高二上学期数学北师大版选修2-1师生共用导学案：2.3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示1
高中数学北师大版选修2-1 2.3.2空间向量基本定理 课件(26张)
-1-
1.了解空间向量基本定理及其意义,会在简单问题中选用空间三 个不共面的向量作为基底表示其他向量. 2.体会从平面到空间的过程,进一步培养对空间图形的想象能力.
-2-
1.空间向量基本定理 (1)如果向量e1,e2,e3是空间三个不共面的向量,a是空间任一向量, 那么存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3,使得a=λ1e1+λ2e2+λ3e3. (2)空间中不共面的三个向量e1,e2,e3叫作这个空间的一个基 底,a=λ1e1+λ2e2+λ3e3表示向量a关于基底e1,e2,e3的分解,e1,e2,e3都叫 作基向量. 当向量e1,e2,e3两两垂直时,就得到这个向量的一个正交分解,当 e1=i,e2=j,e3=k时,a=λ1e1+λ2e2+λ3e3叫作a的标准正交分解.
1 1 1 ①������������ = ������������ + ������������ + ������������ ; ②������������ = ������������ + ������������; 3 3 3
③������������ = ������������ + ������������ + ������������ ; ④������������ = 2������������ − ������������. 解析 :对于 ①,由 ������������ = ������������������ + ������������������ + ������������������ (������ + ������ + ������ = 1), 知M,A,B,C 四点共面 ,则 ������������, ������������ , ������������共面;对于 ②④,易知 ������������, ������������ , ������������ 共面;只有 ③中 ������������, ������������ , ������������不共面. 答案 :③
高中北师大版数学选修2-1学案：2.3.3 空间向量运算的坐标表示 含答案
值．
解：a·b＝(3,0,1)·(k,2，－1)
＝3k＋0×2＋1×(－1)＝3k－1，
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉
3π
＝ 32＋02＋12· k2＋22＋ －1 2·cos 4
10 ＝－
2
k2＋5.
3π ，求实数 k 的
4
则 3k－1＝－
10 k2＋5，
2
3－ 105
3＋ 105
解得 k＝
BA AM
aλ )．
→→ ∵ BM⊥AC1，∴ BM· ＝0.
AC1
1 即 a2λ ＋a2λ －a2＋a2λ ＝0，解得 λ ＝ ，
3
→
aaa
∴ AM＝ ， ， ，
(－ 3)
33
→ → → 2a a a
＝＋ ＝
.
(
3)
DM DA AM ， ，
33
( ∴ M 点坐标为
2a a a
3).
，， 33
规律方法 用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下
CA
→→ AB·CA
→→ |AB||CA|
－7
1
＝
＝－ .
14 × 14 2
Earlybird
晨鸟教育
已知三点 P1(1,1,0)，P2(0,1,1)和 P3(1,0,1)，O 为坐标原点，求|OP1＋
→→ OP2
→ →→
＋OP3|及 与 夹角的余弦值． P1P2 P1P3
→→→
解：OP1＋ ＋ ＝(1,1,0)＋(0,1,1)＋(1,0,1)＝(2,2,2)， OP2 OP3
或 k＝
4
4
(舍)，
Earlybird
晨鸟教育
高中北师大版数学选修2-1学案：2.3.3 空间向量运算的坐标表示 Word版含答案
3．3空间向量运算的坐标表示知识点一向量的加减法和数乘的坐标表示[填一填](1)空间两个向量和(差)的坐标等于它们对应坐标的和(差)．(2)实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积．(3)空间向量的坐标等于终点与起点对应坐标的差．[答一答]1．推一推：两向量和(差)的坐标等于它们对应坐标的和(差)．提示：设a＝(x 1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，即a＝x1i＋y1j＋z1k，b ＝x2i＋y2j＋z2k，∴a＋b＝(x1i＋y1j＋z1k)＋(x2i＋y2j＋z2k)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)．同理：a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j＋(z1－z2)k，即a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)．2．议一议：试推导两向量平行的坐标关系式．提示：若b≠0，则a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)．知识点二数量积的坐标表示[填一填]空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．[答一答]试一试：试推导数量积的坐标表达式．提示：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，即a＝x1i＋y1j＋z1k，b＝x2i＋y2j＋z2k，所以a·b＝(x1i＋y1j＋z1k)·(x2i＋y2j＋z2k)＝(x1x2)i·i＋(x1y2)i·j＋(x1z2)i·k＋(y1x2)j·i＋(y1y2)j·j＋(y1z2)j·k＋(z1x2)k·i＋(z1y2)k·j＋(z1z2)k·k.