必修一函数概念及表示法总结分类题型
高中数学必修一函数题型方法总结
。
解析：把原式中 x换作 1 得 af ( 1 ) bf ( x)
c
。即可得
x
x
x
到方程组
1 af ( x) bf ( )
x 1 af ( ) bf ( x) x
cx
，解方程组，即可求出
c
x
f (x)。
3、已知 f ( x) 是对除 x 0及x 1 以外的一切实数有意
义的函数，且 f (x)
x1 f( )
1.5 设函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数， 若 f (x) 的最小
正周期为 3，且 f (1)＞1 ， f (2)
范围是（
）。
2m 3
，则 m 的取值
m1
2 A.m＜ .
B、 m
2 且m
3
3
2 D、 m 或m 1
2、若 函 数 y f ( x) 的 定 义 域 是 [0,2] ， 则 函 数
g(x) f (2 x) 的定义域是（
）。
x1
A.[0,1] B.[0,1) C. 0,1 U 1,4
D.(0,1)
解析：
Q f (x)的定义域 x [0,2]. f (2 x)中2 x [0,2]. 解得 x [0,1].且x 1 0 x 1. x [0,1)
f [ g (x)] ，即要求 x 满足 g (x) 的定义， 有要求 g( x) 的值
域满足 f ( x) 定义。下面给出几道例题。
1、若 f (x)
1
，则 f ( x) 的定义域为 （ ）。
log 1 (2 x 1)
2
1
1
1
A.
,0 B.
,0 C.
,
2
高中数学必修一-第三章-3.1 函数的概念及其表示
第三章函数3.1 函数的概念及其表示知识点一：函数的概念1.函数的有关概念2.函数的三要素一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以两个函数的定义域和对应关系相同时，它们是同一个函数.3.区间的概念:设a,b∈R,a<b.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞).知识点二：函数的表示法1.函数的三种表示法2.分段函数已知函数y=f(x)，x∈A，如果自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，那么我们称这样的函数为分段函数.【思考】1.函数的定义域和值域是否一定是无限集?2.区间是数集的另一种表示方法,是否任何数集都能用区间表示?3.根据函数的定义,任何一个自变量x是否都有唯一的函数值y与之对应?任何一个函数值y 是否都有唯一的自变量x与之对应?4.如何确定分段函数的定义域和值域?【解析】1.不一定.函数的定义域和值域也可能是有限集,如f(x)=1，x∈{1,2,3}.2.不是.如集合{0,1}就不能用区间表示.3.任何一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，但是函数值y不一定有唯一的自变量x 与之对应。
如f(x)=x2中，函数值4有两个自变量2、-2与之对应。
函数中x，y的对应关系是“一对一”或“多对一”,不能“一对多”.4.分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集,值域也是每一段函数值取值范围的并集.3.1.1 函数的概念基础练一函数的概念1.（多选题）下面选项中,变量y是变量x的函数的是()A.x表示某一天中的时刻,y表示对应的某地区的气温B.x表示年份,y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值)C.x表示某地区学生的某次数学考试成绩,y表示该地区学生对应的考试号D.x表示某人的月收入,y表示对应的个税2.下列四组函数中,表示同一个函数的是()3A.y=|x|与y=√x3B.y=√x2与s=(√t)2C.y=2t+1与y=2u+1D.y=1与y=x03.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示以集合M为定义域,集合N为值域的函数关系的有()A.①②③④B.①②③C.②③D.②④二函数的定义域4.函数f(x)=√x−1的定义域为() x−2A.[1,+∞)B.[1,2)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)5.已知某矩形的周长为定值a,若该矩形的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是.6.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=f(2x+1)的定义域为.x+1三函数值及函数的值域7.已知集合P={x|y=√x−1},集合Q={y|y=√x−1},则()A.P=QB.P⫋QC.Q⫋PD.P∩Q=⌀8.函数y=√x2−2x+3的值域为.,则f(x)的值域为.9.已知函数f(x)=1x2−2x10.已知函数f(x)的定义域是[0,1],值域是[1,2],则这样的函数可以是f(x)=.11.已知函数f(x)=x2+x-1.);(1)求f(2), f(1x(2)若f(x)=5,求x的值.3.1.2 函数的表示法基础练一 函数的表示法及其应用 1.函数y =x x+1的图象大致是 ( )A B C D2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先匀速跑一段时间,跑累了再匀速走余下的路,设在途中花费的时间为t ,离开家的距离为d ,则下面图象中,能正确表示d 与t 的关系的是( )A B C D3.已知函数y =f (x )的对应关系如表,函数y =g (x )的图象为如图所示的曲线ABC ,则g (f (3))的值为 .二 函数解析式的求法5.已知函数f (x +2)=x 2+6x +8,则函数f (x )的解析式为( ) A.f (x )=x 2+2x B.f (x )=x 2+6x +8 C.f (x )=x 2+4x D.f (x )=x 2+8x +66.函数f (x )满足f (1-2x )=-1x ,则f (2)=( )A.2B.-2C.12 D.-12 7.