系统辨识的数学模型
系统辨识方法
系统辨识方学习总结一．系统辨识的定义关于系统辨识的定义，Zadeh是这样提出的：“系统辨识就是在输入和输出数据观测的基础上，在指定的一组模型类中确定一个与所测系统等价的模型”。
L.Ljung也给“辨识即是按规定准则在一类模型中选择一个与数据拟合得最好的模型。
出了一个定义：二．系统描述的数学模型按照系统分析的定义，数学模型可以分为时间域和频率域两种。
经典控制理论中微分方程和现代控制方法中的状态空间方程都是属于时域的范畴，离散模型中的差分方程和离散状态空间方程也如此。
一般在经典控制论中采用频域传递函数建模，而在现代控制论中则采用时域状态空间方程建模。
三．系统辨识的步骤与内容(1)先验知识与明确辨识目的这一步为执行辨识任务提供尽可能多的信息。
首先从各个方面尽量的了解待辨识的系统，例如系统飞工作过程，运行条件，噪声的强弱及其性质，支配系统行为的机理等。
对辨识目的的了解，常能提供模型类型、模型精度和辨识方法的约束。
(2)试验设计试验设计包括扰动信号的选择，采样方法和间隔的决定，采样区段（采样数据长度的设计）以及辨识方式（离线、在线及开环、闭环等的考虑）等。
主要涉及以下两个问题，扰动信号的选择和采样方法和采样间隔(3)模型结构的确定模型类型和结构的选定是决定建立数学模型质量的关键性的一步，与建模的目的，对所辨识系统的眼前知识的掌握程度密切相关。
为了讨论模型和类型和结构的选择，引入模型集合的概念，利用它来代替被识系统的所有可能的模型称为模型群。
所谓模型结构的选定，就是在指定的一类模型中，选择出具有一定结构参数的模型M。
在单输入单输出系统的情况下，系统模型结构就只是模型的阶次。
当具有一定阶次的模型的所有参数都确定时，就得到特定的系统模型M，这就是所需要的数学模型。
(4)模型参数的估计参数模型的类型和结构选定以后，下一步是对模型中的未知参数进行估计，这个阶段就称为模型参数估计。
(5)模型的验证一个系统的模型被识别出来以后，是否可以接受和利用，它在多大程度上反映出被识别系统的特性，这是必须经过验证的。
第02讲系统辨识三要素
第02讲系统辨识三要素系统辨识是指通过对系统输入和输出数据的观测和分析，求解出系统的数学模型的过程。
系统辨识主要有两种方法：非参数辨识和参数辨识。
在进行参数辨识时，需要确定三个基本要素，分别是模型结构、参数估计方法和误差分析方法。
本文将详细介绍这三个要素。
首先，模型结构是系统辨识的核心要素之一、模型结构决定了辨识出的数学模型与实际系统之间的对应关系。
模型结构的选择需要根据实际问题和已有的知识和经验来确定。
常用的模型结构包括线性模型、非线性模型、时变模型等。
例如，对于一个物理系统来说，可以尝试使用一阶惯性环节、二阶惯性环节等常见的线性模型结构进行辨识；对于一个生物系统来说，可以采用Lotka-Volterra模型等非线性模型结构进行辨识。
选择合适的模型结构可以提高系统辨识的精度和可靠性。
其次，参数估计方法是指在给定模型结构的情况下，通过对系统输入和输出数据进行处理和分析，求解出模型参数的过程。
参数估计方法分为两类：最小二乘法和最大似然法。
最小二乘法通过最小化观测数据与模型预测数据之间的残差平方和来估计模型参数；最大似然法通过最大化观测数据的似然函数来估计模型参数。
当观测数据服从高斯分布时，最小二乘法和最大似然法等效。
参数估计方法的选择需要根据数据性质和实际问题来确定。
对于小样本数据，最大似然法常常具有更好的效果；对于大样本数据，最小二乘法通常是更好的选择。
最后，误差分析方法是指用来评估辨识结果的准确性和可信度的方法。
误差分析方法主要包括残差分析、模型检验和辨识结果评价等。
残差分析是通过分析辨识结果与观测数据之间的差异来评估模型拟合程度的方法。
模型检验是通过将辨识结果应用到实际应用中，观察其预测能力和鲁棒性来评价模型的有效性。
辨识结果评价是通过计算模型的性能指标，如均方误差、决定系数等来评估辨识结果的准确性和可靠性。
误差分析方法的选择需要根据实际问题和辨识结果的要求来确定。
对于较为简单的问题，可以选择较为简单的误差分析方法；对于复杂的问题，需要选择更为精确和全面的误差分析方法。
质量弹簧阻尼系统数学模型matlab辨识
在MATLAB中，对质量-弹簧-阻尼系统（Mass-Spring-Damper System）进行数学模型的辨识通常涉及系统识别或参数估计。
这个系统可以用二阶微分方程来描述，形如：[ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t) ]其中：∙( m ) 是质量∙( c ) 是阻尼系数∙( k ) 是弹簧常数∙( x ) 是位移∙( F(t) ) 是外部作用力∙( \dot{x} ) 和( \ddot{x} ) 分别是一阶和二阶导数，表示速度和加速度为了在MATLAB中进行辨识，你需要有系统的输入和输出数据。
