知识点例题精讲 第6讲一元二次方程
七年级数学一元二次方程及其解法(配方法,公式法)人教实验版五四制知识精讲
七年级数学一元二次方程及其解法（配方法，公式法）人教实验版五四制【本讲教育信息】一. 教学内容：一元二次方程及其解法（配方法，公式法）二. 基础知识：1. 一元二次方程的概念2. 降次解一元二次方程① 用配方法解一元二次方程（配方法解方程的一般步骤应重点掌握）② 用公式法解一元二次方程（公式的推导方法是应重点掌握）三. 重点和难点：1. 重点：一元二次方程的概念和公式法解一元二次方程2. 难点：配方法解方程【典型例题】[例1] ① 下列关于x 的方程（1）02=++c bx ax（2）0342=-+x x （3）0432=+-x x （4）0352=+-x x中，一元二次方程的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 解：选A根据一元二次方程定义易知（2）（3）不是一元二次方程，而（1）当0=a 时，方程就不是一元二次方程了。
② 下列关于x 的方程（1）02=++c bx ax （2）0652=++k k（3）02142333=--x x （4）023)3(22=-++x x m 中，是一元二次方程的为。
（只填代号）解：应填（4）由（1）可知，（1）不一定为一元二次方程，而（4）中032>+m ，所以应为一元二次方程[例2] 解方程：1422-=x x解法一：（配方法）将方程变形为1422-=-x x方程两边都除以2，得2122-=-x x 配方，得22212112+-=+-x x ，即21)1(2=-x 解得221±=x ∴2211+=x 2212-=x 解法二：（公式法）将方程变形为01422=+-x x∵2=a ，4-=b ，1=c∴8816124)4(422=-=⨯⨯--=-ac b ∴42242284242±=⨯±=-±-=a ac b b x ∴2211+=x 2212-=x[例3] 已知关于x 的方程12)3(-+m x m 01)1(2=--+x m（1）m 为何值时，它是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m 为何值时，它是一元一次方程。
(名师整理)最新数学中考《一元二次方程的解法》专题复习精讲精练
例题解析
练习 已知关于x的一元二次方程（a﹣1） x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为 （） A．0 B．±1 C．1 D．﹣1 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1） x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0， ∴a2﹣1＝0，a﹣1≠0， 则a的值为：a＝﹣1． 故选：D．
③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，然后解这个一 元一次方程，求这个方程的解
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1 解下列方程 （1）2x2＝8； （2）x2﹣x﹣6＝0．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程 ﹣因式分解法． 【解答】解：（1）x2＝4， x＝±2， 所以x1＝2，x2＝﹣2； （2）（x﹣3）（x+2）＝0， x﹣3＝0或x+2＝0， 所以x1＝3，x2＝﹣2．
知识点点解读
3 公式法
用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一
般方法
- b b2 - 4ac
一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式2a ：x=
公式法的一般步骤
①指出方程中a，b，c的值
②求出b²-4ac的值
③若b²-4ac≥0.则用求根公式求解，若b²-4ac＜0，则方程无解
4 因式分解法 一般步骤：①使方程的右边化为0 ②使方程左边化为两个一次 因式的积
【解答】A．
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4.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次方程则m的值 为（ ） A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1 答案 C
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5.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 ( ) A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0 C (m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0 答案 D
2023-2024学年九年级上数学：一元二次方程(精讲教师版)
第1页（共8页）2023-2024学年九年级上数学：第21章一元二次方程
21.1
一元二次方程
1．一元二次方程的定义：
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．
(2)一般形式：200ax bx c a ++=≠（）
，其中ax 2，bx ，c 分别叫做二次项、一次项、常数项，a ，b ，c 分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
2．一元二次方程的一般形式：
一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠．其中，ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．
3．一元二次方程的根：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定义是解方程过程中验根的依据．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根．。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m± .例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）解：9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=当b2-4ac≥0时，x+ =±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2= .3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
一元二次方程专题讲解,知识点归纳,典型例题精讲精练
第二章 一元二次方程专题1 一元二次方程的定义1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点诠释： 识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如02=++c bx ax ，（0≠a ）这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c 是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程02=++c bx ax 才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.【例题精选】例1 方程5x 2﹣2＝﹣3x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．5、3、﹣2B ．5、﹣3、﹣2C ．5、3、2D ．5、﹣3、2【分析】直接利用一元二次方程中各部分的名称分析得出答案．【解答】解：5x 2﹣2＝﹣3x 整理得：5x 2+3x ﹣2＝0，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是：5、3、﹣2．故选：A ．例2（2019秋•兰州期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x＝B．ax2+c＝0C．a2x﹣3x＝x（1﹣x）D．x（x2﹣1）＝0【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A、不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；B、不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；C、是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；D、不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C．例3 （2019秋•襄阳期末）已知x＝1是一元二次方程2x2﹣cx＝0的一个根，则c的值是（）A．﹣1B．2C．3D．﹣2【分析】将x＝1代入方程可得关于c的方程，解之可得．