圆曲线定义
2018届高三数学二轮复习课件专题五第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质
考点一
题组突破
椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程
2
1．(2017· 大连双基)若抛物线y ＝ 4x上一点P到其焦点F的距离为 2，O为坐标原点，则△OFP的面 积为( B ) A. C. 1 2 3 2 B．1 D．2
设P(xP，yP)，由题可得抛 物线焦点为F(1,0)，准线 方程为x＝－1，又点P到 焦点F的距离为2，∴由 定义知点P到准线的距离 为2，∴xP＋1＝2，∴xP ＝1，代入抛物线方程得 |yP|＝2，∴△OFP的面积 1 为 S＝ · |OF|· |yP|＝ 2 1 ×1×2＝1. 2
2
真题自检
1．(2016· 高考全国卷Ⅰ)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点．已知|AB|＝4 2，|DE| ＝2 5，则 C 的焦点到准线的距离为( A． 2 C． 6 B．4 D． 8 )
2
真题自检
解析：设抛物线的方程为 y2＝2px(p＞0)，圆的方程为 x2＋y2＝r2. p ∵|AB|＝4 2，|DE|＝2 5，抛物线的准线方程为 x＝－ ， 2 ∴不妨设
B )
B. 5 13
5 D. 9
题组突破
x2 y2 根据对称性，不妨设点 A1( 在第一象限， A(x，y)，则 3 ．已知双曲线 2 － ＝ a＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半 a 12
专题五 解析几何
第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定 义、方程与性质
C
目 录
ONTENTS
高考体验 真题自检 热点聚焦 题型突破 限时规范训练
1
考情分析
圆锥曲线的定义、 方程与性质是每年必考热点， 多以选择、 填空考查，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程求法，难 度中档偏下.
圆锥曲线第三定义
圆锥曲线第三定义简介
---------------------------------------------------------------------- 第三定义：
只有椭圆和双曲线有第三定义即椭圆或双曲线上一动点（两顶点除外）与两顶点（a,0）（-a,0）或（0，a）（0，－a）连线的斜率的乘积为定值e＾2－1。
圆锥曲线，是由一平面截二次锥面得到的曲线。
圆锥曲线包括椭圆（圆为椭圆的特例）、抛物线、双曲线。
起源于2000多年前的古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线。
圆锥曲线（二次曲线）的（不完整）统一定义：到平面内一定点的距离r与到定直线的距离d之比是常数e=r/d的点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中当e>1时为双曲线，当e=1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆。
定点叫做该圆锥曲线的焦点，定直线叫做（该焦点相应的）准线，e叫做离心率。
【拓展】
第一定义：
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a≥｜F1F2｜）的动点P的轨迹叫做椭圆。
即：其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离｜F1F2｜=2c≤2a叫做椭圆的焦距。
P为椭圆的动点。
第二定义：
椭圆平面内到定点F（c，0）的距离和到定直线l：x=a/c（F不在l上）的距离之比为常数从C/A,（即离心率，0<e<1）的点的轨迹是椭圆。
公路路线的交点曲线计算方法_secret
公路路线的交点曲线计算方法1．前言传统的公路平面敷设计算方法是以交点（JD）转角（α）为基础，以外距（E）为控制，通过求算切线长（T）来计算平曲线要素及各主点桩号的，与此相应的平面设计表达便是路线“直线、曲线及转角表”。
这种表达方式除了具有直观、方便的特点以外，更为重要的是它体现出公路路线设计的两个面，一是与之相适应直线加弯道的设计思路、定线方式、中线敷设和施工放样方法，另一个则是与汽车动力学相关的各项道路几何指标，因而应该说是十分经典并为大家所习惯采用的。
现在随着光电测距仪、全站仪、GPS等先进的测量仪器的出现，公路中线敷设及施工放线广泛采用极坐标法，从而摆脱了对特定计算方法的依赖，但对于较长距离的公路主线，传统的交点转角设计定线方法和“直线、曲线及转角表”的表达方式，却仍是其他方法和方式所不能取代的。