通常，输入是施加到系统上的力，输出是系统的响应（位移、速度或加速度）。
以下是一个简单的步骤，说明如何在MATLAB中辨识质量-弹簧-阻尼系统的参数：1.收集数据：首先，你需要收集系统的输入和输出数据。
这可以通过实验或模拟来完成。
2.数据预处理：确保数据是干净的，没有噪声或异常值。
可能需要进行滤波或平滑处理。
3.选择辨识方法：MATLAB提供了多种系统辨识方法，如最小二乘法、频域分析等。
选择最适合你数据的方法。
4.实现辨识算法：使用MATLAB编程实现所选择的辨识算法。
5.参数估计：应用算法来估计系统的参数（质量、阻尼和弹簧常数）。
6.验证模型：使用估计的参数构建系统模型，并与原始数据进行比较，以验证模型的准确性。
以下是一个简化的MATLAB代码示例，使用最小二乘法来估计质量-弹簧-阻尼系统的参数：matlab复制代码% 假设你已经有了一些输入（力F）和输出（位移x）数据% F - 输入力向量% x - 位移向量% t - 时间向量% 计算速度和加速度dx = diff(x) ./ diff(t);ddx = diff(dx) ./ diff(t);% 构建系统矩阵A和输出向量bA = [diff(t)' diff(t)'];b = -ddx;% 最小二乘法估计参数params = A \ b;% params(1) 是阻尼系数 c% params(2) 是弹簧常数 k% 输出参数估计值fprintf('Estimated damping coefficient (c): %f\n', params(1));fprintf('Estimated spring constant (k): %f\n', params(2));% （可选）验证模型% 使用估计的参数构建模型，并与原始数据进行比较% ...请注意，上述代码是一个非常简化的示例，实际情况可能更加复杂。
系统辨识—最小二乘法
最小二乘法参数辨识1 引言系统辨识是根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型。
现代控制理论中的一个分支。
通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数，建立一个能模仿真实系统行为的模型，用当前可测量的系统的输入和输出预测系统输出的未来演变，以及设计控制器。
对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。
对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。
而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题。
通常，预先给定一个模型类μ={M}（即给定一类已知结构的模型），一类输入信号u和等价准则J=L(y，yM)(一般情况下，J是误差函数，是过程输出y和模型输出yM的一个泛函)；然后选择使误差函数J达到最小的模型，作为辨识所要求的结果。
系统辨识包括两个方面：结构辨识和参数估计。
在实际的辨识过程中，随着使用的方法不同，结构辨识和参数估计这两个方面并不是截然分开的，而是可以交织在一起进行的。
2 系统辨识的目的在提出和解决一个辨识问题时，明确最终使用模型的目的是至关重要的。
它对模型类（模型结构）、输入信号和等价准则的选择都有很大的影响。
通过辨识建立数学模型通常有四个目的。
①估计具有特定物理意义的参数有些表征系统行为的重要参数是难以直接测量的，例如在生理、生态、环境、经济等系统中就常有这种情况。
这就需要通过能观测到的输入输出数据，用辨识的方法去估计那些参数。
②仿真仿真的核心是要建立一个能模仿真实系统行为的模型。
用于系统分析的仿真模型要求能真实反映系统的特性。
用于系统设计的仿真，则强调设计参数能正确地符合它本身的物理意义。
③预测这是辨识的一个重要应用方面，其目的是用迄今为止系统的可测量的输入和输出去预测系统输出的未来的演变。
例如最常见的气象预报，洪水预报，其他如太阳黑子预报，市场价格的预测，河流污染物含量的预测等。
预测模型辨识的等价准则主要是使预测误差平方和最小。
系统辨识步骤及内容
系统辨识步骤及内容系统辨识是研究如何用实验研究分析的办法来建立待求系统数学模型的一门学科。
Zadeh(1962)指出：“系统辨识是在输入和输出数据的基础上，从一类模型中确定一个与所观测系统等价的模型”。
Ljung(1978)也给出如下定义：“系统辨识有三个要素——数据、模型类和准则，即根据某一准则，利用实测数据，在模型类中选取一个拟合得最好的模型”。
实际上，系统的数学模型就是对该系统动态本质的一种数学描述，它向人们提示该实际系统运行中的有关动态信息。
