参数方程典型例题分析
极坐标和参数方程的典型例题
极坐标和参数方程的典型例题在数学中，极坐标和参数方程是研究平面曲线的重要工具。
极坐标是一种用极径和极角来表示平面上点位置的坐标系统，而参数方程则是用一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。
在本文中，我们将通过一些典型例题来探讨如何使用极坐标和参数方程解决问题。
例题一：极坐标下的圆首先让我们考虑一个非常简单的例子，即极坐标下的圆。
圆的极坐标方程为：$$ \\begin{cases} r = a \\\\ \\theta \\in [0, 2\\pi) \\end{cases} $$其中，r表示极径，a表示圆的半径，$\\theta$表示极角。
这个方程说明了圆上的每个点都满足极径等于半径a，并且极角可以在0到$2\\pi$之间取值。
例题二：参数方程下的抛物线接下来，我们考虑一个使用参数方程描述的曲线：抛物线。
抛物线的参数方程为：$$ \\begin{cases} x = at^2 \\\\ y = 2at \\end{cases} $$其中，a为常数，t为参数。
根据这个参数方程，我们可以看到x和y都是t的二次函数。
这个参数方程给出了抛物线上的每个点的坐标。
例题三：极坐标和参数方程的转换有时候，我们需要在极坐标和参数方程之间进行转换。
下面的例题将展示如何将一个极坐标方程转换为参数方程。
考虑极坐标方程：$$ \\begin{cases} r = 2\\cos\\theta \\\\ \\theta \\in [0, \\pi] \\end{cases} $$我们可以使用三角恒等式来将这个极坐标方程转换为参数方程。
首先，我们注意到r是$\\theta$的函数，而x和y是r的函数。
根据极坐标和直角坐标之间的关系，我们有下面的关系式：$$ \\begin{cases} x = r\\cos\\theta \\\\ y = r\\sin\\theta \\end{cases} $$将极坐标方程中的r代入上述关系式，我们得到参数方程：$$ \\begin{cases} x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta) = 2\\cos^2(\\theta) \\\\y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta) = \\sin(2\\theta) \\end{cases} $$ 通过这个转换，我们将极坐标方程转换为了参数方程。
高中数学参数方程应用大题(带答案)
高中数学参数方程应用大题(带答案)参数方程极坐标系解答题一、圆上的点到直线的距离最大值1.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为。
曲线C的参数方程为：（α为参数）。
I）写出直线l的直角坐标方程；II）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值。
考点：参数方程化为普通方程，坐标系和参数方程。
分析：1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；2）化简曲线C的参数方程，然后根据直线与圆的位置关系进行转化求解。
解答：解：（1）∵直线l的极坐标方程为。
ρ（x﹣sinθ﹣cosθ）=。
y+1=0.2）根据曲线C的参数方程为：得：x-2）^2+y^2=4。
它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆。
圆心到直线的距离为：d=|cosθ- sinθ-1|/√2曲线C上的点到直线l的距离的最大值=√2.点评：本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程以及它们之间的互化等知识，属于中档题。
2.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为，求圆心的极坐标和△PAB面积的最大值。
考点：参数方程化为普通方程，简单曲线的极坐标方程。
专题：坐标系和参数方程。
解答：解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点，化为ρ=2，把θ代入即可得出圆心的极坐标。
II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出△PAB面积的最大值。
点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题。
解：（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，得到$x^2+y^2-4y=12$。
参数方程解题两例
参数方程解题两例
参数方程是常见的数学解题方法，本文就将分别介绍参数方程解题的两个实例，以便读者加深对参数方程的理解。
首先，我们来看一个典型的参数方程： f(x) = ax + bx + c。
这个参数方程的参数有三个，a、b和c。
这里可以看出，一般情况下，参数方程有几个参数，就有几个变量，分别为x、a、b和c。
接下来，我们来看一个具体的参数方程求解的实例：f(x) = 3x + 4x + 5，求f(2)的值。
解答：我们将参数方程的各个参数代入，可以得到f(2) = 3(2) + 4(2) + 5 = 23，所以f(2)的值为23。
再来看另一个参数方程解题的实例：求f(x) = x - 3x + 2的根。
解答：参数方程求根的解法是知道参数a、b和c，求出根的方法是用公式：
x1 = [-b +(b - 4ac)]/2a
x2 = [-b -(b - 4ac)]/2a
将参数a、b和c代入，可以得到x1 = [3 +(9-8)]/2=1.5，x2 = [3 -(9-8)]/2=0.5，所以f(x) = x - 3x + 2的根分别为1.5和0.5。
以上就是本文介绍的参数方程解题的两个实例。
从这些实例可以看出，参数方程解题的步骤是很简单的，但是却非常实用，在解决复杂的数学问题时十分有用。
