四川省成都市龙泉驿区2019届高三统一模拟考试理科数学试题(解析版)

1 2018年四川省龙泉驿区高2016级统一模拟考试

理科数学 第Ⅰ卷 选择题（共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.请将答案写在答题卷上．．．．．．．．．．）、

1.设集合，，则集合为（ ）

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意可得： ，则集合为. 本题选择B选项. 2.在复平面内，复数z的对应点为（1，1），则z2=（ ） A. B. 2i C. D. 2+2i

【答案】B 【解析】 【分析】 先写出复数z，再求z2得解. 【详解】在复平面内，复数z的对应点为（1，1），所以z=1+i．所以z2=（1+i）2=2i，故选：B． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.已 知 ，， 则 等 于

A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ，所以可得，那么 ，故选D.

4.若双曲线的一条渐近线方程为，该双曲线的离心率是（ ）

A. B. C. D. 2

【答案】C 【解析】 双曲线的焦点位于轴，则双曲线的渐近线为，结合题意可得：，

双曲线的离心率：， 本题选择C选项. 5.如图，是以正方形的边为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为

（ ）

A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：先由圆的对称性得到图中阴影部分的面积，再用几何概型的概率公式进行求解. 详解：连接，由圆的对称性得阴影部分的面积

等于的面积，易知， 由几何概型的概率公式，得该点落在阴影区域 内的概率为.故选D.

. 点睛：本题的难点是求阴影部分的面积，本解法利用了圆和正方形的对称性，将阴影部分的面积转化为求三角形的面积. 6.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）

A. 若α⊥β，m⊥α，则m∥β 3

B. 若m∥α，n⊂α，则m∥n C. 若α∩β=m，n∥α，n∥β，则m∥n D. 若α⊥β，且α∩β=m，点A∈α，直线AB⊥m，则AB⊥β 【答案】C 【解析】 【分析】 对每一个选项逐一判断得解. 【详解】A选项不正确，因为α⊥β，m⊥β时，可能有m⊂α；B选项不正确，因m∥α，n⊂α，则m∥n或异面．C选项正确，因为α∩β=m，n∥α，n∥β，则画图如下左图：必有m∥n，D选项不正确，画图如下右图：故选：C．

【点睛】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线与线，线与面，面与面之间的关系的判定方法及性质定理，是解答本题的关键． 7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球半径为（ ）

A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 由三视图可知，该四棱锥是底面为边长为 的正方形，一条长为的 侧棱与底面垂直，将该棱锥补成棱长为 4

的正方体，则棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体外接球的直径就是正方体的对角线，即 ，故选B. 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点. 观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，做题时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响. 8.已知p为直线上的点，过点p作圆O：的切线，切点为M，N，若，则这样

的点p有 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个

【答案】B 【解析】 连接，则四边形为正方形，因为圆的半径为，，原点（圆心）到直线距离为符合条件的只有一个，故选B. 9.函数，则不等式的解集为( )

A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分类讨论： 当时，不等式为：，此时； 当时，不等式为：，此时不等式无解； 综上可得，不等式的解集为：， 表示为区间形式即：. 本题选择A选项. 10.函数在区间上的图象大致为（ ）

A. B. 5

C. D. 【答案】D 【解析】 很明显，且， 则函数在区间内由两个零点，选项A,B错误； 结合，且可排除C选项. 本题选择D选项. 11.已知抛物线为轴负半轴上的动点，为抛物线的切线，分别为切点，则的最小

值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设切线的方程为，代入抛物线方程得，由直线与抛物线相切得， 时

，根据导数的几何意义可得 则同理可得，将点的坐标代入，

得，故，当时，的最小值为，故选A. 12.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，

，有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨 ，，∴，又∵， 6

∴，故选D. 考点：三角函数的图象和性质. 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三 角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案写在答题卷上．．．．．．．．．．）

13.已知，均为单位向量，且它们的夹角为120°，则|4+|=__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先求，再求|4+|. 【详解】因为，均为单位向量，且它们的夹角为120°，则|4+|2=16||2+||2+8||•||•cos120°=16+1﹣4=13，则|4+|=，故答案为：． 【点睛】本题考查了向量的数量积和向量的模，属于基础题． 14.二项式（x2﹣）6的展开式中的常数项是_______． 【答案】240 【解析】 【分析】 先求出二项式的通项为x12﹣3r（﹣2）r，令12﹣3r=0可得解. 【详解】（x2﹣）6的通项公式为Tr+1=（x2）6﹣r（﹣）r=x12﹣3r（﹣2）r，令12﹣3r=0,可得r=4，则展开式的常数项为（（﹣2）4=240．故答案为：240． 【点睛】本题考查二项式定理的运用，主要是通项公式的运用和指数幂的运算性质，考查运算能力，属于基础题． 15.在△ABC中，a=2，b=，B=，则A=_______． 【答案】或． 【解析】 【分析】 7

直接由正弦定理求解. 【详解】在△ABC中，因为a=2，b=，B=，所以由正弦定理可得：sinA==，所以A=或．故答案为：或． 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 16.若函数f（x）=﹣x﹣cos2x+m（sinx﹣cosx）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则m的取值范围是____________． 【答案】[，] 【解析】 【分析】 先求导得f′（x）=﹣+sin2x+m（sinx+cosx），令sinx+cosx=t，（）则sin2x=t2﹣1那么y=+ m t -1，h（t）=+ m t -1≤0在t∈[，]恒成立．可得，解不等式得解. 【详解】函数f（x）=﹣x﹣cos2x+m（sinx﹣cosx）,则f′（x）=﹣+sin2x+m（sinx+cosx），令sinx+cosx=t，（）则sin2x=t2﹣1那么y=+ m t -1，因为f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则

h（t）=+ m t -1≤0在t∈[，]恒成立．可得，即解得：，故答

案为：[，]． 【点睛】本题考查了利用导函数研究单调性，求解参数范围问题．属于中档题. 三、解答题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将．．

答案写在答题卷上．．．．．．．．）

17.已知数列的前项和

(1)求数列的通项公式 (2)设数列满足,求数列的前n项和Tn 【答案】（1）；（2） 【解析】 试题分析：（1）由于知道的表达式，所以应用公式可求的通项的表达式。（2）由（1），所以，，分组求和，分解成一个等比数列求和及一个等差数列求 8

和。 试题解析：（1）当时，. 当时， 满足上式, 所以 . （2）由题意得.,

. 【点睛】知道的表达式求通项的表达式时，我们常用公式。

18.如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，

AC=2BC，∠ACB=90°．

（1）证明：B1C∥平面A1DE； （2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值． 【答案】（1）见解析； （2）. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）先证明B1B∥平面A1DE，BC∥平面A1DE，再证平面B1BC∥平面A1DE，即证B1C∥平面A1DE. （Ⅱ）以ED，EC，EB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，利用向量法求求二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．

【详解】（Ⅰ）证明：因为A1B1∥AB，AB=2A1B1，D为棱AB的中点，所以A1B1∥BD，A1B1=BD， 所以四边形A1B1BD为平行四边形，从而BB1∥A1D． 又BB1⊄平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，所以B1B∥平面A1DE， 因为DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC， 同理可证，BC∥平面A1DE．