已知函数f (2x -1)=3x -5,若f (x 0)=4,则x 0= .8.已知f (x )是一次函数,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )= .9.(1)已知函数g (√x +1)=2x +1,求g (x )的解析式;(2)已知f (x )为二次函数,且f (0)=2, f (2)=f (-1)=0,求f (x )的解析式.三 分段函数问题10.已知函数f (x )={√x,x >0,|x +1|,x ≤0,则f (f (-3))=( )A.√3B.1C.2D.√2 11.已知f (x )={x +2,x ≤−1,x 2,−1<x <2,2x,x ≥2,若f (x )=3,则x 的值是( )A.1B.1或32C.1,32或±√3 D.√312.函数f (x )=x +|x |x 的图象是( )A B C D13.(2022山西大同期中)已知函数f (x )={x 2,x ≤0,4−2x,x >0.(1)画出函数f (x )的图象;(2)当f (x )≥2时,求实数x 的取值范围.。
部编版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数带答案题型总结及解题方法
(名师选题)部编版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数带答案题型总结及解题方法单选题1、若函数f(x)=x 3+x 2−2x −2的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：．1.52、已知函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．√e )B ．(−∞,√e )C ．√e )D ．(0,√e )3、镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为√55，√33，√2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）A ．甲同学和乙同学B ．丙同学和乙同学C ．乙同学和甲同学D ．丙同学和甲同学 4、若2a +log 2a =4b +2log 4b ，则（ ） A ．a >2b B ．a <2b C ．a >b 2D ．a <b 2 5、下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A ．y =1与y =x 0B ．y =x 与y =(√x)2C ．y =2log 2x 与y =log 2x 2D ．y =ln 1+x 1−x 与y =ln (1+x )−ln (1−x )6、设f(x)=log 2(1x+a+1)是奇函数，若函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y =x 对称，则g(x)的值域为（ ）A ．(−∞,−12)∪(12,+∞)B ．(−12,12) C ．(−∞,−2)∪(2,+∞)D ．(−2,2)7、若函数f (x )=ln(ax +√x 2+1)是奇函数，则a 的值为（ ）A．1B．－1C．±1D．08、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为ℎ=m⋅a t．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知lg2≈0.3，结果取整数）（）A．23天B．33天C．43天D．50天多选题9、对于定义在R上的函数y=f(x)，若存在非零实数x0，使y=f(x)在(−∞,x0)和(x0,+∞)上均有零点，则称x0为y=f(x)的一个“折点”，下列四个函数中不存在“折点”的是（）A．f(x)=3|x−1|+2B．f(x)=lg(|x|+3)−12C．f(x)=x33−1D．f(x)=x+1x2+410、（多选）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）A．6B．9C．8D．711、关于函数f(x)=ln(1+x)−ln(3−x)，下列结论正确的是（）A．f(x)在(−1,3)上单调递增B．y=f(x)的图象关于直线x=1对称C．y=f(x)的图象关于点（1，0）对称D．f(x)的值域为R填空题12、若√4a2−4a+1=√(1−2a)33，则实数a的取值范围_________ ．部编版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数带答案(十二)参考答案1、答案：B分析：根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.解：因为f(1)<0,f(1.5)>0，所以f(1)f(1.5)<0，所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.5−1=0.5>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.25)<0，所以f(1.25)f(1.5)<0，所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5−1.25=0.25>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.375)<0，所以f(1.375)f(1.5)<0，所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5−1.375=0.125> 0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.4375)>0，所以f(1.4375)f(1.375)<0，所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375−1.375=0.0625<0.1，所以满足精确度0.1；所以方程x3+x2−2x−2=0的一个近似根（精确度0.05）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .故选：B2、答案：B分析：f(x)=x2+e x−12(x<0)关于y轴对称的函数为：f(−x)=x2+e−x−12(x>0)，函数f(x)=x2+e x−12(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，即f(−x)=g(x)有解，通过数形结合即可得解.f(x)=x2+e x−12(x<0)关于y轴对称的函数为：f(−x)=x2+e−x−12(x>0)，函数f(x)=x2+e x−12(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，即f(−x)=g(x)有解，即x2+e−x−12=x2+ln(x+a)，整理的：e−x−12=ln(x+a)，y=e−x−12和y=ln(x+a)的图像存在交点，如图：临界值在x =0处取到（虚取），此时a =√e ，故当a <√e 时y =e −x −12和y =ln(x +a)的图像存在交点， 故选：B. 3、答案：C分析：判断出√55，√33，√2的大小关系即可得出答案. (√55)10=52=25，(√2)10=25=32．∵25<32．∴√55<√2．又∵(√33)6=33=9，(√2)6=23=8，∴√33>√2． ∴有√55<√2<√33．又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄． 故选：C. 4、答案：B分析：设f(x)=2x +log 2x ，利用作差法结合f(x)的单调性即可得到答案.设f(x)=2x +log 2x ，则f(x)为增函数，因为2a +log 2a =4b +2log 4b =22b +log 2b所以f(a)−f(2b)= 2a +log 2a −(22b +log 22b)= 22b +log 2b −(22b +log 22b) =log 212=−1<0，所以f(a)<f(2b)，所以a <2b .f(a)−f(b 2)= 2a +log 2a −(2b 2+log 2b 2)= 22b +log 2b −(2b 2+log 2b 2)= 22b −2b 2−log 2b ， 当b =1时，f(a)−f(b 2)=2>0，此时f(a)>f(b 2)，有a >b 2当b =2时，f(a)−f(b 2)=−1<0，此时f(a)<f(b 2)，有a <b 2，所以C 、D 错误.故选：B.【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题. 5、答案：D分析：分别计算每个选项中两个函数的定义域和对应关系，定义域和对应关系都相同的是同一个函数，即可得正确选项.对于A ：y =1定义域为R ，y =x 0定义域为{x|x ≠0}，定义域不同不是同一个函数，故选项A 不正确； 对于B ：y =x 定义域为R ，y =(√x)2的定义域为{x|x ≥0}，定义域不同不是同一个函数，故选项B 不正确； 对于C ：y =2log 2x 的定义域为{x|x >0}，y =log 2x 2定义域为{x|x ≠0}，定义域不同不是同一个函数，故选项C 不正确；对于D ：由1+x1−x >0可得(x +1)(x −1)<0，解得：−1<x <1，所以y =ln 1+x1−x 的定义域为{x|−1<x <1}，由{1+x >01−x >0 可得−1<x <1，所以函数y =ln (1+x )−ln (1−x )的定义域为{x|−1<x <1}且y =ln (1+x )−ln (1−x )=ln 1+x1−x ，所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数，故选项D 正确， 故选：D. 6、答案：A分析：先求出f(x)的定义域，然后利用奇函数的性质求出a 的值，从而得到f(x)的定义域，然后利用反函数的定义，即可求出g(x)的值域． 因为f(x)=log 2(1x+a +1)， 所以1x+a+1=1+x+a x+a>0可得x <−a −1或x >−a ，所以f(x)的定义域为{x|x <−a −1或x >−a}，因为f(x)是奇函数，定义域关于原点对称，所以−a −1=a ，解得a =−12， 所以f(x)的定义域为(−∞,−12)∪(12,+∞)，因为函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y =x 对称， 所以g(x)与f(x)互为反函数，故g(x)的值域即为f(x)的定义域(−∞,−12)∪(12,+∞).故选：A . 7、答案：C分析：根据函数奇函数的概念可得ln(−ax +√x 2+1)+ln(ax +√x 2+1)=0，进而结合对数的运算即可求出结果.因为f (x )=ln(ax +√x 2+1)是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0．即ln(−ax +√x 2+1)+ln(ax +√x 2+1)=0恒成立，所以ln [(1−a 2)x 2+1]=0，即(1−a 2)x 2=0 恒成立，所以1−a 2=0，即a =±1． 当a =1时，f (x )=ln(x +√x 2+1)，定义域为R ，且f (−x )+f (x )=0，故符合题意； 当a =−1时，f (x )=ln(−x +√x 2+1)，定义域为R ，且f (−x )+f (x )=0，故符合题意； 故选：C. 8、答案：B分析：根据题设条件先求出m 、a ，从而得到ℎ=120⋅2110t ，据此可求失去50%新鲜度对应的时间.{10%=m ⋅a 1020%=m ⋅a 20⇒{a 10=2,m =120，故a =2110，故ℎ=120⋅2110t ， 令ℎ=12，∴2t10=10,∴t 10lg2=1，故t =100.3≈33， 故选：B. 9、答案：ACD分析：对于选项A ，f (x )>0，所以f (x )没有零点，从而f (x )没有“折点”，故选项A 符合题意；对于选项B ，当x ≥0时，f (x )在[0,+∞)上有零点，又f (x )是偶函数，所以f (x )在(−∞,0)上也有零点，从而f (x )存在“折点”，故选项B 不符合题意；对于选项C ，因为f (x )单调递增，f (x )在R 上至多有一个零点，所以f (x )没有“折点”，故选项C 符合题意； 对于选项D ，f (x )只有一个零点，f (x )没有“折点”，故选项D 符合题意.