在实际应用中，参数方程作为常见的数学解题方法经常被用到，它也是一个重要的数学理论。
希望本文对读者有所帮助，可以更加了解参数方程，从而更好地
掌握数学的解题窍门。
参数方程例题讲解1
参数方程例题讲解1直线的参数方程选配应以巩固参数的几何意义为主，椭圆和圆可选利用参数方程减少变量个数，简化运算的例题．互化应以参数方程化普通方程为主．例1 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 212235与⎩⎨⎧+-=+=ty t x 235，是否表示同一条直线． 此例可使学生明确以下几点： ①曲线的参数方程可能不唯一．②两个方程均表示直线03253=---y x ．两个方程中的参数的意义不同，取相同的t ，对应的点可能不同，但t 取全体实数时，所对应的点集相同．③判断方程⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 中t 的几何意义是否为定点(x 0，y 0)到动点P (x ，y )的数量，有二个原则，其一为a 2＋b 2=1，其二是b ≥0，这是因为α为直线倾角时，必有sin 2α+cos 2α=1及sin α≥0．④⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00上A ，B 两点间距离为2122t t b a AB -+=．上述方程中通过换元22'ba t t +=（当 b ≥0），可知t ’的几何意义就是定点(x 0，y 0)到动点(x ，y )的数量，其上两点间距离即为21t t -．⑤通过计算：ab at bt x x y y ==--00，使学生知道(x 0，y 0)必为直线上的点，a b等于直线的斜率．例2 在圆x 2＋2x ＋y 2=0上求一点，使它到直线2x ＋3y －5=0的距离最大．此题常用解法有：①求过圆心(－1，0)与直线2x ＋3y －5 = 0垂直的直线和圆的交点，并根据图形舍去一个点．②求与2x ＋3y －5 = 0平行的圆的切线，再求切点，并根据图形舍去一个点．③设切点坐标T (x 0, y 0)，利用方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=---=++23)1(0020020020x y y x x ,解出切点，再根据图形舍去一个解．④利用圆的参数方程⎩⎨⎧=+-=θθsin cos 1y x ，则圆上点到2x ＋3y －5 = 0的距离为22325s i n 3)c o s 1(2+-++-=θθd 13)132arcsin sin(13137cos 2sin 3+=-+=θθθ当1)132arcsinsin(-=+θ，即132arcsin23-=πθ时，d 取得最大值，此时1313213cos 1--=+-=θx ，13133sin -==θy ．即点P (1313213--，13133-)为所求．例3 在椭圆4x 2＋9y 2=36上求一点P ，使它到直线x ＋2y ＋18=0的距离最短（或最长）． 此题如用求切线的方法解，计算量大．利用椭圆的参数方程⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x ，则椭圆上点到直线的距离518)53arccos cos(5518sin 4cos 3+-=++=θθθd当53arccos+=πθ时，d 取得最小值5513，此时，59c o s 3-==θx ，58sin 2-==θy ．即点P (59-, 58-)为所求．例2 例3是使学生知道利用圆和椭圆的参数方程，可以用单变量θ表示动点坐标 （x ，y ），以简化运算．例4 将下列数方程化成普通方程．①⎩⎨⎧==t y tx 222，②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=221212t t y t x ，③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221211t t y t t x ，④⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1()1(t t b y t t a x ，⑤⎩⎨⎧+=+-=11mx y my x ．用①～④题介绍消参的常用方法，代入消元法、加（减）、乘（除）消元法，平方消元法，并强调它们是方法不是目的，故消参时，一个题目可能几个方法联合使用或重复使用，第③题还可以用设t=tan 2θ将原式化为⎩⎨⎧==θθsin cos y x ，后消参，第⑤题可以用①式乘以x ＋②式乘以y 直接消去参数m ．为了区别于先将x 、y 表达式求出，再消去m 的方法，可将此法称为直接消参法．这个方法更能使学生体会到参数的本质含义．此法对解综合题十分有用．例5 直线3x －2y ＋6=0，令y = tx ＋6（t 为参数）．求直线的参数方程． 将y = tx ＋6代入3x －2y ＋6=0，解得tx 236-=，将它代入y = tx ＋6得t t y 23618--=，此题是使学生了解，化普通方程为给定参数的参方程的一般方法．例6 将参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ，化为普通方程．所求普通方程为y 2=－x ＋1，x ∈[0，1]．通过类似的例题，说明消参过程中的等价性问题．。
高三数学参数方程试题答案及解析
高三数学参数方程试题答案及解析1.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）的普通方程为___________.【答案】【解析】由x=1+t得t=x-1代入y=-1+3t整理得，，即为曲线C的普通方程.考点:参数方程与普通方程互化2.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位,已知直线的参数方程为（t为参数，），曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程。
