第24届北京市高中力学竞赛预赛试卷2011年5月北京四中杯

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2024届北京四中初三2月开学考数学试题及答案

2024北京四中初三（下）开学考数学班级_____姓名_____学号_____1. 根据国家统计局统计结果，从北京冬奥会申办成功至2021年10月，全国参与冰雪运动的人数达到3.46亿，“带动三亿人参与冰雪运动”的承诺已经实现，这是北京冬奥会最大的遗产成果．将346000000用科学记数法表示应为（） A. 346×106B. 3.46×108C. 3.46×109D. 0.346×1092. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A. 三棱柱B. 长方体C. 圆锥D. 圆柱3. 实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A. 0a b +>B. 0ab >C. a b >D. 0a b −>4. 下列图形中，内角和是外角和的二倍的多边形是（）A. B.C.D.5. 不透明的袋子中有3个小球，其中有1个红球，1个黄球，1个绿球，除颜色外3个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸出的小球都是红球的概率是（） A. 23B.13C.16D.196. 如果a b −=，那么代数222a b ab a a b ⎛⎫+−⋅ ⎪−⎝⎭的值为（）B. C.D. 7. 下图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图，比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是（）A. 甲同学成绩的平均分高，方差大B. 甲同学成绩的平均分高，方差小C. 乙同学成绩的平均分高，方差大D. 乙同学成绩的平均分高，方差小8. 如图，正方形ABCD 的边长是4，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上的一点，且 BE DF =，四边形AEND 和四边形AEGF 均为矩形，设BE 的长为x ，矩形AEND 的面积为1S ，矩形AEGF 的面积为2S ，则1S 与x ，2S 与x 满足的函数关系分别是（）A. 一次函数关系，二次函数关系B. 反比例函数关系，二次函数关系C. 一次函数关系，反比例函数关系D. 反比例函数关系，一次函数关系二、填空题（共16分，每题2分）9. 若代数15x +有意义，则实数x 的取值范围是_______．10. m <<m 是整数，请写出一个符合要求的m 的值_____． 11. 分解因式：2312m n n −= _______．12. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 2y x =−与双曲线 ky x=交于(),2A m 则 k 的值是_______． 13. 如图，点A ，B ，C 是O 上的三点．若=90AOC ∠︒，30BAC ∠=︒，则AOB ∠的度数为______．14. 在读书活动中，某同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多2人，甲班学生读书256本，乙班学生读书180本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数34，求甲乙两班各有多少人？设乙班有x 人，依题意，可列方程为_______．15. 如图所示的网格是正方形网格，,,,,A B C D E 是网格线交点，则 ACD 的面积与 BCE 的面积的大小关系为：ACD S_______BCES（填“>”“<”或“=”）．16. 某工厂用甲、乙两台设备加工,,A B C 三件产品，每件产品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工，每件产品在每台设备上所需要的加工时间如下图所示，则加工总时长最短为______分钟．三、解答题（共68分，第 17-20题每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）17. 计算：（12）﹣1﹣2cos30°+||﹣（3.14﹣π）0．18. 解不等式组：()3121122x x x x ⎧−<+⎪⎨−≤+⎪⎩．19. 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m +2）x +m +1＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程的两个实数根互为相反数，求m 的值．20. 下面是小郭设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线 l 和直线外一点 P ．求作：过点P 作直线 l 的平行线．作法：如图， ①在直线l 上任取点O ； ②作直线PO ；③以点O 为圆心OP 长为半径画圆，交直线PO 于点A ，交直线 l 于点 B ； ④连接AB ，以点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交O 于点C （点A 与点C 不重合）；⑤作直线CP ；则直线CP 即为所求．根据小郭设计的尺规作图过程，完成以下任务．（1）补全图形；（2）完成下面的证明并在括号内填写推理依据．证明：连接 BP BC ，．AB BC =，AB BC ∴=，APB ∠∠∴=_______（_______）． OB OP =，OBP OPB ∴∠=∠（_______）． CPB OBP ∠∠∴=，CP l ∴∥．21. 在菱形 ABCD 中，对角线 ,AC BD 相交于点 ,O E 为 AB 的中点，连接 OE 并延长到点F ，使EF OE =，连接 ,AF BF ．（1）求证：四边形AOBF 是矩形；（2）若310,tan 4AD AFO =∠=，求 AC 的长． 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 ()0y kx b k =+≠的图象由函数 2y x =的图象平移得到，且经过点 ()2,1．（1）求这个一次函数的解析式；（2）已知一次函数 ()0y mx m m =+≠．①无论 m 取何值，直线 ()0y mx m m =+≠都经过点________；②当2x <时，对于 x y mx m =+的值都大于一次函数y kx b =+的值，结合函数图象，直接写出 m 的取值范围．23. 为了增强同学们的消防安全意识，普及消防安全知识，提高自防自救能力，某中学开展了形式多样的培训活动，为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了消防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80~89分为良好，60~79分为及格，59分及以下为不及格，学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息． a .抽取七年级20名学生的成绩如下： 66 87 57 96 79 67 89 97 77 100 80 69 89 95 58 98 69 78 80 89b .抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如下：（数据分成5组：5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）c .抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图：d .七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数如下表：（1）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，写出表中a 的值；（2）该校八年级有学生200人，估计八年级测试成绩达到优秀的学生有多少人？（3）在七年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为m ；在八年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为n ．比较m ，n 的大小，并说明理由． 24. 如图，AB 为O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，D 为 O 上一点，连接,,CD ADC AOF OF AD ∠∠=⊥于点E ，交 CD 于点 F ．（1）求证：CD 是 O 的切线；（2）若2,2AC OA EF ==，求BD 的长．25. 