然而，当路线因为受到限制而不得不采用，诸如不对称曲线、卵形曲线、复曲线、凸曲线、双卵形曲线等复杂曲线，特别是需要曲线反算的情况下，采用传统的交点转角计算方法是很困难的。
对于复杂曲线的计算，一般采用了在传统方法的基础上，按曲线类型分别推导计算公式，并编写功能单一的计算程序进行计算的方法。
显然这种方法局限性大、程序功能单一，即使编写了针对不同类型曲线的许多模块，也不能涵盖任意的线形组合和曲线类型等情况。
笔者通过设计实践和纬地道路辅助设计系统的研究开发，在许多技术人员熟知的传统交点转角法布设平曲线的基础上，提出一种利用计算机进行平曲线计算的新交点转角法，该方法适用于任意复杂线形的设计计算。
2．交点曲线计算法该方法以适用于任意线元组合的复杂线形设计计算为目标，是以三种基本线元的统一参数模型为基础约定，以三线元捆绑式结构为通用的单交点曲线模型的交点可组合的计算方法，有别于传统的交点转角计算方法，暂称之为交点曲线计算法。
2.a 基本线元统一参数模型的建立我们知道，公路线形的曲线分为直线、圆曲线和缓和曲线（回旋曲线）三种线元，缓和曲线线元则又分为完全缓和曲线（R->∞）、（∞-> R）和部分缓和曲线（R1->R2）。
高三数学圆锥曲线1
1 2 ∵离心率 2 e= ∴ 2|MF|=|MN| x y 2 M为椭圆上一 1 的右焦点， ∴|AM|+2|MF|=|AM|+|MN|=|AN| 16 12
动点，求|AM|+2|MF|的最小值，并求出 ∴|AN|=2+8=10 此时点 M的坐标即 . |AM|+2|MF|的最小值为10
此时 M (2 3, 3)
2
四、几个重要结论：
设P是椭圆 圆的焦点，∠F1PF2=θ ,则
1、当P为短轴端点时，
A1
x2 y2 2 1a b 0 2 上的点， F1，F2是椭 a b
B2 P
F1 B1
F2
A2
x
S△PF1F2有最大值=bc
2、当P为短轴端点时，∠F1PF2为最大 3、椭圆上的点A1距F1最近，A2距F1最远 4、过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短
思路二：设出 MN 的点斜式方程 思路一：设两端点M、N的坐标分 y 1 k ( x 2) M x , y , N x , y 别为 1 ，与椭圆联立，由 1 2 ，代入椭 2 圆方程，作差因式分解求出直线 韦达定理、中点公式求得直线 MN的 MN斜率，即求得 MN 的方程。 斜率，也可求得 MN 的方程。
椭圆，那么实数k的取值范围是 (
2
2
D
)
A、(0, ) C、(1, )
B、 D、
(0, 2)
(0,1)
x y 1 的焦点为F1和F2， 4、椭圆 12 3
点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴 上，那么|PF1|是|PF2|的( A ) A、7倍 B、5倍 C、4倍 D、3倍
2
2
左焦半径为|MF1|=a+ex0， 右焦半径为|MF2|=a-ex0
圆锥曲线基础知识
圆锥曲线基础知识圆锥曲线是数学中一个非常重要的概念，它与我们生活中的许多事物都有着密切的关联。
在我们身边的许多物体的形状都可以用圆锥曲线来描述，比如汽车的车轮、喷泉的水柱等等。
因此，了解圆锥曲线的基础知识对于我们理解世界、解决实际问题都有着重要的指导意义。
首先，我们来介绍一下什么是圆锥曲线。
圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和一个动点（离焦点的距离与离一个固定直线的距离之比为常数）确定的曲线。
根据这个曲线与焦点之间的位置关系，圆锥曲线可以分为三类：椭圆、抛物线和双曲线。
椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形状。
椭圆的定义是所有到两个焦点的距离之和等于常数的点的轨迹。
椭圆可以看作是一个圆在一个方向上被拉长或压缩而得到的形状。
椭圆有着许多有趣的性质，比如焦点到椭圆上任意一点的距离之和是固定的。
抛物线是圆锥曲线中另一种非常常见的形状。
抛物线的定义是所有到焦点的距离等于离一个固定直线（称为准线）的距离的点的轨迹。
抛物线有着非常特殊的反射性质，光线或其他形状的物体撞击到抛物线上会被反射到焦点的位置。
双曲线是圆锥曲线中最特殊、最复杂的一种形状。
双曲线的定义是所有到两个焦点之间距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线具有两个分离的曲线支，并且具有无穷远处的渐近线。
双曲线在光学、天文学等领域中有着广泛的应用。
了解了这些基本概念后，我们可以探索更多关于圆锥曲线的内容。
圆锥曲线有着丰富的数学性质，比如直径、焦距、离心率等等，这些性质可以帮助我们更好地理解曲线的特征和形状。
在实际问题中，圆锥曲线也有很多应用。
比如，当我们使用望远镜观察天体时，望远镜的镜片形状就可以用双曲线来描述。
