圆锥曲线韦达定理和硬解坐标

圆锥曲线

一、解答题

1． 已知椭圆22

22:1y x C a b

+=的左右焦点分别是1F ，2F ，上顶点M ，右顶点为(2,0)N ，12MF F ∆的外接圆半径为2.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过点N ，求ABN ∆面积的最大值.

2． 已知椭圆2

2

221(0)y

x a b a b

+=>>长轴上有一顶点到两个焦点之间的距离分别为：322+，322-．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点P 椭圆上第一象限，1F ，2F 分别为椭圆的左右焦点，若满足⋅=120PF PF uuu r uuu r

，求点P 到椭圆右准线

的距离；

（3）过点(1,0)Q 作直线l （与x 轴不垂直）与椭圆交于M ，N 两点，与y 轴交于点R ，若 ,RM MQ RN NQ λμ==u u u u r u u u r u u u r u u u r

，求证：λμ+为定值．

3． 已知椭圆2

2

221(0)y x a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F 和2F ，点3(1,)2P 在椭圆上，且12PF F △的面积为

32

. （1）求该椭圆的标准方程；

（2）过该椭圆的左顶点A 作两条相互垂直的直线分别与椭圆相交于不同于点A 的两点M 、N ，证明：动直线MN 恒过x 轴上一定点.

4． 如图，椭圆()22

2210:x y E a b a b

+=>>经过点()

01,A -且离心率为2．

(1)求椭圆E 的方程；

(2)经过点()

11,，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点,P Q (均异于点A )，证明:直线AP 与A Q 斜率之和为2．

5． 设椭圆2

212

:x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为20(,)．

（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；

（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．

6． 已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为

12

，且椭圆E 上一点到两个焦点距离之和为4；1l ，2l 是过点(0,2)P 且互相垂直的两条直线，1l 交E 于A ，B 两点，2l 交E 交C ，D 两点，AB ，CD 的中点分别为M ，N ．

（1）求椭圆E 的方程；

（2）求1l 的斜率k 的取值范围；

（3）求⋅OM ON uuu r uuu r

的取值范围．

7． 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，点1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆C 的右准线上

的点P ，满足线段1PF 的中垂线过点2F ．直线l ：y kx m =+为动直线，且直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若在椭圆C 上存在点Q ，满足OA OB OQ λ+=uu u r uuu r uuu r

（O 为坐标原点），求实数λ的取值范围； （3）在（2）的条件下，当λ取何值时，ABO ∆的面积最大，并求出这个最大值．

8． 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短半轴长为2，椭圆C 长轴的右端点到其右焦点的距离为51-． （1）求椭圆C 的方程．

（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且2

AOB π

∠=．求证：原点O 到直线AB 的距离为定值．

（3）在（2）的条件下，求AB 的最小值．

9． 如图，椭圆()

22

2210:x y C a b a b

+=>>经过点312,P

⎛⎫ ⎪⎝⎭

，离心率1

2e =，直线l 的方程为4x =．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,k k k ．问:是否存在常数，使得123k k k λ+=？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

10．已知椭圆22

2210:()x y M a b a b

+=>>6，焦距为2k 的直线l 与椭圆M 有两个

不同的交点A ，B ． （1）求椭圆M 的方程；

（2）若1k =，求||A B 的最大值；

（3）设20(,)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D

和点74(Q -，1

4

)共线，求k ．

圆锥曲线（参考答案）

一、解答题

1． 解：（Ⅰ）∵右顶点为(20)，，∴2a =，122MF MF ==，

∵121sin 2MO b b MF F MF a ∠=

==，

2122424sin 2

MF R MF F b b

====∠，∴1b =， ∴椭圆的标准方程为

2

214

x y +=．

（Ⅱ）设直线l 的方程为my x b =+，1122()()A x y B x y ，，，， 与椭圆联立得222(4)240m y mby b +-+-=， ∴212

12

222444

mb b y y y y m m -+==++，．

∵以AB 为直径的圆经过点N ，∴⋅=，0NA NB uuu r uuu r

∵1122(2)(2)NA x y NB x y =-=-uuu r uuu r

，，，，

∴1212122()40x x x x y y -+++=，①

∵12122

8()24

b x x m y y b m -+=+-=+，22

22

121212244()4b m x x m y y mb y y b m -=-++=+， 代入①式得2516120b b ++=，∴65

b =-或2b =-（舍去），

故直线l 过定点605⎛⎫

⎪⎝⎭

，．

∴121622||255ABN

S y y ⎛⎫=⨯-⨯-== ⎪⎝⎭△

令22

2564()[0)(4)

t h t t m t +==∈+∞+，，， 则228()0251281120425h t t t t ⎛⎫

'>⇒++<⇒∈-- ⎪⎝

⎭，，

∴()h t 在[0)t ∈+∞，上单调递减，max ()(0)4h t h ==，

∴0m =时，max 1625

ABN S =△．

2． 【解答】（1

）解：由已知得33a c a c ⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩

3a =

，c =

2221b a c ∴=-=，

故

椭圆方程为2219x y +=． （2）Q 点P 是椭圆上第一象限的点，1F ，2F 分别为椭圆的左右焦点，满足⋅=120PF PF uuu r uuu r

， 12PF PF ∴⊥，

由（1）知3a =，1b =

，c = 设(P x ，)(0y x >，0)y >，

则⋅=--⋅--=+-=2212(,),)80PF PF x y x y x y u u u r u u u r