如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O 和点A 处，测得OA 距离为6m ，若以点O 为原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面1m 的B 处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线1C ：()232y a x =−+的一部分，小静恰在点()0,C c 处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线2C ：21188ny x x c =−+++的一部分．（1）抛物线1C 的最高点坐标为______；（2）求a ，c 的值；（3）小林在x 轴上方1m 的高度上，且到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n 的整数值可为______． 26. 已知抛物线 ()230y axbx a =++≠．（1）若抛物线经过点 ()2,3．①求抛物线的顶点坐标（用含 a 的式子表示）； ②若点 (),2x 在抛物线上，求 a 的取值范围；（2）已知点 ()()1122,,,M x y N x y 为抛物线上的两点，若存在实数t ，对任意的122t x x t ≤<≤+，都有124y y −≤，直接写出 a 的取值范围．27. 已知等腰 ABC 中 ,AB AC D =为线段BC 上的一点且 AD CD =，点E 在线段CD 上（不与端点重合），以AE 为斜边向右侧作直角AEF △，连接CF 并延长交线段AB 的延长线于点 G ．（1）如图1，当=45ABC ∠︒时，若45,1,3EAF CE BE ∠=︒==，求线段AF 的长；（2）如图2，当()045ABC αα∠=<<时，若EAF ABC ∠=∠． ①依题意补全图形；②求证：点F 为线段CG 的中点． 28. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 为O 内一点，弦 AC BD ，相交于点 P ，如果 AC BD ⊥，则称,AC BD 互为点 P 的“正交弦”，即 AC 是 BD 的“正交弦”，BD 也是 AC 的“正交弦”，依次连接点 ,,,A B C D ，称四边形ABCD 为点 P 的“正交四边形”．（1）若O 的半径为5，弦 8AC =，则弦 AC 的“正交弦” BD 的最大值为_____，此时相应的“正交四边形”的面积为_______．（2）设O 的半径为4，①已知点()2,2,,P AC BD 为点 P 的“正交弦”，记 d AC BD =−，求 d 的取值范围；②直线 4y =+与O 交于 M N ，两点，当点 P 在 MN 上运动时（不与端点重合），直接写出点 P 的“正交四边形”面积的最大值．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）1. 【答案】B【分析】346000000用科学记数法表示成10n a ⨯的形式，其中 3.46a =，8n =，代入可得结果．【详解】解：346000000的绝对值大于10表示成10n a ⨯的形式 ∵ 3.46a =，918n∴346000000表示成83.4610⨯ 故选：B ．【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于确定a n 、的值． 2. 【答案】A【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选：A ．【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是熟记一些简单的几何体的三视图． 3. 【答案】C【分析】根据a ，b 在数轴上的位置，得302a b <−<<<，然后对四个选项逐一分析即可．【详解】A 、∵302a b <−<<<，∴a b >，0a b +<，故此选项错误； B 、∵302a b <−<<<，∴0ab <，故此选项错误； C 、∵302a b <−<<<，∴a b >，故此选项正确； D 、∵302a b <−<<<，∴0a b −<，故此选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了数轴、绝对值、实数加减、乘法的综合应用，熟练掌握离原点越远绝对值越大；异号相加减，取绝对值较大的符号，再相加减；两数相乘，同号为正，异号为负是解此题的关键． 4. 【答案】D【分析】本题考查了多边形内角与外角，熟记公式并列方程求出多边形的边数是解题的关键．根据多边形的内角和公式()2180n −⋅︒以及多边形的外角和等于360︒列方程求出边数，从而得解．【详解】解：设多边形边数为n ，由题意得，()21802360n −⋅︒=⨯︒，解得6n =，所以，这个多边形是六边形．故选：D ．5. 【答案】D【分析】利用列表法或树状图法列出所有结果，找出满足条件的结果，即可得出结果．【详解】解：列表如下，∴P （两次都是红球）=19，故选：D ．【点睛】题目主要考查利用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键． 6. 【答案】B【分析】本题考查分式的化简求值，利用分式化简法则将222a b ab a a b ⎛⎫+−⋅ ⎪−⎝⎭化简，再把a b −=代入即可，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．【详解】解：222a b ab a a b ⎛⎫+−⋅ ⎪−⎝⎭， 22222a b aaa ab ab ⎛⎫+=−⋅⎪−⎝⎭， ()22a b a aa b−=⋅−， 2a b−=，a b −=∴原式=，故选：B ． 7. 【答案】C【分析】本题考查了算术平均数、方差，分别计算甲、乙的平均分以及方差，然后比较即可，解题的关键在于正确的计算．【详解】解：10085908095905x ++++==乙；8590808580845x ++++==甲； ()()()()22222110090859080909590505S ⎡⎤=−+−+−+−=⎣⎦乙， ()()()2222128584908428084145S ⎡⎤=⨯−+−+⨯−=⎣⎦甲， ∴乙同学成绩的平均分高，方差大，故选：C ．8. 【答案】A【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用、正方形的性质，熟练掌握二次函数的应用是解题关键．先求出4AE x =−，4AF x =+，再根据矩形的面积公式即可得．【详解】解：∵正方形ABCD 的边长是4，4AB AD ∴==，BE DF x ==，4AE AB BE x ∴=−=−，4AF AD DF x =+=+，∵矩形AEND 的面积为1S ，矩形AEGF 的面积为2S ，()144416x x S ∴=−=−+，()()224416x x S x =+−=−+，则1S 与x ，2S 与x 满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，故选：A ．二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】5x ≠−【分析】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．根据分式有意义的条件得出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】解：∵代数式15x +有意义， 50x ∴+≠，解得5x ≠−．故答案为：5x ≠−．10. 【答案】3或4【分析】根据算术平方根的性质（被开方数越大，则这个数的算术平方根也越大）解决此题．【详解】解：79161725<<<<， ∴<<<< ∴345<<<．m ∴是3或4．故答案为：3或4．【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的性质解决此题．11. 【答案】()()322n m m +−【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式因式分解，熟练进行平方差公式因式分解是解题的关键．【详解】解：()()()2231234322m n n n m n m m −=−=+−，故答案为：()()322n m m +−．12. 【答案】2−【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，依据已知条件求出m 的值是解决本题的关键．根据正比例函数和反比例函数图象上的点的坐标特征代入即可求出k 的值．【详解】解：∵直线 2y x =−与双曲线 k y x=交于(),2A m ， 22m ∴=−， 1m ∴=−，即()1,2A −，21k ∴=−， 2k ∴=−，故答案为：2−．13. 【答案】30︒BOC ∠的度数，根据AOC ∠的度数求AOB AOC BOC ∠=∠−∠即可．【详解】解：∵30BAC ∠=︒，∴223060BOC BAC ∠=∠=⨯︒=︒，∵=90AOC ∠︒，∴906030AOB AOC BOC ︒︒︒∠=∠−∠=−=，故答案为：30︒．【点睛】本题考查了圆周角定理及两锐角互余性质，求得BOC ∠的度数是解题的关键．14. 【答案】256318024x x⋅=+ 【分析】本题考查分式方程的实际应用．