离散信号与系统Z域分析-8

∞ ∞
k =−∞
∑ f (k)r e
F(z) =
−k − jωk
=
k =−∞
f (k)(re jω )k ∑
对于离散时间信号f(k)，其Z变换定义为 引入一个新的变量 z=rejω，对于离散时间信号 ， 变换定义为
k =−∞
f (k)z−k ∑
∞Leabharlann F(z)称为序列 的像函数， f(k) 称为函数 称为序列f(k)的像函数 称为函数F(z)的原函数。它们间的关 的原函数。 称为序列 的像函数， 的原函数 系记作 f (k) ↔ F(z)
k =0
k =0
∞
k
z
当| az−1| <1时幂级数收敛，即Z变换的收敛域为 时幂级数收敛， 变换的收敛域为
z >a
z F1 (z) = z −a
3
− ak 例： 求 f2 (k) = 0
−1 k −k
k <0 k ≥0
∞
Z变换的收敛域。
n
z F2 ( z ) = ∑ ( − a ) z = 1 − ∑ k = −∞ n =0 a
收敛域为 结论： 结论： 1） 收敛域取决于 f (k)和z平面取值范围； ） 平面取值范围； 和 平面取值范围 2） 收敛域内不包含任何极点（以极点为边界）； ） 收敛域内不包含任何极点（以极点为边界）； 3） 双边 变换 ） 双边Z变换 变换F(z)与 f (k)没有一一对应； 没有一一对应； 与 没有一一对应 4） 有限长序列收敛域至少为： 0 < z < ∞ ； ） 有限长序列收敛域至少为： 5) 右边序列收敛域为 z |>R1的圆外； 右边序列收敛域为| 的圆外； 6) 左边序列收敛域为 z |<R2的圆内； 左边序列收敛域为| 的圆内； 7) 双边序列收敛域为 1 < | z |<R2的圆环。 双边序列收敛域为R 的圆环。
收敛域为
j Im( z )
z <a
z F2 (z) = z −a
(a < b)
0
a
Re(z )
a k k ≥0 例： 求 f 3 ( k ) = k − b k < 0 Z变换的收敛域。
F3 ( z ) =
k = −∞
∑ ( −b ) z
k
−1
−k
+ ∑ (a k ) z −k
k =0
∞
f (k − m)U(k) → ∑ f (k − m)z−k
k =0
= z−m ∑ f (k − m)z−(k −m) = z−m ∑ f (n)z−n
∞
∞
= z−m[∑ f (n)z−n + ∑ f (n)z−n ]
n=0 n=−m
k =0 ∞
n=−m
−1
= z [F(z) + ∑ f (k)z−k ]
∞
∞
k =−∞
f (kT)e−kTs ∑
F(z) = f (kT)z−k ∑
∞
取一新的复变量z， 取一新的复变量 ，令 于是有
z =e
sT
则
k =−∞
Fs ( s ) = F ( z ) z = e sT
F ( z ) = Fs ( s ) s = 1 ln z
T
复变量z与 的关系为 复变量 与s的关系为
k =0
m−1
f (k − m)U(k) → z [F(z) + ∑ f (k)z−k ]
−m k =−m
−1
为因果序列时， 则当 f (k)为因果序列时，有 为因果序列时
f (k − m)U(k) = f (k − m)U(k − m) → z−mF(z)
10
证明: 证明
为双边序列， 设 f (k)为双边序列，由单边 变换定义可得 为双边序列 由单边Z变换定义可得
∞
k =−∞
f (k)z−k ∑
∞
F(z) =
k =−∞
∑ f (k)z
−k
<∞
j Im( z )
a k k ≥0 例： 求 f 1 ( k ) = k<0 0 Z变换的收敛域。
0
∞
a
Re(z )
F1 ( z ) = ∑ f1 ( k ) z
k =0
∞
−k
a = ∑ a k z −k = ∑
则
af1 (k ) + bf2 (k ) → aF1 ( z) + bF2 ( z)
其中：a, b为任意常数，收敛域为两个函数收敛的公共部分。 为任意常数， 其中： 为任意常数 收敛域为两个函数收敛的公共部分。 例： 求 f ( k ) = cos(ω 0 k )U ( k )的Z变换。 解： cos(ω0 k )U ( k ) = 1 (e jω0 k + e − jω0 k )U (k )
求下列序列的Z变换 变换。 例: 求下列序列的 变换。
z z −N −z 解： (1) GN (k) = U(k) −U(k − N) → GN (z) = z −1 z −1 z(1− z−N ) ∴ GN (z) = z >1 z −1
1 (1) GN (k ) = 0
0 ≤ k ≤ N −1 k < 0, k ≥ N
2