（Ⅱ）设直线与曲线C相交于A，B两点，当a变化时，求的最小值【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4【解析】（Ⅰ）将两边乘以得，，将代入上式得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）将将直线的参数方程代入曲线C的普通方程中，整理关于t的二次方程，设M，N两点对应的参数分别为，利用一元二次方程根与系数将，用表示出来，利用直线参数方程中参数t的几何意义得，|AB|=，再转化为关于与的函数，利用前面，关于的表示式，将上述函数化为关于的函数，利用求最值的方法即可求出|AB|的最小值．试题解析：（Ⅰ）由,得所以曲线C的直角坐标方程为（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程代入,得设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则t 1+t2=,t1t2=,∴|AB|=|t1-t2|==,当时,|AB|的最小值为4 （10分）【考点】极坐标方程与直角坐标互化，直线与抛物线的位置关系，直线的参数方程中参数t的几何意义，设而不求思想3.（本小题满分7分）选修4—4：极坐标与参数方程已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为，（为常数）.（I）求直线和圆的普通方程；（II）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围.【答案】（I）,;（II）【解析】（I）由已知直线的参数方程为，（为参数）,消去参数即可得直线的普通方程.由圆的参数方程为，（为常数）消去参数,即可得圆的普通方程.（II）由直线与圆有公共点,等价于圆心到直线的距离小于或等于圆的半径4,由点到直线的距离公式即可得到结论.试题解析：（I）直线的普通方程为.圆C的普通方程为.（II）因为直线与圆有公共点,故圆C的圆心到直线的距离,解得.【考点】1.参数方程.2.直线与圆的位置关系.4.直线（为参数）的倾斜角是【答案】.【解析】直线的斜率为，因此该直线的倾斜角为.【考点】1.直线的参数方程；2.直线的斜率5.直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为．【答案】3【解析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为．6.在平面直角坐标系中，直线经过点P（0，1），曲线的方程为，若直线与曲线相交于，两点，求的值．【答案】1【解析】利用直线的参数方程的几何意义，可简便解决有关线段乘积问题. 设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）设，两点对应的参数值分别为，．将代入，整理可得．所以．【解】设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）设，两点对应的参数值分别为，．将代入，整理可得． 5分（只要代入即可，没有整理成一般形式也可以）所以． 10分【考点】直线的参数方程7.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【答案】(1)(2)(, ),(2, )【解析】(1)将消去参数t,化为普通方程 , 即C1:.将代入得.所以C1的极坐标方程为.(2)C2的普通方程为 .由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为(, ),(2, )8.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为（，）,直线l的极坐标方程为ρcos（）=a,且点A在直线l上.(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;(2)圆C的参数方程为(为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.【答案】（1）x+y-2=0 （2）相交【解析】(1)由点A（，）在直线ρcos（-）=a上,可得a=，所以直线l的方程可化为,从而直线l的直角坐标方程为.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以圆C的圆心为(1，0)，半径r=1,因为圆心C 到直线l的距离d=<1,所以直线l与圆C相交.9.在直角坐标平面内，以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数），则点到曲线上的点的距离的最小值为．【答案】【解析】由已知得，点的直角坐标为，曲线的普通方程为，表示以为圆心，为半径的圆，故点到曲线上的点的距离的最小值为．【考点】1、直角坐标和极坐标的互化；2、参数方程和普通方程的互化；3、点和圆的位置关系.10.已知曲线C的参数方程为(t为参数)，若点P(m，2)在曲线C上，求m的值．【答案】m＝16【解析】点P(m，2)在曲线C上，则，所以m＝16.11.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为坐标原点，为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线．则的参数方程为 .【答案】（为参数）【解析】设点.由，可得.即的参数方程为（为参数）.【考点】1.参数方程的知识.2.向量相等.12.在直角坐标系中,曲线的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点,以轴正半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为,则与的两个交点之间的距离等于.【答案】【解析】、的普通方程分别为、，与的两个交点之间的距离即为圆截直线得到的弦长，所以，.