解：对于选项A ，f (x )=3|x−1|+2≥30+2=3，所以f (x )没有零点，从而f (x )没有“折点”，故选项A 符合题意；对于选项B ，当x ≥0时，f (x )=lg (x +3)−12，f (0)=lg3−12<0，f (7)=lg (7+3)−12=12>0，所以f (x )在[0,+∞)上有零点，又因为f (−x )=lg (|−x |+3)−12=lg (|x |+3)−12=f (x )，所以f (x )是偶函数，所以f (x )在(−∞,0)上也有零点，从而f (x )存在“折点”，故选项B 不符合题意； 对于选项C ，因为f (x )=x 33−1，所以f (x )单调递增，f (x )在R 上至多有一个零点，所以f (x )没有“折点”，故选项C 符合题意；对于选项D ，令f (x )=x+1x 2+4=0，解得x ＝－1，f (x )只有一个零点，f (x )没有“折点”，故选项D 符合题意. 故选：ACD. 10、答案：BC分析：因为每过滤一次杂质含量减少13,所以每过滤一次杂志剩余量为原来的23,由此列式可解得.设经过n 次过滤，产品达到市场要求，则 2100×(23)n⩽11000，即(23)n⩽120，由 nlg 23⩽−lg20，即 n(lg2−lg3)⩽−(1+lg2)，得 n ⩾1+lg2lg3−lg2≈7.4，故选BC ．小提示：本题考查了指数不等式的解法,属于基础题. 11、答案：ACD分析：先求出函数f(x)的定义域，化简f(x)得f(x)=lnx+13−x， 令t(x)=x+13−x，根据复合函数的单调性和值域；化简函数得到f(1+x)=−f(1−x)，f(1+x)≠f(1−x)，所以得到y =f(x)的图象关于点（1，0）对称，最终得到答案.函数f(x)的定义域是（-1，3），f(x)=ln x+13−x ． 令t(x)=x+13−x=−4x−3−1(x ≠3)，易知t(x)在（-1，3）上单调递增，所以t(x)>t(−1)=0，所以f(x)=lnt(x)在（-1，3）上单调递增， 且值域为R ．故A ，D 正确．当x ∈(−2,2)时，1+x ∈(−1,3)，1−x ∈(−1,3)，f(1+x)=ln 2+x2−x ，f(1−x)=ln 2−x2+x ，所以f(1+x)=−f(1−x)，f(1+x)≠f(1−x)．所以y =f(x)的图象关于点（1，0）对称．故B 错误，C正确.故选：ACD．小提示：本题考查复合函数的性质，涉及到函数的单调性和对称性,属于基础题型.]12、答案：(−∞，12分析：由二次根式的化简求解由题设得√4a2−4a+1=√(2a−1)2=|2a−1|，3=1−2a，√(1−2a)3所以|2a−1|=1−2a．所以1−2a≥0，a≤12]所以答案是：(−∞，12。
高中数学必修一集合与函数的概念知识点+练习题含答案解析(非常详细)
第一部分集合与函数的概念知识点整理第一章集合与函数概念一：集合的含义与表示1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。
（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合3、集合的表示：{…}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。
a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}b、描述法：①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。
4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集R6、集合间的基本关系（1）.“包含”关系（1）—子集定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。
记作：BA⊆（或B⊇Ａ）注意：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/ B或B⊇/A（2）.“包含”关系（2）—真子集如果集合BA⊆，但存在元素x∈B且x￠A，则集合A是集合B的真子集如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)读作A真含与B（3）．“相等”关系：A=B“元素相同则两集合相等”如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B（4）. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
函数题型归纳总结
函数题型归纳总结在高中数学中，函数是一个常见而重要的概念，涉及到函数的题型也非常多样。
为了帮助同学们更好地理解和应对这些题型，本文将对常见的函数题型进行归纳总结，并给出相应的解题思路和方法。
一、函数的定义和性质题1. 定义题：要求根据给定的函数表达式，判断函数的定义域、值域以及是否为一一映射等性质。
解题思路：根据函数的表达式，分析其中的限制条件或者不等式，确定定义域，再根据函数的性质判断值域、一一映射等。
2. 性质题：要求根据给定的函数图像或函数性质，判断函数的奇偶性、周期性、单调性等性质。
解题思路：通过观察函数的图像或者利用函数性质，判断函数的对称性、周期性或者单调性，注意排除误区。
二、函数的图像与性质题1. 图像题：要求根据给定的函数关系式，画出函数的图像。
解题思路：根据函数的关系式，找出函数的定义域、值域及特殊点（极值点、拐点等），绘制出函数的图像。
2. 相关性质题：要求分析函数的图像，判断函数的性质，如最大值、最小值、增减性等。
解题思路：观察函数的图像，通过判断曲线的走势来判断函数的最大值、最小值、增减性等性质。
三、函数的解析式与方程题1. 解析式题：要求根据函数的性质和已知条件，列出函数的解析式。
解题思路：根据已知条件和函数的性质，使用函数的性质推导出函数表达式。
2. 方程题：要求根据给定的方程，求解函数的零点、最值等特殊点。
