85知识讲解圆周运动的向心力及其应用基础

圆周运动的向心力及其应用 【学习目标】 1、理解向心力的特点及其来源

2、理解匀速圆周运动的条件以及匀速圆周运动和变速圆周运动的区别

3、能够熟练地运用力学的基本方法解决圆周运动问题

5、理解外力所能提供的向心力和做圆周运动所需要的向心力之间的关系，以此为根据理解向心运动和离 心运

动。 【要点梳理】 要点一、物体做匀速圆周运动的条件 要点诠释： 物体做匀速圆周运动的条件：具有一定速度的物体，在大小不变且方向总是与速度方向垂直的合外力 的作用下做匀速圆周运动。 说明：从物体受到的合外力、初速度以及它们的方向关系上探讨物体的运动情况，是理解运动和力关 系的基本方法。 要点二、关于向心力及其来源 1、向心力

要点诠释 （ 1）向心力的定义：在圆周运动中，物体受到的合力在沿着半径方向上的分量叫做向心力 . （2）向心力的作用：是改变线速度的方向产生向心加速度的原因。 2 v2 （ 3）向心力的大小： F向 ma向 m mr 2

r

向心力的大小等于物体的质量和向心加速度的乘积； 对于确定的物体， 在半径一定的情况下， 向心力的大小正比于线速度的平方， 也正比于角速度的平方； 线速度一定时，向心力反比于圆周运动的半径；角速度一定时，向心力正比于圆周运动的半径。

（ 4）向心力的方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心。 （5）关于向心力的说明： ① 向心力是按效果命名的，它不是某种性质的力； ② 匀速圆周运动中的向心力始终垂直于物体运动的速度方向，所以它只能改变物体的速度方向，不能改变 速度的大小； ③ 无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心力总是变力，但是在匀速圆周运动中向心力的大小是不变 的，仅方向不断变化。 2、向心力的来源

要点诠释 （ 1）向心力不是一种特殊的力。重力 （ 万有引力 ） 、弹力、摩擦力等每一种力以及这些力的合力或分力都 可以作为向心力。 （2）匀速圆周运动的实例及对应的向心力的来源 （ 如表所示 ） ：

如果是匀速圆周运动则有： F向 ma向 2

v m

r 2 mr

42 22

mr4 2 f 2 mr

2 要点三、匀速圆周运动与变速圆周运动的区别 1、从向心力看匀速圆周运动和变速圆周运动

要点诠释： （ 1）匀速圆周运动的向心力大小不变，由物体所受到的合外力完全提供，换言之也就是说物体受到的合 外力完全充当向心力的角色。 例如月球围绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球对它的引力就是合外力，这个合外力正好沿着半径 指向地心，完全用来提供月球围绕地球做匀速圆周运动的向心力。 （2）在变速圆周运动中，向心力只是物体受到的合外力的沿着半径方向的一个分量。 例如用一根细线拴一个小球在竖直平面内做变速圆周运动，它的受力情况如图所示，物体受到线的拉 力 F

拉和重力 mg的作用，其合力分解为两个分量：向心力和切向力。 一个量都是瞬时量，任何一个时刻或者任何一个位置都可以用公式计算向心加速度。 换一种说法就是： F切 mg sin 向心力改变着速度的方向，产生向心加速度；切向力与线速度的方向相同或者相反， 大小使得物体做变速圆周运动。 2、从圆周运动的规律看匀速圆周运动和变速圆周运动

要点诠释： （1）匀速圆周运动和变速圆周运动所适用的共同规律

改变着线速度的

无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动向心加速度的大小总是： F向 a

向

m

v2 2 （公式中的每

在圆周运动中的任何时刻或位置，牛顿运动定律都成立，即 向 ma 向

2 v

m r mr

例如上面的例子，用一根细线拴一个小球在竖直平面内做变速圆周运动，在图中所示的位置用牛顿第 二定律可得：

F向 F拉 mg cos ma向

2 mv 2 mr r

F切 mg sin ma切

2）只适用于匀速圆周运动的计算公式：

42 r T 2

F mr 4 2 F向 mr 2

a向

mr 4 2

因为在匀速圆周运动的过程中各个量大小的平均值和瞬时值是相等的；如果将上式用在变速圆周运动 中，计算的结果仅是一个意义不大的粗略的平均值。 要点四、圆周运动的实例 1、水平面上的圆周运动

要点诠释： （1）圆锥摆运动：小球在细线的拉力和重力作用下的在水平面上的匀速圆周运动，如图所示： （2）在水平圆盘上随圆盘一起转动物体 ①向心力的来源： 如图，在竖直方向上重力和支持力平衡，物体做圆周运动的向心力由物体所受的静摩擦力提供。

