(完整版)2013年高考江苏数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学Ⅰ
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上......... (1)【2014年江苏,1,5分】函数3sin(2)4
y x π
=-的最小正周期为_______.
【答案】π
【解析】函数π3sin 24y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
的最小正周期2ππ2T ==.
(2)【2014年江苏,2,5分】设2(2i)z =-(i 为虚数单位),则复数z 的模为_______. 【答案】5
【解析】(
)2
22i 44i i 3i 54z =--+-====.
(3)【2014年江苏,3,5分】双曲线22
1169
x y -=的两条渐近线的方程为_______.
【答案】3
4
y x =±
【解析】由题意可知所求双曲线的渐近线方程为3
4
y x =±.
(4)【2014年江苏,4,5分】集合{}1,0,1-共有 _______个子集. 【答案】8
【解析】由于集合{}1,0,1-有3个元素,故其子集个数为328=.
(5)【2014年江苏,5,5分】右图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是_______. 【答案】3
【解析】第一次循环后:82a n ←←,;第二次循环后:263a n ←←,;由于2620>,跳出循环,
输出3n =.
(6)【
的那位运动员成绩的方差为 .【答案】2
【解析】由题中数据可得=90x 甲,=90x 乙.()()()()()22
222287909190909089909015394s -+-+-⎡⎤=⎣
+-+-⎦=甲,
(
)()()()()22222289909090919088909015292s -+-+-⎡⎤=⎣
+-+-⎦=乙,由22
>s s 甲乙,可知乙运动员成绩稳
定.故应填2.
(7)【2014年江苏,7,5分】现有某类病毒记作m n X Y ,其中正整数,(7,9)m n m n ≤≤可以任意选取,则,m n 都
取到奇数的概率为________.
【答案】20
63
【解析】由题意知m 的可能取值为1,2,3,…,7;n 的可能取值为1,2,3,…,9.由于是任取m ,n :若1
m =时,n 可取1,2,3,…,9,共9种情况;同理m 取2,3,…,7时,n 也各有9种情况,故m ,n 的取值情况共有7963⨯=种.若m ,n 都取奇数,则m 的取值为1,3,5,7,n 的取值为1,3,5,7,9,
因此满足条件的情形有4×5=20种.故所求概率为20
63
.
(8)【2014年江苏,8,5分】如图,在三棱柱111A B C ABC -中,,,D E F 分别是1,,AB AC AA 的中点,设三棱锥F ADE -的体积为1V ,三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ,则12:V V =_______. 【答案】1:24
【解析】由题意可知点F 到面ABC 的距离与点1A 到面ABC 的距离之比为1:2,1:4ADE ABC S S =V V :.
因此121
31:242AED ABC
AF S AF S V V ∆∆=⋅=⋅:. (9)【2014年江苏,9,5分】抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和
边界).若点(,)P x y 是区域D 内的任意一点,则2x y +的取值范围是________.
【答案】12,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【解析】由题意可知抛物线2y x =在1x =处的切线方程为21y x =-.该切线与两坐标轴围成的区域
如图中阴影部分所示:当直线20x y +=平移到过点1,02A ⎛⎫
⎪⎝⎭
时,2x y +取得最大值12.
当直线20x y +=平移到过点1(0)B -,时,2x y +取得最小值2-. 因此所求的2x y +的取值范围为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.
(10)【2014年江苏,10,5分】设,D E 分别是ABC ∆的边,AB BC 上的点,12AD AB =,2
3
BE BC =,若
12DE AB AC λλ=+u u u r u u u r
(12,λλ为实数),则12λλ+的值为________. 【答案】1
2
【解析】由题意作图如图.∵在ABC ∆中,1223DE DB BE AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 12()23
AB AC AB =+-u u u r u u u r u u u r
121263AB AC AB AC λλ=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r ,∴116λ=-,223λ=.故1212
λλ+=.
(11)【2014年江苏,11,5分】已知()f x 是定义在R 上的奇函数.当0x >时,2()4f x x x =-,则不等式()f x x >
的解集用区间表示为________. 【答案】5,0)5()(∞U -,+
【解析】∵函数()f x 为奇函数,且0x >时,()24f x x x =-,则()22400040f x x x x x x x x =⎧->⎪
=⎨⎪--<⎩
∴原不等式等价于
20
4x x x x >⎧⎨->⎩
或2
04x x x x <⎧⎨-->⎩,由此可解得5x >或50x -<<. (12)【2014年江苏,12,5分】在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为22
221(0,0)x y a b a b
+=>>,右焦
点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d .
若21d =,则椭圆的离心率为________.
【解析】设椭圆C 的半焦距为c ,由题意可设直线BF 的方程为
=1x y
c b
+,即0bx cy bc +-=.
于是可知
1bc d a ==,2222
2a a c b d c c c c -=-==.∵21d =,∴2b c =,即2ab =.
∴()22246a a c c -=.∴42610e e +-=.∴21
3
e =
.∴e
(13)【2014年江苏,13,5分】平面直角坐标系xOy 中,设定点(,)A a a ,P 是函数1
(0)y x x
=>图像上一动点,
若点,P A 之间最短距离为a 的所有值为________.
【答案】1-【解析】设P 点的坐标为1,x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
,则2222
22111()=2=2x a a x a x a x x A x P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=.令12t x x =+≥,
则()()2222222222PA t at a t a a t =-+-=-+-≥.结合题意可知(1)当2a ≤,2t =时,2
PA 取得最小 值.此时()2
2228a a -+-=,解得1a =-,3a =(舍去).(2)当2a >,t a =时,2
PA 取得最小值.
此时228a -=,解得a =a =(舍去).故满足条件的实数a 1-.