解题思路：将给定的方程转化成函数的解析式，根据已知条件使用方程求解的方法，求解零点或特殊点。
四、函数的复合与逆题1. 复合函数题：要求根据给定的函数关系式，求解复合函数的定义域、值域等性质。
解题思路：确定函数的定义域和值域，然后按照复合函数的定义进行计算，最后确定复合函数的性质。
2. 逆函数题：要求根据给定的函数关系式，求解函数的逆函数及其性质。
解题思路：求解函数的逆函数，需要先求出函数的水平线测试反函数的定义域，然后通过求解关于x的方程，得到逆函数的解析式。
综上所述，函数题型涵盖了函数的定义和性质、图像与性质、解析式与方程以及复合与逆等方面。
最全必修一函数概念及其表示讲义完整版.doc
1.2.1 函数及其表示一、映射根据题意填空。
（1） （2） （3） （4）映射概念：一般地，设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射。
如上图：________________是映射。
象与原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且a ∈A ，b ∈B ，如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象。
注意：（1）集合A 、B 、对应关系是一个整体；（2）对应关系有“方向”，强调从A 到B ；（3）集合A 中元素在集合B 中都有象并且是唯一的，这个唯一性是构成映射的核心；（4）集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个，集合B 中元素对应集合A 中的元素可能不止一个。
对应可以为“一对一”或“多对一”，但不能是“一对多”；（5）集合B 中的元素在A 中不一定有原象。
（6）如果．．A ．有．m ．个元素，．．．．B ．有．n ．个元素，．．．．则从．．集合．．A ．中．到集合．．．B ．的映射（不加限制）有．．．．．．．．．．mn 个．。
例1：设集合A ＝N ＋，B ＝N ＋，对应关系f ：x →y ＝2x ，则 （1）集合A 中元素2所对应的象是______________。
（2）集合B 中元素2所对对应的原象是__________。
【解析】：（1）4（2）1变式练习：设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，A ＝B ＝{(x ，y)｜x ∈R ，y ∈R}，若f ：（x ，y ）→（x －y ，x ＋y ）（1）求集合A 中元素（－1，2）在集合B 中对应的元素_______________。
（2）求集合B 中元素（－1，2）在集合A 中对应的元素_______________。
必修一-函数的基本性质常见题型及方法
必修一 函数的基本性质常见题型及方法第一部分：求函数值域定义域例1求下列函数的定义域（1）y= （2）y =（3）0y =；（4）0y =例2（1）已知函数()f x 的定义域为[0，1]，求2(1)f x +的定义域；（2）已知函数(21)f x -的定义域为[0，1),求(13)f x -.例3已知函数y =的定义域为 R ，求实数a 的取值范围。
例4求下列函数的值域（1）{}21;1,2,3,4,5y x x =+∈；（2）1y =；（3）1x y x =+（4）2211x y x -=+（5）223(52)y x x x =--+-≤≤-；（6）y =7）211y x =+ 例5求下列函数的值域（1）y x =+（2）2y x =-1、观察法：利用熟知基础函数的值域，求出函数的值域；2、配方法： 若函数是二次函数形式的可通过配方后再求出函数的值域；3、反比例函数法：形如cx d y ax b +=+的形式值域为cx d c y y R ax b a +⎧⎫=∈≠⎨⎬+⎩⎭且y ； 4、换元法：对一些无理函数或超越函数，通过换元把它们转换为有理函数，再利用有理函数的特征求函数值域（复合函数的情况较多）5、判别式法： 形如y y ==一次函数二次函数二次函数或或二次函数一次函数二次函数的常用该方法。
将y 看成是关于x 的一元二次方程的系数，0≥列出关于y 的不等式，从而求出值域（该方法不常用 ）6、几何法：通过画函数图像找出函数的值域7、不等式法：利用重要不等式求出函数值域；一般形如a y x x=+8、单调性法：根据函数自身单调性，求出函数的最值从而确定函数的值域； 第二部分函数的表示及函数变换例1求下列函数的解析式（1） 已知2()2f x x x =+，求(21)f x +；（代入法）（2） 已知1)f x =+()f x ；（配凑法或换元法）（3） 已知1()2()32f x f x x-=+（方程法） （4） 若(){}2726f f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求一次函数()f x 的解析式（待定系数法）（5） 已知函数()f x 对任意的实数,x y ，都有()()2()f x y f x y x y +=++，且(1)1f =，求()f x 的解析式（抽象函数的解析式求法）（注：1、所给函数方程含有两个变量时，可对两个变量交替代入特殊值，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知数的函数，至于是什么特殊值，根据题目特征而定。
高中数学必修第一册3.1函数的概念及其表示课件
（单位：元）是他工作天数d的函数吗？
对于任一个给定的天数d，都有唯一确
定的工资w与之对应；
= 350
变量w和d之间是否是函数关系?它们各自的变化范围是什么 ?
试用集合 A，B 表示?
= 350
集合A
集合B
一一对应
1
2
3
4
5
6
350
记作:y=f(x) , x∈A
注意：
（1）x 叫做自变量，x的取值范围构成的集合A叫做函
数的定义域；
（2）与x的值相对应的 y值 叫做函数值；函数值组成的
集合
叫做函数的值域。
C={y|y=f(x), x∈A}
深化概念
高中和初中函数概念的区分和联系
①
定义的扩大：初中强调变量之间的关系；高中是在映射概念和集合的概念的基础上进
∈ , , , , , , , . ,
∈ . , . , . , . , . , . , . , . , . , .