当物体做匀速圆周运动时，这个静摩擦力沿着半径指向圆心； 当做变速圆周运动时，静摩擦力还有一个切线方向的分量存在，用来改变线速度的大小。 ③静摩擦力的变化： 当水平圆盘的转速增大时，物体受到的静摩擦力也随之增大，当物体所需要的向心力大于最大静摩擦 力时，物体将相对于圆盘滑动，变为滑动摩擦力。 2、竖直平面内的圆周运动

要点诠释： （1）汽车过拱形桥 在竖直面内的圆周运动中可以分为：匀速圆周运动和变速圆周运动。对于匀速圆周运动处理起来一般 比较方便。对于变速圆周运动，定量的计算通常是在圆周的最高点和最低点处用牛顿第二定律。例如：汽 车通过半圆的拱形桥，因为桥面对汽车提供的只能是支持力。

②力学方程： mgtan 2 v ma m lsin m 2lsin m4 2lsin T2 ③问题讨论：

越大。 b. 角速度与夹角 的关系： lcogs ，可见角速度越大时，夹角 越大。 ①向心力来源：物体重力和线的拉力的合力，沿着水平方向指向圆心。 a. 物体加速度与夹的关系： a gtan ，向心加速度越大时，夹角 可见，随着车的速度增大，路面对车的支持力变大。 要点五、圆周运动中的超重与失重 1、超重与失重的判断标准 要点诠释： （ 1）运动物体的加速度方向向上或者有向上的分量时，物体处于超重状态， 于自身的重力。 （ 2）运动物体的加速度方向向下或者有向下的分量时，物体处于失重状态， 于自身的重力。 2、圆周运动中的超重与失重现象

要点诠释： （ 1）失重现象：在竖直面上的圆周运动，物体处在圆周的最高点附近时，向心加速度竖直向下，物体对 支持物的压力小于自身重力。

①汽车在点位置Ⅰ最高时，对车由牛顿第二定律得： 2 v mg F N m

R

为了驾驶安全，桥面对车的支持力必须大于零，即 FN 0 从而解得车的速度应满足关系 v gR 如果 v gR ，在不计空气阻力的情况下， 车将做平抛运动） 2 ②汽车在位置Ⅱ时有 mg径 FN m v R mg sin FN

2 v

m R

又 FN 0 解得 v' gR sin 2）汽车通过圆弧型的凹处路面

如图在最低点处，对车运用牛顿第二定律得：

2 mv F N mg r

桥面对车的支持力 F N

mv

2

mg

物体对水平支持面的压力大 物体对水平支持面的压力小 2 例如在拱形桥顶运动的汽车，由上面计算有 FN mg m v ，它对于

桥面的压力小于重力。 R

（ 2）超重现象：在竖直面上的圆周运动，物体处在圆周的最低点附近时，向心加速度竖直向上，物体对 支持物的压力大于自身重力。

2 例如汽车通过圆弧型的凹处路面在最低点处， 桥面对车的支持力 FN mg mv 大于自身重力。 Nr

要点五、关于离心现象 1、外力提供的向心力与做圆周运动需要的向心力之间的关系对物体运动的影响

要点诠释： （ 1）外力提供的向心力：是某个力、几个力的合力或者是合力在半径方向上的分量，是实实在在的相互 作用。 （ 2）做圆周运动需要的向心力：是指在半径为 r 的圆周上以速度 v 运动时，必须要这么大的一个力，才 能满足速度方向改变的要求。 （3）供需关系对物体运动的影响： 外力提供的向心力等于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做圆周运动； 外力提供的向心力小于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做远离圆心的运动——离心运动 外力提供的向心力大于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做靠近圆心的运动——也可称之为向心 运动 2、离心现象及其运用

要点诠释： （1）被利用的离心现象： 洗衣机甩干衣服：水珠和衣服之间的附着力不足以提供水珠高速转动时需要的向心力，而做离心运动 从而脱离衣服，使得衣服变干。 离心沉淀器：悬浊液在试管中高速转动时，密度大于液体密度的小颗粒做离心运动，密度小于液体密 度的小颗粒做向心运动，从而使得液体很快被分离。 离心水泵：水在叶轮转动的作用下做离心运动，从而使得水从低处运动到高处，等等。 （2）需要防止的离心现象： 高速转动的砂轮会因为离心运动而破碎，造成事故； 火车或者汽车会因为转弯时的速度过大而出现侧滑、倾翻，造成人员伤亡等。 【典型例题】 类型一、水平面上在静摩擦力作用下的圆周运动

例 1、在水平转动的圆盘上距转动中心 10cm 处放着一物块， 物块随圆盘一起转动。 若物块质量 圆盘转速为 n 1r / s ，求物块与圆盘间的静摩擦力。