【解答】解：将x＝1代入方程2x2﹣cx＝0，得：2﹣c＝0，解得c＝2，故选：B．【随堂练习】1．（2021•潜江模拟）下列是一元二次方程的是（）A．﹣5x+2＝1B．2x2﹣y+1＝0C．x2+2x＝0D．x2﹣＝0【解答】解：A、含有一个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．故选：C．2．（2020秋•姜堰区期末）已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（）A．a≠0B．a≠1C．a＞1D．a≤2【解答】解：∵方程（a﹣1）x2+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，∴a﹣1≠0，解得a≠1．故选：B．3．（2021•武汉模拟）方程3x2﹣2x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（）A．3和2B．3和﹣2C．3和﹣1D．3和1【解答】解：方程3x2﹣2x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别为3和﹣2，故选：B．2 直接开平方法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.【例题精选】例1（2020•颍州区一模）解方程：（x﹣3）2＝4．【分析】根据直接开方法即可求出答案．【解答】解：∵（x﹣3）2＝4，∴x﹣3＝±2，∴x＝5或x＝1；例2（2020•宿松县模拟）解方程：4（2x﹣1）2﹣36＝0．【分析】根据直接开方法即可求出答案．【解答】解：∵4（2x﹣1）2﹣36＝0，∴（2x﹣1）2＝9，∴2x﹣1＝±3，∴x＝2或﹣1【随堂练习】1．（2020秋•南京期末）方程（x+3）2＝4的根是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣5B．x1＝1，x2＝﹣5C．x1＝x2＝﹣1D．x1＝﹣1，x2＝5【解答】解：（x+3）2＝4，∴x+3＝±2，∴x1＝﹣1，x2＝﹣5，故选：A．2．（2020秋•市中区期末）方程x2＝4的解是（）A．x1＝4，x2＝﹣4B．x1＝x2＝2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝1，x2＝4【解答】解：∵x2＝4，∴x＝2或x＝﹣2，故选：C．3 配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.【例题精选】例1（2020•闽侯县模拟）解方程：x2﹣6x﹣8＝0．【分析】利用配方法得到（x﹣3）2＝17，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：x2‒6x＝8，x2‒6x+9＝17，（x﹣3）2＝17，x﹣3＝±，所以x1＝3+，x2＝3﹣．例2（2019秋•天门期末）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．【分析】先利用配方法得到（x﹣1）2＝6，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝6，（x﹣1）2＝6，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．【随堂练习】1．（2021•泸县模拟）将一元二次方程x2﹣2x＝1配方，其正确的结果是（）A．（x+1）2＝2B．（x﹣2）2＝5C．（x﹣1）2＝1D．（x﹣1）2＝2【解答】解：x2﹣2x＝1，配方得：x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2．故选：D．2．（2020秋•郁南县期末）一元二次方程x2+4x＝2配方后化为（）A．（x+2）2＝6B．（x﹣2）2＝6C．（x+2）2＝﹣6D．（x+2）2＝﹣2【解答】解：∵x2+4x＝2，∴x2+4x+4＝2+4，∴（x+2）2＝6．故选：A．3．（2020秋•兰陵县期末）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，方程应变形为（）A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝10C．（x﹣6）2＝10D．（x﹣6）2＝8【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣6x+9＝8，∴（x﹣3）2＝8，故选：A．4．（2020秋•费县期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0，可变形为（）A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝11C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝11【解答】解：∵x2﹣4x﹣7＝0，∴x2﹣4x+4＝11，∴（x﹣2）2＝11，故选：D．4 公式法1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.【例题精选】例1（2019秋•玉田县期中）一元二次方程ax2+bx+c＝0（c≠0）的求根公式是（）A．B．C．D．【分析】根据求根公式即可求出答案．【解答】解：一元二次方程的求根公式为x＝，故选：A．例2（2019秋•行唐县期末）解方程．（1）2x2﹣6x﹣1＝0；（2）2y（y+2）﹣y＝2．【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案；【解答】解：（1）∵2x2﹣6x﹣1＝0，∴x2﹣3x＝，∴（x﹣）2＝，∴x＝；（2）∵2y（y+2）﹣y＝2，∴2y（y+2）﹣y﹣2＝0，∴（y+2）（2y﹣1）＝0，∴y＝﹣2或y＝；【随堂练习】1．（2020秋•北海期末）用公式法解方程x2﹣6x+1＝0所得的解正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×1＝32＞0，则x＝＝＝3±2，故选：D．2．（2020秋•普宁市期末）用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：这里a＝3，b＝5，c＝1，∵△＝25﹣12＝13，∴x＝，故选：A．3．（2020秋•市北区期末）解方程：4x2﹣6x﹣3＝0．【解答】解：△＝（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）＝84，x＝＝，所以x1＝，x2＝．4．（2021春•三水区校级月考）解方程：2x2﹣10x＝3．【解答】解：2x2﹣10x﹣3＝0，△＝（﹣10）2﹣4×2×（﹣3）＝124，x＝＝，所以x1＝，x2＝．5 因式分解法1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【例题精选】例1 （2019春•浏阳市期中）计算：选择适当方法解下列方程（1）x2﹣2x﹣3＝0（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，则x﹣3＝0或x+1＝0，解得x＝3或x＝﹣1；（2）3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（3x+2）＝0，x﹣1＝0或3x+2＝0，所以x1＝1，x2＝﹣．例2（2019秋•罗湖区校级期中）解方程（1）x2+x﹣3＝0（2）（2x+1）2＝3（2x+1）【分析】（1）先写出a，b，c的值，再计算△，然后用公式法求解即可；（2）先将原方程右边的移到左边，然后利用因式分解法进行分解即可．【解答】解：（1）∵x2+x﹣3＝0∴a＝1，b＝1，c＝﹣3∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣3）＝1+12＝13＞0∴x＝＝∴x1＝，x2＝．（2）∵（2x+1）2＝3（2x+1）∴（2x+1）2﹣3（2x+1）＝0∴（2x+1）（2x+1﹣3）＝0∴（2x+1）（2x﹣2）＝0∴2x+1＝0或2x﹣2＝0∴x1＝﹣，x2＝1．【点评】本题考查了利用公式法和因式分解法解一元二次方程，属于基本计算能力的考查，难度不大．【随堂练习】1．（2020秋•南京期末）方程x2﹣x＝0的根为（）A．x1＝x2＝0B．x1＝1，x2＝0C．x1＝x2＝﹣1D．x1＝﹣1，x2＝0【解答】解：x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，x﹣1＝0或x＝0，解得：x1＝1，x2＝0，故选：B．2．（2020秋•南充期末）方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的解是（）A．1B．2C．1和2D．﹣1和﹣2【解答】解：∵（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝2，故选：C．3．（2020秋•鼓楼区期末）方程x2﹣x＝0的解是（）A．x1＝x2＝0B．x1＝0，x2＝﹣1C．x1＝x2＝1D．x1＝0，x2＝1【解答】解：x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故选：D．4．（2020秋•濮阳期末）方程x（x+3）＝0的解是（）A．