轨迹方程经典例题
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轨迹方程经典例题
一、轨迹为圆的例题:
1、长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程:
2、已知M 与两个定点(0,0),A (3,0)的距离之比为
2
1
,求点M 的轨迹方程;
3、线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆1)1(2
2=++y x 上运动,求AB 的中点M 的轨迹。
-
4、已知椭圆的焦点是F 1、F 2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长F 1P 到Q ,使得|PQ |=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线
5、高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距10 m ,如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (-5,0)、B (5,0),则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.
二、 椭圆类型:
1、点M(x ,y )与定点F(2,0)的距离和它到定直线8=x 的距离之比
为
2
1
,求点M 的轨迹方程. 2、一个动圆与圆0562
2
=+++x y x 外切,同时与圆
091622=--+x y x 内切,求动圆的圆心轨迹方程。
《
3、点M(00,y x )圆1F 9)1(2
2
=++y x 上的一个动点, 点2F (1,0)为定点。线段2MF 的垂直平分线与1MF 相交于点Q(x ,y ),求点Q 的轨迹方程;
4、设点A,B 的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM 相交
于点M ,且他们的斜率的乘积为9
4
-,求点M 的轨迹方程
5、已知动点),(y x M 到直线4:=x l 的距离是它到点)0,1(N 的距离的2倍。(1)求动点M 的轨迹C 的方程
三、双曲线类型:
1、在平面直角坐标系xOy 中,已知圆P 在x 轴上截得线段长为22,在
y 轴上截得线段长为32。 (1)求圆心的P 的轨迹方程;
2、设A 1、A 2是椭圆4
92
2y x +=1的长轴两个端点,P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点,则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( ) A.14
92
2=+y x
B.14
92
2=+x y C.14
92
2=-y x
D.1492
2=-x y
《
3、△ABC 中,A 为动点,B 、C 为定点,B (-2a ,0),C (2a ,0),且满足条件sin C -sin B =2
1
sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.
4、点M(x ,y )与定点F(5,0)的距离和它到定直线516=x 的距离之比为4
5
,求点M 的轨迹方程
四、抛物线类型
1、已知动圆过定点)0,4(A ,且在y 轴上截得弦MN 的长为8. 求动圆圆心的轨迹C 的方程;
一、《 二、 抛物线类型:
1、点M(x ,y )与定点F(2,0)的距离和它到定直线2-=x 的距离相等,求点M 的轨迹方程。
2、已知三点(0,0)O ,(2,1)A -,(2,1)B ,曲线C 上任意一点(,)M x y 满足
||()2MA MB OM OA OB +=⋅++。
(1)求曲线C 的方程;
)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的点均在C 2:(x-5)2+y 2=9外,且对C 1上任意一点M ,M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线C 1的方程;
(湖北)设A 是单位圆x 2+y 2=1上的任意一点,i 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线i 与x 轴的交点,点M 在直线l 上,且满足丨DM 丨=m 丨DA 丨(m>0,且m ≠1)。当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C 。 (I ) ;
(II ) 求曲线C 的方程
(辽宁)如图,椭圆0C :22
221(0x y a b a b
+=>>,a ,b 为
常数),动圆222
11:C x y t +=,1b t a <<。点12,A A 分别为0
C 的左,右顶点,1C 与0C 相交于A ,B ,C ,
D 四点。 (Ⅰ)求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程;
(四川)如图,动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成MAB ∆,且2MBA MAB ∠=∠,设动点M 的轨迹为C 。 (Ⅰ)求轨迹C 的方程;
已知定点(3,1)A 、B 为抛物线2
1y x =+,上任意一点,点P 在线段AB 的中点,当B 点在抛物
线上变动时,求点P 的轨迹方程.
{
解:设点(,)P x y ,且设点00(,)B x y ,则有2
001y x =+.∵点P 是线段AB 的中点.由中点坐标公式得:
3
2
1
2
x
x
y
y
+
⎧
=
⎪
⎨+
⎪=
⎩
,∴0
23
21
x x
y y
=-
⎧
⎨=-
⎩
.将此式代入2
00
1
y x
=+中,并整理得:2
(21)22
y x
-=-,
即为所求轨迹方程.它是一条抛物线.
19.设椭圆方程为1
4
2
2=
+
y
x,过点(0,1)
M的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,
点P满足
?
2OP OA OB
=+,当l绕点M旋转时,求动点P的轨迹方程
21.设点A和B为抛物线24 (0)
y px p
=>上原点以外的两个动点,
已知OA OB
⊥,OM AB
⊥,求点M
二、填空题
三、解答题
、
5.(★★★★)已知A、B、C是直线l上的三点,且|AB|=|BC|=6,⊙O′切直线l于点A,
又过B、C作⊙O′异于l的两切线,设这两切线交于点P,求点P的轨迹方程.
6.(★★★★)双曲线
2
2
2
2
b
y
a
x
-=1的实轴为A1A2,点P是双曲线上的一个动点,引A1Q⊥
A1P,A2Q⊥A2P,A1Q与A2Q的交点为Q,求Q点的轨迹方程.
8.(★★★★★)已知椭圆
2
2
2
2
b
y
a
x
+=1(a>b>0),点P为其上一点,F1、F2为椭圆的焦点,
∠F1PF2的外角平分线为l,点F2关于l的对称点为Q,F2Q交l于点R.
(1)当P点在椭圆上运动时,求R形成的轨迹方程;
(2)设点R形成的曲线为C,直线l:y=k(x+2a)与曲线C相交于A、B两点,当△AOB
x
y
O
A
M
B