数学一轮课件(理科)人教A第五章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算
高考数学一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及线性运算实用课件理201805293121
向量．
( √)
2．填空题 (1)给出下列命题： ①若 a ＝b ，b ＝c，则 a ＝c；
②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则―A→B ＝―D→C 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且 a ∥b ； 其中正确命题的序号是________． 解析：①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又 b ＝c，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故 a ＝c.
2．关于平面向量，下列说法正确的是
()
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．平面内的单位向量是唯一的
C．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相
反的向量
D．共线向量就是相等向量
解析：对于 A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故 A 不
正确；对于 B，单位向量的模为 1，其方向可以是任意方向，
自学区 抓牢双基· 完成情况
B．若|a |>|b |，则 a >b
C．若 a ＝b ，则 a ∥b
D．若|a |＝0，则 a ＝0
[解析] (1)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故 A 不正 确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在 同一条直线上，故 B 不正确；显然 C 正确；当―A→B ∥―C→D 时，―A→B 所 在的直线与―C→D 所在的直线可能重合，故 D 不正确．
(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等， 但它们的模可以比较大小；
(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特 征与几何特征；
(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同 一直线上．
[全练题点]
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算课件理
解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C，又∵A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，可得A→B＝D→C.故“A→B＝ D→C”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件． ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同；又 b＝c，∴b， c 的长度相等且方向相同，∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．由 a＝b 可得|a|＝|b|且 a∥b；由|a|＝|b|且 a∥b 可得 a ＝b 或 a＝－b，故“|a|＝|b|且 a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是 必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.故填②③.
第十七页，共33页。
下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A，B，C，D 四点共线； ④如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c； ⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
第五页，共33页。
2．向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量 a 的终点 A 为起点作第二个向量 b，
则以第一个向量 a 的起点 O 为________以第二个向量 b 的终点 B 为 ________的向量O→B就是 a 与 b 的________(如图 1)．
推广：A→1A2＋A→2A3＋…＋An→-1An＝____________.
第二十二页，共33页。
(1)( 2015·福建模拟 ) 在 △ABC
2015高考数学(人教A版)一轮课件：5-1平面向量的概念及其线性运算
3． (2014· 太原五中 2 月月考)若 O 为△ABC 所在平面内一点， → → → 且 3OA＋4OB＋7OC＝0， 则△OAB 和△ABC 的面积之比为( 1 A. 4 1 C.2 1 B.3 2 D.5 )
→ → → → → → 解析： 将 3OA＋4OB＋7OC＝0 变形为 7(OA＋OC)＝4(OA－ → )． OB 如图，以 OA 和 OC 为邻边所作的平行四边形的对角线 OD 和 AB 平行．显然 OD 交 AC 于 AC 的中点，故 O 到 AB 的距离 1 1 是 C 到 AB 距离的2，所以△OAB 和△ABC 的面积之比为2.故选 C.
(5)相等向量：长度相等 且方向相同 的向量． (6)相反向量：与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的 相反向量．
特别提醒：向量是自由向量，在用有向线段表示向量时，要 认识到有向线段的起点的选取是任意的， 不能认为向量也是由起 点、大小和方向三个要素决定的．一句话，研究向量问题应具有 “平衡意识”——长度相等、方向相同的向量都是相等向量．有 向线段仅是向量的直观体现，不能等同于向量．
2→ 1 2 1 → → → 解析：AF＝AC＋CF＝a＋3CD＝a＋3(b－a)＝3a＋3b.故选 D.
答案：D
题型一
平面向量的有关概念
【例 1】 给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b； → ＝DC → ，则四边形 ABCD 为平行四边形； ②若AB ③若 a 与 b 同向，且|a|＞|b|，则 a＞b； ④λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线． 其中假命题的个数为( A．1 B．2 ) C．3 D．4
2．向量的加法运算及其几何意义 → ＝a，BC →＝ (1)已知非零向量 a、b，在平面内任取一点 A，作AB
高考数学一轮复习第5章平面向量第1节平面向量的概念及线性运算课件理新人教A版
[最新考纲] 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
[考情分析]
[核心素养]
平面向量的相关概念，平面向量的线性运算，共线向 1.数学运算
量定理及其应用仍是 2021 年高考考查的热点，题型仍将是 2.直观想象
选择题与填空题，分值为 5 分.