根据乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数34，列出分式方程即可．【详解】解：设乙班有x 人，则甲班有()2x +人，由题意，得：256318024x x⋅=+；故答案为：256318024x x⋅=+． 15. 【答案】=【分析】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．分别求出ACD 的面积与 BCE 的面积，即可求解．【详解】解：111453315249222ACD S =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=，111373324179222BCE S =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=， .ACD BCE S S ∴=故答案为：=．16. 【答案】16【分析】本题考查用列举法选最优方案问题，学会分类讨论是正确解决本题的关键．把所有可能的结果列举出来计算作比较即可．【详解】解：按,,A B C 的顺序加工，需要465217+++=（分钟）；按,,A C B 的顺序加工，需要()()4676232519++−++−+=（分钟）；按,,B A C 的顺序加工，需要356216+++=（分钟）；按,,B C A 的顺序加工，需要()()3575242620++−++−+=（分钟）；按,,C A B 的顺序加工，需要()72426522++−++=（分钟）；按,,C B A 的顺序加工，需要()72325621++−++=（分钟）；161719202122<<<<<，∴加工总时长最短为16分钟，故答案为：16.三、解答题（共68分，第 17-20题每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）17. 1【分析】分别根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂计算出各数，再根据混合运算的法则进行计算；【详解】解：（12）﹣1﹣2cos30°+||﹣（3.14﹣π）0＝2﹣2×21＝21【点睛】此题考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂，掌握相关运算法则是解题的关键．18. 【答案】54x −≤<【分析】分别求出两不等式的解集，根据：“大小小大中间找”确定不等式组解集．【详解】解：3(1)21122x x x x −<+⎧⎪⎨−≤+⎪⎩①② 由①得3321x x −<+，即4x <由②得124x x −≤+，即5x ≥−∴不等式组的解集为：54x −≤<【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．19. 【答案】（1）见解析（2）2m =−【分析】（1）先计算根的判别式的值，再利用非负数的性质判断Δ≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝m +2，则由方程的两个实数根互为相反数得到m +2＝0，然后解得m 的值即可．【小问1详解】证明：∵Δ＝[﹣（m +2）]2﹣4（m +1）＝m 2+4m +4﹣4m －4＝m 2≥0，∴无论m 取何值，此方程总有两个实数根；【小问2详解】解：根据题意得x 1+x 2＝m +2，∵方程的两个实数根互为相反数，∴m +2＝0，解得m ＝﹣2，即m 的值为﹣2．【点睛】此题考查了根与系数的关系及根的判别式，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根，则x 1+x 2＝﹣b a，x 1x 2＝c a ，根据方程的两个实数根互为相反数列式是解题的关键． 20. 【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的判定，（1）根据题意，补全图形即可；（2）利用圆周角定理和等腰三角形的性质，证明CPB OPB ∠=∠，即可解答；熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．【小问1详解】解：补全图形如下；【小问2详解】证明：连接 BP BC ，．AB BC =，AB BC ∴=，APB CPB ∴∠=∠（同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）． OB OP =，OBP OPB ∴∠=∠（等边对等角）． CPB OBP ∠∠∴=，CP l ∴∥．21.【答案】（1）见解析（2）12【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，（1）首先证明四边形AOBF 是平行四边形，再由菱形ABCD 的性质得90AOB ∠=︒即可推出四边形是矩形；（2）首先根据矩形对角线相等和菱形的四边相等可以求得10AD AB ==，然后在直角三角形AOF 中，解直角三角形可以求出AO 的长，从而得到AC 的长；灵活运用上述性质解决问题是本题的关键．【小问1详解】证明：E 为 AB 的中点，EF OE =，∴四边形AOBF 是平行四边形，四边形ABCD 是菱形，90AOB ∠=︒，∴平行四边形AOBF 是矩形；【小问2详解】解：四边形ABCD 是菱形，10AB AD ∴==，四边形AOBF 是矩形，10FO AB ∴==，90FAO ∠=︒设3AO x =，3tan 4AFO ∠=， 4AF x ∴=，根据勾股定理可得222FO AF AO =+，即22100916x x =+，解得2x =±，236AO ∴=⨯=，212AC AO ∴==．22. 【答案】（1）23y x =−（2）①()1,0−；②123m ≤≤ 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，利用数形结合是解题的关键．（1）先根据直线平移时k 的值不变得出2k =，再将点()21，代入，求出b 的值，即可得到一次函数的解析式；（2）①将y mx m =+变形成()1y m x =+，令10x +=即可得出定点；②先把2x =代入y kx b =+，再把点()21，代入y mx m =+求得13m ，然后结合图象即可求出答案．【小问1详解】解：一次函数 ()0y kx b k =+≠的图象由函数 2y x =的图象平移得到，2k ∴=，将点 ()2,1代入2y x b =+，得14b =+，解得3b =−，∴一次函数的解析式为23y x =−；【小问2详解】解：①由y mx m =+得()1y m x =+，令10x +=，1x ∴=−，∴无论 m 取何值，直线 ()0y mx m m =+≠都经过点()1,0−，故答案为：()1,0−；②当2x <时，对于 x 的每一个值，函数 y mx m =+的值都大于一次函数y kx b =+的值，把2x =代入23y x =−，即2231y =⨯−=，把点()21，代入y mx m =+，得12m m =+，解得13m =， ∵当2x <时，对于x 的每一个值，都有函数y mx m =+的值都大于一次函数23y x =−的值， 123m ∴≤≤． 23. 【答案】（1）图见解析，80（2）60人（3）m n <，理由见解析【分析】（1）先找出七年级6070x ≤<的人数，补全条形统计图，再根据中位数的定义求出a 的值；（2）先求出抽取的八年级20名学生成绩的优秀率，再乘以八年级总人数即可；（3）由扇形统计图可知八年级80分及以上的学生有10人，设八年级第十名的成绩为x ，第十一名的成绩为80b −，根据中位数是81可得80812x b +−=⨯，则82x b =+，再根据八年级20名学生成绩的平均数是82，可得第十名的成绩高于他们的平均分，第十一名的成绩低于他们的平均分，由此得出n 的值，即可比较．【小问1详解】解：七年级6070x ≤<的人数为4人，补全频数分布直方图如下将七年级20名学生的成绩按从高到低排序，第10名和第11名都是80分，因此中位数是80，表中a 的值为80．【小问2详解】解：抽取的八年级20名学生成绩的优秀率为 18072100%30%360−⨯=，此次八年级测试成绩达到优秀的学生为20030%60⨯=（人）．【小问3详解】解：由抽取的七年级20名学生成绩的数据可知，9m =．由抽取的八年级20名学生成绩的扇形统计图可知，80分及以上的学生有10人．把八年级20名学生的成绩由高到低排列，设第十名的成绩为x ，第十一名的成绩为80b −（b 是正数）．∵抽取的八年级20名学生成绩的中位数是81，∴80812x b +−=⨯．∴82x b =+．∵抽取的八年级20名学生成绩的平均数是82，∴第十名的成绩高于他们的平均分，第十一名的成绩低于他们的平均分．∴10n =．∴m n <．【点睛】本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，中位数、平均数，利用样本估计总体等知识点，准确从统计图中获取信息是解题的关键．24. 