此外，利用椭圆的性质，我们可以设计一些具有特定功能的物体，比如反射器、轨道等等。
总之，圆锥曲线是数学中非常重要的概念，在我们的日常生活中也有着广泛的应用。
通过了解圆锥曲线的基础知识，我们可以更好地理解世界，解决实际问题，并且在未来的学习中探索更多有关曲线的知识。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
圆锥曲线的定义与性质
b2 =- 2 a
A
O P
k PA × k PB
b2 = 2 a
直线与圆锥曲线
弦长公式
A
! l = 1 + k 2 x1 - x2 = 1 + m 2 y1 - y2 = n × t1 - t2
体系 三 垂径 定理
A M
P
O
O
kOM × k AB = -1
kOM × k AB = B
b2 a2
A
O M B
2
等张角线 对 线 段 AB 张 角相同的点的 轨迹
l H F
ep 1 - e cosq
l P
体系二
A
B
P
PF PH
=e
P F
H
PF PH
=e
H
PF = PH
通径长
通径长
通径长
F
d = 2p
2b 2 d= = 2ep a
B
B O
2b 2 d= = 2ep a
B
定义
A
O
k PA × k PB = -1
k PA × k PB
2
关键词
以 AB 为直径的圆过 C
垂直平分线
关于直线…对称
关于原点对称的两点
与原点连线相互垂直
★ 以 AB 为直径的圆过 C
Û ÐACB = 90°
★ P 在 AB 的垂直平分线上
Û PA = PB Û PM ^ AB （ M 为 AB 中点）
★ A 、 B 关于 l 对称
Û l 是 AB 的垂直平分线
关键词
与定点的两连线垂直
向量的运算
成锐角（直角、钝角）
过…与…交点的曲线
高考数学圆锥曲线深度拓展 蒙日圆及其证明
高考数学圆锥曲线深度拓展：蒙日圆及其证明一、引言在高考数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，它不仅在解析几何中有广泛应用，还在物理、天文等领域有所涉及。
蒙日圆，作为圆锥曲线的一种特殊形态，具有独特的性质和证明方法。
本文旨在探讨蒙日圆及其证明的深度拓展。
二、蒙日圆的基本性质蒙日圆，也被称为极坐标圆或椭圆的垂直平分线投影圆，其独特性质在于它与原始椭圆的关系。
在椭圆上任取一点P，作PP1垂直于长轴，作PP2垂直于短轴，则P1P2的垂直平分线与原始椭圆相切于点P。
这个性质表明，对于椭圆上的任意一点，其关于长轴和短轴的垂足与原点的连线段的垂直平分线，都与椭圆相切于该点。
三、蒙日圆的证明对于蒙日圆的证明，我们可以采用以下步骤：1、在椭圆上任取一点P，以点P为圆心，作一圆与椭圆相切。
这个圆的半径可以由点P到椭圆中心的距离决定。
2、根据几何性质，我们可以知道这个圆与椭圆的切点在椭圆的长轴和短轴的垂直平分线上。
3、由于这个圆是以点P为圆心，因此点P关于长轴和短轴的垂足与原点的连线段的垂直平分线必然经过这个圆心。
这就意味着这个垂直平分线与椭圆相切于点P。
4、因此，我们证明了在椭圆上任意一点都有一条过该点的直线与椭圆相切。
也就是说，我们找到了一个与椭圆相切的圆，即蒙日圆。
四、结论通过以上分析，我们证明了蒙日圆的存在及其性质。
这个知识点不仅在高考数学中具有重要作用，也是解析几何中的一个重要知识点。
希望通过本文的探讨，能够帮助同学们更深入地理解和掌握这一部分的知识。
蒙日圆以及应用蒙日圆是一种特殊的几何图形，它由法国数学家加斯帕德·蒙日（Gaspard Monge）发现并以其名字命名。
蒙日圆在几何、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍蒙日圆的定义、性质以及应用。
一、蒙日圆的定义蒙日圆也被称为“最小圆”或“极圆”，它是指在平面上，一个集合内所有点均在该集合的凸包内的最小圆。
也就是说，蒙日圆内包含着集合内的所有点，且其半径最小。
圆锥曲线定义的运用
圆锥曲线定义的运用云南开远市一中佘维平 661600圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质特征，揭示了曲线存在的条件及其所包含的几何性质，这是一个十分重要的内容。
利用圆锥曲线定义来解决问题时，要注意其性质，还要注意曲线的基本定义和基本概念。
为此，我们针对椭圆、双曲线、抛物线，先来复习一下它们的定义。
1. 椭圆：在平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数（大于）的动点的动点的轨迹叫椭圆。
两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距。
2．双曲线：平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距。