1
课 前 ·基 础 巩 固
‖知识梳理‖ 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 1 __方__向_____的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 2 _____模____． (2)零向量：长度为 3 ___0______的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 4 _1_个__单__位___的向量．
(2)∵ka＋b 与 a＋kb 共线， ∴存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又 a，b 是两个不共线的非零向量， ∴kλk－－λ＝1＝0，0. ∴k2－1＝0.∴k＝±1.
|变式探究| 1．若将本例(1)中“B→C＝2a＋8b”改为“B→C＝a＋mb”，则 m 为何值时，A，B，D 三点共线？ 解：B→D＝B→C＋C→D＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b， 若 A，B，D 三点共线，则存在实数 λ，使B→D＝λA→B， 即 4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，∴4m＝－λ3，＝λ，解得 m＝7. 故当 m＝7 时，A，B，D 三点共线．
法则(或几何意义)
运算律
交换律：a＋b＝ 8 __b_＋__a____；
结 合 律 ： (a ＋ b) ＋ c ＝ 9 _a_＋__(b_＋__c_)_
高三数学一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算课件文
解析 (1)不正确.两个向量的模相等,但它们的方向不一定相同,因此由
|a|=|b|推不出a=b.
(2)正确.若 A B= D ,则C | |=A|B |且D C ∥ A B.
DC
又∵A、B、C、D是不共线的四点,
∴四边形ABCD是平行四边形.
反之,若四边形ABCD是平行四边形,则AB DC且 A B与 D 方C 向相同,因
4.已知a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-3a)共线,则λ=
.
答案 - 1
3
解析 由题意知存在k∈R,使得a+λb=k[-(b-3a)],
所以 1λ 解3k得k, ,
k
1 3
,
λ
1. 3
考点突破
考点一 向量的有关概念 典例1 给出下列命题: (1)若|a|=|b|,则a=b; (2)若A、B、C、D是不共线的四点,则 A B= D是C 四边形ABCD为平行四 边形的充要条件; (3)若a=b,b=c,则a=c; (4)两向量a、b相等的充要条件是|a|=|b|且a∥b; (5)如果a∥b,b∥c,那么a∥c. 其中假命题的个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B
1-3 如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,则图中与 O C相等的向量有 .
判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. (√)
(2)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量. (×)
(3) B A= O -A O. B (√)
(4)若a∥b,b∥c,则a∥c. (×) (5)向量 A B与向量 C 是D 共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上. (×)
第1节 平面向量的概念及线性运算课件
[锦囊·妙法] 平面向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性；非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与 函数图象的移动混淆． (4)非零向量 a 与|aa|的关系：|aa|是与 a 同方向的单位向量．
5．[方法技能] (1)向量平行(共线)问题常用的结论 ①向量a，b(a≠0)共线，则存在唯一实数λ，使b＝λa； ②向量a与b共线，则|a·b|＝|a||b|； ③向量a与b共线，则存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0. (2)三点共线问题 只有当两个共线向量具有公共点时才能满足三点共线．
第1节 平面向量的概念及线性运算
1
课标要求 1.理解平面向量的意义和两个向量相等的 含义及向量的几何表示和基本要素； 2.掌握向量加法、减法的运算，并理解其 几何意义； 3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理 解两个向量共线的含义； 4.了解向量线性运算的性质及其几何意义
命题方向
数学素养
1.平面向量的 数学抽象、逻
特训点1 特训点2 特训点3
特训点1 平面向量的有关概念(自主冲关类)
1．下列命题正确的是( C ) A．若|a|＝|b|，则a＝b C．若a＝b，则a∥b
[题组·冲关]
B．若|a|＞|b|，则a＞b D．若|a|＝0，则a＝0
解析：对于A，当|a|＝|b|，即向量a，b的模相等时，方向不一定相同，故a＝ b不一定成立；对于B，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故 B不正确；C显然正确；对于D，若|a|＝0，则a＝0，故D不正确，故选C.
2．向量的线性运算
向量
加法
求两个向量和的 运算
高三数学一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算课件文
3.在▱ABCD中, A B=a, A =Db, =A 3N ,MN 为C BC的中点,则 = M N
(用a,b表示).
答案 - 14 a+14 b
解析 由 A N=3 N,得C =A N 34 =A C (a34 +b),又 =AaM+ b,所12 以 = M N-
AN
2.证明三点共线的方法 若 A B=λ A ,C则A、B、C三点共线.