【答案】（1）见解析（2）8【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，（1）连接OD ，根据,ADC AOF OF AD ∠∠=⊥，可得90DFE OAE ACD ∠=∠=︒−∠，再根据等腰三角形的性质，即可解答；（2）通过角度转换证明FO DB ∥，则可得CFO CDB △∽△，AEO ADB ∽，再利用相似三角形的性质，列方程，即可解答；正确的作出辅助线，通过角度的转换证明三角形相似，列出方程是解题的关键．【小问1详解】证明：如图，连接OD ，,ADC AOF OF AD ∠∠=⊥，90DFE OAE ACD ∴∠=∠=︒−∠，OD OA =，90OAE ODA ACD ∴∠=∠=︒−∠，90CDO ACD ODA ∴∠=∠+∠=︒，CD ∴是 O 的切线；【小问2详解】解：设半径为r ，2AC OA =，2AC AB r ∴==，4CB r =,90OD DC ADB ⊥∠=︒，ADC ODB OBD FOC ∴∠=∠=∠=∠，FO DB ∴∥，CFO CDB ∴△∽△，AEO ADB ∽，3344FO CO r DB CB r ∴===，12EO AO DB BO ==，设DB x =，则12EO x =，34FO x =，根据FO EF EO =+，可得方程31242x x =+，解得8x =，DB ∴的长为8．25. 【答案】（1）()3,2（2）19a =−，1c = （3）4或5【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．（1）依据题意，由抛物线1C ：()232y a x =−+可得最高点坐标，进而可以得解；（2）依据题意，可得()6,1B ，将()6,1B 代入抛物线1C ：()232y a x =−+，从而得解析式，再令0x =，可得c 的值；（3）依据题意，根据点B 的取值范围代入解析式可求解．【小问1详解】解：由题意，∵抛物线1C ：()232y a x =−+，∴抛物线 1C 的最高点坐标为的()3,2．故答案为：()3,2．【小问2详解】解：由题可得点()6,1B ，将()6,1B 代入抛物线1C ：()232y a x =−+，得19a =−， ∴抛物线1C ：()21329y x =−−+． ∴当0x =时，1y c ==；【小问3详解】解：∵小林在x 轴上方1m 的高度上，且到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包， ∴此时，点B 的坐标范围是()()5,17,1～，当经过()5,1时，112551188n =−⨯+⨯++，解得：175n =．当经过()7,1时，114971188n =−⨯+⨯++，解得：417n =， 174157n ∴≤≤， ∵n 为整数，∴符合条件的n 的整数值为4和5．故答案为：4或5．26. 【答案】（1）①()1,3a −+；②1a ≥或a<0；（2）11a −≤≤【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，（1）①把点 ()2,3代入()230y ax bx a =++≠，可得,a b 之间的关系，利用顶点公式可得顶点坐标； ②分两种情况讨论，即0a >或a<0两种情况，与顶点的纵坐标对比，列不等式即可；（2）由函数的对称性可得当12,x x 在对称轴同一侧时，且212x x −=时，12y y −取最大值，根据抛物线平移过程中性质不变，可设抛物线的对称轴为0x =，则0b =，根据题意可得1244y y a −=≤，即可解答，学会结合函数图象和性质，进行作答是解题的关键．【小问1详解】解：①把点 ()2,3代入()230y axbx a =++≠，可得3423a b =++，可得2a b =−，抛物线的顶点横坐标为12b b a b−=−=−，当1x =时，3233y a b a a a =++=−+=−+，∴抛物线的顶点坐标为()1,3a −+，②当0a >时，可得32a −+≤，解得1a ≥，1a ∴≥；当a<0时，可得32a −+≥，解得1a ≤，<0a ∴，综上所述，1a ≥或a<0；【小问2详解】解：由122t x x t ≤<≤+可得212≤−x x ，由函数的对称性可得当12,x x 在对称轴同一侧时，且212x x −=时，12y y −取最大值，由于抛物线平移过程中性质不变，可设抛物线的对称轴为0x =，则0b =，则可得()()()22121212121224y y ax ax a x x x x a x x −=−=+−=+≤，当10x =或20x =时，12x x +取最小值为2，当最小值存在时，则存在实数t 符合条件，1244y y a ∴−=≤，解得11a −≤≤．27. 【答案】（1）2（2）①见解析；②见解析【分析】（1）根据=45ABC ∠︒，AD CD =和，证明AD DC ⊥，利用勾股定理求得AE 的长，再根据45EAF ∠=︒，可得AF 的长；（2）①根据题意补全图形即可；②延长AF 至点M ，使得AF FM =，连接,EM CM ，证明()SAS AFE MFE △≌△，再利用角度的转换和圆周角定理，得到FMC FAG ∠=∠，最后证明()ASA AFG MFC △≌△，即可解答．【小问1详解】解：45ABC ∠=︒，AB AC =45ACD ∴∠=︒，AD CD =，45CAD ACD ∴∠=∠=︒，AD BC ∴⊥，1,3CE BE ==，222BC BE CE CD +∴===， 1DE CD CE ∴=−=，根据勾股定理可得AE ==，以AE 为斜边向右侧作直角AEF △，45EAF ∠=︒，sin 2AF EF EAF AE ∴==∠⋅=；【小问2详解】 ①如图，按照题意补全图形即可；②证明：如图，延长AF 至点M ，使得AF FM =，连接,EM CM ，90AFE AEF ∠=∠=︒，FE FE =，()SAS AFE MFE ∴△≌△，,FAE FME AEF MEF ∴∠=∠∠=∠，设FAE FME ABC α∠=∠=∠=，AB AC =，ABC ACB α∴∠=∠=，CD AD =，DAC ACD α∴∠=∠=，设CAE β∠=，CAF αβ∴∠=−，2CAG B ACB α∠=∠+∠=，FAG CAG CAF αβ∴∠=∠−∠=+，在Rt AEF 中，9090AEF FAE α∠=︒−∠=︒−，90MEF AEF α∴∠=∠=︒−，AED ACB CAE αβ∠=∠+∠=+，()()1802180290CEM AEF AED ααβαβ∴∠=︒−∠−∠=︒−︒−−+=−，CEM CAF ∴∠=∠，即CEM CAM ∠=∠，,,,A E C M ∴四点共圆，CME CAE β∴∠=∠=，FMC FME CME αβ∴∠=∠+∠=+，FMC FAG ∴∠=∠，,AFG MFC AF MF ∠=∠=，()ASA AFG MFC ∴△≌△，GF CF ∴=，即F 是CG 的中点．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，作出正确的辅助线，仔细耐心地对角度进行转换是解题的关键．28. 【答案】（1） 10，40（2）①08d ≤≤−②【分析】（1）利用“正交弦”的定义，直径是圆中最长的弦，“正交四边形”的定义和三角形的面积公式解答即可；（2）①点的坐标的特征，垂径定理，直径是圆中最长的弦的性质分析解答即可；②利用直线4y =+的解析式求得点M ，N 坐标，再利用正交四边形”的定义和三角形的面积公式解答即可．【小问1详解】解： O 的半径为5，O ∴的直径为10，∴当弦AC 的“正交弦” BD 为直径时，取得最大值，∴弦AC 的“正交弦” BD 的最大值为10．AC BD ，∴此时相应的“正交四边形”的面积为111084022AC BD ⨯⋅=⨯⨯=．故答案为：10，40；【小问2详解】解：①设O 与坐标轴交于点A ，C ，如图，O 的半径为4，4OA OC ∴==，(4,0)A ∴，(0,4)B ，(2,2)P ，P ∴为AC 的中点．OAC 为等腰直角三角形，OP AC ∴⊥，AC ∴为经过点P 的O 的最短的弦，BD 为O 的直径，是经过点P 的O 的最长的弦，8BD ∴=，AC =，d ∴的最大值为8−．当AC x ∥轴，BD y ∥轴时，设AC 交y 轴于点E ，BD 交x 轴于点F ，如图，(2,2)P ，2OE OF ∴==，OE AC ⊥，OF BD ⊥，AC BD ∴=，d ∴的最小值为0，d ∴的取值范围为08d ≤≤−；②令0x =，则4y =，令0y =，则x =，∴直线4y =+与坐标轴交于点(0,4)N 和E ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，如图，过点O 作OF MN ⊥于点F ，则12NF MF MN ==．(0,4)N 和(E ，0)，OE ∴=4ON =．tan 3OE ONE ON ∴∠==， 30ONE ∴∠=︒，在Rt OFN 中，cos NF FNO ON∠=，cos 4NF ON FNO ∴=⋅∠==．2MN NF ∴==．点P 在MN 上运动时（不与端点重合），∴当点P 与点F 重合时，MN 的“正交弦”取得最大值为圆的直径等于8，∴点P 的“正交四边形”面积的最大值为182⨯= 【点睛】本题主要考查了新定义，圆的有关性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，本题是新定义类型题目，正确理解新定义并熟练运用是解题的关键．。