x1＝x2＝﹣3B．x1＝0，x2＝﹣2C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝1，x2＝3【解答】解：∵x（x+3）＝0，∴x＝0或x+3＝0，解得x1＝0，x2＝﹣3，故选：C．综合练习一．选择题（共3小题）1．一元二次方程﹣x2+2x＝0的根为（）A．﹣2B．0，2C．0，﹣2D．2【解答】解：﹣x（x﹣2）＝0，﹣x＝0或x﹣2＝0，所以x1＝0，x2＝2．故选：B．2．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（）A．x2+2x+1＝0B．x2﹣x﹣＝0C．﹣x2﹣2x+3＝0D．x2﹣2＝0【解答】解：A．方程x2+2x+1＝0的两根之和为﹣2，不符合题意；B．方程x2﹣x﹣＝0的两根之和为2，符合题意；C．方程﹣x2﹣2x+3＝0的两根之和为﹣2，不符合题意；D．方程x2﹣2＝0的两根之和为0，不符合题意；故选：B．3．如果关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则a满足的条件是（）A．a≠5B．a≥1C．a＞1且a≠5D．a≥1且a≠5【解答】解：由题意知，△＝（﹣4）2﹣4×（a﹣5）×（﹣1）≥0，且a﹣5≠0，解得：a≥1且a≠5，故选：D．二．解答题（共4小题）4．解方程（1）3x2﹣8x+4＝0；（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2【解答】解：（1）3x2﹣8x+4＝0，（3x﹣2）（x﹣2）＝0，∴3x﹣2＝0或x﹣2＝0，∴x1＝，x2＝2；（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2，（2x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝0，（2x﹣1+x﹣3）（2x﹣1﹣x+3）＝0，∴3x﹣4＝0或x+2＝0，∴x1＝，x2＝﹣2．5．已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，求代数式a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2的值．【解答】解：a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2＝a3+2a2+a﹣a3﹣a2﹣3a﹣2＝a2﹣2a﹣2∵a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，∴a2﹣2a﹣4＝0，∴a2﹣2a＝4，∴原式＝4﹣2＝2．6．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若m是方程的一个实数根，求m的值．【解答】（1）证明：∵△＝（m+3）2﹣4（m+1）＝（m+1）2+4，∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根．（2）解：∵m是方程的一个实数根，∴m2+（m+3）m+m+1＝0．整理得：2m2+4m+1＝0解得：m＝．7．用适当的方法解方程：（1）3x2﹣2x＝0；（2）（x﹣1）2＝4；（3）x2+2x﹣5＝0；（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15【解答】解：（1）3x2﹣2x＝0；分解因式得：x（3x﹣2）＝0，解得：x1＝0，x2＝；（2）（x﹣1）2＝4；开方得：x﹣1＝±2，解得：x1＝3，x2＝﹣1；（3）x2+2x﹣5＝0，配方得：x2+2x+1＝6，即（x+1）2＝6，开方得：x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；方程整理得：x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，分解因式得：（x﹣2）（2x﹣5）＝0，解得：x1＝2，x2＝2.5；（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15方程整理得：x2+x﹣3＝0，a＝1，b＝1，c＝﹣3∴b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣3）＝13，∴x＝；解得：x1＝，x2＝．6 根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 【例题精选】例 1 （2020•鼓楼区一模）已知方程2x 2+4x ﹣3＝0的两根分别为x 1、x 2，则x 1+x 2＝________，x 1x 2＝__________．【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x 1+x 2和x 1x 2的值．【解答】解：∵x 1、x 2是方程2x 2+4x ﹣3＝0的两根，∴x 1+x 2＝﹣＝﹣2，x 1x 2＝＝﹣．故答案为：﹣2；﹣．例2（2020•泰兴市一模）一元二次方程x 2﹣4x +2＝0根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有两个正根C ．有一个正根，一个负根D ．有两个负根【分析】先求出“△”的值，再根据根的判别式的内容得出即可．【解答】解：x 2﹣4x +2＝0，∵△＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，且x 1+x 2＝4＞0，x 1•x 2＝2＞0，∴有两个正根，故选：B ．【随堂练习】1．（2020秋•鄂州期末）一元二次方程2x2+4x+1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是（）A．4B．﹣4C．﹣2D．2【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣＝﹣2．故选：C．2．（2020秋•遂宁期末）若一元二次方程5x﹣1＝4x2的两根为x1和x2，则x1•x2的值等于（）A．1B．C．D．【解答】解：方程化为4x2﹣5x+1＝0，根据题意得x1•x2＝．故选：B．3．（2020秋•东台市期末）方程x2﹣5x﹣6＝0的两根之和为（）A．﹣6B．5C．﹣5D．1【解答】解：设方程的两根是x1、x2，那么有x1+x2＝﹣＝﹣（﹣5）＝5．故选：B．7增长率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(1)na xb += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为(1)n a x b -= (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.) 【例题精选】例1 （2020•铁西区二模）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口1万人，通过各方面的共同努力，2018年底该地区贫困人口减少到0.25万人，求该地区2016年底至2018年底贫困人口年平均下降的百分率．【分析】等量关系为：2016年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2018年贫困人口，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意得：（1﹣x ）2＝0.25，解得：x ＝0.5＝50%或x ＝1.5（舍去）答：该地区2016年底至2018年底贫困人口年平均下降的百分率为50%．【点评】本题考查一元二次方程的应用，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．例2（2019秋•薛城区期末）某药品原价为100元，连续两次降价a %后，售价为64元，则a 的值为（ ）A ．10B ．20C ．23D ．36【分析】可先用x 表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于x 的方程．【解答】解：当药品第一次降价%时，其售价为100﹣100a %＝100（1﹣a %）；当药品第二次降价x 后，其售价为100（1﹣a %）2．∴100（1﹣a %）2＝64．解得：a ＝20或a ＝﹣180（舍去），故选：B ．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于64即可．【随堂练习】1．（2021•长丰县模拟）一种商品原价100元，经过两次降价后的售价是60元，设平均每次降价的百分率为x，那么所列方程正确的是（）A．60（1+x）2＝100B．60（1+2x）＝100C．100（1﹣x）2＝60D．100（1﹣2x）＝60【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意，得100（1﹣x）2＝60．故选：C．2．（2020秋•孟津县期末）某超市一月份的营业额为36万元，由于受疫情影响，二月份营业额有所下降，三月份开始复苏，营业额为48万元，设从一月到三月平均每月的增长率为x．则下面所列方程正确的是（）A．36（1﹣x）2＝48B．36（1+x）2＝48C．36（1﹣x）2＝48﹣36D．48（1﹣x）2＝36【解答】解：依题意得：36（1+x）2＝48．