因为i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝j·k＝i·k＝0，所以a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.知识点三空间向量长度与夹角的坐标表示[填一填]设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据空间向量运算的坐标表示，我们得到以下结论：(1)|a|＝a·aa≠0，b≠0)．(2)cos〈a，b[答一答]想一想：两向量垂直的坐标之间的关系是怎样的？提示：a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.1．空间向量的坐标运算的加法、减法、数乘同平面向量类似，具有类似的运算性质，学习时可类比推广．2．关于空间向量的坐标表示的几个注意点：(1)要掌握类比的学习新知识的方法；(2)空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广，两者实质是一样的，只是表达的形式不同而已；(3)向量的运算转化为数的运算，形化为数．3．在向量平行的判定中应该注意的问题：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b(b≠0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，这一形式不能随便写成a1b1＝a2b2＝a3b3.只有在b与三个坐标轴都不平行时，才能这样写．4．关于空间向量长度与夹角的坐标表示的几个注意点：(1)两个空间向量的夹角公式及空间向量长度的坐标计算公式分别类似于平面向量的夹角公式及平面向量长度的坐标计算公式．(2)夹角公式可根据数量积的定义，结合空间向量的数量积，空间向量长度的坐标表示推出．(3)向量长度公式表示向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，学习时可采用类比方法．题型一空间向量的坐标运算【例1】已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,2,8)，求2a＋3b,3a－2b，|a|＋|b|，a·b.【思路探究】 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和．再由|a |2＝a ·a 即可解决．【解】 2a ＋3b ＝(6,10，－8)＋(6,6,24)＝(12,16,16)，3a －2b ＝(9,15，－12)－(4,4,16)＝(5,11，－28)，|a |＋|b |＝32＋52＋(－4)2＋22＋22＋82＝50＋72＝52＋62＝11 2.a ·b ＝3×2＋5×2－4×8＝－16.规律方法 空间向量的加、减、数乘、数量积运算是利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活地应用．已知A ，B ，C 三点坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2，2,3)，求点P 的坐标使得AP →＝12(AB →－AC →)．解：设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)，AB →＝(2,6，－3)，AC →＝(－4,3,1)，∵AP →＝12(AB →－AC →)．∴(x －2，y ＋1，z －2)＝12[(2,6，－3)－(－4,3,1)]＝12(6,3，－4)＝(3，32，－2)．∴⎩⎨⎧x－2＝3，y＋1＝32，z－2＝－2，解得⎩⎨⎧x＝5，y＝12，z＝0.∴P点坐标为(5，12，0)．题型二利用向量解决平行、垂直问题【例2】如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．过B作BM⊥AC1于M，求点M的坐标．【思路探究】写出A，B，C1的坐标，设出M的坐标，利用条件BM⊥AC1及M在AC1上建立方程组，求解．【解】解法1：设M(x，y，z)，由题图可知：A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，则AC1→＝(－a，a，a)，AM→＝(x－a，y，z)，BM→＝(x－a，y－a，z)．∵BM→⊥AC1→，∴BM→·AC1→＝0，∴－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，即x－y－z＝0.①又∵AC1→∥AM→，∴x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa，即x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.②由①②得x＝2a3，y＝a3，z＝a3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a3，a 3，a 3. 解法2：由解法1得AC 1→＝(－a ，a ，a )，DA →＝(a,0,0)．设AM →＝λAC 1→＝(－aλ，aλ，aλ)，∴BM →＝BA →＋AM →＝(0，－a,0)＋(－aλ，aλ，aλ)＝(－aλ，aλ－a ，aλ)．∵BM ⊥AC 1，∴BM →·AC 1→＝0.即a 2λ＋a 2λ－a 2＋a 2λ＝0，解得λ＝13，∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，a 3，a 3， DM →＝DA →＋AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3. ∴M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3. 