第二十四届北京市大学生数学竞赛合集

2
2
……………(7分)
于是
f (x ) F (x ) 1cos 2x sin2 x
2 x sin 2x 1 x sin 2x 1
2
2
……………(10分)
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2013 10 26
9:00 11:30
(
10
3
30 )
1.
f (x) = ex2, f [ϕ(x)] = 1 − x ϕ(x) 0 ϕ(x) =
1
f (x) dx0
1 x
0
4. 若 f (x) 在[0,1]上连续，则 f (x) 的值域为【】.
(A) 闭区间 (C) 无穷区间
(B) 开区间 (D) 以上情况都有可能
5. 若 f (x) 在[0,1]上可积，则 f (x) 在[0,1]上【】.
(A) 连续 (C) 可导
(B) 有界 (D) 连续可导
f
( x)
在
,
内连续，且
F
(x)
xx 2t 0
f t dt
，证明：
（1）若 f (x) 为偶函数，则 F (x) 也为偶函数；
（2）若 f (x) 为单调减少函数，则 F (x) 为单调增加函数.
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2011年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析

2011年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分)1．（5分）（2011•北京）已知集合P={x｜x2≤1｝,M=｛a}．若P∪M=P,则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1］B．［1,+∞）C．[﹣1，1］D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】集合．【分析】通过解不等式化简集合P；利用P∪M=P⇔M⊆P；求出a的范围．【解答】解：∵P={x|x2≤1},∴P=｛x｜﹣1≤x≤1}∵P∪M=P∴M⊆P∴a∈P﹣1≤a≤1故选：C．【点评】本题考查不等式的解法、考查集合的包含关系：根据条件P∪M=P⇔M⊆P是解题关键．2．(5分）（2011•北京）复数=(）A．i B．﹣i C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】将分子、分母同乘以1﹣2i，再按多项式的乘法法则展开,将i2用﹣1代替即可．【解答】解：==i故选A【点评】本题考查复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数；再按多项式的乘法法则展开即可．3．(5分)（2011•北京）在极坐标系中，圆ρ=﹣2sinθ的圆心的极坐标系是（）A．B．C．（1，0）D．（1，π）【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】直线与圆;坐标系和参数方程．【分析】先在极坐标方程ρ=﹣2sinθ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2,进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．【解答】解:将方程ρ=﹣2sinθ两边都乘以p得：ρ2=﹣2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2+y2+2y=0．圆心的坐标（0，﹣1）．∴圆心的极坐标故选B．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．4．（5分)（2011•北京)执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣3 B．﹣C．D．2【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】i=0，满足条件i＜4,执行循环体，依此类推，当i=4，s=2，此时不满足条件i＜4，退出循环体，从而得到所求．【解答】解：i=0，满足条件i＜4，执行循环体,i=1，s=满足条件i＜4,执行循环体，i=2，s=﹣满足条件i＜4,执行循环体,i=3，s=﹣3满足条件i＜4，执行循环体,i=4,s=2不满足条件i＜4，退出循环体，此时s=2故选：D【点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为:分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．5．（5分）（2011•北京）如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F,延长AF与圆O 交于另一点G．给出下列三个结论:①AD+AE=AB+BC+CA；②AF•AG=AD•AE③△AFB～△ADG其中正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等,得到第一个说法是正确的，根据切割线定理知道第二个说法是正确的,根据切割线定理知,两个三角形△ADF～△ADG,得到第三个说法错误．【解答】解：根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，有CE=CF，BF=BD，∴AD+AE=AB+BC+CA,故①正确，∵AD=AE，AE2=AF•AG，∴AF•AG=AD•AE，故②正确，根据切割线定理知△ADF～△ADG故③不正确，综上所述①②两个说法是正确的,故选A．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查圆的切线长定理,考查圆的切割线定理，考查切割线构成的两个相似的三角形，本题是一个综合题目．6．（5分）（2011•北京）根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位:分钟）为（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是(）A．75，25 B．75，16 C．60,25 D．60，16【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先，x=A的函数值可由表达式直接得出，再根据x=4与x=A的函数值不相等，说明求f（4)要用x＜A对应的表达式,将方程组联解，可以求出C、A的值．【解答】解：由题意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4)==30，可得出=30故=4,可得A=16从而c=15=60故答案为D【点评】分段函数是函数的一种常见类型，解决的关键是寻找不同自变量所对应的范围，在相应区间内运用表达式加以解决．7．（5分）（2011•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B． C．10 D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】三视图复原的几何体是一个三棱锥,根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中,最大的值．【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为:8，6，，10,显然面积的最大值,10．故选C．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的知识，考查几何体的面积，空间想象能力，计算能力，常考题型．8．（5分)（2011•北京)设A（0，0），B（4，0）,C(t+4,4），D（t，4）（t∈R)．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（)A．{9,10,11｝B．｛9，10，12｝ C．｛9，11，12｝ D．{10，11，12}【考点】集合的含义．【专题】集合．【分析】分别由t=0,1，2求出N（t）,排除错误选项A,B，D，从而得到正确选项．【解答】解：当t=0时，▱ABCD的四个顶点是A(0，0），B(4,0），C（4，4），D(0，4)，符合条件的点有(1，1），（1，2），（1,3）,（2，1)，(2,2)，（2，3)，(3,1），（3,2)，（3，3），共九个,N（t）=9,故选项D不正确．当t=1时，▱ABCD的四个顶点是A(0，0），B(4，0)，C(5，4)，D（1，4),同理知N（t）=12，故选项A不正确．当t=2时，▱ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0),C（6，4），D（2，4），同理知N（t)=11，故选项B不正确．故选C．【点评】本题考查集合的性质和应用，解题时要注意排除法的合理运用．本题中取整点是个难点,常用的方法是，先定横（或纵）坐标，在定纵（横）坐标，以确定点的个数，如果从图形上看,就是看直线x=r（r是整数）上有几个整点在四边形内．二、填空题（共6小题，每小题5分,满分30分）9．（5分）（2011•北京）在△ABC中．若b=5，，tanA=2，则sinA=；a=2．【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系．【专题】解三角形．【分析】由tanA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的平方，然后由A的范围,再利用同角三角函数的基本关系求出sinA的值，然后再利用正弦定理，由sinA,sinB及b 的值即可求出a的值．【解答】解：由tanA=2，得到cos2A==，由A∈（0,π）,得到sinA==,根据正弦定理得:=，得到a===2．故答案为:;2【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系以及正弦定理化简求值,是一道中档题．10．（5分）（2011•北京）已知向量=（，1），=（0,﹣1），=(k，）．若与共线，则k=1．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算求出的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k的值．【解答】解:∵与共线，∴解得k=1．故答案为1．【点评】本题考查向量的坐标运算、考查向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等．11．（5分)（2011•北京）在等比数列{a n｝中，a1=，a4=﹣4,则公比q=﹣2;｜a1｜+｜a2｜+…+｜a n|=．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】先利用等比数列的通项公式求得公比;|a n|是以a1为首项，|q｜为公比，进而利用等比数列的求和公式求解．【解答】解:q===﹣2，｜a1|+｜a2｜+…+|a n|==故答案为:﹣2，【点评】本题主要考查了等比数列的性质．考查了对等比数列的通项公式和求和公式的灵活运用．12．（5分)（2011•北京）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有14个．（用数字作答)【考点】计数原理的应用．【专题】算法和程序框图．【分析】本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，当数字中有2个2，2个3时,当数字中有3个2，1个3时，写出每种情况的结果数，最后相加．【解答】解:由题意知本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数,当数字中有1个2，3个3时，共有C41=4种结果，当数字中有2个2，2个3时，共有C42=6种结果，当数字中有3个2，1个3时，共有有C41=4种结果，根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果，故答案为：14【点评】本题考查分类计数原理，是一个数字问题,这种问题一般容易出错,注意分类时要做到不重不漏，本题是一个基础题，也是一个易错题，易错点在数字中重复出现的数字不好处理．13．（5分）（2011•北京）已知函数若关于x 的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是（0，1)．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】要求程f(x）=k有两个不同的实根是数k的取值范围，根据方程的根与对应函数零点的关系，我们可以转化为求函数y=f（x）与函数y=k交点的个数,我们画出函数的图象，数形结合即可求出答案．【解答】解：函数的图象如下图所示:由函数图象可得当k∈（0，1）时方程f(x)=k有两个不同的实根,故答案为：（0,1)【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据方程的根与对应函数零点的关系,将方程问题转化为函数问题是解答的关键．14．(5分）(2011•北京）曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0)的距离的积等于常数a2（a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．其中,所有正确结论的序号是②③．【考点】轨迹方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1,0）的距离的积等于常数a2(a＞1）,利用直接法，设动点坐标为（x，y）,及可得到动点的轨迹方程,然后由方程特点即可加以判断．【解答】解：对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：⇔[（x+1）2+y2]•［（x﹣1)2+y2]=a4（1)将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；对于②,把方程中的x被﹣x代换,y被﹣y 代换,方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F1PF2的面积=a2sin∠F1PF2，≤a2，所以③正确．故答案为:②③．【点评】此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．三、解答题（共6小题，满分80分）15．(13分)（2011•北京)已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x)在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．（Ⅱ）利用x的范围确定2x+的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值．【解答】解：(Ⅰ）∵，=4cosx（）﹣1=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）,所以函数的最小正周期为π;（Ⅱ）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2，当2x+=﹣时，即x=﹣时,f(x）取得最小值﹣1．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值．解题的关键是对函数解析式的化简整理．16．（14分)（2011•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2,∠BAD=60°．（Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值;（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．【考点】直线与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）由已知条件可得ACBD，PABD，根据直线与平面垂直的判定定理可证（II）结合已知条件，设AC与BD的交点为O，则OB⊥OC，故考虑分别以OB，OC为x 轴、y轴,以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系,设PB与AC所成的角为θ，则,代入公式可求（III）分别求平面PBC的法向量，平面PDC的法向量由平面PBC⊥平面PDC可得从而可求t即PA【解答】解：(I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A所以BD⊥平面PAC（II）设AC∩BD=O,因为∠BAD=60°，PA=AB=2,所以BO=1，AO=OC=,以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z 轴,建立空间直角坐标系O﹣xyz,则P（0，﹣,2），A（0，﹣，0），B(1，0,0),C（0，,0）所以=（1，，﹣2），设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|（III）由（II）知，设,则设平面PBC的法向量=（x，y，z）则=0，所以令,平面PBC的法向量所以,同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC，所以=0，即﹣6+=0,解得t=，所以PA=．【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力17．（13分）(2011•北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差;（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望．（注：方差,其中为x1，x2，…x n的平均数）【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】(Ⅰ)根据所给的数据，把所有数据相加再除以4写出这组数据的平均数，再利用所给的方差的公式,做出这组数据的方差．（Ⅱ）根据所给的变量写出随机变量可能的取值，结合变量对应的事件写出变量的概率，写出分布列,做出期望值．【解答】解:(Ⅰ)当X=8，乙组同学植树棵数是8,8，9，10，平均数是=，方差为+=；（Ⅱ)当X=9时，甲组同学的植树棵数是9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是9，8，9，10，分别从甲和乙两组中随机取一名同学,共有4×4=16种结果,这两名同学植树的总棵数Y可能是17，18，19,20，21，事件Y=17，表示甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵，∴P（Y=17)=P（Y=18)=P（Y=19)=P(Y=20）=,P（Y=21）=Y 17 18 19 20 21P 0。