变式3-1 若将本例(1)中“B C =2a+8b”改为“ B C=a+mb”,则m为何值
时,A、B、D三点共线?
解析
B C+ C =D (a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,
即 B D=4a+(m-3)b.
(6)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa(λ∈R). (√)
1.下列说法正确的是 ( ) A. A B∥ C 就D 是 所A B 在的直线平行于 所C 在D 的直线 B.长度相等的向量叫相等向量 C.零向量长度等于0 D.共线向量是在同一条直线上的向量 答案 C A B∥ C 包D 含 所A B 在的直线与 所C 在D 的直线平行和重合两 种情况,故A错;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故B错;零 向量长度为0,故C正确;共线向量可以是在同一条直线上的向量,也可以 是所在直线互相平行的向量,故D错.
所以 A D= A+C =CbD+ a1.
2
方法指导 1.平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解. (2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等 向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示 出来求解. 2.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置. (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化为要求的向量形 式. (3)比较、观察可知所求.
高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件
a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元 素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了． 正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点， 则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.
一轮复习人教A版平面向量的概念及线性运算课件(33张)_3
③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同； 又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向相同， ∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a ＝b，故“|a|＝|b|且 a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充 分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③. 答案：②③
(2)设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝12AB，BE
＝
2 3
BC.
若
D→E
＝
λ1
A→B
＋
λ2
A→C
(λ1
，
λ2
为实数)，则
λ1 ＋ λ2
的值为
________ . [解析] D→E＝D→B＋B→E＝12A→B＋23B→C＝12A→B＋23(B→A＋A→C)＝－16A→B
3．若 A、B、C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心．
[思考辨析]
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，
错误的打“×”．
(1)若向量 a，b 共线，则向量 a，b 的方向相同．( )
(2)若 a∥b，b∥c，则 a∥c.( )
(3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向
C．菱形
D．等腰梯形 解析：C [因为B→A＝C→D，所以四边形 ABCD 为平行四边形．又
因为|A→B|＝|A→D|，所以四边形 ABCD 为菱形．]
3．在△ABC 中，A→B＝c，A→C＝b.若点 D 满足B→D＝2D→C，则A→D＝
()
A.23b＋13c
B.53c－23b
C.23b－13c 解析：A
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第1讲平面向量的概念及线性运算
〔壬夯基释疑〕
〔乞考点突破〕
一（考点三）（例3 ）［训练
3 ）
（乞课堂小结〕
1.判断正误(在括号内打“ J ”或“ X ”)
⑴若向量a, b共线，则向量a, 0的方向相同.(X)
(2)若a〃瓦b//c9则a〃c・(x)
(3)向量乔与向量筋是共线向量，则4, B, C,。
四点在一条直线上.(X)
(4)若a//b,贝归；I G R使b =加(X)
【例1】给出下列命题：①若\a\ = \b\,贝!| a=b；
②若A, B, C, D是不共线的四点，贝iAB =DC^四边形平行四边形的充要条件；
③若a=b, b=c,则a=c；④若a//b f方〃c,贝|）a〃c. 其中正确命题的序号是（）
A.②③
B.②④
C.③④
D.②③④
解析①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
②正确.VAfe=Dt, AI Aft I = IDt Ifi AS // Dt, 又A, B, C, D是不
共线的四点，・•・四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，
则A&l = IDtl, 且砸，方向相同，因此，A&=Dt.
【例1】给出下列命题：①若\a\ = \b\9贝!| a=b；②若A, B, C, D是不共线的四点，则布=庞是四边形ABCD为
平行四边形的充要条件；
③若a=b, b=c9贝!| a=c；
④若a//by b//c9贝!)a//c.
其中正确命题的序号是（
A.②③
B.②④
C.③④
D.②③④
解析③正确•・九=方，方的长度相等且方向相同，又b=c, :・b, c的长度相等且方向相同，:・a, c的长度相等且方向相同，故
a=c.
④不正确.当b=0时，a, c可能不平行. 综上所述，正确命题的
序号是②③.
答案A
规律方法
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.
⑷非零向量a与盒的关系：打是与。
同方向的单位向量.
【训练1】给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③加=0（2为实数），则2必为零；
④几“为实数，若加=“方，则4与〃共线•
其中错误命题的个数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析① 错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点.