故选：B．3．（2020秋•金台区期末）某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，2019年市政府已投资5亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计2021年投资额达到y亿元人民币，设每年投资的增长率为x，则可得（）A．y＝5（1+2x）B．y＝5x2C．y＝5（1+x）2D．y＝5（1+x2）【解答】解：依题意，得y＝5（1+x）2．故选：C．8、利润问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数【例题精选】例1 （2020•谷城县校级模拟）某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．【解答】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：（44﹣x）（20+5x）＝1600解方程得x＝4或x＝36，∵在降价幅度不超过10元的情况下，∴x＝36不合题意舍去，答：每件服装应降价4元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．例2 （2019秋•平江县期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出20件，每件盈利40元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于20元，经调查发现．若每件衬衫每降价1元，则商场每天可多销售2件．（1）若每件衬衫降价4元，则每天可盈利多少元？（2）若商场平均每天盈利1200元．则每件衬衫应降价多少元？【分析】（1）可直接根据每件的利润×销售量＝总利润，求出结果；（2）此题首先根据盈利1200元，列出一元二次方程：（20+2×x）×（40﹣x）＝1200，然后解出即可．【解答】解：（1）（20+2×4）×（40﹣4）＝1008元．答：商场每天销售这种衬衫可以盈利1008元．（2）设每件衬衫降价x元时，商场每天销售这种衬衫可以盈利1200元，根据题意得：（20+2x）×（40﹣x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，（x﹣10）（x﹣20）＝0，解得：x1＝10，x2＝20，答：每件衬衫降价10元或20元时，商场每天销售这种衬衫可以盈利1200元．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意找出题中的等量关系每件的利润×销售量＝总利润．【随堂练习】1．（2020秋•福州期末）某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每份盒饭涨价x元，则符合题意的方程是（）A．（16+x﹣12）（360﹣40x）＝1680B．（x﹣12）（360﹣40x）＝1680C．（x﹣12）[360﹣40（x﹣16）]＝1680D．（16+x﹣12）[360﹣40（x﹣16）]＝1680【解答】解：设售价应涨价x元，则：（16+x﹣12）（360﹣40x）＝1680，故选：A．2．（2020秋•宁德期末）某商场将进货价为20元的玩具以30元售出，平均每天可售出300件，调查发现，该玩具的单价每上涨1元，平均每天就少售出10件．若商场要想平均每天获得3750元利润，则每件玩具应涨价多少元？设每件玩具应涨价x元，则下列说法错误的是（）A．涨价后每件玩具的售价是（30+x）元B．涨价后平均每天少售出玩具的数量是10x件C．涨价后平均每天销售玩具的数量是（300﹣10x）件D．根据题意可列方程为：（30+x）（300﹣10x）＝3750【解答】解：设涨价x元，根据题意可得：A、∵（30+x）表示涨价后玩具的单价，∴A选项正确，不符合题意；B、∵10x表示涨价后少售出玩具的数量，∴B选项正确，不符合题意；C、∵（300﹣10x）表示涨价后销售玩具的数量，∴C选项正确，不符合题意；D、∵可列方程（30+x﹣20）（300﹣10x）＝3750，故D选项错误，符合题意，故选：D．3．（2020秋•鼓楼区期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了x元，则可列方程为．【解答】解：由题意可得，（40﹣x）（20+2x）＝1250，故答案为：（40﹣x）（20+2x）＝1250．4．（2021春•长兴县月考）某商场销售一批衬衣，每件衬衣的进价为80元，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣的售价应为多少元？【解答】解：设每件衬衣降价x元，则每件衬衣的售价为（80+50﹣x）元，每件衬衣盈利（50﹣x）元，平均每天可售出（30+）＝（30+2x）件，依题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2000，整理得：x2﹣35x+250＝0，解得：x1＝10，x2＝25，又∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，∴x＝25，∴80+50﹣x＝105（元）．答：每件衬衣的售价应为105元．9 其他问题1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).【例题精选】例1 （2019秋•斗门区期末）学校打算用长16米的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠在长为8米的墙上（如图）．（1）若生物园的面积为30平方米，求生物园的长和宽．（2）能否围成面积为35平方米的生物园？若能，求出长和宽；若不能，请说明理由．【分析】（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（16﹣2x）米，根据长方形的面积公式结合生物园的面积为30平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；（2）设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为（16﹣2y）米，根据长方形的面积公式结合生物园的面积为35平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△＜0可得出该方程无解，进而可得出不能围成面积为35平方米的生物园．【解答】解：（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（16﹣2x）米，依题意，得：x（16﹣2x）＝30，整理，得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．当x＝3时，16﹣2x＝10＞8，不合题意，舍去；当x＝5时，16﹣2x＝6．答：生物园的长为6米，宽为5米．（2）不能，理由如下：设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为（16﹣2y）米，依题意，得：y（16﹣2y）＝35，整理，得：2y2﹣16y+35＝0．∵△＝（﹣16）2﹣4×2×35＝﹣24＜0，∴原方程无解，∴不能围成面积为35平方米的生物园．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．例2 （2020•德阳模拟）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）＝1035B．x（x﹣1）＝1035C．x（x+1）＝1035D．x（x﹣1）＝1035【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．【解答】解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1035．故选：B．【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．【随堂练习】1．（2021春•上城区校级期中）在一幅长50cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条外框，制成一幅矩形挂图（如图所示），如果要使整个挂图的面积是3000cm2，设边框的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．（50﹣2x）（40﹣2x）＝3000B．（50+2x）（40+2x）＝3000C．（50﹣x）（40﹣x）＝3000D．（50+x）（40+x）＝3000【解答】解：设边框的宽为xcm，所以整个挂画的长为（50+2x）cm，宽为（40+2x）cm，根据题意，得：（50+2x）（40+2x）＝3000，故选：B．2．（2020秋•大余县期末）如图，学校课外生物小组的试验园地是长20米，宽15米的长方形．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵等宽的小道（如图），要使种植面积为252平方米，则小道的宽为（）A．5米B．1米C．2米D．3米【解答】解：设该小道的宽为x米，依题意得（20﹣2x）（15﹣x）＝252，整理得x2﹣25x+24＝0，即：（x﹣24）（x﹣1）＝0，解得x1＝24（舍去），x2＝1．即：该小道的宽为1米．