2011年高考物理试题北京卷试题和答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试物理部分（北京卷）本试卷共14页，共300分，考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共120分）本部分共20小题，每小题6分，共120分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

13．表示放射性元素碘131（13153I ）β衰变的方程是A ．131127453512I Sb He →+B ．131131053541I Xe e -→+ C ．131130153530I I n →+ D ．131130153521I Te H →+答案：B解析：A 选项是α衰变，A 错误；B 选项是β衰变，B 正确；C 选项放射的是中子，C 错误；D 选项放射的是质子，D 错误。

14．如图所示的双缝干涉实验，用绿光照射单缝S 时，在光屏P 上观察到干涉条纹。

要得到相邻条纹间距更大的干涉图样，可以 A ．增大S 1与S 2的间距B ．减小双缝屏到光屏的距离C ．将绿光换为红光D ．将绿光换为紫光答案：C解析：由于双缝干涉中，相邻条纹间距离Lx dλ∆=，增大S 1与S 2的间距d ，相邻条纹间距离Δx 减小，A 错误；减小双缝屏到光屏的距离L ，相邻条纹间距离Δx 减小，B 错误；将绿光换为红光，使波长λ增大，相邻条纹间距离Δx 增大，C 正确；将绿光换为紫光，使波长λ减小，相邻条纹间距离Δx 减小，D 错误。

15．由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的A ．质量可以不同B ．轨道半径可以不同C ．轨道平面可以不同D ．速率可以不同答案：A解析：地球同步轨道卫星轨道必须在赤道平面内，离地球高度相同的同一轨道上，角速度、线速度、周期一定，与卫星的质量无关。

A 正确，B 、C 、D 错误。

16．介质中有一列简谐机械波传播，对于其中某个振动质点A ．它的振动速度等于波的传播速度B ．它的振动方向一定垂直于波的传播方向C ．它在一个周期内走过的路程等于一个波长S 1S 2SP单缝屏双缝屏光屏单色光D ．它的振动频率等于波源的振动频率答案：D解析：介质中某个振动质点做简谐运动，其速度按正弦（或余弦）规律变化，而在同一介质中波的传播速度是不变的，振动速度和波的传播速度是两个不同的速度，A 错误；在横波中振动方向和波的传播方向垂直，在纵波中振动方向和波的传播方向在一条直线上，B 错误；振动质点在一个周期内走过的路程为4个振幅，C 错误；波在传播的过程中，频率不变为波源的频率，D 正确。

北京101中学2024届高一物理第一学期期中达标检测试题含解析

北京101中学2024届高一物理第一学期期中达标检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确.全部选对的得5分，选不全的得3分，有选错的或不答的得0分）1、有四位同学把斜面对重物的支持力，分别画成如图的四种情况，其中画正确的是( )A．B．C．D．2、一个实验小组在“探究弹力和弹簧伸长的关系”的实验中，使用两条不同的轻质弹簧a和b，得到弹力与弹簧长度的图象如图7所示．下列表述正确的是A．a的原长比b的长B．a的劲度系数比b的大C．a的劲度系数比b的小D．测得的弹力与弹簧的长度成正比3、如图所示，甲、乙、丙、丁是以时间为横轴的匀变速直线运动的图象，下列说法正确的是()A．甲是a-t图象B．乙是x-t图象C．丙是x-t图象D．丁是v-t图象4、火车的速度为8m/s，关闭发动机后前进70m时速度减为6m/s．若再经过50s，火车又前进的距离为（）A．50m B．90m C．120m D．160m5、下列各组中的物理量，都属于矢量的是（）A．速度、加速度、温度B．位移、力、质量C．速度的变化、位移、力D．加速度、时间、路程6、科技馆里有一个展品，该展品放在暗处，顶部有一个不断均匀向下喷射水滴的装置，在频闪光源的照射下，可以看到水滴好像静止在空中固定的位置不动，如图所示．某同学为计算该装置喷射水滴的时间间隔，用最小刻度为毫米的刻度尺测量了空中相邻三滴水滴间的距离，由此可计算出该装置喷射水滴的时间间隔为(g取10 m/s2)( )A．0.01 s B．0.02 s C．0.1 s D．0.2 s7、如图所示，在竖直方向上，两根完全相同的轻质弹簧a、b，一端与质量为m的物体相连接，另一端分别固定，当物体平衡时，若( )A．a被拉长，则b一定被拉长B．a被压缩，则b一定被压缩C．b被拉长，则a一定被拉长D．b被压缩，则a一定被拉长8、如图所示，物体A的质量为5 kg，此时A与桌面间的最大静摩擦力为10 N，不计定滑轮与轻绳之间的摩擦。

2011年北京高考理综试题(解析版)

