中考二次函数讲义附练习及答案

y

x

O

第三讲 二次函数的性质及其应用

相关概念及定义

二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，

，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，

可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，

，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数各种形式之间的变换

二次函数c bx ax y ++=2

用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中

a

b a

c k a b h 4422

-=-=，.

二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2

；

③()2

h x a y -=；④()k h x a y +-=2

；⑤c bx ax y ++=2

.

二次函数解析式的表示方法

一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

2

()y a x h k =-+

a ＞0 a ＜0

图 象

开 口 对 称 轴 顶点坐标

最 值

当x ＝ 时，y 有最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 增减

性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧

y 随x 的增大而

y 随x 的增大而

抛物线

的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0

a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.

对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2b

x a

=-

.特别地，y 轴记作直线0=x . 顶点坐标：），（a

b a

c a b 4422

--

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物

线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

│a │越大，开口越小，图像两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，•图像两边越靠近x 轴

当0b =时，02b

a

-

=，即抛物线的对称轴就是y 轴 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．

用待定系数法求二次函数的解析式

一般式：c bx ax y ++=2

.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.

顶点式：()k h x a y +-=2

.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：

()()21x x x x a y --=.

直线与抛物线的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；

②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.

平行于x 轴的直线与抛物线的交点

可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵

坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2

的两个实数根.

抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴两交点为

()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故

a

c

x x a b x x =

⋅-=+2121,()

()

a a ac

b a

c a b x x x x x x x x AB ∆=

-=-⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-+=

-=

-=44422

212

212

2121

二次函数图象的平移

平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，

； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，

处，具体平移方法如下：

向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位

向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位

向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位

向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位

向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位

向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位

y=a (x-h )2+k

y=a (x-h )2

y=ax 2+k

y=ax 2

平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

经验

根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。

三点式。

1，已知抛物线y=ax 2

+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点，求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=a(x-1)２

+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。 顶点式。

1，已知抛物线y=x 2-2ax+a 2

+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。

2，已知抛物线 y=4(x+a)2

-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 交点式。

1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。

2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=2

1

a(x-2a)(x-b)的解析式。 定点式。

1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线222

5212-+-+-

=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ，直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。

2，抛物线y= x 2

+(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。

3，抛物线y=ax 2

+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。 平移式。

1， 把抛物线y= -2x 2

向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线

y=a( x-h)2

+k,求此抛物线解析式。 2， 抛物线32

-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 距离式。

1，抛物线y=ax 2

+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=m x 2

+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求