闭环系统辨识及应用

3
由于闭环系统是线性的，则其角位置输出可表示为：
y ( t ) A f sin ( t ) A
f
sin ( t )co s ( ) A f co s ( t )sin co s ( t ) A f co s A f sin
ε Y Xθ
(11)
15
误差性能指标为：
J
则
J Y Xθ
T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
m
2 i
ε ε
T
Y X θ Y T Y θ T X T Y Y T Xθ θ T X T Y
ˆ 求 J 对 的导数并令结果为零，作为使为最小的估计值 θ 的条
件。则有
J
3.3 闭环系统传递函数的辨识
3.3.1 基本原理
针对线性控制系统，要设计前馈控制器，传统的 方法是确定系统的闭环传递函数。采用建模方法难免 产生较大的建模误差。目前在实际应用中，更多的是 采用实验测试建模方法，即频率特性方法，通过频域 辨识技术来确定闭环系统的传递函数。
1
由闭环系统的正弦激励响应，通过最小 二乘方法和Bode图拟合来确定闭环系统的传 递函数。闭环系统测试框图如图1所示。
m
sin ( t )
的
相移为零，则闭环系统的相频和幅频为：
e out in 0 tg
Af M 20 L g 20 L g Am
1
c2 c1
（7） （8）
2 2 c1 c 2 Am
(10)
1 2 θ n
其中
，
y 1 y 2 Y y m
，
。
在实际工程中, 实测数据 y i 往往有误差。
定义误差矢量 ε 1
2

m
T
，令

xn
有线性关系，即
（9） 的 m 次观测结果， 表示实测
y 1 x1 2 x 2 n x n
其中向量 θ 1 2 n 是一组待辨识参数。
T
假设在时刻
y 采用 i
t1
t2

tm
取得关于 y 和
X
x 和1 i x、 i 、 x、 i 2 m
sin ( t )
（2）
其中
A
f
、

T
分别为系统输出的幅度和相角。 ， 并设
y ( nh )
在时间域上取 t 0 , h , 2 h , , nh
Y y (0) y (h)
Ψ
T
sin ( 0) cos( 0)
sin ( h ) cos( h )

得到适合于闭环系统建模的频率特性数据，因此，无法对闭环系统进行辨 识，可通过摩擦补偿、干扰观测器、重力补偿器等方法，将系统转化为理
想的线性系统被控对象。
如果实现了闭环系统的建模，则可以利用闭环系统传递函数构造前馈 控制器，实现高精度的前馈控制，这方面的研究已有许多，见文献[1-5]。
7
3.3.2 仿真实例
。通过仿真，可得闭环系统
的传递函数为：
Gc (s) -178 s +3.664 10
3 2 4 5 5
s 87.49 s 1.029 10 s +3.664 10
图2为实际闭环系统频率特性及其拟合闭环系统频率特性的比较，
图3为实际闭环系统频率特性及其拟合闭环系统频率特性之差，即建模 误差。可见，该算法能非常精确地求出闭环系统的幅频和相频,从而可 以精确地实现闭环系统的建模。
、 c 2 的最小二乘解为： （4）
对于角频率
，闭环系统输出信号的振幅和相移如下：
Af
tg
ˆ2 ˆ2 c1 c 2
1
（5）
c2 c1
（6） 5
由于相频为输出信号与输入信号相位之差，幅频为稳态输出振幅 与输入振幅之比的分贝表示。由于输入信号 y d A
sin ( nh ) cos( nh )
c1 A f cos
c 2 A f sin
4
由式（2）和（3）得：
c1 Y Ψ c2
（3）
由式（3），根据最小二乘原理，可求出 c1
ˆ 1 c1 T T Ψ Ψ Ψ Y ˆ c2
40
50
60
Phase(Deg.)
0
-5
0
10
20
30 rad./s
40
50
60
图3 频率特性拟合误差曲线
12
闭环系统辨识仿真程序
chap9_9a.m chap9_9b.m Simulink仿真程序:
zpe_sim.mdl
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附：最小二乘参数辨识法
假设一个变量 y 与一组变量
X x1
x2
10
0
Mag.(dB.)
-0.5 -1 -1.5 0 10 0
10 rad./s
1
10
2
Phase(Deg.)
-20 -40 -60 -80 0 10
1 2
10 rad./s
10
图2 实际传递函数与拟合传递函数的Bode图比较
11
2
x 10
-4
Mag.(dB.)
0
5
0 -4 x 10
10
20
30 rad./s
传递函数的分子分母系数 bb 和 aa ，从而得到闭环系统辨识的
传递函数。利用Matlab函数 freqs bb , aa , w ，可得到分子分母 阶数分别为 bb 和 aa 的传递函数 G c s 的复频表示，从而得到
所拟合闭环系统传递函数的相频和复频。
9
闭环系统采用P控制,取 k p 0 .7 0
8
求出实际闭环系统在各个频率点的相频和幅频后，可写出闭环
系统频率特性的复数表示，即 hp M cos e j sin e 。
取 w 2π F ，利用Matlab函数 invfreqs hp , w , nb , na ，可得 到与复频特性 h p 相对应的、分子分母阶数分别为 nb 和 na 的
图1 闭环系统测试框图
2
设闭环系统输入指令信号为：
y d t Am sin ( t )
其中 、 Am 分别为输入信号的幅度和角频率。
(1)
位置跟踪误差为：
e t yd t y t
在闭环系统内，采用P控制，控制律为：
u t kpe t
取对象的传递函数为：
Gp (s) 523500 s 87.35s 10470 s
3 2
采样周期取1ms，即 h 0.001 。输入信号为幅度为 0 .5 的正
弦扫频信号 y d t 0.5 sin 2 π Ft ，频率的起始频率为0.5Hz,终止频率 为8Hz，步长为0.5Hz，对每个频率点，在t 1s 据。 时，记录1000次数
6
在待测量的频率段取角频率序列 i i 0,1, , n
，对每个角频率
点，用上面方法计算相频和幅频，就可得到闭环系统的频率特性数据，利 用Matlab频域函数
invfreqs 和
freqs
，从而实现闭环系统的建模。
对于带有摩擦、干扰和重力等非线性因素的电机系统被控对象，无法
i ， 1, 2, , m
数据，则有
y i 1 x1 i 2 x 2 i n x n i
i 1, 2, , m
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上式可以用矩阵表示为：
Y Xθ
x1 1 x n 1 x1 2 x n 2 X x1 m x n m
ˆ
ˆ 2 X Y 2 X Xθ 0
T T
16
可得
ˆ X Xθ X Y
T T
解得的最小二乘估计值为：
T ˆ θ X X 1 T
X Y
(12)
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