(14)【2014年江苏,14,5分】在正项等比数列{}n a 中,512
a =,673a a +=.则满足123123......n n a a a a a a a a ++++>的最大正整数n 的值为_______. 【答案】12
【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ,则由()26753a a a q q +=+=可得2q =,于是62n n a -=,
则1251
(12)
13221232n n n a a a --=-+=-++⋯.∵51
2
a =,2q =,∴61a =, 111210261a a a a a ==⋯==.
∴12111a a a ⋯=.当n 取12时,761212121112121
322
2a a a a a a a a ++⋯+=->⋯==成立;当n 取13时,
867131213121112131213221
32
·22a a a a a a a a a a ++⋯+=-⋯===<.
当13n >时,随着n 增大12n a a a ++⋯+将恒小于12n a a a ⋯.因此所求n 的最大值为12.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内........作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)【2014年江苏,15,14分】已知()cos sin a αα=,r ,()cos sin b ββ=,r
,0βαπ<<<.
(1)若a b -=r r a b ⊥r r
;
(2)设()01c ,=r ,若a b c +=r r r ,求α,β的值.
解:(1)解法一:
由||a b -=r r 22||()2a b a b -=-=r r r r ,即2222a a b b -⋅+=r r r r .又222
2||||1a b a b ====r r r u u r ,
所以222a b -⋅=,0a b ⋅=r r ,故a b ⊥r r . 解法二:
(cos cos ,sin sin )a b αβαβ-=--r r ,由||a b -=r r
22||()2a b a b -=-=r r r r , 即:22(cos cos )(sin sin )2αβαβ-+-=,化简,得:2(cos cos sin sin )0αβαβ+-=, cos cos sin sin 0a b αβαβ⋅=+-=r r ,所以a b ⊥r r . (2)(cos cos ,sin sin )a b αβαβ+=++r r ,可得:cos cos 0(1)sin sin 1(2)αβαβ+=⎧⎨+=⎩
L L L L
解法一:
AS AB =.过A 作AF SB ⊥,垂足为F ,点E ,G 分别是侧棱SA ,SC 的中点.求证:
(1)平面EFG //平面ABC ; (2)BC SA ⊥. 解:(1)因为AS AB =,AF SB ⊥于F ,所以F 是SB 的中点.又E 是SA 的中点,所以//EF AB .
因为EF ⊄平面ABC ,AB ⊂平面ABC ,所以//EF 平面ABC .同理可证//EG 平面ABC .
又EF EG E =I ,所以平面//EFG 平面ABC .
(2)因为平面SAB ⊥平面SBC 于SB ,又AF ⊂平面SAB ,AF SB ⊥,所以AF ⊥平面SBC .
因为BC ⊂平面SBC ,所以AF BC ⊥.又因为AB BC
⊥,AF AB A =I ,AF AB ⊂、平面SAB ,
所以BC ⊥平面SAB .又因为SA ⊂平面SAB ,所以BC SA ⊥.
(17)【2014年江苏,17,14分】如图,在平面直角坐标系xOy 中,点()03A ,,直线24l y x =-:.设圆的半径为1,圆心在l 上.
(1)若圆心C 也在直线1y x =-上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M ,使2MA MO =,求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 解:(1)由题设,圆心C 是直线24y x =-
和1y x =-的交点,解得点2(3)C ,,于是切线的斜率必存在.
设过3(0)A ,的圆C 的切线方程为3y kx =+1=,解得0k =或3
4-, 故所求切线方程为3y =或34120x y +-=.
(2)因为圆心在直线24y x =-上,所以圆C 的方程为()()2
2221x a y a -+--⎤⎣⎦
=⎡.设点()M x y ,, 因为2MA MO =22230x y y ++-=,即()2
214x y ++=, 所以点M 在以1(0)D -,为圆心,2为半径的圆上.由题意,点()M x y ,在圆C 上,所以圆C 与圆D 有 公共点,则2121CD -≤≤+,即13≤.由251280a a -+≥,得R a ∈;
由25120a a -≤,得0125a ≤≤
.所以点C 的横坐标a 的取值范围为120,5⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. (18)【2014年江苏,18,16分】如图,游客从某旅游景区的景点处下山至C 处有两种路径. 一
种是从沿A 直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到 C .现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50m/min .在甲出发2min 后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1min 后,再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线
运动的速度为130m/min ,山路AC 长为1260m ,经测量,12
cos 13
A =
,3cos 5C =.
(1)求索道AB 的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?.
解:(1)在ABC ∆中,因为3os 1c 12A =,cos 35C =,所以sin 513
A =,sin 4
5C =.
从而()()sin sin sin sin cos cos sin 5312463
13513565
B A
C A C A C A C π=-+=+=+⨯⨯⨯==⎡⎤⎣⎦. 由正弦定理sin sin AB AC
C B
=
,得12604sin 104063sin 565
AC AB C B =⨯=⨯=.所以索道AB 的长为1040 m . (2)假设乙出发t min 后,甲、乙两游客距离为d ,此时,甲行走了()10050 m t +,乙距离A 处130m t ,
所以由余弦定理得()()()()2
2
2212
1005013021301005020037705013
d t t t t t t =++-⨯⨯+⨯=-+, 因10430001t ≤≤
,即08t ≤≤,故当35
37
t =(min)时,甲、乙两游客距离最短. (3)由正弦定理sin sin BC AC
A B
=
,得12605sin 500m 63sin 1365
AC BC A B =⨯=⨯=. 乙从B 出发时,甲已走了()50281550⨯++=(m),还需走710 m 才能到达C .
设乙步行的速度为v m/min ,由题意得5007103350v -≤
-≤,解得1250625
4314
v ≤≤
,所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ,乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
(单位:m/min)范围内. (19)【2014年江苏,19,16分】设{}n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列()0d ≠,n S 是其前n 项和.
记2n n nS
b n c
=+,N n *∈,其中c 为实数.