但系统的数学模型总比真实系统要简单些，因此，它仅是真实系统降低了复杂程度但仍保留其主要特征的一种近似数学描述。
建立数学模型通常有两种方法，即机理分析建模和实验分析建模。
机理分析建模就是根据系统内部的物理和化学过程，概括其内部变化规律，导出其反映系统动态行为并表征其输入输出关系的数学方程（即机理模型）。
但有些复杂过程，人们对其复杂机理和内部变化规律尚未完全掌握（如高炉和转炉的冶炼过程等）。
因此，用实验分析方法获得表征过程动态行为的输入输出数据，以建立统计模型，实际上是系统辨识的主要方面，它可适用于任何结构的复杂过程。
系统辨识的主要步骤和内容有以下几个方面。
1、辨识目的根据对系统模型应用场合的不同，对建模要求也有所不同。
例如，对理论模型参数的检验及故障检测和诊断用的模型则要求建得精确些。
而对于过程控制和自适应控制等用的模型的精度则可降低一些，因为这类模型所关心的主要是控制效果的好坏，而不是所估计的模型参数是否收敛到真值。
2、验前知识验前知识是在进行辨识模型之前对系统机理和操作条件、建模目的等了解的统称。
有些场合为了获得足够的验前知识还要对系统进行一些预备性的实验，以便获得一些必要的系统参数，如系统中主要的时间常数和纯滞后时间，是否存在非线性，参数是否随时间变化，允许输入输出幅度和过程中的噪声水平等。
3、实验设计实验设计的主要内容是选择和决定：输入信号的类型、产生方法、引入点、采样周期、在线或离线辨识、信号的滤波等。
系统辨识与模型预测控制
系统辨识与模型预测控制系统辨识与模型预测控制是现代控制理论中的关键概念，它们在工程领域中被广泛应用于系统建模及控制设计中。
本文将详细介绍系统辨识与模型预测控制的基本概念、原理、方法和应用。
一、系统辨识系统辨识是指通过实验数据对系统的动态行为进行建模和估计的过程。
它可以帮助我们了解系统的性质和结构，并在控制系统设计中提供准确的数学模型。
系统辨识的主要任务是确定系统的参数和结构，并评估模型的质量。
1.1 参数辨识参数辨识是系统辨识的主要内容之一，它通过收集系统的输入和输出数据，并根据建模方法对参数进行估计。
常用的参数辨识方法包括最小二乘法、极大似然法、频域法等。
参数辨识的结果对建模和控制设计具有重要的指导意义。
1.2 结构辨识结构辨识是指确定系统的数学结构，即选择合适的模型形式和结构。
常用的结构辨识方法有ARX模型、ARMA模型、ARMAX模型等。
结构辨识的关键是根据系统的性质和实际需求选择适当的模型结构，以保证模型的准确性和有效性。
二、模型预测控制模型预测控制是一种基于系统动态模型的控制方法，它通过在线求解最优控制问题实现对系统的控制。
模型预测控制通过对系统未来动态行为的预测，结合控制目标和约束条件，求解优化问题得到最优控制输入。
它具有优良的鲁棒性和适应性，并且能够处理多变量、非线性以及时变系统的控制问题。
2.1 模型建立模型预测控制的第一步是建立系统的数学模型，通常采用系统辨识的方法得到。
模型可以是线性的或非线性的，根据实际需求选择适当的模型结构和参数。
2.2 控制器设计模型预测控制的核心是设计控制器，控制器的目标是使系统输出跟踪参考轨迹，并满足约束条件。
控制器设计通常通过求解一个离散时间最优控制问题来实现，常用的方法有二次规划、线性规划、动态规划等。
2.3 优化求解模型预测控制的关键是求解最优控制问题，将系统的模型和控制目标转化为一个优化问题，并通过数值优化方法求解得到最优解。
常用的优化算法包括线性规划、非线性规划、遗传算法等。
系统辨识
3.系统辨识
建模的方法：
机理建模：依据系统工作所服从的物理、化
学、生物的定理、定律，以及系统的结构数 据推导出数学模型。 －白箱建模 机理模型、解析模型。 系统辨识：通过观测实际系统的输入、输出 数据，从一类数学模型中选择一个特定的数 学模型，该模型在数学上等价于相应的实际 系统。 －黑箱建模 两者相结合，用机理分析确定模型结构，用 系统辨识方法确定模型参数。 －灰箱建模
系统辨识
吴刚
中国科学技术大学工业自动化研究所
2010年11月21日
引论
第一节 定义与分类
1.系统（system）
一般定义： 由相互联系、相互制约、相互作
用的各个部分组成的，具有一定整体功能和 综合行为的统一体。 工程系统中：由相互联系的元部件组成的具 有某种特定功能的整体。 如：晶体管、放大器、电机 伺服系统、调节器、惯性导航平台 磨煤机、水处理、锅炉、发电机 生产线、电网、互联网 企业、联合企业、经济协作区、国民经 济系统
7.先验知识
对模型结构、参数、数据的实际知识或信息
对实际系统的数学假定
主导时间常数
系统时延 系统通频带 系统非线性与时变特性 输入/输出信号变化幅值
噪声水平
8.参数估计的方法
离线辨识 在线辨识（实时辨识） 最小二乘法 极大似然法 辅助变量法 随机逼近法 互相关法