规律方法 用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用：(1)若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)(b 为非零向量)，则a ∥b ⇔x 1＝λx 2且y 1＝λy 2且z 1＝λz 2(λ∈R )．若b ＝0时，必有a ∥b ，必要时应对b 是否为0进行讨论．(2)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.已知a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)当(λa ＋b )∥(a －3b )时，求实数λ的值；(2)当(a －3b )⊥(λa ＋b )时，求实数λ的值．解：∵a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)，∴a －3b ＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa ＋b ＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．(1)∵(λa ＋b )∥(a －3b )，∴λ－27＝5λ＋3－4＝－λ＋5－16， 解得λ＝－13.(2)∵(a －3b )⊥(λa ＋b )，∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0，即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝1063.题型三 利用向量解决夹角和长度问题【例3】 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的长；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值．【思路探究】 CA ，CB ，CC 1两两垂直，可由此建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解向量的模及夹角．【解】 以C 为原点，以CA →，CB →，CC 1→为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图．(1)依题意，得B (0,1,0)，N (1,0,1)，BN →＝(1，－1,1)，∴|BN →|＝ 3.(2)依题意，得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)．∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)，∴BA1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝ 5.∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.规律方法 在几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量的坐标运算，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．已知空间三点，A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，求AB →与CA →的夹角的余弦值．解：AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，|AB →|＝4＋1＋9＝14，|CA →|＝1＋9＋4＝14，AB →·CA →＝2－3－6＝－7，∴cos 〈AB →，CA →〉＝AB →·CA →|AB →||CA →|＝－714×14＝－12.已知三点P1(1,1,0)，P2(0,1,1)和P3(1,0,1)，O为坐标原点，求|OP1→＋OP2→＋OP3→|及P1P2→与P1P3→夹角的余弦值．解：OP1→＋OP2→＋OP3→＝(1,1,0)＋(0,1,1)＋(1,0,1)＝(2,2,2)，∴|OP1→＋OP2→＋OP3→|＝22＋22＋22＝2 3.P1P2→＝(－1,0,1)，P1P3→＝(0，－1,1)，令P1P2→与P1P3→的夹角为θ，则cosθ＝P1P2→·P1P3→|P1P2→|·|P1P3→|＝12·2＝12.已知a＝(3,0,1)，b＝(k,2，－1)，且〈a，b〉＝3π4，求实数k的值．解：a·b＝(3,0,1)·(k,2，－1)＝3k＋0×2＋1×(－1)＝3k－1，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝32＋02＋12·k2＋22＋(－1)2·cos3π4＝－102k2＋5.则3k－1＝－102k2＋5，解得k＝3－1054或k＝3＋1054(舍)，故k的值为3－1054.——易错警示——对向量共线理解的错误【例4】 已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，求x ，y 的值．【误解】 由题意知a ∥b ， 所以x 1＝x 2＋y －22＝y 3， 即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ， ①x 2＋y －2＝2x ， ② ①代入②得x 2＋x －2＝0，即(x ＋2)(x －1)＝0，解得x ＝－2或x ＝1，当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.【正解】 由题意知a ∥b ， 所以x 1＝x 2＋y －22＝y 3， 即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ， ①x 2＋y －2＝2x ， ② ①代入②得x 2＋x －2＝0，即(x ＋2)(x －1)＝0，解得x ＝－2或x ＝1，当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，确实同向， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. 