②正确.因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.
③错误.当a=0时，不论2为何值，加=0.
④错误.当2=“=0时，此时，a与〃可以是任意向量.
答案C
【例题2】⑴在AABC中，AB边的高为CD 若CB=a9 CA=b9 a・b=O,
\a\ = l9 1勿=2,贝！］血=( )
解析(1) V«^=0, ••• ZACB=90°,
JC A
对角线AC 与BD 交于点O 9AB+AD=2AO, 则 2= .
解析(2)因为4BCD 为平行四边形，
所以詡+前=衣=皿,
已知
故 2=2.
.
答案 ⑴ D (2)2 r 【例题2】⑵如图，在平行四边形ABCD 中,
D D ____________
规律方法
(1)解题的关键在于熟练地找岀图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化•
⑵用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
①观察各向量的位置；
②寻找相应的三角形或多边形；
③运用法则找关系;
④化简结果.
解析⑴连接CD,
由点C, D 是半圆弧的三等分点, 得CD//AB 且筋= 所以劭=方+
尹. 【训练2】⑴如图所示，已知4B 是圆O 的直径，点是半圆 弧的两个三等分点，Ai=a f At=b t 则瓦5 =()
A. a —毎 ⑵如图，D, E, F 分别是AABC 的边48, BC, CA 的中点，
则( )A&&+旋+申=0 B.Bb-CP+D^=Q
CAb+ci-Cp=Q D •前一矗一就=0
B^a —b C. a+毎 D.£a+b
B
【训练2】⑴如图所示，已知4〃是圆O 的直径，点C, D 是半圆 弧的两个三等分点，Ab=a, At=b,贝!ME = ()
A. a —如
⑵如图，D, E, F 分别是AABC 的边48, BC, CA 的中点, 则( )A&&+旋+詡=0 B.Bb-CP+D^=Q
CAb+ci-Cp=Q D •前一矗一就=0
解析⑵由题意知：AD=FE 9
Bi=Dp f Cp=Eb f 而睦+筋+护=0, •••
前+矗+彷=0・ 答案(1)D (2)A B^a —b C. a+毎 D.£a+b
C
⑵解•:ka+b 与a^rkb 共线 :.Bb=Bt+cb=2a+8b+3(a-b):即 ka+b=Mikb,
I /• (k —=(lk~ l)b. =2«+8方+3“一3b=5(a +Z^)=5A&. V«, b 是不共线的
⑴证明
Rt=2a+8b ，
ct)=3(a —b).
:•••存在实数入 使 ka+b =2(a +肋),
；两个非零向量,
A A S,命共线，又它们有公共点B9
AA, B, D三点共线.! .\^2—1=0, ^.k=±i.
1 /
规律方法
⑴证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
(2)向量a, b共线是指存在不全为零的实数舟，忌使加/ + 2力=0成立；若21°+久2〃=0，当且仅当21=^2=0时成立，则向量a,方不共线・【训练3】⑴已知向量i与/不共线，且陆=汁呛，Ab=ni+j. 若A, B,。
三点共线，则实数加，兀应该满足的条件是（）
A. /w+n = l
B.加+〃 = —1
C. mn = l
D. mn = — l
第（2）小题见下一页
解析（1）由A, B9 D共线可设詡=加,
于是有i^nvj=X(ni4-y) =Xni+^/.
又爲/不共线, r［加=1,
因此一
tti, 即有mn = l.
（2）（2014-南京模拟）如图，经过的重心G 的直线与OA 9 OB 分别交于点 P, Q, ^OP=mOA 9 OQ=nOB 9 叫 nER, 则*+扭值为 • 解析
⑵设鬲=a PQ = O0
— O 卞
=nb —ma, P S = O S —
^P = 由P, G, 0三点共线
,oh=b,由题意知oS =|x|（^J =扣+〃）, 卜祐+如， 艮卩nb —ma=l 孑——加
得，存在实数2,使得屜=2兀,
—…代3
1 1 消去2得万+贏=3.
/ X
1. 向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多 联系
相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多 记忆一些有关的结论.
2. 对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量。
与 b 共
线是指a 与b 所在的直线平行或重合
3. 要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满 足向
量等式方=加，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置
思想方法
易错防范
《课后限时刑療》（见教辅）。