n
向后一步平移算子：
q X t X t 1 yt ai q yt bi q ut
i i i 1 i 1 n n
1
A(q ) yt B(q )ut 1 A(q ) 1 ai q 1 a1q an q
1 i 1 i 1 n n
系统辨识 第2章 系统描述与辨识模型
bm s
m
拉氏变换 与反变换
1、连续/离散系统的输入输出模型 (二) 离散型输入输出模型
● 离散系统输入输出模型的基本形式是差分方程：
y (k ) a1 y (k 1) an 1 y (k n 1) an y (k n) bn 1u (k n 1) bn u (k n) b0 u (k ) b1u (k 1)
y (t ) a1 y (1) (t ) an 1 y ( n 1) (t ) an y ( n ) (t ) b0 u (t ) b1u (1) (t ) bm 1u ( m 1) (t ) bm u ( m ) (t )
连续系统的传递函数形式：
G(s) Y ( s ) b0 b1s U (s) 1 a1s an 1s n 1 an s n bm 1s
3、系统辨识模型
一般随机模型结构：
噪声模型
白噪声
有色噪声
过程模型
成形滤波器：有色噪声可以看作是 白色噪声驱动的线性环节的输出。
D ( z 1 ) H (z ) C ( z 1 )
1
系统一般模型：
z d B ( z 1 ) D ( z 1 ) z (k ) u (k ) v(k ) 1 1 A( z ) C(z )
第2章 系统描述与辨识模型
2.1 连续/离散系统的输入输出模型 2.2 状态空间数学模型 2.3 系统辨识模型
1、连续/离散系统的输入输出模型
连续系统
u ( t)
连续信号 t
被控 对象
被控 对象
y ( t)
连续信号 t
u(t)
y(t)
离散系统
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系统辨识的基本原理
再选定一个等价准则
J l e2k l T Tˆ 2
k 1
k 1
l
T k a1T k 1 anT k n b1Qk 1 b2Qk 2 bnQk n2
k 1
而Q与T之间的数学描述就是T/Q的数学模型的辨识问题，即
系统辨识篇
System Identificaton2020/8/29
1
讲述内容
Chapter1系统辨识理论、方法及应用； Chapter2系统辨识的经典方法； Chapter3系统辨识的脉冲响应法 Chapter4智能技术在系统辨识中的应用；
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2
Chapter1
系统辨识与控制理论的联系较为密切。随着计算机
技术的发展以及对系统控制技术要求的提高，控制理论
得到了广泛的应用。但是，控制理论的大多数应用场
合，若想获得理想的使用效果，则与是否能获得被控对
象的数学描述是密不可分的。然而，很多时候，被控对
象的数学模型是不知道的，甚至涉及这个系统的工艺方
面的工程师都无法描述。
在应用控制理论去实施系统控制时，事先建立对象
Gg与对象等价。因此，辨识就是求使准则函数最小的模
型Gg的优化问题[7]。若模型类采用参数模型描述时，辨
识就归结为参数优化问题。
我们发现，准则函数通常表示成误差e的函数，写作
J y, yg f e，而在具体表达中，平方误差准则 f e e2
用得最多，而根据误差的定义形式，又可分为输出误
差、202输0/8/2入9 误差和广义误差形式。
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系统辨识的基本原理—等价准则
① 输出误差：令输出误差为
e y yg 输出误差通常是参数的非线性函数，这种参数辨识
是一种复杂的非线性最优化问题，当误差和参数的关系
是一次函数时，称模型是关于参数线性的。
参数线性模型按照最小均方误差准则，采用最小二
乘（LS，Least Square），可实现对参数辨识。
（A）
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系统辨识的基本原理
（A）式相当于表达了T Tˆ ek 的关系，在这个关
系式中，T表示量测温度，可表示为
T T k a1T k 1 anT k n
Tˆ表示了估计（计算）温度 ，可表示为
Tˆ b1Qk 1 b2Qk 2 bnQk n
ek 表示干扰噪声（量测误差），表达了量测温度
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系统辨识的基本原理
燃料流量Q（输入）和炉膛温度T（输出）之间的关 系：
欲建立T/Q模型，经观测得到一组输入-输出数据，