规律方法 两向量平行或两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况，两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．误解就忽视了这一点．1．已知a＝(1,0,1)，b＝(1，－2,2)，c＝(－2,3，－1)，那么|a|＋b·c 等于(A)A.2－10 B．10－ 2C．－8 D．8解析：由题知|a|＝2，b·c＝－2－6－2＝－10，∴|a|＋b·c＝2－10.2．如果三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)在同一条直线上，那么(C)A．a＝3，b＝－3B．a＝6，b＝－1C．a＝3，b＝2D．a＝－2，b＝1解析：∵AB→＝(1，－1,3)，BC→＝(a－2，－1，b＋1)，又A、B、C 共线，∴a－21＝－1－1＝b＋13.∴a＝3，b＝2.3．已知向量AB→＝(2，－1,3)，点A(－1,0,4)，则B点坐标为(C) A．(－3,1,1) B．(3，－1，－1)C．(1，－1,7) D．(－1,1，－7)解析：设B(x，y，z)，则AB→＝(x＋1，y，z－4)＝(2，－1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x＋1＝2，y＝－1，z－4＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝－1，z＝7.4．已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(6,2μ－1,2)，且a ∥b ，则λ＋μ＝710.解析：∵a ∥b ，∴a ＝t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋1＝6t ，0＝(2μ－1)t ，2λ＝2t ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝t ＝15，μ＝12.∴λ＋μ＝15＋12＝710.5．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，求k 的值．解：k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，∵k a ＋b 与2a －b 互相垂直，∴3(k －1)＋2k －4＝0.∴k ＝75.。
北师大版高中数学选修2-1教案：2.3.2空间向量基本定理
北师大版高中数学选修2-1教案：2.3.2空间向量基本定理单元（章节）课题北师大版选修2-1第二章空间向量与立体几何本节课题§3.2空间向量基本定理课标要求了解空间向量的基本定理及其意义三维目标知识与技能：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向量基本定理的证明。
过程与方法：、培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。
情感态度与价值观：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，引起学生极大的学习兴趣，加强数学与生活实践的联系。
学情分析对比平面向量的基本定理，生活实际需要向三维空间发展，推广到空间向量的基本定理。
教学重难点教学难点：空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。
灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题教学重点：运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系C 1B 1A 1ABC OPD教师教与学生学设计意图新课学习问题探究一 空间向量的基底基向量和基底一样吗？0能否作为基向量？ 问题探究二 用基底表示向量讲解教材35页例3[来源:1][来源:学_科_网]例2、在例1中，设O 是AC 的中点，判断AQ 和对比平面向量的基本定理，生活实际需要向三维空间发展（播放美伊战争画面，地面的坦克如何瞄准空中的飞机画面），推广到空间向量的基本定理。
用向量来描述：若空间三个向量不共面，那么空间的任一向量都可以用这三个向量表示。
我们研究一下怎么表OC1所在直线的位置关系。
解：由例1得：AQ=51(b+a)+54c，1OC=OC+1CC=21AC+1AA=21（b+a）+c则AQ和1OC与（b+a）和c共面，又AQ≠λ1OC，则AQ和OC1所在直线不能平行，只能相交。
追问：要使AQ和OC1所在直线平行，则O应在AC的什么位置？[来源:]示。
（提示学生思考平面的任一向量怎么用平面向量的基底表示）学生：1e、2e是平面内两个不共线的向量，则该平面内的任一向量a都可以表示为a=λ11e+λ22e，其中λ1、λ2是一对唯一的实数。
2019-2020学年高中北师大版数学选修2-1学案：2.3第2课时 空间向量运算的坐标表示 含解析