绝密★启封并使用完毕前2011年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试（北京卷）物理部分本试卷共16页，共300分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共120分）本部分共20小题，每小题6分，共120分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1．（6分）表示放射性元素碘131（53131I）β衰变的方程是（）A．53131I→51127Sb+24He B．53131I→54131Xe+﹣10eC．53131I→53130I+01n D．53131I→52130Te+11H2．（6分）如图所示的双缝干涉实验，用绿光照射单缝S时，在光屏P上观察到干涉条纹．要得到相邻条纹间距更大的干涉图样，可以（）A．增大S1与S2的间距B．减小双缝屏到光屏的距离C．将绿光换为红光D．将绿光换为紫光3．（6分）由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的（）A．质量可以不同B．轨道半径可以不同C．轨道平面可以不同D．速率可以不同4．（6分）介质中有一列简谐机械波传播，对于其中某个振动质点，（）A．它的振动速度等于波的传播速度B．它的振动方向一定垂直于波的传播方向C．它在一个周期内走过的路程等于一个波长D．它的振动频率等于波源的振动频率5．（6分）如图所示电路，电源内阻不可忽略．开关S闭合后，在变阻器R0的滑动端向下滑动的过程中（）A．电压表与电流表的示数都减小B．电压表与电流表的示数都增大C．电压表的示数增大，电流表的示数减小D．电压表的示数减小，电流表的示数增大6．（6分）“蹦极”就是跳跃者把一端固定的长弹性绳绑在踝关节等处，从几十米高处跳下的一种极限运动．某人做蹦极运动，所受绳子拉力F的大小随时间t变化的情况如图所示．将蹦极过程近似为在竖直方向的运动，重力加速度为g．据图可知，此人在蹦极过程中最大加速度约为（）A．g B．2g C．3g D．4g7．（6分）某同学为了验证断电自感现象，自己找来带铁心的线圈L、小灯泡A、开关S和电池组E，用导线将它们连接成如图所示的电路．检查电路后，闭合开关S，小灯泡发光；再断开开关S，小灯泡仅有不显著的延时熄灭现象．虽经多次重复，仍未见老师演示时出现的小灯泡闪亮现象，他冥思苦想找不出原因．你认为最有可能造成小灯泡末闪亮的原因是（）A．电源的内阻较大B．小灯泡电阻偏大C．线圈电阻偏大D．线圈的自感系数较大8．（6分）物理关系式不仅反映了物理量之间的关系，也确定了单位间的关系．如关系式U=IR既反映了电压、电流和电阻之间的关系，也确定了V（伏）与A （安）和Ω（欧）的乘积等效．现有物理量单位：m（米）、s（秒）、N（牛）、J（焦）、W（瓦）、C（库）、F（法）、A（安）、Ω（欧）和T（特），由它们组合成的单位都与电压单位V（伏）等效的是（）A．和B．和T•m2/sC．和C•T•m/s D．和T•A•m二、解答题（共1小题，满分18分）9．（18分）（1）用如图1所示的多用电表测量电阻，要用到选择开关K和两个部件S、T．请根据下列步骤完成电阻测量：①旋动部件，使指针对准电流的“0“刻线。

2011年5月份物理高考模拟试卷分类汇编(实验部分)1

2011年5月份物理高考模拟试卷分类汇编（实验部分）1．（2011届北京朝阳区二模）（8分）（1）如图甲所示为多用电表的示意图，现用它测量一个阻值约为200Ω的待测电阻，具体测量步骤如下：①调节，使电表指针停在表盘左侧的零刻度线处。

②将选择开关旋转到“Ω”档的位置。

（填“×1”、“×10”、“×100”或“×1k”）③将红、黑表笔分别插入“+”、“—”插孔，将两表笔短接，调节，使电表指针指向表盘右侧的零刻度线处。

④将红、黑表笔分别与待测电阻两端相接触，若电表读数如图乙所示，该电阻的阻值为Ω。

⑤测量完毕，将选择开关旋转到“OFF”位置。

（2）某同学用图甲所示的实验装置研究小车在斜面上的匀变速直线运动。

实验步骤如下：a．安装好实验器材，将打点计时器接到频率为50Hz的交流电源上。

b．接通电源后，让拖着纸带的小车沿斜面向下运动，重复几次。

选出一条点迹清晰的纸带，舍去开始密集的点迹，从便于测量的点开始，每2个打点间隔取一个计数点，如图乙中0、1、2……8点所示。

c．用最小刻度是毫米的刻度尺测量各计数点的刻度数值，分别记作x0、x1、x2……x8。

d．分别计算出打点计时器打下计数点1、2、3……7时小车的瞬时速度v1、v2、v3……v7。

e．以v为纵坐标、t为横坐标，标出v与对应时间t的坐标点，画出v-t图线。

结合上述实验步骤，请你完成下列任务：①表1记录的是该同学测出计数点的刻度数值，其中x s未测定，请你根据图乙将这个测量值填入表l中。

表1：符号x0 x1x2x3x4x5x6x7x8刻度0 1.12 2.75 4.86 7.49 14.19 18.27 22.03 数值/m②表2记录的是该同学根据各计数点的刻度数值，计算出打点计时器打下各计数点时小车的瞬时速度，请你根据表l中的x5和x7，计算出v6的值，并填人表2中。

表2：符号v1 v2v3v4v5v6v7速度数值/0.34 0.47 0.59 0.72 0.84 0.98（m·s—1）③该同学在图丙中已标出v1、v2、v3、v5和v7对应的坐标点，请你在图中标出v4和v6对应的坐标点，并画出v—t图线。

[训练]北京四中网校试卷.docx

北京四中审稿：李井军责编：郭金娟高一下学期期末复习专题三动量知识要点：一、冲量1、冲量：冲量可以从两个侧面定义或解释：①作用在物休上的力和力的作用时间的乘积，叫做该力对这物体的冲量。

②冲量是力对时间的累积效应。

力対物体的冲量，使物体的动量发生变化；而口冲量等于物体动量的变化。

2、冲量的表达式l = Ft.单位是牛顿•秒(N-s)3、冲量是欠量，其大小为力和作用时间的乘积，其方向沿力的作用方向。

如杲物体在时间/内受到儿个恒力的作用，则合力的冲量等于各力冲量的矢量和，其合成规律遵守平行四边形法则4、物体受到变力作川时，可引入平均作用力的冲量。

o二、动量1、动量：可以从两个侧面对动量进行定义或解释：①物体的质量跟其速度的乘积，叫做物体的动量。

②动量是物体机械运动的一种量度。

2、动量的表达式P = mvo单位是千克米/秒(kg-m/s)。

3、动量是矢量，其方向就是瞬时速度的方向。

当物体在一条玄线上运动时，其动量的方向可用正负号表示。

4、因为速度是相对的，所以动量也是相对的，我们一•般取地面或相对地面静止的物体做参照物來确定动量的大小和方向。

5、动暈与物体的速度有瞬时对应的关系。

说物体的动量要指明是哪一时刻或哪一个位置时物体的动暈。

所以动量是描述物体瞬时运动状态的一个物理量。

动量与物体运动速度有关，但它不能表示物体运动快慢，两个质量不同的物体具有相同的速度，但不具有相同的动量。

三、动量定理1、物体受到冲暈的作用，将引起它运动状态的变化，具体表现为动量的变化。

2、动量定理：物体所受的介外力的冲量等于物体动量的增量。

用公式表示为:3、运川动呈定理耍注意以下儿个问题：①在中学阶段，动量定理的研究对彖是一个物体。

不加声明，应用动量定理时，总是以地面为参照系，即Pi，P2，AP都是和对地面而言的。

②动量处理是矢量式，它说明合外力的冲量与物体动量变化不仅大小相等，而且方向相同。

在应川动量定理解题时，要特别注意各矢量的方向，若各矢量方向在一条直线上，可选定一个正方向，用止负号表示各矢量的方向，就把矢量运算简化为代数运算。

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第 1 页共 8 页第24届北京市高中力学竞赛预赛试卷（北京四中杯）（全卷满分150分） 2011年5月8日上午9:30—11:30 题号一二三总分 20 21 22 23

分数阅卷人复核人

一、选择题（共44分，每小题4分）下列每小题均有四个备选答案，至少有

一个答案是正确的，请把所选答案前的字母填在下面的答案表内．每小题全选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的均得0分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 1．某同学竖直向上抛出一个质量为m的小球，经过时间t，小球落回抛出点．若不计空气阻力，重力加速度为g，则该同学在抛出小球时，对小球做的功为 A．2221tmg B．2241tmg C．2261tmg D．2281tmg