(1)若0c =,且1b ,2b ,4b 成等比数列,证明:()2N nk k S n S k,n *=∈;
(2)若{}n b 是等差数列,证明:0c =. 解:由题设,(1)
2
n n n S na d -=+
. (1)由0c =,得12n n S n b a d n -==+.
又因为124b b b ,,成等比数列,所以1224b b b =,即2
3=22d a a a d ⎛⎫⎛
⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭, 化简得220d ad -=.因为0d ≠,所以2d a =.因此,对于所有的*N m ∈,有2m S m a =.
从而对于所有的k ,*N n ∈,有()2
222nk k S nk a n k a n S ===. (2)设数列{}n b 的公差是1d ,则()111n b b n d =+-,即
()112
1n
b n nS n c
d =+-+,*N n ∈,代入n S 的表达式,整理 得,对于所有的*N n ∈,有()111321111122d d n b d a d n cd n c d b ⎛⎫⎛
⎫-+--++ ⎪ =⎪⎭⎭-⎝⎝
.
令112A d d =-,111
2
B d d b a =--+,()11D c d b =-,则对于所有的*N n ∈,有321An Bn cd n D ++=.(*)
在(*)式中分别取12
34n =,,,,得1111842279364164A B cd A B cd A B cd A B cd ++=++=++=++, 从而有11173019502150A B cd A B cd A B cd ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
①
②③
,由②,③得0A =,15cd B =-,代入方程①,得0B =,从而10cd =.
即1102d d -=,11102b d a d -+=-=0,10cd =.若d 1=0,则由11
02
d d -=,得0d =,与题设矛盾,
所以10d ≠.又因为10cd =,所以0c =.
(20)【2014年江苏,20,16分】设函数()ln f x x ax =-,()x g x e ax =-,其中a 为实数. (1)若()f x 在()1,+∞上是单调减函数,且()g x 在()1,+∞上有最小值,求a 的范围; (2)若()g x 在()1,-+∞上是单调增函数,试求()f x 的零点个数,并证明你的结论. 解:(1)令f ′(x )=()110ax
f x a x x
-'=
-=<,
考虑到()f x 的定义域为(0)+∞,,故0a >,进而解得1x a ->,即()f x 在1()a -+∞,上是单调减函数.同理,()f x 在1(0)a -,上是单调增函数.由于()f x 在(1)+∞,上是单调减函数,故1()(1)a -∞∞⊆++,
,,从而11a -≤,即1a ≥.令()0x g x e a '=-=,得ln x a =.当ln x a <时,()0g x '<;当ln x a >时,()0g x '>.又()g x 在(1)+∞,上有最小值,所以ln 1a >,即a e >.
综上,有()a e ∈+∞,.
(2)当0a ≤时,()g x 必为单调增函数;当0a >时,令()0x g x e a '=->,解得x a e <,即ln x a >.
因为()g x 在()1-+∞,上是单调增函数,
类似(1)有ln 1a ≤-,即10a e -<≤.结合上述两种情况,有1a e -≤. ①当0a =时,由()10f =以及()1
0f x x
'=
>,得()f x 存在唯一的零点; ②当0a <时,由于()()10a a a f e a ae a e =-=-<,()10f a =->,且函数()f x 在[1]a e ,上的图象不间断, 所以()f x 在(1)a e ,
上存在零点.另外,当0x >时,()1
0f x a x
'=->,故()f x 在(0)+∞,
上是单调增 函数,所以f (x )只有一个零点.
③当10a e -<≤时,令()1
0f x a x
'=-=,解得1x a -=.当10x a -<<时,()0f x '>,当1x a ->时,()0f x '<,
所以,1
x a -=是()f x 的最大值点,且最大值为()1ln 1f a a -=--.当ln 10a --=,即1a e -=时,()f x 有一个零点x e =.当ln 10a -->,即10a e -<<时,()f x 有两个零点.实际上,对于10a e -<<,由于()1110f e ae --=--<,()10f a ->,且函数()f x 在11[]e a --,上的图象不间断,所以()f x 在
11()e a --,上存在零点.另外,当1()0x a -∈,时, ()1
0a x
f x =
->',故()f x 在1(0)a -,上是单调增函数,所以()f x 在1
(0)a -,上只有一个零点.下面考虑()f x 在1()a -+∞,上的情况.先证()()1210a a f e a a e ---=-<.
为此,我们要证明:当x e >时,2x e x >.设()2x h x e x =-,则()2x h x e x '=-,再设()()2x l x h x e x ='=-,则()2x l x e '=-.当1x >时,()220x l x e e '=->->,所以()()l x h x ='在(1)+∞,上是单调增函数.故当2x >时,()()22240x h x e x h e '=->'=->,从而()h x 在(2)+∞,
上是单调增函数,进而当x e >时,()()220x e h x e x h e e e =->=->.即当x e >时,2x e x >.当10a e -<<,即1a e ->时,()()111210a a a f e a ae a a e -----=-=-<,又()10f a ->,且函数()f x 在11[]a a e --,上的图象不间断,所以()f x 在11()a a e --,上存在零点.又当1x a ->时,()0f x a '=-<,故()f x 在(a -1,+∞)上是单调减函数,所以f (x )在(a -1,+∞)上只有一个零点.
综合①,②,③,当0a ≤或1a e -=时,()f x 的零点个数为1,当10a e -<<时,()f x 的零点个数为2.
数学Ⅱ
【选做】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题......,并在相应的答题区域内作答............,若多做,则按作答 的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (21-A )【2014年江苏,21-A ,10分】(选修4-1:几何证明选讲)如图,AB 和BC 分
别与圆O 相切于点D C AC 、,经过圆心O ,且2BC OC =.求证:2AC AD =.
解:连结OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C ,所以90ADO ACB ∠=∠=︒.