3．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义：平面内动点M到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e，当0<e<1时动点M的轨迹叫椭圆；当e=1时M点的轨迹叫抛物线；当e>1时M的轨迹叫双曲线。
定点叫曲线的焦点，定直线叫曲线的准线，e叫曲线的离心率。
应用举例如下：一、定义法求轨迹例1．过一定点且与一条定直线相切的动圆圆心的轨迹是什么曲线？解由平面几何知识知道，圆心到定直线的距离与到定点的距离相等（等于半径），满足抛物线定义，所以动圆圆心的轨迹是抛物线。
例2．已知两圆C1：（x－4）2+y2=169, C2：（x+4）2+y2=9，动圆P与C1内切，与C2外切。
求圆心P 的轨迹。
分析：由平面几何知识知道，两圆相切时常连结连心线，可利用切点在连心线上及圆心距与两半径的关系的性质。
解由条件，两圆半径分别是13和3，设P（x，y）,动圆半径为r，则有＝13－r=3+r消去r得＋＝16，即P点到两定点C1、C2的距离之和是定值16，且因16> ，所以P点的轨迹是椭圆。
易求得其方程为。
例3．（1984年全国高考题）求出经过点M（1，2）且以y轴为准线、离心率为1/2的椭圆左顶点的轨迹方程。
解由题意，椭圆在y轴右侧，且长轴与x轴平行。
圆锥曲线中的四点共圆问题
圆锥曲线中的四点共圆问题摘要：一、引言二、圆锥曲线的基本概念1.椭圆2.抛物线3.双曲线三、四点共圆问题的定义和性质1.定义2.性质四、四点共圆问题的解法1.解析几何法2.代数法3.切比雪夫不等式法五、结论正文：一、引言圆锥曲线是数学中的一个重要领域，包括椭圆、抛物线和双曲线三种类型。
在解决实际问题中，常常会遇到四点共圆问题，即判断四个点是否共圆。
本文将对圆锥曲线中的四点共圆问题进行探讨，分析其性质，并介绍一些常用的解法。
二、圆锥曲线的基本概念1.椭圆椭圆是圆锥曲线的一种，其标准方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1，其中a 和b 分别为椭圆的长半轴和短半轴。
2.抛物线抛物线也是圆锥曲线的一种，其标准方程为：y^2 = 2px，其中p 为抛物线的参数。
3.双曲线双曲线是圆锥曲线的另一种类型，其标准方程为：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1，其中a 和b 分别为双曲线的长半轴和短半轴。
三、四点共圆问题的定义和性质1.定义四点共圆问题指的是判断给定的四个点是否共圆。
如果四个点共圆，则它们在同一个圆上；如果不共圆，则它们不在同一个圆上。
2.性质四点共圆问题有以下性质：（1）如果四个点共圆，则它们的圆心到任意一点的距离相等；（2）如果四个点不共圆，则它们的圆心到任意一点的距离不相等；（3）如果四个点共圆，且其中三点共线，则第四点一定在这条直线的垂直平分线上；（4）如果四个点不共圆，且其中三点共线，则第四点不在这条直线的垂直平分线上。
四、四点共圆问题的解法1.解析几何法解析几何法是解决四点共圆问题的一种直接方法，通过求解圆的方程，判断四个点是否满足圆的方程。
2.代数法代数法是另一种解决四点共圆问题的方法，主要通过计算四个点之间的距离，判断它们是否满足共圆的条件。
3.切比雪夫不等式法切比雪夫不等式法是一种求解四点共圆问题的实用方法，通过切比雪夫不等式求解四个点之间的最大距离和最小距离，从而判断它们是否共圆。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆曲线定义
圆曲线是一种被广泛应用的微分几何曲线。它是由一条圆所确定
的曲线。它可以以圆作为曲线的最简形式出现，也可以以不同的模式
以圆的形式出现，如双曲线。圆曲线的特点是曲线的总体走势是圆形，
曲线上各点之间的力学联系是受到曲线上其他点半径长度和角度变化
的影响。由于这一特性，我们可以绘制出一个圆曲线上的任意点，并
由此确定曲线的整体性质。
圆曲线在艺术设计、技术设计中都有着极大的影响力。现代计算
机图形学技术采用圆曲线来绘制复杂的精细图形。物理学家们也使用
圆曲线来描述平衡定理，以帮助理解电离体、受弯曲和变形的结构。
圆曲线也可以应用到经济模型。例如，圆曲线可以应用于描述供需关
系，这通常被称为“马尔可夫定律”。
除艺术设计、物理学和经济学以外，圆曲线在数学学习中也具有
重要意义。圆曲线是用一个变换处理任何一条曲线的基本方法，并且
可以用来求解方程的极值，以及比较两个函数的弦长。圆曲线可以用
来解决复杂的几何问题以及求解累计分布函数。
总之，圆曲线可以说是一个极其重要的曲线，它对我们的生活、
工作和学习都有着重要的意义。通过它，我们可以看出微观世界中的
规律，可以抓住宏观未来的发展，并可以从现在的形势中汲取经验并
进行规划调整。圆曲线既是现实世界中所表现出的一种线条，也是我
们把握未来发展方向的桥梁和车轮。