初二几何之动点问题知识讲解

初二几何之动点问题

中考数学动点几何问题

※动点求最值:

两定一动型（“两个定点，一个动点”的条件下求最值。例如上图中直线l 的同侧有两个定点A 、B,在直线l 上有一动点）

例1、以正方形为载体 如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形内，在对角线AC 上有一动点P ，使PD+PE 的值最小，则其最小值是

例2、以直角梯形为载体 如图，在直角梯形中，AD ∥BC ，AB ⊥BC,AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，当PA+PD 取得最小值时，△APD 中AP 边上的高为

一定两动型（“一个定点”+“两个动点”）

例3、以三角形为载体如图，在锐角△ABC 中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D,M 、N 分别是AD 、AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是

例4、以正方形、圆、角为载体 正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上的一动点.连接BP ，EP ，则PB+PE 的最小值是

例5、⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB, ∠AOC=60°，P 是OB 上的一动点，PA+PC 的最小值是

例6、如图，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值是 .

例7：在△ABC 中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM,(1)求△ABC 的面积；

(2)现有动点P 从A 点出发，沿射线AB 向点B 方向运动，动点Q 从C 点出发，沿射线CB 也向点B 方向运动。如果点P 的速度是4CM/秒，点Q 的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ 的面积是△ABC 的面积的一半？ (3)在第（2）问题前提下，P,Q 两点之间的距离是多少？

A

例8：如图（3），在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒．（1）求边的长； （2）当为何值时，与相互平分；

（3）连结设的面积为求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？求最大值？

※动点构成特殊图形

例9、如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．

（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；

②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时

AD 的长为 ； （2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．

ABCD 906DC AB A AD ∠==∥，°

，4DC =BC 34i =∶，P A AB B Q B B C D →→D t BC t PC BQ PQ ，PBQ △y ，y t t y 图

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B

（备用

例10、如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；

（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.

①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；

②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.

例11、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=o ，且EF 交正方形外角DCG ∠的平分线CF 于点F ，求证：AE =EF ．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请

A D E

B F

C 图4 A

D

E B

F C 图5A D E B F C 图图A D E B F C P N M 图

A D E

B F C

P N M （第25

说明理由．

例12、如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC

，∠C =30°.点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）.过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、EF .（1）求证：AE =DF ；

（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由. （3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由.

※利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。

例13：如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．

（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．

①点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；

②若Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当Q 的运动速度为多少时，使BPD △与CQP △全等？

(2)若Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿

ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？

A D F

B 图1 A

D

F

B 图2

A

D

F

C E B

图

3