故选：B．3．（2020秋•官渡区期末）《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m，宽为20m的矩形场地ABCD（如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行、另一条与AD平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为95m2，求道路的宽度、若设道路的宽度为xm，则x满足的方程为（）A．（32﹣x）（20﹣x）＝95B．（32﹣2x）（20﹣x）＝95C．（32﹣x）（20﹣x）＝95×6D．（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6【解答】解：设道路的宽度为xm，则六块草坪可合成长（32﹣2x）m，宽（20﹣x）m的矩形，依题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6．故选：D．综合练习一．解答题（共7小题）1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？【解答】解：设每轮感染中平均一台电脑感染x台，依题意，得：（1+x）2＝144，解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均一台电脑感染11台．2．社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？【解答】解：（1）设甬道的宽为x米，根据题意得：（52﹣2x）（28﹣2x）＝640解得：x＝34（舍去）或x＝6，答：甬道的宽为6米；（2）设月租金上涨a元，停车场的月租金收入为14400元，根据题意得：（200+a）（64﹣）＝14400整理，得a2﹣440a+16000＝0解得：a1＝400（舍去），a2＝40答：每个车位的月租金上涨40元时，停车场的月租金收入为14400元．3．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，依题意得：400×（1﹣x%）2＝324，解得：x＝10，或x＝190（舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为10%．（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300＝60（元/件）；第二次降价后的单件利润为：324﹣300＝24（元/件）．依题意得：60m+24×（100﹣m）＝36m+2400≥3210，解得：m≥22.5．答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．4．某公园要在一块长40m，宽30m的长方形空地上建成一个矩形花园，要求在花园中修三条纵向平行和两条横向平行的宽度相同的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为500m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（40﹣3x）（30﹣2x）＝500．整理，得3x2﹣85x+350＝0．解得，x1＝5，x2＝．∵＞30（不合题意，舍去），∴x＝5．答：小道进出口的宽度应为5米．5．某公司2016年的生产成本是100万元，由于改进技术，生产成本逐年下降，2018年的生产成本是81万元，若该公司2017、2018年每年生产成本下降的百分率都相同．（1）求平均每年生产成本下降的百分率；（2）假设2019年该公司生产成本下降的百分率与前两次相同，请你预测2019年该公司的生产成本．【解答】解：（1）设每年生产成本的下降率为x，根据题意得：100（1﹣x）2＝81，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.1（不合题意，舍去）．答：每年生产成本的下降率为10%．（2）81×（1﹣10%）＝72.9（万元）．答：预测2019该公司的生产成本为72.9万元．6．如图，要利用一面墙（墙长为15米）建羊圈，用30米的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边AB为xm，总面积为ym2．（1）求y与x的函数关系式．（2）如果要围成总面积为63m2的羊圈，AB的长是多少？【解答】解：（1）y＝x（30﹣3x），＝﹣3x2+30x；（2）当y＝63时﹣3x2+30x＝63，解得x1＝7，x2＝3，当x＝7时30﹣3x＝9＜15当x＝3时30﹣3x＝21＞15 （不合题意，舍去）答：AB为7m．7．已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm．（纸板的厚度忽略不计）（1）EF＝（30﹣2x）cm，GH＝（20﹣x）cm；（用含x的代数式表示）（2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长．。
2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题：二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
专题06：二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳精讲温故知新1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a例1：1．（多选）若关于x 的方程2(1)+2=0x m x m ---的两根为正数(包含等根)，则m 的取值可以是（ ）A ．122--B．-C ．1.9 D ．1.99【答案】BCD 【解析】 【分析】由一元二次函数零点的分布可得答案. 【详解】由题意，构建函数2()(1)2f x x m x m =--+-，因为关于x 的方程2(1)20x m x m --+-=的两根为正数(包含等根)， 所以()()()2Δ142010200m m m f ⎧=---⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩， 解得122m -+<， 故选：BCD. 2.已知函数()2()23f x x ax a a R =-+-∈．（1）若1a =时，求()f x 在区间1[,3]2上的最大值和最小值； （2）若()f x 的一个零点小于0，另一个零点大于0，求a 的范围. 【答案】（1） max 5y =；min 1y = ；（2）3a > 【分析】（1）求出函数的对称轴，再判断对称轴与区间的位置关系，从而得到函数的最值； （2）由题意得(0)0f <，即可得到答案； 【详解】（1）当1a =时，函数的对称轴为11[,3]2x =∈，∴min ()(1)1f x f ==，15(),(3)524f f ==， ∴max ()5f x =。
一元二次方程与实际问题--利润问题
总利润为 （41-30）×（60-(41-40）） 元。
Байду номын сангаас
4、当售价为x元时，单利为 x-30 元，销量为 60-(x-40) 件，
总利润为 （x-30）×（60-(x-40））
元。
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精讲实练 例：某电脑批发店的一款鼠标垫现在的售价为每 个30元，每天可卖出100个．经市场调查反映，每 涨价2元，每天要少卖出20个．已知进价为每个20 元，当鼠标垫的售价为多少元/个时，这天的利润 为960元．
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归纳小结
知识点 列一元二次方程解应用题的一般步骤 (1)审：审题； (2)设：设未知数，设未知数的方法有直接设
和间接设； (3)列：根据题中的等量关系列方程； (4)解：解所列方程； (5)验：检验方程的根是否符合题意； (6)答：回答题目中要解决的问题．
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作业布置 练习题1、2、3
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谢谢！
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精讲实练 例：某电脑批发店的一款鼠标垫现在的售价为每个 30元，每天可卖出100个．经市场调查反映，每 涨 降 价2元，每天要 多少卖出20个．已知进价为每个20元 ，当鼠标垫的售价为多少元/个时，这天的利润为 960元．
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变式练习 变式1：某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小 型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千 克．为了减少库存，该经营户决定降价销售．经调 查发现，这种小型西瓜每千克每降价0.1元，每天可 多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24 元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型 西瓜的售价降低多少元． （只列方程）