又因为A A ∠=∠,所以Rt Rt ADO ACB ∆∆∽.所以BC AC
OD AD
=
. 又22BC OC OD ==,故2AC AD =. (21-B )【2014年江苏,21-B ,10分】(选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵
1012,0206-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
A B ,求矩阵1-A B . 解:设矩阵A 的逆矩阵为 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
,则 1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦,即 2 2a b c d --⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1 00 1⎡⎤⎢⎥
⎣⎦,故100a b c =-==,,,1
2d =,从而A 的逆矩阵为1 1 010 2--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=A ,所以1 1 010 2--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣=⎦
A B 1 2
0 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦= 1 20 3--⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. (21-C )【2014年江苏,21-C ,10分】(选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xoy 中,直线l 的参数方程为1
2x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数).试求直线l 和曲线C 的普通方程,
并求出它们的公共点的坐标.
解:因为直线l 的参数方程为1
2x t y t =+⎧⎨=⎩
(t 为参数),由1x t =+得1t x =-,代入2y t =,得到直线l 的普通方程为
220x y --=.同理得到曲线C 的普通方程为22y x =.联立2212y x y x =(-)⎧⎨=⎩
,解得公共点的坐标为(2)2,,1,12⎛⎫
- ⎪⎝⎭. (21-D )【2014年江苏,21-D ,10分】(选修4-4:不等式选讲)已知0a b ≥>,求证:332222a b ab a b -≥-. 解:()()()()()()()()332222222222222a b ab a b a a b b a b a b a b a b a b a b ---=-+-=-+=-++.
因为0a b ≥>,所以0a b -≥,0a b +>,20a b +>,从而()()()20a b a b a b -++≥,即332222a b ab a b -≥-. 【必做】第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题卡的指定区域内...........
. (22)【2014年江苏,22,10分】如图,在直三棱柱111A B C ABC -中,AB AC ⊥,2AB AC ==,14AA =,点D 是BC 的中点.
(1)求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值;
(2)求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值. 解:(1)以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,则()000A ,,,()200B ,,,()020C ,,
()110D ,,,14(0)0A ,
,,14(0)2C ,,,所以1(20)4A B =-u u u r ,,,1(11)4C D =--u u u u r
,,.
因为111111cos ,A B C D A B C D A B C D
⋅==
=u u u r u u u u r
u u u r u u u u r u u u r u u u u r ,所以异面直线1A B 与1C D
. (2)设平面1ADC 的法向量为1()n x y z =r ,,,因为(1)10AD =u u u r ,,,10()24AC =u u u u r ,,,所以10n AD ⋅=u u r u u u r
,
110n AC ⋅=u u r u u u u r ,即0x y +=且20y z +=,取1z =,得2x =,2y =-,所以,12()21n =-u u r
,,是
平面1ADC 的一个法向量.取平面1AA B 的一个法向量为2(010)n =u u r
,
,,设平面1ADC 与平面 1ABA 所成二面角的大小为θ
.由12122||||s 3co θ⋅==
=n n n n
,得sin θ=.
因此,平面1ADC 与平面1ABA
.
(1)求11中元素个数; (2)求集合2000P 中元素个数.
解:(1)由数列{}n a 的定义得123456789101223334444a a a a a a a a a a ==-=-====-=-=-=-,,,,,,,,,,,
115a =,1234567891011113036226105S S S S S S S S S S S ∴==-=-=====-=-=-=-,,,,,,,,,,,
从而11445566111102S a S a S a S a S a ==⨯===-,,,,,所以集合11P 中元素的个数为5. (2)先证:()()*2121()i i S i i i +=-+∈N .
①当1i =时,()3213i i S S +==-,()213i i -+=-,故原等式成立; ②假设i m =时成立,即()()2121m m S m m +=-+,则1i m =+时,
()()()()()()()()2
2
222(113)21222143253123m m m m S S m m m m m m m m m +++=++-+=-+--=-++=-++.
综合①②可得()()2121i i S i i +=-+.于是()()()()()()()2(2
21121)212121211i i i i S S i i i i i i +++=++=-+++=++. 由上可知()21i i S +是21i +的倍数,而()21(211221)i i j a i j i ++=+=⋯+,
,,,所以()()(212)121i i i i j S S j i +++=++是 ()211)2(21i i j a j i ++=⋯+,,,的倍数.又()()()()121121i i S i i ++=++不是22i +的倍数,而()()()12122i i j a i +++=-+
()1222j i =⋯+,,,,所以()()()()()()()()1211212221122i i j i i S S j i i i j i +++++=-+=++-+不是()()121i i j a +++ 122()2j i =⋯+,,,的倍数,故当()21l i i =+时,集合l P 中元素的个数为()21321i i ++⋯+-=,
于是,当()()21121l i i j j i =++≤≤+时,集合l P 中元素的个数为2i j +. 又()200031231147=⨯⨯++,故集合2000P 中元素的个数为231471008+=.
