二次函数讲义

第1页共12页二次函数【知识点1】二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义：形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f (x )＝___ax 2＋bx ＋c (a ≠0)___.已知三个点的坐标时，宜用一般式.②顶点式：f (x )＝__a (x －m )2＋n (a ≠0)____.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.③零点式：f (x )＝___a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)__.已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便.点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.2.二次函数的图象和性质图象函数性质a >0定义域x ∈R (个别题目有限制的，由解析式确定)值域a >0a <0y ∈[4ac －b 24a，＋∞)y ∈(－∞，4ac －b 24a]a <0奇偶性b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x ∈(－∞，－b2a]时递减，x ∈[－b2a ，＋∞)时递增x ∈(－∞，－b 2a]时递增，x ∈[－b2a，＋∞)时递减图象特点①对称轴：x ＝－b 2a；②顶点：(－b 2a ，4ac －b 24a)3.二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2－4ac >0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、第2页共12页M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝Δ|a |.【知识点2】二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当0∆<⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴无交点⇔20ax bx c ++=无实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆=⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴相切⇔20ax bx c ++=有两个相等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆>⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴有两个不同的交点⇔20ax bx c ++=有两个不等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞ 。

【知识点3】一元二次方程20ax bx c ++=实根分布的充要条件一般地对于含有字母的一元二次方程20ax bx c ++=的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令()f x =2ax bx c ++（0a >）（同理讨论0a <的结论）(1)x 1<α,x 2<α,则0/(2)()0b a f αα∆≥⎧⎪-<⎨⎪>⎩;(2)x 1>α,x 2>α,则0/(2)()0b a f αα∆≥⎧⎪->⎨⎪>⎩(3)α<x 1<β,α<x 2<β,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆βαβα)2/(0)(0)(0a b f f (4)x 1<α,x 2>β(α<β),则()0()0f f αβ<⎧⎨<⎩(5）若f(x)=0在区间(α,β)内只有一个实根，则有0))(<(βαf f 点评：（1）讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．在讨论过程中，注意应用数形结合的思想.【知识点4】二次函数()02≠++=a c bx ax y 在闭区间[]q p ,上的最值二次函数()02≠++=a c bx ax y 在闭区间[]q p ,上的最值一般分为三种情况讨论：第3页共12页（1）若对称轴2bx a=-在区间左边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较(),()f p f q 的大小即可决定函数的最大（小）值；（或利用函数的单调性直接决定函数的最大（小）值）（2）若对称轴2bx a=-在区间右边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较(),()f p f q 的大小即可决定函数的最大（小）值；（3）若对称轴2b x a =-在区间内，则()2bf a-是函数的最小值（0a >）或最大值（0a <），再比较(),()f p f q 的大小决定函数的最大（小）值。

点评：（1）两个重要的结论：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值；单调连续函数在闭区间的两个端点处取得最值。

（2）二次函数()02≠++=a c bx ax y 在闭区间[]q p ,上的最值的讨论的基点是对称轴abx 2-=与区间[]q p ,的相对位置的讨论，尤其当顶点横坐标是字母时，则应抓住讨论的基点进行讨论。

特别要注意二次项系数a 的符号对抛物线开口及结论的影响。

【题型1】求解二次函数的解析式问题【例1】已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数.探究提高二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)；(3)两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).变式训练1：已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值；②图象过点(0，-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行。

（1）求f(x)的解析式；（2）求函数g(x)=f(x 2)的单调递增区间。

【题型2】判断二次函数的单调性问题【例2】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6].(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间.变式训练2：（1）.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围为_________。

（2）已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称.(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围.【题型3】求解二次函数在闭区间上的最值例3（1）设函数f(x)=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值为g(t)，求g(t)的解析式。

第4页共12页第5页共12页（2）已知函数21sin sin 42a y x a x =-+-+的最大值为2，求a 的值。

（3）已知31≤a≤1，若f(x)=ax 2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a)，①求g(a)的函数表达式；②判断函数g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值。

探究提高(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.变式训练3：（1）已知函数f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a 的值.（2）已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________.(3)设x 、y 是关于m 的方程m 2－2am +a +6=0的两个实根，则（x －1）2+（y －1）2的最小值是（）A.－1241B.18C.8D.43第6页共12页【题型4】求解二次函数中的恒成立的问题【例4】若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围.变式训练4：(1)已知2()2(2)4f x x a x =+-+，1如果对一切x R ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围；②如果对[3,1]x ∈-，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．(2)已知二次函数2()f x ax x =+（a ∈R ，a ≠0）．如果x ∈[0，1]时，总有|()f x |1≤．试求a 的取值范围．【题型5】求解二次函数与方程问题【例5】已知二次函数cbx ax x f ++=2)(（1）若a>b>c,且f(1)=0,证明f(x)的图象与x 轴有2个交点;（2）在(1)的条件下,是否存在m ∈R,使池f(m)=-a 成立时,f(m+3)为正数,若存在,证明你的结论,若不存在,说明理由.（3）若对121212,,<,()()x x R x x f x f x ∈≠且,121()=[()+()]2f x f x f x 方程有2个不等实根,证明必有一个根属于12(,)x x第7页共12页【例6】二次函数21y ax x =++(0)a >的零点分别为12,.x x （1）证明12(1)(1)1;x x +⋅+=（2）证明121,1;x x <-<-（3）若12,x x 满足不等式|lg21x x |≤1，试求a 的取值范围.【例7】已知二次函数.92)1(42)(22++---=a a x a x x f （1）若在区间[-1，1]内至少存在一个实数m ，使得0)(>m f ，求实数a 的取值范围；（2）若对区间[-1，1]内的一切实数m 都有0)(>m f ，求实数a 的取值范围。