【考点】参数方程与极坐标，直线与圆的位置关系.13.若直线（为参数）被圆截得的弦长为最大，则此直线的倾斜角为；【答案】【解析】直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为；直线被圆截得的弦长最大，即圆心到直线的距离最小，，当时，.【考点】参数方程与普通方程的转化、极坐标与直角坐标的转化、最值问题.14.过点M(2,1)作曲线C:(θ为参数)的弦,使M为弦的中点,求此弦所在直线的方程.【答案】2x+y-5=0【解析】由于曲线表示的是圆心在原点O,半径为r=4的圆,所以过点M的弦与线段OM垂直.∵kOM=,∴弦所在直线的斜率是-2,故所求直线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.15.已知直线与圆相交于AB，则以AB为直径的圆的面积为 .【答案】【解析】消掉可得直线方程为，利用可得圆的方程为，联立方程组得交点，交点间距离为，则所求圆的面积为.另解：因为圆心到直线的距离为，所以，则所求圆的面积为【考点】直线与圆的参数方程16.在平面直角坐标系xOy中，若直线l1： (s为参数)和直线l2： (t为参数)平行，则常数a的值为________．【答案】a＝4【解析】由消去参数s，得x＝2y＋1. 由消去参数t，得2x＝ay＋a.∵l1∥l2，∴＝，∴a＝4.17.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，它与曲线C：(y－2)2－x2＝1交于A、B两点．(1)求|AB|的长；(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．【答案】（1）（2）【解析】(1)把直线的参数方程代入曲线方程并化简得7t2－12t－5＝0.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝－.所以|AB|＝|t1－t2|＝5(2)易得点P在平面直角坐标系下的坐标为(－2,2)，根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为＝.由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|＝·＝.18.已知曲线（为参数），（为参数）.（1）化的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求.【答案】（1），曲线为圆心是，半径是1的圆，曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆；（2）.【解析】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，利用参数方程与普通方程的互化方法转化方程，再根据曲线的标准方程判断曲线的形状；第二问，根据已知写出直线的参数方程，与曲线联立，根据韦达定理得到两根之和两根之积，再利用两根之和两根之积进行转化求出.试题解析：⑴曲线为圆心是，半径是1的圆．曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆． 4分⑵曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则所以. 10分【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.圆和椭圆的标准方程；3.韦达定理；4.直线的参数方程.19.过点M（3，4），倾斜角为的直线与圆C：（为参数）相交于A、B两点，试确定的值.【答案】15【解析】将过点M（3，4），倾斜角为的直线写成参数方程.再将圆的参数方程写成一般方程，联立后求得含t的一元二次方程.将的值转化为韦达定理的根的乘积关系.即可得结论.本小题主要就是考查直线的参数方程中t的几何意义.试题解析：直线l的参数方程为.代入C：.方程得到：.设为方程两根，则.【考点】1.直线的参数方程.2.圆的参数方程.20.将参数方程（为参数,）化成普通方程为 ______ ．【答案】【解析】由已知得，将两式平方相加有，，所以普通方程为.【考点】参数方程与普通方程的互化.21.过点，倾斜角为的直线与圆C：（为参数）相交于两点，试确定的值．【答案】15．【解析】先将曲线：（圆）的参数方程化成普通方程，再将直线的参数方程代入其中，得到一个关于的一元二次方程，最后结合参数的几何意义，利用一元二次方程的根与系数之间的关系式即可求得距离之积．试题解析：由已知得直线的参数方程为（为参数），即（为参数） 3分曲线的普通方程为． 6分把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得∴点到两点的距离之积为15． 10分【考点】1．圆的参数方程；2．直线和圆相交有关计算．22.在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面坐标系，圆的参数方程（为参数），若圆与相切，则实数 .【答案】.【解析】圆的直角坐标方程为，其标准方程为，圆心为，半径长为，圆的圆心坐标为，半径长为，由于圆与圆外切，则.【考点】1.参数方程与直角坐标方程之间的转化；2.两圆的位置关系23.以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为：，曲线C2的参数方程为：，点N的极坐标为．（Ⅰ）若M是曲线C1上的动点，求M到定点N的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C1与曲线C2有有两个不同交点，求正数的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）．【解析】分别将极坐标方程与参数方程转化为普通方程，根据点与圆的几何意义求的最小值；根据曲线C1与曲线C2有有两个不同交点的几何意义，求正数的取值范围．试题解析：解：（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，可得点，曲线为圆，圆心为，半径为1，∴=3，∴的最小值为．