1.2.1函数的概念(第二课时)教案(人教A版必修1) 2

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1.2.1 函数的概念
第二课时 函数概念的应用

A【教学目标】
1．进一步加深对函数概念的理解，掌握同一函数的标准；
2．了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域．
3．经历求函数定义域及值域的过程，培养学生良好的数学学习品质。
B【教学重难点】
教学重点
能熟练求解常见函数的定义域和值域．
教学难点
对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解．
C【教学过程】
1、创设情境
下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数？为什么？
（1）f(x)＝ (x－1) 0；g(x)＝1 ； （2） f(x)＝x；g(x)＝x2；
（3）f(x)＝x 2；g(x)＝(x + 1) 2 ； 、 （4） f(x) ＝|x|；g(x)＝x2．

2、讲解新课

总结同一函数的标准
：定义域相同、对应法则相同

3、典例
例1 求下列函数的定义域：

（1）11xxy； （2）232531xxy；

分析： 一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量
的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域
是使各部分都有意义的公共部分的集合．

解 ： （1）由,01,01xx得,1,1xx即1x，故函数11xxy的定义域是1[，)．

（2）由,05,0322xx得,55,3xx即5≤x≤5且x≠±3，
故函数的定义域是{x|5≤x≤5且x≠±3}．
点评： 求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的x的取值范围，列出
不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个：
① 分式中，分母不等于零．
② 偶次根式中，被开方数为非负数．

③ 对于0xy中，要求 x≠0．
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变式练习1求下列函数的定义域： （1）xxxy||)1(0；（2）xxxy12132．
解 （2）由,0||,01xxx得,0,1xx 故函数xxxy||)1(0是{x|x<0，且x≠1}．

（4）由,0,02,032xxx即0,2,23xxx ∴23≤x＜2，且x≠0，
故函数的定义域是{x|23≤x＜2，且x≠0}．
说明：若A是函数)(xfy的定义域，则对于A中的每一个x，在集合B都有一个值输
出值y与之对应．我们将所有的输出值y组成的集合称为函数的值域．

因此我们可以知道：对于函数f：A B而言，如果如果值域是C，那么BC，
因此不能将集合B当成是函数的值域．
我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义
域都确定了，那么函数的值域也就确定了．

例2．求下列两个函数的定义域与值域：
（1）f (x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}；
（2）f (x)=( x-1)2+1．
解：（1）函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，
f(-1)= 5，f(0)=2，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=5，
所以这个函数的值域为{1，2，5}．
（2）函数的定义域为R，因为(x-1)
2
+1≥1，所以这个函数的值域为{y∣y≥1}

点评： 通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出函数的
值域的方法我们称为观察法．

变式练习2 求下列函数的值域：
（1）642xxy，1[x，)5；

（2）113xxy；
解：（1）2)2(2xy．
作出函数642xxy，1[x，)5的图象，由图观察得函数的值域为2|{y≤y＜}11．

A
B
C
)(xf
x
f

5
1

3

11
2
y

x
O
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（2）解法一：14)1(3xxy143x，显然14x可取0以外的一切实数，即所求函数
的值域为｛y|y≠3｝．
解法二：把113xxy看成关于x的方程，变形得(y－3)x＋(y＋1)＝0，该方程在原函数
定义域｛x|x≠－1｝内有解的条件是






y－3≠0，

－y＋1y－3≠－1
，解得y≠3，即即所求函数的值域为｛y|y≠3｝．

点评：（1）求函数值域是一个难点，应熟练掌握一些基本函数的值域和求值域的一些常用方
法；
（2）求二次函数在区间上的值域问题，一般先配方，找出对称轴，在对照图象观察．

4、 课堂小结
（1）同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同
（2）求解函数值域问题主要有两种方法：一是根据函数的图象
和性质（或借助基本的函数的值域）由定义域直接推算；二是对于分
式函数，利用分离常数法得到y的取值范围．