一元二次方程与实际问题 -----利润问题
一元二次方程复习课(精品)
一元二次方程复习一、一元二次方程知识点1、一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程2、一元二次方程的解法(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。
在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，(X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3、解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法（就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c4、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a也可以表示为x 1+x 2=-b/a,=c/a 。
利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数， 在题目中很常用 5、一元二次方程根的情况利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，读作“dei er ta”， 而△=b 2-4ac ，这里可以分为3种情况：I 、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；￥III 、当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根）二、考点研究考点一、概念例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
含参数的一元二次方程整数解
含参数的一元二次方程整数解知识定位对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质。
知识梳理1、一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0)2、根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数. 3、设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么③ ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；④ x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)；⑤ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac(a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4、方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0⇔x 1=0 ，a+b+c=0⇔x 1=1 ，a －b+c=0⇔x 1=－1.例题精讲【试题来源】【题目】b 为何值时, 方程x 2 - bx - 2 = 0 和x 2 - 2x - b (b - 1) = 0有相同的整数根?并且求出它们相同的整数根.．【答案】1；2【解析】解：设相同的整数根为x 0, 由根的定义, 知x20- bx0 - 2 = 0, ①x20- 2x0-b(b - 1) = 0. ②① - ②并整理, 得(2 - b)[x0-(1 + b)]=0,②∴b = 2 或x0 = b + 1.当b = 2 时, 两方程均为x2-2x-2 = 0, 但无整数根;当x0 = b + 1 时, 代入①或②, 解之得b = 1, 于是公共根x0 =b + 1 = 2.【知识点】含参数的一元二次方程整数解【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991=【答案】0【解析】解：∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0， ax22+bx2+c=0。
用因式分解法解一元二次方程(知识点 经典例题 综合练习)---详细答案
用因式分解法解一元二次方程【主体知识归纳】1．因式分解法 若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x 2－9＝0，这个方程可变形为(x ＋3)(x －3)＝0，要(x ＋3)(x －3)等于0，必须并且只需(x ＋3)等于0或(x －3)等于0，因此，解方程(x ＋3)(x －3)＝0就相当于解方程x ＋3＝0或x －3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A ·B ＝0A＝0或B ＝0．【基础知识讲解】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例1：用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1． 解：(1)方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0，y ＋1＝0或y ＋6＝0，∴y 1＝－1，y 2＝－6． (2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0，(2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0，∴t 1＝21，t 2＝3．(3)方程可变形为2x 2－3x ＝0．x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0． ∴x 1＝0，x 2＝23． 说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：- 2 -原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考？ 例2：用适当方法解下列方程：(1)3(1－x )2＝27；(2)x 2－6x －19＝0；(3)3x 2＝4x ＋1；(4)y 2－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0；(6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了．解：(1)(1－x )2＝9，(x －1)2＝3，x －1＝±3，∴x 1＝1＋3，x 2＝1－3．(2)移项，得x 2－6x ＝19，配方，得x 2－6x ＋(－3)2＝19＋(－3)2，(x －3)2＝28，x －3＝±27， ∴x 1＝3＋27，x 2＝3－27． (3)移项，得3x 2－4x －1＝0， ∵a ＝3，b ＝－4，c ＝－1，∴x ＝37232)1(34)4()4(2±=⨯-⨯⨯--±--， ∴x 1＝372+，x 2＝372-． (4)移项，得y 2－2y －15＝0，把方程左边因式分解，得(y －5)(y ＋3)＝0； ∴y －5＝0或y ＋3＝0，∴y 1＝5，y 2＝－3．(5)将方程左边因式分解，得(x －3)［5x －(x ＋1)］＝0，(x －3)(4x －1)＝0， ∴x －3＝0或4x －1＝0， ∴x 1＝3，x 2＝41． (6)移项，得4(3x ＋1)2－25(x －2)2＝0， ［2(3x ＋1)］2－［5(x －2)］2＝0，［2(3x ＋1)＋5(x －2)］·［2(3x ＋1)－5(x －2)］＝0， (11x －8)(x ＋12)＝0，∴11x －8＝0或x ＋12＝0，∴x 1＝118，x 2＝－12． 说明：(1)对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过要注意二次根式的化简．- 3 -(2)直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这种形式的方程就不必要整理成一般式了．例3:解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2－4abx ＝a 2－b 2．解：(1)当a 2－b 2＝0，即｜a ｜＝｜b ｜时，方程为－4abx ＝0． 当a ＝b ＝0时，x 为任意实数．当｜a ｜＝｜b ｜≠0时，x ＝0． (2)当a 2－b 2≠0，即a ＋b ≠0且a －b ≠0时，方程为一元二次方程． 分解因式，得［(a ＋b )x ＋(a －b )］［(a －b )x －(a ＋b )］＝0， ∵a ＋b ≠0且a －b ≠0， ∴x 1＝b a a b +-，x 2＝ba ba -+． 说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解．本题实际上是分三种情况，即①a ＝b ＝0；②｜a ｜＝｜b ｜≠0；③｜a ｜≠｜b ｜．例4:已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252yxy x y xy x ++--的值． 