（5分）（Ⅱ）由已知，曲线为圆，曲线为圆，圆心为，半径为t，∵曲线与曲线有两个不同交点，，解得，∴正数t的取值范围是．（10分）【考点】极坐标与普通方程的互化，参数方程与普通方程的互化．24.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，则与交点在直角坐标系中的坐标为 ____.【答案】（2,5）【解析】曲线的参数方程为（为参数），将代入，因为，所以其一般方程为.再将曲线的极坐标方程为转化为直角坐标系中的方程,因为，，故曲线的一般方程为.联立方程组，解得或，又，所以舍去.所以与交点在直角坐标系中的坐标为（2,5）.【考点】坐标系与参数方程25.已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为：，（为参数），以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：则圆截直线所得弦长为 .【答案】【解析】圆C的参数方程为的圆心为,半径为3, 直线普通方程为,即,圆心C到直线的距离为,所以圆C截直线所得弦长.【考点】1.参数方程；2.点到直线的距离.26.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.⑴求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；⑵当时，曲线和相交于、两点，求以线段为直径的圆的直角坐标方程.【答案】(1)(2)【解析】(1)代入消参数法求解直线方程，利用极坐标公式求解圆的普通方程；（2）借助弦长公式求出直径的长，确定圆心坐标，利用圆的标准方程求解.试题解析：(1)对于曲线消去参数得：当时，；当时，. (3分)对于曲线：，，则. (5分)(2) 当时，曲线的方程为，联立的方程消去得，即，，圆心为，即，从而所求圆方程为. (10分)【考点】1.极坐标系与参数方程的相关知识;2.极坐标方程与平面直角坐标方程的互化;3.平面内直线与曲线的位置关系.27.函数的最大值是．【答案】10【解析】由分析可考虑三角代换，令，则，代入化简可得，即可得.【考点】参数方程，辅助角公式.28.已知直线的参数方程为：（为参数），圆的极坐标方程为，那么，直线与圆的位置关系是 ( )A．直线平分圆B．相离C．相切D．相交【答案】D【解析】先把参数方程化为，再把圆的极坐标方程化成，再利用圆心到直线的距离.【考点】1.参数方程；2.极坐标.29.[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为．直线与曲线交于两点，求．【答案】圆心到直线的距离，。
高中数学函数参数方程解析
高中数学函数参数方程解析一、引言在高中数学学习中，函数参数方程是一个重要的知识点。
本文将从基础概念出发，通过具体题目的举例，分析解题思路和考点，并给出一些解题技巧，帮助读者更好地理解和应用函数参数方程。
二、函数参数方程的基本概念函数参数方程是指用参数表示的函数方程。
一般形式为：y = f(x, a)，其中a为参数。
参数可以是任意实数，通过改变参数的取值，可以得到不同的函数图像。
三、函数参数方程的应用举例1. 例题一：求参数方程y = a^2 - x^2的图像。
解析：将参数方程转化为直角坐标系下的函数方程。
令y = f(x, a) = a^2 - x^2，其中a为参数。
通过改变参数a的取值，可以得到不同的图像。
当a = 1时，函数图像为一个单位圆；当a = 2时，函数图像为一个半径为2的圆。
可以通过改变参数a的取值，观察图像的变化规律。
2. 例题二：求参数方程x = a + t，y = a - t的图像。
解析：将参数方程转化为直角坐标系下的函数方程。
令x = f(t, a) = a + t，y = g(t, a) = a - t，其中a为参数。
通过改变参数a的取值，可以得到不同的图像。
当a = 0时，函数图像为直线y = -x；当a = 1时，函数图像为直线y = 1 - x。
可以通过改变参数a的取值，观察图像的变化规律。
四、函数参数方程的考点分析1. 参数的取值范围：在解题过程中，需要注意参数的取值范围，以保证函数有意义。
例如，在例题一中，参数a不能取负值，否则函数图像将不存在。
2. 函数图像的特点：通过观察函数图像的特点，可以发现一些规律。
例如，在例题一中，当参数a取不同的值时，函数图像的形状和大小都会发生变化。
这表明参数a对函数图像具有一定的控制作用。
3. 函数图像的对称性：在解题过程中，可以通过观察函数图像的对称性来简化问题。
例如，在例题一中，函数图像y = a^2 - x^2关于y轴对称，这可以帮助我们更好地理解和绘制函数图像。
参数方程] · [基础] · [知识点+典型例题]
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参数方程知识讲解一、参数定义：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点(,)P x y 满足()()x f t y f t =⎧⎨=⎩，该方程叫曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数．二、参数方程与普通方程的互化1.参数方程化为普通方程代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围！2.普通方程化为参数方程注：普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．三、常见参数方程1.直线l 的常用参数方程为：cos sin x m t y n t θθ=+⎧⎨=+⎩，t ∈R 为参数，其中θ为直线的倾斜角，(,)m n 为直线上一点．2.圆222()()x a y b r -+-=的常用参数方程为：cos ,[0,2π)sin x a r y b r θθθ=+⎧∈⎨=+⎩为参数； 3.