第2课时空间向量运算的坐标表示Q错误!错误!向量的坐标表示为我们展示了一幅美丽的画卷，那么将向量坐标化之后，向量的线性运算、数量积运算及向量平行、垂直、向量的模、夹角的坐标表示是不是更简化了？X错误!错误!1．空间向量坐标运算的法则若a＝(x1，y1，z1),b＝（x2,y2,z2)，则a＋b＝__(x＋x2，y1＋y2,z1＋z2）__；1a－b＝__(x－x2，y1－y2，z1－z2）__;1λa＝__（λx，λy1，λz1）(λ∈R)__;1空间向量平行的坐标表示为a∥b（b≠0)⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)．2．空间向量坐标的确定在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1），B（x2，y2,z2）,则错误!＝__（x2－x1,y2－y1，z2－z1）__，即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．3．数量积的坐标表示设空间两个非零向量为a＝（x1,y1,z1），b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝__x1x2＋y1y2＋z1z2__.空间两向量的数量积等于它们__对应坐标的乘积之和__.4．空间向量长度与夹角的坐标表示设a＝(x1，y1，z1)，b＝（x2,y2，z2）,根据空间向量运算的坐标表示，我们可以得到以下结论．（1）｜a|＝a2＝__错误!__；（2）cos<a,b〉＝__错误!__(a≠0，b≠0)；（3）a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＋z1z2＝0__.Y错误!错误!1．已知向量a＝(4，－2，－4），b＝（6，－3，2)，则下列结论正确的是( D ）A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6)C．a·b＝10 D．|a|＝6［解析］a＋b＝（10，－5,－2）,A错误;a－b＝(2，－1,6），B错误；a·b＝4×6＋(－2)×(－3）＋（－4）×2＝22，C错误；|a｜＝42＋－22＋42＝6，故选D．2．已知a＝(2，1，－3)，b＝（4，2,λ），若a⊥b，则实数λ等于（ B ）A．－2 B．错误!C．2 D．－错误![解析] ∵a＝(2,1，－3）,b＝（4，2,λ），a⊥b，∴a·b＝8＋2－3λ＝0,解得λ＝错误!。
高中数学选修2-1精品教案4-3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课 题：空间向量的基本定理教学目标：1．掌握及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。
教学重点：空间向量的基本定理及其推论教学难点：空间向量的基本定理唯一性的理解教学过程：一、创设情景平面向量基本定理的内容及其理解如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ，使a =2211e e λλ+二、新课讲授1、空间向量的基本定理 如果三个向量c b a ,,不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组{}z y x ,,，使c z b y a x p ++=证明：（存在性）设c b a ,,不共面，过点O 作p OP c OC b OB a OA ====,,,过点P 作直线PP '平行于OC ，交平面OAB 于点P '；在平面OAB 内，过点P '作直线//,//P A OB P B OA ''''，分别与直线,OA OB 相交于点,A B ''，于是，存在三个实数,,x y z ，使c z OC OC b y OB OB a x OA OA ======///,,∴OP OA OB OC xOA yOB zOC '''=++=++ 所以c z b y a x p ++=（唯一性）假设还存在,,x y z '''使c z b y a x p ///++= ∴c z b y a x ++c z b y a x ///++=∴0)()()(///=-+-+-c z z b y y a x x 不妨设x x '≠即0x x '-≠ ∴c xx z z b x x y y a ////------= ∴c b a ,,共面此与已知矛盾 ∴该表达式唯一 综上两方面，原命题成立（注：上述证明不须给学生讲授）由此定理， 若三向量c b a ,,不共面，那么空间的任一向量都可由c b a ,,线性表示，所有空间向量组成的集合就是}R z y x c z b y a x ∈++=,,,，这个集合可看作是由向量c b a ,,生成的，我们把{c b a ,,}叫做空间的一个基底，c b a ,,叫做基向量。
空间向量的标准正交分解与坐标表示、空间向量基本定理课件
如果向量e1、e2、e3是空间三个 不共面 的向量，a是
空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1、λ2、λ3使得a＝ λ1e1＋λ2e2＋λ3e3 .
其中e1、e2、e3叫作这个空间的一个 基底 ．
a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3
表示向量a关于基底e1，e2，e3
的分解．
空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知 向量a，b，c可以表示出空间任一向量；空间中的基底是 不唯一的，空间任意三个不共面的向量均可作为空间向 量的基底．
解：如图，过 A 点作 AM⊥平面 xOy 于
M，则直线 AM 过点 C，且 CM＝AM， uuur
则 点 C 的 坐标 为 (1,2,1)， 此 时 OC ＝ uuur
(1,2,1)，该向量与OA＝(1,2，－1)关于平
面 xOy 对称．
过 A 点作 AN⊥x 轴于 N，则直线 AN 过点 B，且 BN＝AN， uuur
直的直线，并分别为x，y，z轴进行建系．
(2)若表示向量
uuur AB
的坐标，只要写出向量
uuur AB
关于i，
j，k的标准正 交分解式，即可得坐标．
1.在如图所示的空间直角坐标系中，正方体
ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，B1E1＝14 uuuur
A1B1，则 DE1 的坐标为________．
D1D 上，且 BE＝13BB1，DF＝23DD1.