剖析：要求代数式的值，只要求出x 、y 的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代数式的分子、分母是关于x 、y 的二次齐次式，所以知道x 与y 的比值也可．由已知x 2－xy －2y 2＝0因式分解即可得x 与y 的比值．解：由x 2－xy －2y 2＝0，得(x －2y )(x ＋y )＝0，∴x －2y ＝0或x ＋y ＝0，∴x ＝2y 或x ＝－y ．当x ＝2y 时，135y 13y 5y 5y y 22)y 2(y 5y y 22)y 2(y 5xy 2x y 5xy 2x 2222222222-=-=+⋅⋅+-⋅⋅-=++--． 当x ＝－y 时，21y 4y 2y 5y )y (2)y (y 5y )y (2)y (y 5xy 2x y 5xy 2x 222222222-=-=+⋅-⋅+--⋅-⋅--=++--2． 说明：因式分解法体现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的 应用．【同步达纲练习】 1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( ) A ．x 1＝－16，x 2＝8 B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8- 4 -(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( ) A ．．x ＝21B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1(3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3D ．x 1＝53，x 2＝－3(4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( ) A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( ) A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( ) A ．5B ．5或11C ．6D ．11(8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．32．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________． (3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________． (4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________． (5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________． 3．用因式分解法解下列方程： (1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0；(3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程：(1)x2－4x＋3＝0；(2)(x－2)2＝256；(3)x2－3x＋1＝0；(4)x2－2x－3＝0；(5)(2t＋3)2＝3(2t＋3)；(6)(3－y)2＋y2＝9；(7)(1＋2)x2－(1－2)x＝0；(8)5x2－(52＋1)x＋10＝0；(9)2x2－8x＝7(精确到0．01)；(10)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0．5．解关于x的方程：(1)x2－4ax＋3a2＝1－2a；(2)x2＋5x＋k2＝2kx＋5k＋6；(3)x2－2mx－8m2＝0； (4)x2＋(2m＋1)x＋m2＋m＝0．- 5 -- 6 -6．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求yx yx +-的值．7．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．8．请你用三种方法解方程：x (x ＋12)＝864．9．已知x 2＋3x ＋5的值为9，试求3x 2＋9x －2的值．10．一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h (单位：米)与所用的时间t (单位：秒)的关系式h ＝－5(t －2)(t ＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．11．为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则y 2＝(x 2－1)2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0，解此方程，得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，∴x ＝±2． 当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，∴x ＝±5．∴原方程的解为x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝－5，x 4＝5． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． (1)运用上述方法解方程：x 4－3x 2－4＝0．(2)既然可以将x 2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗- 7 -参考答案【同步达纲练习】1．(1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D2．(1)t 1＝－7，t 2＝4(2)x 1＝－21，x 2＝－2(3)y 1＝－1，y 2＝－23(4)x 1＝－m ，x 2＝－n (5)x 1＝5，x 2＝－1 3．(1)x 1＝0，x 2＝－12；(2)x 1＝－21，x 2＝21；(3)x 1＝0，x 2＝7；(4)x 1＝7，x 2＝－3；(5)x 1＝－5，x 2＝3；(6)x 1＝－1，x 2＝31；(7)x 1＝53，x 2＝－21；(8)x 1＝8，x 2＝－2．4．(1)x 1＝1，x 2＝3；(2)x 1＝18，x 2＝－14；(3)x 1＝253+，x 2＝253-；(4)x 1＝3，x 2＝－1；(5)t 1＝0，t 2＝－23；(6)y 1＝0，y 2＝3；(7)x 1＝0，x 2＝22－3；(8)x 1＝55，x 2＝10；(9)x 1≈7.24，x 2＝－3.24；(10)x 1＝－1，x 2＝－7．5．(1)x 2－4ax ＋4a 2＝a 2－2a ＋1， (x －2a )2＝(a －1)2， ∴x －2a ＝±(a －1)， ∴x 1＝3a －1，x 2＝a ＋1．(2)x 2＋(5－2k )x ＋k 2－5k －6＝0，x 2＋(5－2k )x ＋(k ＋1)(k －6)＝0，［x －(k ＋1)］［x －(k －6)］＝0， ∴x 1＝k ＋1，x 2＝(k －6)．(3)x 2－2mx ＋m 2＝9m 2，(x －m )2＝(3m )2∴x 1＝4m ，x 2＝－2m(4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0， (x ＋m )［x ＋(m ＋1)］＝0， ∴x 1＝－m ，x 2＝－m －16．(x ＋4y )(x －y )＝0，x ＝－4y 或x ＝y当x ＝－4y 时，y x y x +-＝3544=+---y y y y ； 当x ＝y 时，y x y x +-＝yy yy +-＝0． 7．(x 2＋y 2)(x 2＋y 2－1)－12＝0， (x 2＋y 2)2－(x 2＋y 2)－12＝0， (x 2＋y 2－4)(x 2＋y 2＋3)＝0， ∴x 2＋y 2＝4或x 2＋y 2＝－3(舍去)8．x 1＝－36，x 2＝249．∵x 2＋3x ＋5＝9，∴x 2＋3x ＝4，- 8 -∴3x 2＋9x －2＝3(x 2＋3x )－2＝3×4－2＝1010．10＝－5(t －2)(t ＋1)，∴t ＝1(t ＝0舍去)11．(1)x 1＝－2，x 2＝2(2)(x 2－2)(x 2－5)＝0， (x ＋2)(x －2)(x ＋5)(x －5)＝。
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2021年中考数学一轮复习----知识点例题精讲
第二章 方程（组）与不等式（组） 第6讲一元二次方程
【思维框图】
【知识点归纳】
知识点一 一元二次方程及其解法
1.一元二次方程的有关概念
（1）定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次
方程。
（2）一元二次方程的一般形式：02cbxax（其中x是未知数，a、b、c是已知数，a≠0）
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2. 一元二次方程的解法
解法 适用方程类型 方程的根 步骤
直接开平方法
对于形如
)0(2ppax
的方程
apx
1. 方程两边同时开方，得
pax
；
2. 将方程的解写成
apx
.
