2012年数学教师招聘试题

长沙教育论坛 www.haoxinli.com 一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设复数1212,1,zizi则复数12zzz 在复平面内对应点位于（ C ）

A．第一象限 B．第二象限 C． 第三象限 D．第四象限 2．下列选项中，说法正确的是 ( D )

A．命题“若22ambm，则ab”的逆命题是真命题； B．设,ab是向量，命题“若ab，则ab

” 的否命题是真命题；

C．命题“pq”为真命题，则命题p和q均为真命题； D．命题0,2xxxR”的否定是“2,0xRxx”.

3.已知向量a, b，其中| a |2，| b |2，且( a－b )⊥a，则向量a和b的夹角是 （ A ） A．4 B．2 C．43 D．

4.已知10210012101111xaaxaxax…，则8a ( B ) A. 180 B. 180 C. 45 D. 45 5. 已知方程()fx22xaxb的两个根分别在区间（0，1）和（1，2）内，则22(4)ab

的取值范围为(D )

A. (17,20) B. 95(,20)5 C. (17,20) D. (,20)815

6. 已知33)6cos(x，则)3cos(cosxx （ C ） A．332 B．332 C．1 D．1 7．若椭圆221(0,0)xymnmn与曲线22||xymn无交点，则椭圆的离心率e的取值范围是 ( D ) A．3(,1)2 B．3(0,)2 C．2(,1)2 D．2(0)2， 8．若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+ λf(x)=０对任意实数x都成立，则称f(x)是一个“λ—伴随函数”.有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①f(x)=０是常数函数中唯一一个“λ—伴随函数”；② f(x)= x不是“λ—伴随函数”；

③ f(x)= x2是“λ—伴随函数”；④ “12—伴随函数”至少有一个零点．其中正确结论的个数是( B )个 A．1 B．2 C．3 D．4 长沙教育论坛 www.haoxinli.com 二、填空题：(本大题共7小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，摸棱两可均不得分.)

9．曲线3cos(0)2yxx与坐标轴所围成的面积是_____3___. 10.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为__ 32_____. 11．执行如图所示的程序框图，若输入x=10，则输出y的值为_____54 ___

.12．定义max{a,b}=,,aabbab，设实数x,y满足约束条件||2||2xy，z=max{4x+y,3x-y}，则z的取值范围是 ．10,7 13直线l的极坐标方程为324C:cos()，圆C：cossinxy（θ为参数）上的点到直线l的距离值为d，则d的最大值为 . 321 14.如图，已知：ABC△内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是圆O的切线，

若30B，1AC，则AD的长为 ． 3

215.4xxkxx=+若关于的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围是

22 22

1 1

22

1 22 1 正视图 侧视图

俯视图

ACDBO长沙教育论坛 www.haoxinli.com )1 +

4

æç¥

ç

çè

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在ABC中，三内角CBA,,的对边分别为.,,cba且满足（2b-c）cosA= acosC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若||1ACAB，求ABC周长l的取值范围． 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵(2)coscosbcAaC， 由正弦定理有：(2sinsin)cossincosBCAAC， „„„2分 ∴2sincossin()BAAC，即2sincossinBAB，

∵sin0B，∴1cos2A，又∵(0,)A，∴3A． „„„6分 （Ⅱ）由已知||1ACAB，∴||1BC，即1a， 由正弦定理得：BABabsin32sinsin，Ccsin32， „„„8分 221(sinsin)1(sinsin())33labcBCBAB

3112(sincos)22BB12sin()6B． „„„10分

∵3A，∴)32,0(B，∴)65,6(6B，∴]1,21()6sin(B， 故△ABC的周长l的取值范围是]3,2(． „„„12分 解法二：周长1labcbc，由（Ⅰ）及余弦定理得： 2212cosbcbcA，∴122bccb， „„„8分

∴22)2(3131)(cbbccb，∴2cb， „„„11分 又1bca，∴]3,2(cbal， 即△ABC的周长l的取值范围是(2,3]„„„ 12分 18．（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。 （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；

（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E. 解：（I）设甲胜A的事件为D， 乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，

则,,DEF分别表示甲不胜A、乙不胜B，丙不胜C的事件。 因为()0.6,()0.5,()0.5,PDPEPF 长沙教育论坛 www.haoxinli.com 由对立事件的概率公式知 ()0.4,()0.5,()0.5,PDPEPF

红队至少两人获胜的事件有： ,,,.DEFDEFDEFDEF

由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为

()()()()0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.PPDEFPDEFPDEFPDEF



（II）由题意知可能的取值为0，1，2，3。 又由（I）知,,DEFDEFDEF是两两互斥事件， 且各盘比赛的结果相互独立，

因此(0)()0.40.50.50.1,PPDEF (1)()()()PPDEFPDEFPDEF

0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35

(3)()0.60.50.50.15.PPDEF 由对立事件的概率公式得 (2)1(0)(1)(3)0.4,PPPP

所以的分布列为：  0 1 2 3

P 0．1 0．35 0．4 0．15

因此00.110.3520.430.151.6.E 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD,E为PC中点，底面ABCD是直角梯形， AB∥CD，∠ADC=90°, AB=AD=PD=1，CD=2． （Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD (Ⅲ)设Q为侧棱PC上一点，

PQPC，试确定λ的值，使得二面角Q—BD—P的大小为45°

证：（Ⅰ）取PD的中点F，连结EFAF，，因为E为PC中点，所以EFCD∥，且 112EFCD，在梯形ABCD中，ABCD∥，1AB， 长沙教育论坛 www.haoxinli.com 所以EFAB∥，EFAB，四边形ABEF为平行四边形，所以BEAF∥， 又因为BE平面PAD，AF平面PAD， 所以BE∥平面PAD． „„„4分 （Ⅱ）平面PCD底面ABCD，PDCD，所以PD平面ABCD，所以PDAD．如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz．则(1,0,0)A，(1,1,0)B，(0,2,0)C，(0,0,1)P．(1,1,0),(1,1,0)DBBC． 所以0,BCDBBCDB．又由PD平面ABCD，可得PDBC，所以BC平面PBD． „„„8分 （Ⅲ）平面PBD的法向量为(1,1,0)BC， (0,2,1),,(0,1)PCPQPC，所以

(0,2,1)Q，

设平面QBD的法向量为(,1,)nxz，由0nDB，0nDQ，得102(1)0xz，

所以21,1,1n，所以2

22cos452||||222()1nBCnBC



，

注意到(0,1)，得21 „„„„12分

20．（本小题满分13分）已知数列{}na是首项112a，公比为12的等比数列，nS为数列{}na的前n项和，又25log(1)nnbSt，常数*Nt，数列{}nc满足nnncab． （Ⅰ）若nc是递减数列，求t的最小值；（Ⅱ）是否存在正整数k，使12,,kkkccc这三项按某种顺序排列后成等比数列？若存在，试求出k，t的值；若不存在，请说明理由 ．

解：（Ⅰ）由题意知，nna21，11[1()]1221()1212nnnS，

∴tntStbnnn5)21(log5)1(log522， ∴nntnc)21)(5(， nc是递减数列，

∴0)21)(5255(1nnntntncc恒成立，即55nt恒成立， 55)(nnf是递减函数，∴当1n时()fn

取最大值0，

∴0t，又*Nt，∴1mint． „„„6分

AB

CD

PEF

Q

xy

z