集合B
集合A
（3）对于集合A中的任意一个元素 x，在集合B
中都有唯一确定的元素 y 与之对应。
不同点
分别通过解析式、图象、表格刻画变量之间的对
应关系
函
数
的
概
念
设A、B是非空数集，如果按照某种确定的
对应关系 f，使对于集合A中的任意一个数 x，
在集合B中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，
就称f : A→B 为从集合A到集合B的一个函数，
700
1050
1400
1750
2100
解析法
实例2：
人教版高中数学必修一函数及其性质题型总结及解题方法
(每日一练)人教版高中数学必修一函数及其性质题型总结及解题方法单选题1、函数y =sin2x ln |2x |的图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．答案：A解析： 先求出函数定义域，由函数奇偶性的概念，得到y =sin2x ln |2x |是奇函数，排除CD 选项，再根据0<x <12时，函数的正负，即可得出结果.由y =sin2x ln |2x |得|2x |≠1，即x ≠±12，所以函数y =sin2x ln |2x |的定义域为(−∞,−12)∪(−12,12)∪(12,+∞)，关于原点对称，又sin (−2x )ln |−2x |=−sin2x ln |2x |，所以函数y =sin2x ln |2x |是奇函数，图像关于原点对称，排除CD ，又当0<x <12时，0<2x <1，所以sin2x >0，ln2x <0，因此y =sin2x ln |2x |<0，图像应在x 轴下方，故B 错，A正确.故选：A小提示：本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的奇偶性，以及对数函数的性质即可，属于常考题型.2、已知函数f(2x)的定义域是[0,2]，则函数y =f(x −1)+f(x +1)的定义域是（ ）A ．{1}B ．[1,2]C ．[1,3]D ．[2,3]答案：C解析：由复合函数的定义域可得函数f(x)的定义域，再解不等式组即可得解.因为函数f(2x)的定义域是[0,2]，所以函数f(x)的定义域为[0,4]，若要使y =f(x −1)+f(x +1)有意义，则{0≤x −1≤40≤x +1≤4，解得x ∈[1,3]. 所以函数y =f(x −1)+f(x +1)的定义域是[1,3].故选：C.3、已知f (x )是一次函数，2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，则f (x )=（ ）A ．3x +2B ．3x −2C ．2x +3D ．2x −3答案：B解析：设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，根据题意列出方程组，求得k,b 的值，即可求解.由题意，设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，因为2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，可得{k −b =5k +b =1，解得k =3,b =−2， 所以f (x )=3x −2.故选：B. 填空题4、若f(x)={(7−a)x−3,x≤7x2−(a+9)x+15a,x>7是R上的增函数，则实数a的取值范围是__________．答案：[4,5]解析：根据分段函数的单调性，得到不等式组，解得即可；因为f(x)={(7−a)x−3,x≤7x2−(a+9)x+15a,x>7是定义在R上的增函数，所以{7−a>0 a+92≤77(7−a)−3≤49−7(a+9)+15a ，即{a<7a≤5a≥4，解得4≤a≤5，所以答案是：[4,5]5、函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=a x(a>1)．若对任意的x∈[0,2t+1]，均有f(x+t)≥[f(x)]3，则实数t的取值范围是________．答案：[−12,−49].解析：根据函数f(x)为偶函数，且在[0,+∞)单调递增，转化为|x+t|≥|3x|对任意x∈[0,2t+1]恒成立，进而可得结果.∵f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=a x(a>1)，∴f(x)=a|x| (a>1)，则[f(x)]3=(a|x|)3=a|3x|=f(3x)，则f(x+t)≥[f(x)]3等价于f(x+t)≥f(3x)，当x≥0时f(x)为增函数，则|x+t|≥|3x|，即8x2−2tx−t2≤0对任意x∈[0,2t+1]恒成立，设g(x)=8x2−2tx−t2，则{g(0)≤0g(2t+1)≤0⇔{−t2≤027t2+30t+8≤0，解得−23≤t≤−49，又2t+1≥0，所以−12≤t≤−49.所以答案是：[−12,−49].小提示：关键点点睛：本题的关键点是：依题意将问题转化为|x+t|≥|3x|对任意x∈[0,2t+1]恒成立.。
部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质题型总结及解题方法
(名师选题)部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质题型总结及解题方法单选题1、已知f(2x+1)=4x2+3，则f(x)=（）．A．x2−2x+4B．x2+2x C．x2−2x−1D．x2+2x+3答案：A分析：利用配凑法直接得出函数的解析式.因为f(2x+1)=4x2+3=(2x+1)2−2(2x+1)+4，所以f(x)=x2−2x+4．故选：A2、若函数f（x）＝x ln（x+√a+x2）为偶函数，则a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．1或﹣1答案：B分析：由f（x）＝x ln（x+√a+x2）为偶函数，则设g（x）＝ln（x+√a+x2）是奇函数，由g（0）＝0，可求出答案.解：∵函数f（x）＝x ln（x+√a+x2）为偶函数，x∈R，∴设g（x）＝ln（x+√a+x2）是奇函数，则g（0）＝0，即ln√a=0，则√a=1，则a＝1．故选：B．3、函数f(x)=log2x−1的零点所在的区间为（）xA．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案：B解析：判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项.f(1)=0−1=−1<0，f(2)=1−12=12>0，且函数f(x)=log2x−1x 的定义域是(0,+∞)，定义域内y=log2x是增函数，y=−1x也是增函数，所以f(x)是增函数，且f(1)f(2)<0，所以函数f(x)=log2x−1x的零点所在的区间为(1,2).故选：B小提示：方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断.4、函数y=√2x+4x−1的定义域为（）A．