记为Qk , k 1,2,,l和 T k, k 1,2,,l，其中l为数据
长度，同时，选定一组模型：
T k a1T k 1 anT k n b1Qk 1 b2Qk 2 bnQk n ek
以用最小二乘法辨识得到。
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系统描述的数学模型
前面我们已对数学模型做过分析，对于SI过程，弄 清各类模型的表达形式、相互转换及应用场合十分必要。
间的偏离值（误差）e=y-yg ，采用的准则函数如下：
① 连续信号下，准则函数为
t
t
J y, yg yt yg t2dt e2 tdt
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t T
t T
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系统辨识的基本原理—等价准则
② 离散信号下，准则函数为
J y, yg
N
y yg 2 e 2
在给定的模型类中，k当Gg使准则函数最小时，定义
输入误差示意图
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系统辨识的基本原理—等价准则
③ 广义误差：将输入、输出误差组合而成，
定义为 et Gg1yt G1ut
其中，G1 和G21称为广义模型。
激励信号u
y 辨识对象
-
模型 G1
+
逆模型 G21
e
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广义误差示意图
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系统辨识的基本原理—等价准则
在广义误差中，特别常用的是方程式误差。例
一种20近20/8似/29描述[6] 。
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系统辨识的基本原理—等价准则
在SI中，有一个很重要的概念，就是等价准则，它
是用来衡量模型接近实际过程的标准。而通常被辨识对
象和模型的等价性是通过引入评价函数来定义的，这个
评价函数称为等价准则函数。
对于相同的输入u，若实际系统的输出为y，模型Gg
的输出为yg，而被辨识对象和模型输出这两个输出量之
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系统辨识的基本原理—等价准则
其中，q-1为后移算子，即
q 1 yk yk 1
则误差准则为
L
2
J A q 1 yt B q 1 ut
k 1
这里， 表示方程中的参数，即ai ,bi ,i 1,2,, n。
当给定输入输出u和y时，误差是线性的，即误差准
则函数J 关于模型参数空间是线性的，其参数可
根据所观测的In-Out数据Qk , k 1,2,,l和 T k , k 1,2,,l
从模型类（A）式中寻找一个模型，也就是确定（A）式中的模型
阶次n及未知参数 ai ,bi ,i 1,2,, n ，使准则J=min。
由于观测到的数据一般都含有噪声，辨识建模实际上是一种实
验统计的方法，所获得的模型只不过是与实际过程外特性等价的
的数学描述（数学模型），成为应用是否成功的关键。
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Chapter1
系统辨识的基本原理； 系统描述的数学模型； 随机信号的描述与分析； 白噪声与伪随机码；
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系统辨识的基本原理
例如，一个工业炉加热过程中，若忽略其他因素， 控制的主要目标是燃料流量Q（输入）和炉膛温度T（输 出）之间的关系：
辨识技术为非参数模型转化为参数模型提供了手段。
这里，系统线性和参数线性是不同的概念。
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系统辨识的基本原理—等价准则
② 输入误差：令输入误差为
et ut ut ut Gg1yt
其中，Gg1 为模型Gg的逆系统，其关系如图：
激励信号u
y 辨识对象
e
系统逆模型
Gg1
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如对于离散时间系统，当G1
、G
1为
2
G21 : A q 1 1 a1q 1 a2 q 2 an q n
G1 : B q 1 b1q 1 b2q 2 bn q n
方程误差表示为
et A q 1 yt B q 1 ut
yk a1 yk 1 a2 yk 2an yk n b1uk 1 b2uk 2 bnuk n