(1)证明 A、E、C1、F 四点共面；
uuur
uuur uuur
(2)若 EF ＝x＋y AD＋z AA1 ，求 x＋y＋z uuuur
uuur
[思路点拨] 要证明四点共面只需证明 AC1 可用 AE ，
uuur
高中数学北师大版选修2-1练习：第二章3.1-3.2 空间向量的标准正交分解与坐标表示 空间向量基本定理 1
[基础达标]1.O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( ) A.OA →、OB →、OC →共线 B ．OA →、OB →共线C.OB →、OC →共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面解析：选D.由题意得OA →，OB →，OC →共面，∴O 、A 、B 、C 四点共面． 2.下列各组向量能构成一个基底的是( ) A ．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中的向量AB →，AC →，AD →B ．三棱锥A -BCD 中的向量AB →，AC →，AD →C ．三棱柱ABC -A 1B 1C 1中(E 是A 1C 1的中点)的向量AA 1→，AE →，AC 1→D ．四棱锥S -ABCD 中的向量DA →，DB →，DC →解析：选B.由于A 、C 、D 中的三个向量均为共面向量，故选B. 3.如图所示，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，点M ，N是平面A 1B 1C 1D 1内任意两个不重合的点，MN →＝x a ＋y b ＋z c (x ，y ，z ∈R )，那么( )A ．x ，y ，z 都不等于0B ．x ，y ，z 中最多有一个值为0C ．x ，y ，z 中z 必等于0D ．x ，y ，z 不可能有两个等于0解析：选C.∵MN 在平面A 1B 1C 1D 1内，∴z 必为0. 4.若a ，b 是平面α内的两个向量，则( ) A ．α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ) B ．若存在λ，μ∈R 使λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0C ．若a ，b 不共线，则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )D ．若a ，b 不共线，则α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )解析：选D.当a ，b 共线时，A 、B 不成立；对C ，当p 与a ，b 不共面时，不成立．故选D.5.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间内任意一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OD →可用a ，b ，c 表示为( )A ．a －b ＋2cB ．a －b －2cC ．－12a ＋12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析：选D.OD →＝OC →＋CD →＝OC →＋12BA →＝OC →＋12(OA →－OB →)＝12a －12b ＋c . 6.已知在如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，若以{AB →，AD →，AA 1→}为基底，则向量AE →的坐标为________，向量AF →的坐标为________，向量AC 1→的坐标为________．解析：AE →＝AD 1→＋D 1E →＝AD →＋AA 1→＋12AB →＝12AB →＋AD →＋AA 1→；AF →＝AB →＋AA 1→＋12AD →＝AB →＋12AD →＋AA 1→；AC 1→＝AB →＋AA 1→＋AD →＝AB →＋AD →＋AA 1→，故AE →、AF →、AC 1→在基底{AB →，AD →，AA 1→}下的坐标分别为(12，1，1)，(1，12，1)，(1，1，1)．答案：(12，1，1) (1，12，1) (1，1，1)7.如图所示，点M 为OA 的中点，以{OA →，OC →，OD →}为基底的向量DM →＝xOA →＋yOC →＋zOD →，则(x ，y ，z )＝________．解析：∵DM →＝OM →－OD →＝12OA →－OD →，又DM →＝xOA →＋yOC →＋zOD →，∴x ＝12，y ＝0，z ＝－1，即(x ，y ，z )＝(12，0，－1)．答案：(12，0，－1)8.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为________．解析：CA →＝OA →－OC →，CB →＝OB →－OC →，∵G 1是△ABC 的重心，∴CG 1→＝13(CA →＋CB →)＝13(OA→＋OB →－2OC →)，由于OG ＝3GG 1，∴OG →＝34OG 1→＝14(OA →＋OB →－2OC →)，又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，∴(x ，y ，z )＝(14，14，－12)．答案：(14，14，－12)9.如图，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，分别取向量AB →，AD →，AA ′→为基底，若(1)BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→；(2)AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→，试确定x ，y ，z 的值．