[0,1)B．(1,+∞)C．(0,1)∪(1,+∞)D．[0,1)∪(1,+∞)答案：D分析：由题意列不等式组求解由题意得{2x≥0x−1≠0，解得x≥0且x≠1，故选：D5、下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）A．B．C．D．分析：根据函数的定义判断即可.B中，当x>0时，y有两个值和x对应，不满足函数y的唯一性，A，C，D满足函数的定义，故选：B6、已知函数f(x+2)=x2+6x+8，则函数f(x)的解析式为（）A．f(x)=x2+2x B．f(x)=x2+6x+8C．f(x)=x2+4x D．f(x)=x2+8x+6答案：A分析：利用配凑法（换元法）计算可得.解：方法一（配凑法）∵f(x+2)=x2+6x+8=(x+2)2+2(x+2)，∴f(x)=x2+2x.方法二（换元法）令t=x+2，则x=t−2，∴f(t)=(t−2)2+6(t−2)+8=t2+2t，∴f(x)=x2+2x.故选：A7、设函数f(x)=x2+2(4−a)x+2在区间(−∞,3]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．a≥−7B．a≥7C．a≥3D．a≤−7答案：B分析：根据二次函数的图象和性质即可求解.函数f(x)的对称轴为x=a−4，又∵函数在(−∞,3]上为减函数，∴a−4⩾3，即a⩾7．故选：B.小提示：本题考查由函数的单调区间求参数的取值范围，涉及二次函数的性质，属基础题. 8、已知幂函数y=f(x)的图象过点P(2,4)，则f(3)=（）A．2B．3C．8D．9分析：先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求f(3)的值 解：设f(x)=x α，则2α=4，得α=2， 所以f(x)=x 2， 所以f(3)=32=9， 故选：D 多选题9、下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A ．f (x )=x 与g (x )=√x 33B ．f (x )=x +1与g (x )=x 2−1x−1C ．f (x )=|x |x 与g (x )={1,x >0−1,x <0D ．f (t )=|t −1|与g (x )=|x −1| 答案：ACD分析：根据两个函数为同一函数的定义，对四个选项逐个分析可得答案.对于A ，f(x)=x ，g(x)=√x 33=x ，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A 正确；对于B ，f(x)=x +1，g(x)=x +1(x ≠1)，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B 不正确；对于C ，f(x)={1,x >0−1,x <0 ，g (x )={1,x >0−1,x <0，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C 正确；对于D ，f (t )=|t −1|与g (x )=|x −1|的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D 正确. 故选：ACD10、（多选题）已知函数f(x)的定义域为D ，若存在区间[m,n]⊆D 使得f(x)： （1）f(x)在[m,n]上是单调函数； （2）f(x)在[m,n]上的值域是[2m,2n]， 则称区间[m,n]为函数f(x)的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）A ．f(x)=x 2；B ．f(x)=1x；C ．f(x)=x +1x；D ．f(x)=3xx 2+1．答案：ABD分析：函数中存在“倍值区间”，则f(x)在[m,n ]内是单调函数,{f (m )=2m f (n )=2n 或{f (m )=2n f (n )=2m，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”．函数中存在“倍值区间”，则（1）f(x)在[m,n]内是单调函数，（2）{f(m)=2m f(n)=2n 或{f(m)=2n f(n)=2m，对于A ，f(x)=x 2，若存在“倍值区间”[m,n]，则{f(m)=2m f(n)=2n ⇒ {m 2=2m n 2=2n⇒ {m =0n =2，∴f(x)=x 2，存在“倍值区间”[0,2]；对于B ，f(x)=1x (x ∈R)，若存在“倍值区间”[m,n]，当x >0时，{1m =2n 1n=2m⇒ mn =12，故只需mn =12即可，故存在；对于C ，f(x)=x +1x；当x >0时，在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,+∞)上单调递增，若存在“倍值区间”[m,n]⊆[0,1]⇒m +1m =2n ，n +1n =2m ⇒m 2−2mn +1=0， n 2−2mn +1=0⇒m 2=n 2不符题意；若存在“倍值区间”[m,n]⊆[1,+∞)⇒m +1m =2m ，n +1n =2n ⇒m 2=n 2=1不符题意，故此函数不存在“倍值区间“； 对于D ，f(x)=3xx 2+1=3x+1x，所以f(x)在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,+∞)上单调递减，若存在“倍值区间”[m,n]⊆[0,1]，3m m 2+1=2m ，3nn 2+1=2n ，∴m =0，n =√22， 即存在“倍值区间”[0,√22]； 故选：ABD ．小提示：关键点睛：本题考查新定义：“倍值区间”，关键在于紧扣定义，运用函数的单调性和值域，使问题得以解决.11、下列各组函数是同一个函数的是（ ） A ．f (x )=x 2−2x −1与g (s )=s 2−2s −1B．f(x)=√−x3与g(x)=x√−xC．f(x)=xx 与g(x)=1x0D．f(x)=x与g(x)=√x2答案：AC分析：分别求出四个选项中，每个选项两个函数的定义域和对应关系是否相同即可求解.对于选项A：f(x)=x2−2x−1的定义域为R，g(s)=s2−2s−1的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；对于选项B：f(x)=√−x3=−x√−x的定义域为{x|x≤0}，g(x)=x√−x的定义域为{x|x≤0}，定义域相同对应关系不同，不是同一个函数；对于选项C：f(x)=xx =1的定义域为{x|x≠0}，g(x)=1x0=1的定义域{x|x≠0}，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；对于选项D：f(x)=x的定义域为R，g(x)=√x2=|x|的定义域为R，对应关系不同，不是同一个函数. 故选：AC填空题12、已知函数f(x)={3x−1,x≥12−x+3,x<1，则f(−2)=________. 答案：7分析：根据题意直接求解即可解：因为f(x)={3x−1,x≥12−x+3,x<1，所以f(−2)=22+3=7，所以答案是：713、函数f(x)=√1−2x 3x2x+1的定义域________．答案：(−∞,−1)∪(−1,12)分析：根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．由f(x)=√1−2x +3x2x+1可得：{1−2x>0x+1≠0解得：x<12，且x≠−1，∴函数f(x)=√1−2x 3x2x+1的定义域为：(−∞,−1)∪(−1,12)，所以答案是：(−∞,−1)∪(−1,12)。