椭圆22221x y a b +=的常用参数方程为：cos ,[0,2π)sin x a y b θθθ=⎧∈⎨=⎩为参数． 【引申】：参数方程和之前我们讲过的还原法有一个相同的“易错点”，就是一定要注意：新引进的参数的范围！【重点】：参数方程最主要的是抓住到底“参数是谁”！典型例题一．选择题（共11小题）1．（2018•朝阳区一模）直线l的参数方程为（t为参数），则l的倾斜角大小为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，直线l的参数方程为（t为参数），则到直线的方程为，所以直线的斜率为，倾斜角为，故选：C．2．（2018•大兴区一模）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交的弦长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由，得x﹣，由，得（x﹣1）2+y2=1．∴圆（x﹣1）2+y2=1的圆心坐标为（1，0），半径为1．而圆心（1，0）在直线x﹣上，∴直线与曲线相交的弦长为2．故选：B．3．（2018•奉贤区二模）已知曲线的参数方程为（0≤t≤5），则曲线为（）A．线段B．双曲线的一支C．圆弧D．射线【解答】解：由（0≤t≤5），消去参数t，得x﹣3y=5．又0≤t≤5，故﹣1≤y≤24．故该曲线是线段．故选：A．4．（2017秋•天心区校级期末）直线的参数方程为（t为参数），M0（﹣1，2）和M（x，y）是该直线上的定点和动点，则t的几何意义是（）A．有向线段M0M的数量B．有向线段MM0的数量C．|M0M|D．以上都不是【解答】解：根据题意，直线的参数方程化为标准形式为，则﹣t表示有向线段M0M的数量，即t表示有向线段MM0的数量；故选：B．5．（2018春•郑州期末）若P（2，﹣1）为圆（θ为参数且0≤θ＜2π）的弦的中点，则该弦所在的直线方程为（）A．x﹣y﹣3=0 B．x+2y=5 C．x+y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=0【解答】解：把圆（θ为参数且0≤θ＜2π）消去参数，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=25，表示以C（1，0）为圆心、半径等于5的圆．再根据所求直线和直线CP垂直，可得所求直线的斜率为﹣=﹣=1，可得所求直线的方程为y+1=1•（x﹣2），即x﹣y﹣3=0，故选：A．6．（2017秋•天心区校级期末）已知曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P的坐标是（）A．（3，4） B．， C．（﹣3，﹣4）D．，【解答】解：∵原点为O，直线PO的倾斜角为，∴tan=1，∵曲线（θ为参数，0≤θ≤π），∴tanθ=，∴cosθ=，sinθ=，∵曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P，∴代入得P的坐标为，．故选：D．7．（2017秋•东湖区校级期末）曲线C1：（t为参数），曲线C2：（θ为参数），若C1，C2交于A、B两点，则弦长|AB|为（）A．B． C．D．4【解答】解：曲线C1：（t为参数），化为普通方程为x+y﹣2=0，即y=2﹣x①曲线C2：（θ为参数），化为普通方程得，，②将①代入②，得5x2﹣16x+12=0，x1+x2=，x1x2=，则弦长|AB|==．故选：B．8．（2017秋•天心区校级期末）已知椭圆的参数方程为（θ为参数），则它的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：依据题意，椭圆的参数方程为，将椭圆的参数方程化成普通方程为+=1，其中a=4，b=2，故c==2，所以离心率e===；故选：A．9．（2018春•海珠区期末）若曲线C的参数方程为（t为参数），则下列说法正确的是（）A．曲线C是直线且过点（﹣1，2） B．曲线C是直线且斜率为C．曲线C是圆且圆心为（﹣1，2） D．曲线C是圆且半径为|t|【解答】解：曲线C的参数方程为（t为参数），消去参数t得曲线C的普通方程为=0．把（﹣1，2）代入，成立，斜率是．∴曲线C是直线且过点（﹣1，2），斜率是．故选：A．10．（2018春•青山区校级期末）参数方程（t为参数）表示什么曲线（）A．一个圆B．一个半圆C．一条射线D．一条直线【解答】解：∵参数方程（t为参数），消去参数t，化为普通方程是2（x﹣1）+（y﹣1）=0（x≥1），即2x+y﹣3=0（x≥1）；它表示端点为（1，1）的一条射线．故选：C．11．（2018春•桑珠孜区校级期中）点（1，2）在圆的（）A．内部B．外部C．圆上D．与θ的值有关【解答】解：根据题意，圆，其普通方程为：（x+1）2+y2=64，又由：（1+1）2+（2﹣0）2=16＜64，则点（1，2）在圆的内部；故选：A．二．填空题（共5小题）12．（2017•松江区二模）直线（t为参数）对应的普通方程是x+y ﹣1=0．【解答】解：两个方程相加得x+y﹣1=0，故答案为：x+y﹣1=0．13．（2017•闵行区校级模拟）已知直线l的参数方程是（t为参数），则它的普通方程是3x﹣4y+5=0．【解答】解：直线l的参数方程是（t为参数），可得，可得3x﹣4y+5=0．故答案为：3x﹣4y+5=0．14．（2017•徐汇区二模）参数方程为（t为参数）的曲线的焦点坐标为（1，0）．【解答】解：根据题意，曲线的参数方程为（t为参数），则其普通方程为：y2=4x，即该曲线为抛物线，其焦点在x轴上，且p=2；则其焦点坐标为（1，0）；故答案为：（1，0）15．（2016春•淮安校级期末）参数方程（t为参数）化为普通方程为x+2y+9=0．【解答】解：由y=﹣2t﹣5，可得2y=﹣4t﹣10，与x=4t+1相加可得：x+2y=﹣9，即x+2y+9=0．故答案为：x+2y+9=0．16．（2016春•无锡期末）直线（t为参数）的倾斜角为50°．【解答】解：根据直线（t为参数），得x+1=（y﹣3）tan40°，∴x﹣ytan40°+1+3tan40°=0，∴该直线的斜率k==tan50°，∴该直线的倾斜角为50°，故答案为：50°．