解：(1)∵BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋AD →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→，又BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12A ′C ′→＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12A ′B ′→＋12AD →＝12AD →＋12AB →＋AA ′→，又AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→， ∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.10.如图所示，已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，AB →＝a ，B 1C 1→＝b ，DD 1→＝c ，P 是CA 1的中点，M 是CD1的中点．试用a ，b ，c 表示如下向量：(1)AP →；(2)AM →.解：(1)因为AP →＝AA 1→＋A 1P →，而AA 1→＝DD 1→＝c ，A 1P →＝12A 1C →＝12(A 1A →＋AB →＋BC →)＝12(－c ＋a ＋b )＝12a ＋12b －12c ，所以AP →＝c ＋(12a ＋12b －12c )＝12a ＋12b ＋12c .(2)因为AM →＝AB →＋BC →＋CM →，而AB →＝a ，BC →＝B 1C 1→＝b ， 且M 是CD 1的中点，则CM →＝12CD 1→＝12(CD →＋DD 1→)＝12(－AB →＋DD 1→)＝12(－a ＋c )， 所以AM →＝AB →＋BC →＋CM →＝a ＋b ＋12(－a ＋c )＝12a ＋b ＋12c . [能力提升]1.如图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长都为2，E 、F 分别为AB 、A 1C 1的中点，则EF 的长是( )A ．2B ． 3 C. 5D ．7解析：选C.设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c . 由题意知|a |＝|b |＝|c |＝2，且〈a ，b 〉＝60°，〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝90°. 因为EF →＝EA →＋AA 1→＋A 1F →＝－12AB →＋AA 1→＋12AC →＝－12a ＋12b ＋c ，所以|EF →|2＝14a 2＋14b 2＋c 2＋2⎝⎛⎭⎫－12a ·12b ＋12b ·c －12a ·c ＝14×22＋14×22＋22＋2×⎝⎛⎭⎫－14×2×2cos 60° ＝1＋1＋4－1＝5， 所以|EF →|＝ 5.2.设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间任一点P 存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →.当且仅当x ＋y ＋z ＝________时，P ，A ，B ，C 四点共面．解析：当P 、A 、B 、C 四点共面时，令CP →＝xCA →＋yCB →， 即OP →－OC →＝x (OA →－OC →)＋y (OB →－OC →)． ∴OP →＝xOA →＋yOB →＋(1－x －y )OC →，又OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →， ∴z ＝1－x －y ，即x ＋y ＋z ＝1；反之当x ＋y ＋z ＝1时，则z ＝1－x －y 代入OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →得 OP →＝xOA →＋yOB →＋(1－x －y )OC →，∴OP →－OC →＝x (OA →－OC →)＋y (OB →－OC →)， 即CP →＝xCA →＋yCB →，故P 、A 、B 、C 四点共面． 答案：13.已知四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形，如图所示，M 是PC 的中点，问向量P A →、MB →、MD →是否可以组成一个基底，并说明理由．解：依题意得MB →＝MC →＋CB →， MD →＝MC →＋CD →，CB →＋CD →＝CA →， 则MB →＋MD →＝2MC →＋CA →，所以P A →＝PC →＋CA →＝2MC →＋CA →＝MB →＋MD →. 又MB →与MD →不共线，根据向量共面的条件， 可知P A →、MB →、MD →共面． 因此它们不能组成一个基底．4．已知点A 在基底{}a ，b ，c 下的坐标为(8，6，4)，其中，a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，求点A 在基底{}i ，j ，k 下的坐标．解：令OA →＝x i ＋y j ＋z k ， 由题意知OA →＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i ) ＝(8＋4)i ＋(8＋6)j ＋(6＋4)k ＝12i ＋14j ＋10k ， 故x ＝12，y ＝14，z ＝10.即点A 在基底{}i ，j ，k 下的坐标为(12，14，10)．。
3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示1
精彩互动
例1、已知PA垂直于正方形ABCD所表示的平面，M,N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD=1.求 、 的坐标
例2、在棱长为1的正方体 中，M,N分别是面 和面 的中心。
（1）求点M、N的坐标，及 关于 的分解式；
（2）求向量 在 上的投影.
检测案
1、在空间四边形 中 是 的重心，若 ，则 等于（）
二、预习自测
1.设 ，则向量 的坐标为.
