（2）解：∵四边形AFCE是菱形,
∴AF=CF，
设AF=CF=x，则BF=4-x，
在Rt△ABF中，=+,
即=+，
解得 x=，
∴菱形AFCE的边长为．
5、答案:
试题分析：(1)根据中点的性质，可得AE与EF的关系,根据平行的性质，可得内错角相等，根据全等三角形的判定与性质，可得CF与DA的关系，根据等量代换,可得答案；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形BFCD的形状,根据直角三角形的性质，可得BD=CD,根据菱形的判定，可得答案;
试题解析：（1）证明∵AE是DC边上的中线，
∴AE=FE,
∵CF∥AB,
∴∠ADE=∠CFE，∠DAE=∠CFE．
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴CF=DA．
（2）∵CD是△ABC的中线,
∴D是AB的中点，
∴AD=BD,
∵△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，
∴BD=CF,
∵AB∥CF，
∴BD∥CF，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴△ACB是直角三角形,
∴CD=AB,
∵BD=AB,。