三．解答题（共4小题）17．（2012•天山区校级模拟）已知在直角坐标系xOy内，直线l的参数方程为（t为参数）．以Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）判断直线l和圆C的位置关系．【解答】解：（1）消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y=2x﹣3；（4分），即ρ=2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ），消去参数θ，得⊙C的直角坐标方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2（8分）（2）圆心C到直线l的距离＜，所以直线l和⊙C相交．（10分）18．求椭圆（θ为参数）的左焦点坐标．【解答】解：∵椭圆的参数方程为，∴cosθ=（x﹣1），sinθ=y，∵cos2θ+sin2θ=1，∴+=1，∴已知椭圆可看作+=1向右平移1个单位得到，又易得+=1的左焦点为（﹣，0），∴已知椭圆的左焦点坐标为（1﹣，0），19．（1）在直角坐标系中，曲线C1：（其中θ为参数），直线C2：（其中t为参数）．点F（﹣4，0），曲线C1与直线C2相交于点A、B，求|FA|•|FB|的值．（2）在极坐标系中，直线l：ρcos（θ﹣）=2，与以点M（4，π）为圆心，以5为半径的圆相交于P、Q两点，求|PQ|的值．【解答】解：（1）由，得，把代入上式，得369t2﹣1440t﹣2025=0．∴|FA|•|FB|=；（2）由ρcos（θ﹣）=2，得，即．以点M（4，π）为圆心，以5为半径的圆的直角坐标方程为（x+4）2+y2=25．圆心（﹣4，0）到直线的距离为d=，∴|PQ|=2．20．已知极坐标的极点在平面直角坐标的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，若点P为曲线C：（θ为参数）上的动点，直线l 的极坐标方程为ρcos（θ+）=m（m＞2）（1）将曲线C的参数方程化为普通方程，直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若曲线C上有且只有一点P到直线l的距离为2，求实数m的值和点P的坐标．【解答】解：（1）曲线C：（θ为参数），利用平方关系可得普通方程：+y2=1．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=m（m＞2），展开可得：ρ（cosθ﹣sinθ）=m，化为直角坐标方程：x﹣y﹣m=0．（2）设与直线x﹣y﹣m=0平行且与椭圆相切的直线方程为x﹣y+t=0．把y=x+t代入椭圆方程可得：4x2+6tx+3t2﹣3=0，令△=36t2﹣48（t2﹣1）=0，解得：t=±2．当t=2时，方程为（2x+3）2=0，解得x=﹣，代入椭圆方程可得：=1，取y=，可得切点P，，则=2，解得m=﹣2±2．经过验证都满足条件．当t=﹣2时，方程为（2x﹣3）2=0，解得x=，代入椭圆方程可得：=1，取y=﹣，可得切点P，，则=2，解得m=2±2．经过验证都满足条件．综上可得：取点P，，m=﹣2±2．取点P，，m=2±2．。
参数方程典型例题分析报告
参数方程典型例题分析例1在方程（为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（）．（A）（2，－7）（B）（，）（C）（，）（D）（1，0）分析由已知得可否定（A）又，分别将，，1代入上式得，，－1，∴（，）是曲线上的点，故选（C）．例2直线（为参数）上的点A，B所对应的参数分别为，，点P分所成的比为，那么点P对应的参数是（）．（A）（B）（C）（D）分析将，分别代入参数方程，得A点的横坐标致为，B点的横坐标为，由定比分点坐标公式得P的横坐标为，可知点P所对应的参数是故应选（C）．例3化下列参数方程为普通方程，并画出方程的曲线．（1）（为参数，）（2）（为参数）；（3）（为参数），解：（1）∵∴，∴或故普通方程为（或），方程的曲线如图．（2）将代入得∵普通方程为（），方程的曲线如图．（3）两式相除得代入得整理得∵∴普通方程为（），方程的曲线如图．点评（l）消去参数的常用方法有代入法，加减消元法，乘除消元法，三角消元法等；（2）参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给出的，的围，以保证普通方程与参数方程等价．例4已知参数方程①若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？②若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？解：①当时，由（1）得，由（2）得，∴，它表示中心在原点，长轴长为，短轴长为焦点在轴上的椭圆．当时，，，它表示在轴上的一段线段．②当（）时，由（1）得，由（2）得．平方相减得，即它表示中心在原点，实轴长为，虚轴长为，焦点在轴上的双曲线．当（）时，，它表示轴；当（）时，，∵（时）或（时）∴，∴方程为（），它表示轴上以（－2，0）和（2，0）为端点的向左和向右的两条射线．点评本题的启示是形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线，因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数．例5直线（为参数）与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为（）．（A）或（B）或（C）或（D）或分析将参数方程化为普通方程，直线为（），当时不合题意．因为，它们相切的充要条件是，解得，又，∴或，故选（A）．例6求椭圆上的点到直线的最大、最小距离．解将椭圆普通方程化为参数方程（），则椭圆任意一点的坐标可设为（，），于是点到直线的距离∴，此时；，此时点评利用参数方程，将圆锥曲线上的点的坐标设为参数形式，这样减少曲线上点的坐标所含变量的个数，将二元函数的问题转化为一元函数的问题．