z ) F ( z ) = 1 ( z jω0 + 2 z −e z − e − jω0
= z ( z − cos ω0 ) z 2 − 2 z cos ω0 + 1
z >1
9
2、 移位性 、 （1）双边 变换 ）双边Z变换
若 f(k)→ F(z)
r < z < r2 1
r < z < r2 1
1
上述定义的Z变换称为双边 变换 如果仅考虑k≥0时的序列 f(k)值， 上述定义的 变换称为双边Z变换。如果仅考虑 变换称为双边 变换。 时的序列 值 则可定义单边Z变换为 则可定义单边 变换为
F(z) = ∑ f (k)z−k
k =0
∞
对于因果序列，它的双边Z变换和单边Z变换是相等的。 对于因果序列，它的双边Z变换和单边Z变换是相等的。 将双边Z变换的定义式展开 将双边 变换的定义式展开
离散信号与系统Z域分析 第八章 离散信号与系统 域分析
8-1 离散信号的Z变换 离散信号的 变换 一、Z变换的定义 变换的定义
不满足绝对可和条件时， 乘以因子r 当序列 f (k)不满足绝对可和条件时，可采取给 不满足绝对可和条件时 可采取给f(k)乘以因子 –k 乘以因子 (k为实常数 的办法，得到一个新的序列 f (k)r–k，使其满足条件，则 为实常数)的办法 使其满足条件， 为实常数 的办法， 其傅里叶变换就存在了。 称为收敛因子。 其傅里叶变换就存在了。 r–k称为收敛因子。 f (k)r–k的离散傅里叶变换为 的离散傅里叶变换为
∞
收敛域为
a < z <b
z z F3 (z) = + z − a z −b
4
3k 例: 求 f4 (k) = 0
4 k −k
− 2 ≤k < 5 Z变换的收敛域。 k < 2, k ≥ 5
1 2 1 F4 (z) = ∑3 z = z + z +1+ 3z −1 + 9z−2 + 27z−3 + 81z −4 9 3 k =−2
F(z) = L+ f (−2)z2 + f (−1)z + f (0) + f (1)z−1 + f (2)z−2 +L
F(z)是关于 −1 的幂级数， z−k 的系数是 f (k)。 是关于z 的幂级数， 是关于 。 在连续时间信号的变换域分析中，当复变量 的实部为零时 的实部为零时， 在连续时间信号的变换域分析中，当复变量s的实部为零时， 拉普拉斯变换就演变为傅里叶变换。在复平面上，在虚轴j 拉普拉斯变换就演变为傅里叶变换。在复平面上，在虚轴 ω上的 拉氏变换就是傅氏变换。 拉氏变换就是傅氏变换。 在离散时间信号的变换域分析中，当z的模为 时，Z变换就演 在离散时间信号的变换域分析中， 的模为1时 变换就演 的模为 变为离散傅里叶变换。在复平面上，半径为1的圆上的 的圆上的Z变换就是 变为离散傅里叶变换。在复平面上，半径为 的圆上的 变换就是 离散傅氏变换。 离散傅氏变换。
δ (k)z −k = 1 ∑
k =0
∞
∞
z −k = z ∑ z −1 k =0
ak z−k = z ∑ z −a k =0
− ak z−k = z ∑ z −a k =−∞
−1
∞
e jbk z−k = ∑
k =0
∞
z z − e jb
6
四、拉氏变换与Z变换关系 拉氏变换与 变换关系
对连续时间信号f 以时间间隔 以时间间隔T进行理想抽样 对连续时间信号 (t)以时间间隔 进行理想抽样
z = esT= e (σ + jω ) T s = 1 ln z = σ + jω T
7
由
z = esT
z = re jθ
s = σ + jω
r = eσT
θ = ωT = 2π ω ω0
可得s平面与 平面的映射关系 可得 平面与z平面的映射关系： 平面与 平面的映射关系： • s平面的原点 σ =0,ω=0), 映射为 平面z=1(r =1,θ =0)的点； 平面的原点( 映射为z平面 的点； 平面的原点 平面 的点 • s平面的左半平面 σ <0)，映射为 平面的单位圆内 <1)； 平面的左半平面( 平面的单位圆内(r 平面的左半平面 ，映射为z平面的单位圆内 ； 平面的单位圆外(r • s平面的右半平面 σ >0)，映射为 平面的单位圆外 >1)； 平面的右半平面( ，映射为z平面的单位圆外 ； 平面的右半平面 • s平面的虚轴 σ =0)，映射为 平面的单位圆 =1)； 平面的虚轴( 平面的单位圆(r 平面的虚轴 ，映射为z平面的单位圆 ； • s平面的实轴 ω =0)，映射为 平面的正实轴 θ =0)； 平面的实轴( 平面的正实轴( 平面的实轴 ，映射为z平面的正实轴 ； • s平面过 平面过j(2n+1)ω0/2的各条平行线，映射为 平面上的负实轴 θ=±π) 。 的各条平行线， 平面上的负实轴( 平面过 的各条平行线 映射为z平面上的负实轴 ±