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1
第一章 函数概念及其表示
一、函数与映射的概念
1、判断下列图象能表示函数图象的是（ ）
2． 设集合P=04xx,Q=02yy,由以下列对应f中不能．．构成A到B的映射的是
（ ）
A．12yx B． 13yx C． 23yx D． 18xy
3、对于函数()yfx，以下说法正确的有 （ ）
①y是x的函数；②对于不同的,xy的值也不同；③()fa表示当xa时函数()fx的
值，是一个常量；
④()fx一定可以用一个具体的式子表示出来。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
4、若:fAB能构成映射，下列说法正确的有 （ ）
（1）A中的任一元素在B中必须有像且唯一；（2）B中的多个元素可以在A中有相同
的原像；
（3）B中的元素可以在A中无原像；（4）像的集合就是集合B。
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
5．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）
⑴3)5)(3(1xxxy，52xy；
⑵111xxy，)1)(1(2xxy；
⑶xxf)(，2)(xxg；
⑷343()fxxx，3()1Fxxx；
⑸21)52()(xxf，52)(2xxf。
A．⑴、⑵ B．⑵、⑶ C．⑷ D．⑶、⑸
6．下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）
A．xxyy,1 B．1,112xyxxy
C ．33,xyxy D． 2)(|,|xyxy
x y 0 (A) x y 0 (B) x y 0 (D) x y 0
(C)
2
7、给定映射:(,)(2,)fxyxyxy，点11(,)66的原象是
8．函数()yfx的图象与直线1x的公共点数目是（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．1或2
9．已知f满足f(ab)=f(a)+ f(b)，且f(2)=p，qf)3(那么)72(f等于 （ ）
A．qp B．qp23 C．qp32 D．23qp
10．已知集合421,2,3,,4,7,,3AkBaaa，且*,,aNxAyB
使B中元素31yx和A中的元素x对应，则,ak的值分别为（ ）
A．2,3 B．3,4 C．3,5 D．2,5
二.求函数值
1．若函数234(0)()(0)0(0)xxfxxx，则((0))ff= ．
2．已知函数)0(2)0(1)(2xxxxxf，若()10fx,则x 。
3.（2008山东）设函数221, 1,2, 1,xxfxxxx则12ff的值为
A． 1516 B．2716 C．89 D.18
4．已知22(1)()(12)2(2)xxfxxxxx，若()3fx，则x的值是（ ）
A．1 B．1或32 C．1，32或3 D．3
5．设函数.)().0(1),0(121)(aafxxxxxf若则实数a的取值范围是 。
6．设)10()],6([)10(,2)(xxffxxxf则)5(f的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
7.（2008陕西) 定义在R上的函数fx满足
3
2,,12fxyfxfyxyxyRf
,则3f等于（ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D．9
三 简单的函数解析式
1.（2009海口模拟）已知函数2113,fxxx则
A．12202fxxx B．12124fxxx
C．12202fxxx D．12104fxxx
2．设函数()23,(2)()fxxgxfx，则()gx的表达式是（ ）
A．21x B．21x C．23x D．27x
3．函数)23(,32)(xxcxxf满足,)]([xxff则常数c等于（ ）
A．3 B．3 C．33或 D．35或
4. 若f(x)=xx1，则方程f(4x)=x的根为（ ）
A. 21 B. -21 C.2 D. -2
5．已知)0(1)]([,21)(22xxxxgfxxg，那么)21(f等于（ ）
A．15 B．1 C．3 D．30
6．若函数xxxf2)12(2，则)3(f= .
7．已知2211()11xxfxx，则()fx的解析式为（ ）
A．21xx B．212xx C．212xx D．21xx
8．已知0,10,1)(xxxf，则不等式(2)(2)5xxfx的解集是
9．已知,ab为常数，若22()43,()1024,fxxxfaxbxx
则求ba5的值。
四 求定义域
1．求下列函数的定义域
（1）83yxx （2）11122xxxy
（3）xxy11111（4）422xxy（5）0(1)xyxx（6）31()1xfxx
4
2．已知函数yfx()1定义域是[]23，，则yfx()21的定义域是（ ）
A．[]052， B. []14，
C. []55， D. []37，
3．设函数fx()的定义域为[]01，，则函数fx()2的定义域为__________。
五 函数的表示方法
1、（本题14分）（1）乐购超市在2009年里各月毛线的零售量（单位：kg）如表所示：
月份t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
零售量y 20 25 63 6 28 5 15 46 37 28 56 84
则零售量是否为月份的函数？为什么？（8分）
2. （2010陕西文数）某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各
班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数
x
之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为
（A）y＝[10x] （B）y＝[310x]
（C）y＝[410x] （D）y＝[510x]
3.如右图,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,且AB=1,OC=BC=2,直线l:x=ｔ,截
此梯形所得位于l左方的图形面积为S,则函数S=f(t)的大致图象是以下图形中
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