例7已知点P是圆C：上一动点，点P关于点A（5，0）的对称点为Q，半径CP绕圆心C 按逆时针方向旋转后得到点M，求的最大值和最小值．解如图，设点（，），则点M为（，），即M（，）．又点A（5，0）为Q的中点，则点Q为（，），且所以时，取得最大值时，取得最小值点评此题根据圆的参数方程是利用转角作参数，由点坐标求点M坐标，再把与坐标，相关的的最值转化成的最值来求解．例8直线与椭圆交于A，B两点，当变化时，求线段AB中点M的轨迹．解设AB中点M（，），直线的方程为（，为参数）代入椭圆方程有中可得设A，B对应的参数值分别为，，则有，又，∴，又，故，即．所以M点的轨迹是直线在椭圆部的一条线段．例9已知线段，直线垂直平分交于点O，并且在上O点的同侧取两点P，，使，求直线BP 与直线的交点M的轨迹．解如图，以O为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，依题意，可知B（0，2），（0，－2），又可设P（，0），（，0），其中为参数，可取任意非零的实数．直线BP的方程为直线的方程为两直线方程化简为解得直线BP与的交点坐标为：（为参数）．消去参数得（）∴所求点M的轨迹是长轴为6，短轴为4的椭圆除去B，点．点评用参数法求解轨迹问题时，首先要建立适当的坐标系，然后选择参数，表示出有关点的坐标，求出动点轨迹的参数方程，必要时还要化成普通方程，根据方程确定轨迹的形状，大小等特征．。
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参数方程典型例题分析
例1在方程（为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（）．（A）（2，－7）（B）（，）（C）（，）（D）（1，0）
分析由已知得可否定（A）又，分别将，，1代入上式得，，－1，∴（，）是曲线上的点，故选（C）．例2直线（为参数）上的点A，B所对应的参数分别为，
，点P分所成的比为，那么点P对应的参数是（）．
（A）（B）（C）（D）
分析将，分别代入参数方程，
得A点的横坐标致为，B点的横坐标为，
由定比分点坐标公式得P的横坐标为
，
可知点P所对应的参数是故应选（C）．
例3化下列参数方程为普通方程，并画出方程的曲线．
（1）（为参数，）
（2）（为参数）；
（3）（为参数），
解：（1）∵
∴，
∴或
故普通方程为（或），方程的曲线如图．
（2）将代入得
∵普通方程为（），方程的曲线如图．
（3）两式相除得代入得
整理得
∵
∴普通方程为（），方程的曲线如图．
点评（l）消去参数的常用方法有代入法，加减消元法，乘除消元法，三角消元法等；（2）参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给出的，的范围，以保证普通方程与参数方程等价．
例4已知参数方程
①若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？
②若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？
解：①当时，由（1）得，由（2）得，
∴，它表示中心在原点，
长轴长为，短轴长为焦点在轴上的椭圆．
当时，，，
它表示在轴上的一段线段．
②当（）时，由（1）得，
由（2）得．平方相减得，
即
它表示中心在原点，实轴长为，虚轴长为，
焦点在轴上的双曲线．
当（）时，，它表示轴；
当（）时，，
∵（时）或（时）
∴，∴方程为（），
它表示轴上以（－2，0）和（2，0）为端点的向左和向右的两条射线．
点评本题的启示是形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线，因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数．
例5直线（为参数）与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为（）．
（A）或（B）或（C）或（D）或
分析将参数方程化为普通方程，直线为（），
当时不合题意．
因为，它们相切的充要条件是，
解得，又，
∴或，故选（A）．
例6求椭圆上的点到直线的最大、最小距离．
解将椭圆普通方程化为参数方程（），
则椭圆任意一点的坐标可设为（，），
于是点到直线的距离
∴，此时；，此时
点评利用参数方程，将圆锥曲线上的点的坐标设为参数形式，这样减少曲线上点的坐标所含变量的个数，将二元函数的问题转化为一元函数的问题．
例7已知点P是圆C：上一动点，点P关于点A（5，0）的对称点为Q，半径CP绕圆心C按逆时针方向旋转后得到点M，求的最大值和最小值．
解如图，设点（，），
则点M为（，），
即M（，）．
又点A（5，0）为Q的中点，则点Q为（，），
且
所以时，取得最大值
时，取得最小值
点评此题根据圆的参数方程是利用转角作参数，由点坐标求点M坐标，再把与坐标，相关的的最值转化成的最值来求解．
例8直线与椭圆交于A，B两点，当变化时，求线段AB中点M的轨迹．
解设AB中点M（，），
直线的方程为（，为参数）
代入椭圆方程有中可得
设A，B对应的参数值分别为，，则有，
又，
∴，又，
故，即．
所以M点的轨迹是直线在椭圆内部的一条线段．
例9已知线段，直线垂直平分交于点O，并且在上O点的同侧取两点P，，使，求直线BP与直线的交点M的轨迹．
解如图，以O为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，
依题意，可知B（0，2），（0，－2），
又可设P（，0），（，0），其中为参数，可取任意非零的实数．
直线BP的方程为
直线的方程为
两直线方程化简为
解得直线BP与的交点坐标为：（为参数）．
消去参数得（）
∴所求点M的轨迹是长轴为6，短轴为4的椭圆除去B，点．
点评用参数法求解轨迹问题时，首先要建立适当的坐标系，然后选择参数，表示出有关点的坐标，求出动点轨迹的参数方程，必要时还要化成普通方程，根据方程确定轨迹的形状，大小等特征．。