探究案
一、基础知识探究
新知：
1空间向量的正交分解：
2空间向量基本定理：
反思：空间任意一个向量的基底有个.
3单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.
4空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组 ，使得 ，则称有序实数组 为向量a的坐标，记着 .
(A) (B) (C) (D)
2、设 ，且 是空间的一个基底，给出下列向量组① ② ③ ④ 其中可作为空间基底的有_____________
4、已知 是两两垂直的单位向量， 则 等于（）
(A) -2 (B)-1 (C) (D) 2
5、已知单位正方体 ，求：
（1）求向量 在 上的投影；
（2）求向量 在 上的投影。
课题
3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示
编写
审核
使用时间
学习
目标
1、掌握空间向量的正交分解及坐标表示。
2、了解投影的概念与坐标的意义
重点
空间向量的标准正交分解
难点
空间向量的标准正交分解
选修2-1空间向量正交分解及坐标表示
已知A(x 1，y1，z 1）,
(4)则点A(x 1，y 1，z 1）关于x轴的 对称点A 4(x 1，-y 1，-z 1 ); (5)则点A(x 1，y 1，z 1）关于y轴的 对称点A5(-x 1，y 1，-z 1 ); (6)则点A(x 1，y 1，z 1）关于z轴的 对称点A6(-x 1，-y 1，z 1 )。
复习：
共线向量定理:
对空间任意两个向量a、 （ b b 0）， a / /b的 充要条件是存在实数，使a＝ b.
共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb.
一、空间向量的正交分解 设 i, j , k 是空间三个两两垂直的向
如果 i , j , k 是空间三个两两垂直的向量，那么， 对空间任一向量 p ，存在一个有序实数组 x, y, z, 使得
p xi y j z k
这一过程叫做将空间向量正交分解
我们称xi,y j, z k为向量 p在i, j, k上的 分向量
思考2：在空间中，如果用任意三个不共面向量 a, b, c 代替两两垂直的向量 i, j, k ，你能得出类 似的结论吗？
z
4 3
墙 墙 地面
4
1
(4,5,3)
5O 1y源自x例．如图，已知长方体ABCD-A`B`C`D`的边长为
AB=12,AD=8,AA`=5.以这个长方体的顶点Ａ为坐标 原点，射线AB,AD,AA`分别为x轴、y轴和z轴的正半 轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标．
z
A` B` B D`
O A
2.将向量的终点坐标减去起点坐标，即为向量 坐标。
探究：向量运算的坐标表示
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题： 2.3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示
学习目标：
知识与技能：掌握空间直角坐标系；及空间向量的坐标表示；
过程与方法：掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长
方体）的顶点坐标；
情感态度与价值观：
由平面向量的坐标运算体系推广到空间向量的坐标运算体系培养类比推理思想和一般
到特殊的辨证思维能力。
学习重难点：
空间直角坐标系的意义及空间向量的坐标。
学习方法：
以讲学稿为依托的探究式教学。
学习过程：
一、 课前预习指导：
1. 标准正交基
在给定的空间直角坐标系中，x轴，y轴，z轴正方向的
i，j，k
叫作标准正交基．
2．标准正交分解
设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一 一组三元有序实数
(x，y，z)，使得a＝ ，则把a＝ 叫作a的标准正交分解．
3．向量的坐标表示
在a的标准正交分解中三元有序实数 叫做空间向量a的坐标，
叫作向量a的坐标表示．
4．向量坐标与投影
(1)i，j，k为标准正交基，a＝xi＋yj＋zk，那么：a·i＝ ，a·j＝ ，
a·k
＝ .把x，y，z分别称为向量a在单位向量i，j，k上的投影．
(2)向量的坐标等于它在 上的投影．
(3)一般地,若b0为b的单位向量,则称 为向量a在向量b上
的投影.
二、新课学习
问题探究一 向量的坐标表示
例题讲解教材34页例1
学后检测1
在直三棱柱ABO—A1B1O1中，∠AOB＝π2，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，
D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求DO→，A1B
→
的坐标．
问题探究二 向量a在b上的投影
例2 如图，已知单位正方体ABCD—A′B′C′D′.求：(1)向量CA′→在CD→上的投
影；