2013年江苏省高考数学试卷及答案(最全版)
2013年普通高等学校统一考试试题(江苏卷) 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。 1、函数)42sin(3π +=x y 的最小正周期为 ▲ 2、设2)2(i z -=(i 为虚数单位),则复数z 的模为 ▲ 3、双曲线19162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲ 4、集合}1,0,1{-共有 ▲ 个子集 5、右图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 ▲ (流程图暂缺) 6、抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环),结果如下: 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定(方程较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 7、现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取, 则n m ,都取到奇数的概率为 ▲ 8、如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ,,分别是1AA AC AB ,, 的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体 积为2V ,则=21:V V ▲ 9、抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含 三角形内部和边界)。若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是 ▲ 10、设E D ,分别是ABC ?的边BC AB ,上的点,AB AD 21 =,BC BE 32 =, 若AC AB DE 21λλ+=(21λλ,为实数),则21λλ+的值为 ▲ 11、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。当0>x 时,x x x f 4)(2-=,则不等式x x f >)(的解 集用区间表示为 ▲ 12、在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(122 22>>=+b a b y a x ,右焦点为F , 右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d , 若126d d =,则椭圆C 的离心率为 ▲ 13、在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数x y 1 =(0>x )图象上一动点, 若点A P ,之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ 14、在正项等比数列}{n a 中,21 5=a ,376=+a a ,则满足n n a a a a a a 2121>+++的 最大正整数n 的值为 ▲ A B C 1A D E F 1B 1C
2013年江苏高考数学试题及标准答案(含理科附加题)WORD版
2013年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ 注意事项: 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题-第20题,共20题)。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。 5.如需作图,须用2B铅笔绘,写清楚,线条,符号等须加黑加粗。 参考公式: 样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑。 棱锥的体积公式:13 V Sh = ,其中S 是锥体的底面积,h 为高。 棱柱的体积公式:V Sh =,其中S 是柱体的底面积,h 为高。 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡的相应位置上......... 。 1、函数3sin(2)4y x π =+的最小正周期为 ▲ 。 答案:π 2、设2 (2)z i =- (i 为虚数单位),则复数z 的模为 ▲ 。 答案:5 3、双曲线22 1169 x y -=的两条渐近线的方程为 ▲ 。 答案:34 y x =± 4、集合{-1,0,1}共有 ▲ 个子集。 答案:8 5、右图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 ▲ 。 答案:3
6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下: 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。 答案:2 7、现有某类病毒记作为m n X Y ,其中正整数,(7,9)m n m n ≤≤可以任意选取,则,m n 都取到奇数的概率为 ▲ 。 答案:2063 8、如图,在三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 中,D 、E 、F 分别为AB 、AC 、A A 1的中点, 设三棱锥F-ADE 的体积为1V ,三棱柱A1B1C 1 -ABC 的体积为2V ,则1V :2V = ▲ 。 答案:1:24 9、抛物线2y x =在1x =处的切线与坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界)。若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则2x y +的取值范围是 ▲ 。 答案:1 [2,]2 - 10、设D 、E 分别是△A BC 的边AB 、BC 上的点,且12,23 AD AB BE BC ==。若12DE AB AC λλ=+(1λ、2λ均为实数),则1λ+2λ的值为 ▲ 。 答案:12 11、已知()f x 是定义在R上的奇函数。当0x >时,2()4f x x x =-,则不等式()f x x >的解集用区间 表示为 ▲ 。 答案:(5,0)(5,)-+∞ 12、在平面直角坐标系xoy 中,椭圆C的方程为22 221(0)x y a b a b +=>>,右焦点为F,右准线为l ,短轴的一 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92
2013年江苏高考数学试题及答案
2013年江苏高考数学试题及答案 一、选择题 1. 函数y =3sin ????2x +π 4的最小正周期为________. 1.π [解析] 周期为T =2π 2 =π. 2. 设z =(2-i)2(i 为虚数单位),则复数z 的模为________. 2.5 [解析] 因为z =(2-i)2=4-4i +i 2=3-4i ,所以复数z 的模为5. 3. 双曲线x 216-y 2 9=1的两条渐近线的方程为________. 3.y =±34x [解析] 令x 216-y 29=0,得渐近线方程为y =±3 4 x . 4. 集合{-1,0,1}共有________个子集. 4.8 [解析] 集合{-1,0,1}共有3个元素,故子集的个数为8. 5. 如图1-1是一个算法的流程图,则输出的n 的值是________. 图1-1 5.3 [解析] 逐一代入可得 n 1 2 3 a 2 8 26 a <20 Y Y N 当a =26>20时,n =3,故最后输出3. 6. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下: 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________. 6.2 [解析] 由题知x 甲=15(87+91+90+89+93)=90,s 2甲=1 5 (9+1+0+1+9)=4;x
乙 =15(89+90+91+88+92)=90,s 2乙=15 (1+0+1+4+4)=2,所以s 2甲>s 2乙,故答案为2. 7. 现有某类病毒记作X m Y n ,其中正整数m ,n (m ≤7,n ≤9)可以任意选取,则m ,n 都取到奇数的概率为________. 7. 20 63 [解析] 基本事件共有7×9=63种,m 可以取1,3,5,7,n 可以取1,3,5,7,9.所以m ,n 都取到奇数共有20种,故所求概率为20 63 . 8. 如图1-1,在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,AC ,AA 1的中点,设三棱锥F -ADE 的体积为V 1,三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积为V 2,则V 1∶V 2=________. 图1-1 8.1∶24 [解析] 设三棱柱的底面积为S ,高为h ,则V 2=Sh ,又D ,E ,F 分别为AB ,AC ,AA 1的中点,所以S △AED =14S ,且三棱锥F -ADE 的高为12h ,故V 1=13S △AED ·12h =13·14S ·1 2h =1 24 Sh ,所以V 1∶V 2=1∶24. 9. 抛物线y =x 2在x =1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点P (x ,y )是区域D 内的任意一点,则x +2y 的取值范围是________. 9.? ???-2,1 2 [解析] 由y =x 2得y ′=2x ,则在点x =1处的切线斜率k =2×1=2,切线方程为y -1=2(x -1),即2x -y -1=0.在平面直角坐标系中作出可行域,如图阴影部分所示,则A (0,-1),B ????12,0. 作直线l 0:x +2y =0. 当平移直线l 0至点A 时,z min =0+2(-1)=-2; 当平移直线l 0至点B 时,z max =12+2×0=1 2. 故x +2y 的取值范围是? ???-2,1 2. 10. 设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,AD =12AB ,BE =23BC .若DE →=λ1AB → + λ2AC → (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.