配方法
二次项系数化为1，一次项
系数为2的倍数的方程。
1. 若二次项系数不为1，
先把系数化为1再配方；
2. 把常数项移到方程的另
一边；
3. 把方程两边同时加上一
次项系数一半的平方；
4. 把方程整理成
)0(2ppax
的形式；
5. 运用直接开平方法解方
程.
公式法 所有一元二次方程都适用
aacbbx2
42
1. 将方程化为一般形式；
2. 确定cba,,的值；
3. 若042acb，则代
入求根公式，
aacbbx2
42
；若
042acb
，则方程没有
实数根.
因式分解法
方程一边为0，另一边能分
解成两个一次因式的积
cxbx21,
1. 将方程一边化为0；
2. 把方程的另一边分解为
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例：00acxbxa
两个一次因式的积；
3. 令每个因式分别为0，
转化为两个一元一次方程；
4. 解这两个一元一次方
程，它们的解就是原方程的
根.
【名师指导】
1.一般地，若一元二次方程的左边能化成一个完全平方式，右边是一个非负数，则用直接开平方法求解；
若能因式分解，则用因式分解法求解；若两种方法都行不通，则用公式法或配方法求解。
2.用公式法解一元二次方程：在确定系数cba,,时，必须先将一元二次方程化成一般式。
3.用因式分解法解一元二次方程：易出现方程的右边没有化为0，左边直接因式分解的错误。
知识点二 一元二次方程的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程02cbxax的根的情况可由acb42来判定，因此我们将acb42称为根的判别
式。acb42
2.一元二次方程根的情况与根的判别式的关系
（1）当acb42＞0时方程有两个不相等的实数根；
（2）当acb42=0时方程有两个相等的实数根；
（3 ) 当acb42< 0时方程没有实数根，无解；
( 4 ) 当acb42≥0时方程有两个实数根
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3.一元二次方程根与系数的关系
（1） 若21,xx是一元二次方程02cbxax的两个根，那么：abxx21，acxx21
（2）以两个数21,xx为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212xxxxxx
【注意】利用根与系数的关系解题的前提是方程的两根存在，即根的判别式acb42≥0
知识点三 一元二次方程的应用
1. 解一元二次方程应用的基本步骤
审、设、列、解、验、答
2.常见类型
（1）平均增长率（下降率）问题
设a为变化前的量，b为变化后的量.
当x为平均增长率，增长次数为2时，有bxa21；
当x为平均下降率，下降次数为2时，有bxa21.
（2）面积问题
熟记矩形、三角形面积公式是关键.有关求解不规则图形的面积问题，通常做法是，把不规则图形转
化为规则图形，找出变化前后面积之间的关系，然后列方程求解.
（3）利润问题
利润关系表达式为：利润=（售价-进价）数量，注意自变量的取值范围.
（4）握手、单（双）循环赛与送礼物问题
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若n)2(n个人相互之间握手（或单循环赛），则握手（或单循环赛）总次数为2)1(nn；
若n)2(n个人相互赠送礼物（或双循环赛），则礼物总份数为)1(nn.
【例题精讲】
考点1 一元二次方程及其解法
例1：下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+y﹣1＝0 B．x2+＝2 C．x
2
＝2x+3 D．xy＝﹣6
例2．用配方法解方程x
2
+10x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+10）
2＝9 B．（x+10）2＝16 C．（x+5）2＝9 D．（x+5）2
＝16
针对训练
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x2﹣x﹣y2＝0 B．x（x﹣2）＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x﹣＝8
2．方程3x
2
＝5x+7的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．3，5，7 B．3，﹣5，﹣7 C．3，﹣5，7 D．3，5，﹣7
3．（1）4（x+2）
2﹣9（x﹣3）2
＝0；
（2）x
2
+2x﹣399＝0．
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4．用适当的方法解方程
（1）3x2﹣x﹣4＝0．
（2）（x+3）2＝（2﹣2x）2
考点2 根的判别式及其应用
例3：一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实根
C．有两个相等的实数 D．有两个不相等的实数根
针对训练
1．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A．2x2+2x+1＝0 B．4x
2﹣4x+1＝0 C．x2﹣2x﹣1＝0 D．3x2
﹣5x+3＝0
2．关于x的方程x
2
﹣2x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，求m的值及此时方程的根．
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考点3 根与系数的关系
例4：若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x
1+2x2
的值等于（ ）
A．2020 B．2019 C．2029 D．2028
针对训练
1．关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）＝p
2
（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．根的符号与p的值有关
2．若m，n为方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则多项式m2+3n的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣9 C．9 D．10
考点4 一元二次方程的实际应用
例5：某公司8月份的利润为200万元，要使10月份的利润达到338万元，则平均每月增长的百分率
是（ ）
A．30% B．25% C．20% D．15%
针对训练
1．某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，
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尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均
每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（ ）元．
A．10 B．15 C．20 D．25
2．某小组有若干人，新年大家互相发一条微信祝福，已知全组共发微信72条，则这个小组的人数为
（ ）
A．7人 B．8人 C．9人 D．10人
3．如图，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地
面积需要551m2，则修建的路宽应为（ ）
A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m