2．质量为m的小物体在竖直向上的恒力F作用下匀加速上升高度为h，运动中受到的阻力f大小不变．对此加速过程的始末状态 A. 物体的动能的增加量为Fh-mgh-fh B. 物体的重力势能的增加量为mgh C. 物体的机械能的增加量为Fh D. 物体的机械能的增加量为Fh-fh 3．汽车由静止开始沿直线运动，第1秒内、第2秒内、第3秒内的位移分别为2m、4m、6m，则在这3秒内，汽车的运动情况是 A．汽车做匀加速直线运动 B．汽车做变加速直线运动 C．平均速度为2m/s D．平均速度为4m/s 4．如图1所示，物块A放在斜面体的斜面上，和斜面体一起向右做加速运动．若物块与斜面体保持相对静止，物块A受到斜面对它的支持力和摩擦力的合力的方向可能是

得分第 2 页共 8 页

A. 向右斜上方 B. 水平向右 C. 向右斜下方 D. 上述三种方向都不可能 5．如图2所示，绕过光滑钉子O的细绳，两端分别拴有A、B两个小球，A球的质量是B球的2倍．现将两球从距地面高度为h处由静止释放．若细绳足够长，细绳的质量、空气的阻力均不计．则B球上升到距地面的最大高度为 A．h B．h37

C．h38 D．h310 6．一物体由静止开始沿光滑斜面下滑，下滑到底端前物体的动能Ek随下滑位移s变化的关系是图3中的

7．如图4所示，小球和光滑斜面接触，悬线处于竖直方向．如果突然将悬线剪断，则剪断悬线前后，水平地面对斜面体的支持力和摩擦力的变化情况是 A. 支持力变大，摩擦力不变 B. 支持力变小，摩擦力变大 C. 支持力变大，摩擦力也变大 D. 支持力变小，摩擦力可能变小 8．物体自由下落，以地面为重力势能的零势能面，图5的四个图中，哪个图正确表示了物体的重力势能Ep与速度υ的关系

B h

图2

A a 图1

D． A． B． C． s Ek 0 s Ek 0 s Ek 0 s Ek

0 图3

4 D． B． A． C． υ Ep 0 υ Ep 0 υ Ep 0 υ Ep

0 图5 第 3 页共 8 页

9．质量分别是m1和m2的两个木块用轻弹簧相连，放在水平地面上，如图6所示，用细线拴住m1，并用力将它缓慢竖直向上提起，当木块m2刚要离开地面时，细线突然断裂，则此时木块m1的加速度为

A．0 B. g C. 121)(mgmm D. 12mgm

10．物体以初速υ0水平抛出，经过一段时间其水平位移与竖直位移大小相等．则此时 A. 物体的速度方向与水平方向的夹角为45° B. 物体的速度大小为05

C. 运动时间为g02

D. 运动位移的大小为g202 11．如图7所示，物体与轨道各处的动摩擦因数μ均相同，第一次物块从左侧高h1处的A点滑下，经过一段水平轨道，滑上右侧倾角为θ1的轨道1，滑到高为h2的B点时速度降为0．将轨道1改成倾角为θ2的轨道2 (图中的细实线)，已知θ2＜θ1，轨道2和轨道1的交点恰是B点．第二次物块仍从左侧轨道的A点滑下，滑上右侧的轨道2，则 A. 物块从高为h1的A处滑下，仍能滑到高为h2的B点 B. 物块从高为h1的A处滑下，能够滑过高为h2的B点继续上滑 C. 物块从高为h1的A处滑下，不能滑到高为h2的B点 D. 由于不知道θ2、θ1的具体数值，无法判定

二、填空题（共40分，每小题5分）把答案填在题中的横线上，或按题目

要求作图. 12．如图8所示，质量为m的物体，静止在倾角为θ的斜面底端．物体与斜面间的动摩擦因数为μ，斜面长为L．现对

得分

图6

θ m

图8

图7

A h1 h

θ1

B 1 2 第 4 页共 8 页

物体施平行于斜面向上的拉力，使物体由静止开始运动．要使物体能够到达斜面顶端，拉力至少需对物体做的功为． 13．某一星球的第一宇宙速度为υ，质量为m的宇航员在这个星球表面受到的重力为G，由此可知这个星球表面的重力加速度是；星球的半径是． 14．以初动能Ek竖直向上抛出质量为m的小球，小球运动中受到的空气阻力大小恒定．球

落回抛出点时的动能为抛出时的97，则小球上升的最大高度为． 15．从某一高度处水平抛出一个质量为m的小球，不计空气阻力，落地时小球所受的重力的功率为P．落地的水平位移为s．则小球抛出时的初速度的大小是． 16．如图9所示，高为H的光滑滑梯，滑梯的下端水平，距地面的高度为h．小孩从A处由静止开始滑下，由B处滑出滑梯后落到水平地面上的P点，OP＝d．设h和d已知，则小孩从B滑出的速度为，高度H＝． 17．质量为m＝60kg的同学，双手抓住单杠做引体向上，他的重心的速率随时间变化的图像如图10所示．取g ＝10m/s2，由图像可知t=0.4s时他受到单杠的作用力的大小是；t =1.1s时他受到单杠的作用力的大小是． 18．如图11所示，行星A和B绕恒星C做匀速圆周运动，圆半径之比为4:1．某一时刻A、B、C在一条直线上，B经过时间t绕恒星C运动一周．则要使A、B、C重新在一条直线(B在A、C中间)上，至少要经过的时间是．

19．在绕地球飞行的航天飞船内，有两个形状基本相同的物体A和B．要用实验粗略地比较A、B质量的大小，实验的原理和方法是．

P O H h B

图9

0.5 1.0 1.5 2.0 t/s υ/cms-1 10 20 30

图10 C A

图11 第 5 页共 8 页

O A B 图12

三、证明和计算题（共66分）解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步

骤，只写出最后答案的不能得分.有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位. 20．（13分）天文观测发现宇宙空间中存在一些双星系统．某双星系统的A、

B两颗星的质量分别为MA和MB，A、B相距为d，它们绕同一点O做匀速圆周运动，如图12所示．试证明此双

星系统的运动周期)(4A32BMMGdT．G为万有引力常量．

得分第 6 页共 8 页 21．（17分）质量为m 的飞机沿跑道加速，开始飞离跑道的水平速度为v0．飞离跑道后的运动轨迹如图13所示，已知飞机的水平位移为L时，沿竖直方向的位移为h．若飞机上升过程中飞机水平分速度保持υ0不变，竖直向上的升力大小恒定，不计空气阻力．求（1）从飞离跑道到上升h高的过程中，飞机的升力多大？（2）到达高度h 时，飞机的速度多大?

得分

x y

L h

O 图13 第 7 页共 8 页

22．（17分）重物A和滑块B用细线跨过定滑轮相连，A距地面高为H，B可在细线牵引下沿水平足够长的木板上滑动，如图14所示．滑块B上面固定了了一个力传感器，可以测定细线对滑块的拉力，C为运动传感器，可以测定滑块运动的υ-t图像．从某时刻起释放滑块B，测得滑块B所受拉力F随时间t变化的图像和滑块B的υ-t图像，如图15所示．（取g＝10m/s2）

（1）由图可知，滑块与长木板间的动摩擦因数是多少？（2）试通过分析讨论，当增大滑块B的质量时，它的υ-t图像可能如何变化．并在υ-t图中用铅笔线画出．

得分 A B C

图14

0.6 1.4 0 t/s υ/ms-1 2.4 F/N 0.6 1.4 0 t/s

图15 第 8 页共 8 页

23．（19分）如图16所示，长L的细绳一端固定于A点，另一端系一小球．水平x轴的原点O位于悬点A的正下方2L处．现在x轴正方向上某处钉一钉子P，再将球拉到细绳处于水平的位置，由静止释放，要使球下摆后可绕钉子P在竖直平面内转动一周．已知细绳能承受的最大拉力为球重的7倍，不计空气阻力．求钉子P应钉在x轴上的位置坐标范围．

得分

A L P O x

图16