【题型6】求解二次函数与不等式问题【例8】已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．（1）求函数g (x )的解析式；（2）解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|；（3）若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体.因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.变式训练6：设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一.本题充分体现了分类讨论的思想方法.在解答本题时有两点容易造成失分：一是求实数a的值时，讨论的过程中没注意a自身的取值范围，易出错；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论.除此外，解决函数问题时，以下几点容易造成失分：1.含绝对值问题，去绝对值符号，易出现计算错误；2.分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较出大小关系；3.解一元二次不等式时，不能与一元二次函数、一元二次方程联系在一起，思路受阻.【方法与技巧】1.数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思路.2.含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论.比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，又例如涉及二次不等式需讨论根的大小等.3.关于二次函数y＝f(x)对称轴的判断方法(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝x1＋x2 2.(2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数).第8页共12页第9页共12页(3)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x ＋2a )＝f (x )，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝a (a 为常数).注意：(2)(3)中，f (a ＋x )＝f (a －x )与f (x ＋2a )＝f (x )是等价的.(4)利用配方法求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)对称轴方程为x ＝－b 2a；(5)利用方程根法求对称轴方程.若二次函数y ＝f (x )对应方程f (x )＝0的两根为x 1、x 2，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝x 1＋x 22.【失误与防范】1.求二次函数的单调区间时要经过配方法，要熟练准确利用配方法.2.对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c 要认为它是二次函数，就必须认定a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况.3.对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)给定了定义域为一个区间[k 1，k 2]时，利用配方法求函数的最值4ac －b 24a 是极其危险的，一般要讨论函数图象的对称轴在区间外、内的情况，有时要讨论下列四种情况：①－b 2a <k 1；②k 1≤－b 2a <k 1＋k 22；③k 1＋k 22≤－b 2a <k 2；④－b2a ≥k 2.4.注意判别式作用，正确利用判别式.强化训练1一、选择题1.设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是()2.函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是()A.m ＝－2B.m ＝2C.m ＝－1D.m ＝13.已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋c )x ＋1(a ≠0)是偶函数，其定义域为[a －c ，b ]，则点(a ，b )的轨迹是()A.线段B.直线的一部分C.点D.圆锥曲线4.设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范第10页共12页围是()A.(－∞，0]B.[2，＋∞)C.(－∞，0]∪[2，＋∞)D.[0,2]5.已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是()A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(－∞，0)6.函数f (x )＝－x 2＋(2a －1)|x |＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是()A.a >23 B.12<a <32C.a >12D.a <12二、填空题7.若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝______.8.若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝______.9.二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________.10.若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是_________.11.若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)的一个零点是1，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点_____.12.方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α，β，且α>0，1<β<2，则实数m 的取值范围是_________________.13.若方程x 2－11x ＋30＋a ＝0的两根均大于5，则实数a 的取值范围是________.14.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a ]，则y ＝f (x )的值域为_________.三、解答题15.是否存在实数a ，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由.16.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ，b 为常数，且a ≠0)，满足条件f (1＋x )＝f (1－x )，且方程f (x )＝x 有等根.第11页共12页(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[3m,3n ]，如果存在，求出m 、n 的值，如果不存在，说明理由.强化训练21.下图所示为二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象，则｜OA ｜·｜OB ｜等于（）A.ac B.－ac C.±ac D.无法确定2.二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，若))(()(2121x x x f x f ≠=，则)2(21x x f +等于（）A ．ab 2-B ．ab -C ．c D ．ab ac 442-3.若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是()A.－∞，－52B.52，＋∞ C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.－52，＋∞4．函数f (x )＝|4x －x 2|－a 恰有三个零点，则a ＝_________.5.二次函数y =ax 2+bx +c （x ∈R ）的部分对应值如下表：x －3－2－101234y6－4－6－6－46则不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是____________.6．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列四个命题：①c ＝0时，f (x )是奇函数；②b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实根；③f (x )的图象关于(0，c )对称；④方程f (x )＝0至多有两个实根．其中正确的命题是__①②③________．7．对于区间[a ，b ]上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对于区间[a ，b ]中的任意数x 均有|f (x )－g (x )|≤1，则称函数f (x )与g (x )在区间[a ，b ]上是密切函数，[a ，b ]称为密切区间．若m (x )＝x 2－3x ＋4与n (x )＝2x －3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是_______．①[3,4]②[2,4]③[2,3]④[1,4]8.已知函数f (x )的自变量的取值区间为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间.函数f (x )＝x 2形如[n ，＋∞)(n ∈(0，＋∞))的保值区间是________.9.已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t .(1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2)若12<t <34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1,0)及0，12上各有一个实根.10.二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)满足条件：①f(0)=-1；②对任x ∈R，均有f(x-4)=f(2-x);③函数f(x)的图象与函数g(x)=x -1的图像相切.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)当且仅当x∈[4,m](m>4)时，f(x-t)≤g(x)恒成立，试求t，m的值.11设函数f(x)＝x2＋2bx＋c(c<b<1)，f(1)＝0，方程f(x)＋1＝0有实根．(1)证明：－3<c≤－1且b≥0；(2)若m是方程f(x)＋1＝0的一个实根，判断f(m－4)的正负并加以证明．更多数学精品一手资料关注K12中小学资料智库第12页共12页。