2013江苏高考数学试题及答案(完美打印版)
2013年普通高等学校统一考试(江苏卷) 数学试题 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。 1、函数)4 2sin(3π+=x y 的最小正周期为 . 2、设2)2(i z -=(i 为虚数单位),则复数z 的模为 . 3、双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 . 4、集合}1,0,1{-共有 个子集. 5、右图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 . 6、抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环),结果 如下: . 7、现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取,则n m ,都取到奇数的概率为 . 8、如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ,,分别是1AA AC AB ,,的中点,设 三棱锥A D E F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则 =21:V V . 9、抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)。若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是 . 10、设E D ,分别是ABC ?的边BC AB ,上的点,AB AD 21= ,BC BE 3 2=,若AC AB DE 21λλ+=(21λλ,为实数),则21λλ+的值为 . 11、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。当0>x 时,x x x f 4)(2-=,则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 . 12、在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(122 22>>=+b a b y a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,
2013江苏省高考数学真题(含答案)
2013 年普通高等学校统一考试试题(江苏卷) 一、填空题:本大题共14 小题,每小题 5 分,共计70 分。请把答案填写在答题卡相印位置上。1.函数 y 3sin( 2x ) 的最小正周期为. 4 开始 2.设 2 z (2i)(i 为虚数单位),则复数z 的模为.n 1,a 2 2 y2 x 3.双曲线 1 16 9 的两条渐近线的方程为.n n 1 Y a 20 a 3a 2 4.集合 { 1, 0,1} 共有个子集. N 输出 n 5.右图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是. 结束 (第 5 题) 6.抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩(单位:环),结 果如下: 运动员第一次第二次第三次第四次第五次 甲87 91 90 89 93 乙89 90 91 88 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为. 2 2 2 2 2 (89 90) (90 90) (91 90) (88 90) (92 90) 2 方差为: 2 S . 5 7.现在某类病毒记作X m Y n ,其中正整数m ,n (m7,n9)可以任意选取,则m,n 都取到奇数的概率为. 8 .如图,在三棱柱A1B1C1 ABC 中,D,E,F 分别是C 1 B 1 AB,AC,AA 的中点,设三棱锥 F ADE 的体积为V1 ,三棱柱 1 A 1 A1B1C1 ABC 的体积为V2 ,则 V1 :V2 .F C E B A D 9.抛物线 2 y x 在x1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部和边界) .若
点P( x, y) 是区域D 内的任意一点,则x 2y 的取值范围是.
2013年高考理科数学江苏卷(含答案解析)
数学试卷 第1页(共21页) 数学试卷 第2页(共21页) 数学试卷 第3页(共21页) 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ 参考公式: 样本数据1x ,2x ,???,n x 的方差2 211()n i i s x x n ==-∑,其中1 1 n i i x x n ==∑ 棱锥的体积公式1 3 V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 为高 棱柱的体积公式V Sh =,其中S 是棱柱的底面积,h 为高 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在答题卡相应.....位置上... . 1.函数π 3sin(2)4 y x =+的最小正周期为 . 2.设2(2i)z =-(i 为虚数单位),则复数z 的模为 . 3.双曲线22 1169 x y -=的两条渐近线的方程为 . 4.集合{1,0,1}-共有 个子集. 5.如图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 . 6. 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 . 7.现有某类病毒记作m n X Y ,其中正整数m ,n (m 7,n 9)≤≤可以任意选 取,则m ,n 都取到奇数的概率为 . 8.如图,在三棱柱111A B C ABC -中,D ,E ,F 分别是AB ,AC ,1AA 的中点.设三棱锥F ADE -的体积为1V ,三棱柱111A B C ABC -的体积为 2V ,则12:V V = . 9.抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点(,)P x y 是区域D 内的任意一点,则2x y +的取值范围是 . 10.设D ,E 分别是ABC △的边AB ,BC 上的点,12AD AB =,2 3 BE BC =,若DE = 12AB AC λλ+(1λ,2λ为实数),则12λ λ+的值为 . 11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数.当0x >时,2()4f x x x =-,则不等式()f x x >的解集用区间表示为 . 12.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为22 221(0)x y a b a b +=>>,右焦点为F ,右 准线为l ,短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d .若 21d =,则椭圆C 的离心率为 . 13.在平面直角坐标系xOy 中,设定点(,)A a a ,P 是函数1 (0)y x x = >图象上一动点.若点P ,A 之间的最短距离为则满足条件的实数a 的所有值为 . 14.在正项等比数列{}n a 中,51 2 a =,673a a +=,则满足1212n n a a a a a a ++???+>???的最大 正整数n 的值为 . 二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 15.(本小题满分14分) 已知向量a (cos ,sin )αα=,b (cos ,sin )ββ=,0πβα<< < . (Ⅰ)若|a -b |=求证:a ⊥b ; (Ⅱ)设c (0,1)=,若a +b =c ,求α,β的值. 16.(本小题满分14分) 如图,在三棱锥S ABC -中,平面SAB ⊥ 平面SBC ,AB BC ⊥,AS AB =.过A 作 AF SB ⊥,垂足为F ,点E ,G 分别是棱SA ,SC 的中点.求证: (Ⅰ)平面EFG 平面ABC ; (Ⅱ)BC SA ⊥. 姓名________________ 准 考证号_____________ -------------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效----------------
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2014年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上......... (1)【2014年江苏,1,5分】函数3sin(2)4 y x π =-的最小正周期为_______. 【答案】π 【解析】函数π3sin 24y x ⎛ ⎫=+ ⎪⎝⎭ 的最小正周期2ππ2T ==. (2)【2014年江苏,2,5分】设2(2i)z =-(i 为虚数单位),则复数z 的模为_______. 【答案】5 【解析】( )2 22i 44i i 3i 54z =--+-====. (3)【2014年江苏,3,5分】双曲线22 1169 x y -=的两条渐近线的方程为_______. 【答案】3 4 y x =± 【解析】由题意可知所求双曲线的渐近线方程为3 4 y x =±. (4)【2014年江苏,4,5分】集合{}1,0,1-共有 _______个子集. 【答案】8 【解析】由于集合{}1,0,1-有3个元素,故其子集个数为328=. (5)【2014年江苏,5,5分】右图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是_______. 【答案】3 【解析】第一次循环后:82a n ←←,;第二次循环后:263a n ←←,;由于2620>,跳出循环, 输出3n =. (6)【 的那位运动员成绩的方差为 .【答案】2 【解析】由题中数据可得=90x 甲,=90x 乙.()()()()()22 222287909190909089909015394s -+-+-⎡⎤=⎣ +-+-⎦=甲, ( )()()()()22222289909090919088909015292s -+-+-⎡⎤=⎣ +-+-⎦=乙,由22 >s s 甲乙,可知乙运动员成绩稳 定.故应填2.
2013年高考理科数学试卷--江苏卷(含答案)
2013年普通高等学校统一考试数学试题 卷Ⅰ 必做题部分 一.填空题。 1.函数)4 2sin(3π + =x y 的最小正周期为 。 2.设2 )2(i z -=(i 为虚数单位),则复数z 的模为 。 3.双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 4.集合}1,0,1{-共有 个子集。 5.下图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 。 6.抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环),结果如下: 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次[来源:学*科* 网 Z*X*X*K] 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙[来源:学科网] 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 。7.现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取,则n m ,都取到奇数的概率为 。 8.如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ,,分别是1AA AC AB ,,的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V 。 [来源:学*科*网] 9.抛物线2 x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界)。若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是 。 A B C 1 A D E F 1 B 1 C
10.设E D ,分别是ABC ?的边BC AB ,上的点,AB AD 21=,BC BE 3 2 =,若AC AB DE 21λλ+= (21λλ,为实数),则21λλ+的值为 。 11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。当0>x 时,x x x f 4)(2 -=,则不等式x x f >)(的解集用区间 表示为 。 12.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(122 22>>=+b a b y a x ,右焦点为F ,右准线为 l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为 。 13.在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数x y 1 =(0>x )图象上一动点,若点A P ,之 间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为 。 14.在正项等比数列}{n a 中,2 1 5=a ,376=+a a ,则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为 。 二.解答题: 15.本小题满分14分。已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ==, ,παβ<<<0。 (1)若||2a b -= ,求证:a b ⊥;(2)设(0,1)c =,若a b c +=,求βα,的值。 16.本小题满分14分。 如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点. 求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥. 17.本小题满分14分。如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1,圆心在l 上。 (1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围。 x y A l O A B C S G F E
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷) 数学Ⅰ试题 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.......... 1.(2013江苏,1)函数π3sin 2 4y x ? ? =+ ?? ? 的最小正周期为__________. 2.(2013江苏,2)设z =(2-i)2 (i 为虚数单位),则复数z 的模为__________. 3.(2013江苏,3)双曲线 22 =1169 x y -的两条渐近线的方程为__________. 4.(2013江苏,4)集合{-1,0,1}共有__________个子集. 5.(2013江苏,5)下图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是__________. 6.(2013江苏,6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下: 7.(2013江苏,7)现有某类病毒记作X m Y n ,其中正整数m ,n (m ≤7,n ≤9)可以任意选取,则m ,n 都取到奇数的概率为__________. 8.(2013江苏,8)如图,在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,AC ,AA 1的中点,设三棱锥F -ADE 的体积为V 1,三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积为V 2,则V 1∶V 2=__________. 9.(2013江苏,9)抛物线y =x 2 在x =1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点P (x ,y )是区域D 内的任意一点,则x +2y 的取值范围是__________. 10.(2013江苏,10)设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,1= 2AD AB ,2 =3 BE BC .若12DE AB AC λλ=+u u u r u u u r u u u r (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为__________. 11.(2013江苏,11)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=x 2 -4x ,则不等式f (x )> x 的解集用区间表示为__________. 12.(2013江苏,12)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为22 22=1x y a b +(a >0,b >0),右 焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1,F 到l 的距离为d 2.若21d , 则椭圆C 的离心率为__________. 13.(2013江苏,13)在平面直角坐标系xOy 中,设定点A (a ,a ),P 是函数1 y x = (x >0)图象上一动
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A B C 1 A D E F 1 B 1 C A B C S G F E 2013年普通高等学校统一考试数学试题 卷Ⅰ 必做题部分 一.填空题 1.函数)4 2sin(3π + =x y 的最小正周期为 。 2.设2)2(i z -=〔i 为虚数单位〕,则复数z 的模为 。 3.双曲线19 1622=-y x 的两条渐近线的方程为 。 4.集合}1,0,1{-共有 个子集。 5.下列图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 。 6.抽样统计甲、乙两位设计运发动的5此训练成绩〔单位:环〕,结果如下: 运发动 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定〔方差较小〕的那位运发动成绩的方差为 。 7.现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n 〔7≤m ,9≤n 〕可以任意选取,则n m ,都取到奇数的概率为 。 8.如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ,,分别是1AA AC AB ,, 的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V , 则=21:V V 。 9.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D 〔包含三 角形内部与边界〕。假设点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范 围是 。 10.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点,AB AD 21=,BC BE 3 2 =,假设AC AB DE 21λλ+= 〔21λλ,为实数〕,则21λλ+的值为 。 11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。当0>x 时,x x x f 4)(2 -=,则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 。 12.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(122 22>>=+b a b y a x ,右焦点为F ,右准线为 l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,假设126d d =,则椭圆C 的离心率为 。 13.在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数x y 1 =〔0>x 〕图象上一动点,假设点A P ,之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为 。 14.在正项等比数列}{n a 中,2 1 5=a ,376=+a a ,则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为 。 二.解答题: 15.本小题总分值14分。已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ==,, παβ<<<0。 〔1〕假设||2a b -=,求证:a b ⊥;〔2〕设(0,1)c =, 假设a b c +=,求βα,的值。 16.本小题总分值14分。 如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,
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. A B C 1 A D E F 1 B 1 C A B C S G F E 20XX 普通高等学校统一考试数学试题 卷Ⅰ 必做题部分 一.填空题 1.函数)4 2sin(3π + =x y 的最小正周期为。 2.设2 )2(i z -=〔i 为虚数单位〕,则复数z 的模为。 3.双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为。 4.集合}1,0,1{-共有个子集。 5.下图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是。 6.抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩〔单位:环〕,结果如下: 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定〔方差较小〕的那位运动员成绩的方差为。 7.现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n 〔7≤m ,9≤n 〕可以任意选取,则n m ,都取到奇数的概率为。 8.如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ,,分别是1AA AC AB ,, 的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V , 则=21:V V 。 9.抛物线2 x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D 〔包含三 角形内部与边界〕。若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值X 围是。 10.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点,AB AD 21=,BC BE 3 2 =,若AC AB DE 21λλ+=〔21λλ,为实数〕,则21λλ+的值为。 11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。当0>x 时,x x x f 4)(2 -=,则不等式x x f >)(的解集用区间表示为。 12.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(122 22>>=+b a b y a x ,右焦点为F ,右准线为 l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为。 13.在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数x y 1 =〔0>x 〕图象上一动点,若点A P ,之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为。 14.在正项等比数列}{n a 中,2 1 5=a ,376=+a a ,则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为。 二.解答题: 15.本小题满分14分。已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ==, , παβ<<<0。 〔1〕若||2a b -= ,求证:a b ⊥;〔2〕设(0,1)c =, 若a b c +=,求βα,的值。 16.本小题满分14分。 如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,
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12 .在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆C 的标准方程为 2 y_ b 2 F 到I 的距离为d 2,假设d 2 6d 1,那么椭圆 13.在平面直角坐标系 xOy 中,设定点A(a, a), P 是函数•填空题 1. 2. 3. 4. 5. 6. 2021年普通高等学校统一考试数学试题 卷I 必做题局部 函数y 3sin(2x -)的最小正周期为 _________________ 4 i)2〔 i 为虚数单位〕,那么复数z 的模为 2 红 1的两条渐近线的方程为 9 双曲线 (2 x 2 16 1,0,1}共有 __________ 个子集。 集合{ 以下图是 抽样统计甲、乙两位设计运发动的 个算法的流程图,那么输出的 n 的值是 __________ 。 5此训练成绩〔单位:环〕,结果如下: 那么成绩较为稳定〔方差较小〕的那位运发动成绩的方差为 ________________ 。 --------- 7 .现在某类病毒记作 X m Y n ,其中正整数 m , n 〔 m 7 , n 9〕可以任意选取,那么 的概率为 ___________________ 。 &如图,在三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 中,D , E , F 分别是AB , AC , AA 的中点,设三棱锥 F ADE 的体积为V 1,三棱柱A 1B 1C 1 ABC 的体积为V 2 , 那么 V 1 : V 2 。 9.抛物线y x 2在x 1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 角形内部与边界〕。假设点P(x, y)是区域D 内的任意一点,贝U x 围是 D 〔包含三 2y 的取值范 1 10 •设D , E 分别是 ABC 的边AB , BC 上的点,AD ^AB , 2 〔1, 2为实数〕,贝U 1 2的值为 __________ 。 11.f(x)是定义在R 上的奇函数。当x 0时, 表示为 m , n 都取到奇数 C i B C D f(x) x 2 BE 2 BC ,假设 DE 3 4x ,那么不等式f(x) 1 AB 2 AC x 的解集用区间 之间的最短距离为 2 2,那么满 足条件的实数 1 14.在正项等比数列{a n }中,a 5 , a ; 2 a 的所有值为 a 7 3,那么满足a 1 的值为 ____ 二.解答题: 15. 〔1a 2 假设a b c , 16. 本小题总分值 如图,在三棱锥 求, 14分。 S ABC 中,平面SAB 平面SBC , AB 的值。 a n S 1a 2 a “的最大正整数 2 x a l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线BF 的距离为d 1 , C 的离心率为 1(a 0,b 0),右焦点为F ,右准线为 0〕图象上一动点,假设点 P ,
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(第5题) 2013年普通高等学校统一考试试题(江苏卷) 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。 1.函数)4 2sin(3π + =x y 的最小正周期为 . 2.设2 )2(i z -=(i 为虚数单位),则复数z 的模为 . 3.双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 . 4.集合}1,0,1{-共有 个子集. 5.右图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 . 6 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 . 方差为:25 )9092()9088()9091()9090()9089(2 22222 =-+-+-+-+-= S . 7.现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取,则n m , 都取到奇数的概率为 . 8.如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ,,分别是 1AA AC AB ,,的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V . 9.抛物线2 x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) .若点 ),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是 . 10.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点,AB AD 21= ,BC BE 3 2 =, 若AC AB DE 21λλ+=(21λλ,为实数),则21λλ+的值为 . A B C 1A D E F 1B 1C
11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。当0>x 时,x x x f 4)(2 -=,则不等式x x f >)( 的解集用区 间表示为 . 12.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(122 22>>=+b a b y a x ,右焦点为 F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为 . 13.在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数x y 1 = (0>x )图象上一动点, 若点A P ,之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为 . 14.在正项等比数列}{n a 中,2 1 5= a ,376=+a a ,则满足n n a a a a a a 2121>+++的 最大正整数n 的值为 . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ,=,παβ<<<0. (1)若2||= -b a ,求证:b a ⊥; (2)设)1,0(=c ,若c b a =+,求βα,的值. 16.(本小题满分14分) 如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点.求证: (1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥. 17.(本小题满分14分) 如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l . 设圆C 的半径为1,圆心在l 上. (1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线, 求切线的方程; A B C S G F E