博弈论复习题及答案

可口可乐与百事可乐（参与者）的价格决策：双方都可以保持价格不变或者提高价格（策略）；博弈的目标和得失情况体现为利润的多少（收益）； 利润的大小取决于双方的策略组合（收益函数）； 博弈有四种策略组合，其结局是： （1）双方都不涨价，各得利润10单位； （2）可口可乐不涨价，百事可乐涨价，可口可乐利润100，百事可乐利润-30； （3）可口可乐涨价，百事可乐不涨价，可口可乐利润-20，百事可乐利润30； （4）双方都涨价，可口可乐利润140，百事可乐利润35； 画出两企业的损益矩阵求纳什均衡。

9、北方航空公司和新华航空公司分享了从北京到南方冬天度假胜地的市场。如果它们合作，各获得500000元的垄断利润，但不受限制的竞争会使每一方的利润降至60000元。如果一方在价格决策方面选择合作而另一方却选择降低价格，则合作的厂商获利将为零，竞争厂商将获利900000元。 （1）将这一市场用囚徒困境的博弈加以表示。 （2）解释为什么均衡结果可能是两家公司都选择竞争性策略。 答：（1）用囚徒困境的博弈表示如下表：

北方航空公司 合作 竞争 新华航空公司 合作 500000，500000 0，900000 竞争 900000，0 60000，60000

（2）如果新华航空公司选择竞争，则北方航空公司也会选择竞争（60000>0）；若新华航空公司选择合作，北方航空公司仍会选择竞争（900000>500000）。若北方航空公司选择竞争，新华航空公司也将选择竞争（60000>0）；若北方航空公司选择合作，新华航空公司仍会选择竞争（900000>0）。由于双方总偏好竞争，故均衡结果为两家公司都选择竞争性策略，每一家公司所获利润均为600000元。

12、设啤酒市场上有两家厂商，各自选择是生产高价啤酒还是低价啤酒，相应的利润（单位：万元）由下图的得益矩阵给出：

（1）有哪些结果是纳什均衡？ （2）两厂商合作的结果是什么？ 答（1）（低价，高价），（高价，低价） （2）（低价，高价）

13、A、B两企业利用广告进行竞争。若A、B两企业都做广告，在未来销售中，A企业可以获得20万元利润，B企业可获得8万元利润；若A企业做广告，B企业不做广告，A企业可获得25万元利润，B企业可获得2万元利润；若A企业不做广告，B企业做广告，A企业可获得10万元利润，B企业可获得12万元利润；若A、B两企业都不做广告，A企业可获得30万元利润，B企业可获得6万元利润。 （1）画出A、B两企业的支付矩阵。 （2）求纳什均衡。 3. 答：（1）由题目中所提供的信息，可画出A、B两企业的支付矩阵（如下表）。

B企业 做广告 不做广告

A企业 做广告 20，8 25，2 不做广告 10，12 30，6

（2）因为这是一个简单的完全信息静态博弈，对于纯策纳什均衡解可运用划横线法求解。 如果A厂商做广告，则B厂商的最优选择是做广告，因为做广告所获得的利润8大于不做广告获得的利润2，故在8下面划一横线。如果A厂商不做广告，则B厂商的最优选择也是做广告，因为做广告获得的利润为12，而不做广告的利润为6，故在12下面划一横线。 如果B厂商做广告，则A厂商的最优选择是做广告，因为做广告获得的利润20大于不做广告所获得的利润10，故在20下面划一横线。如果B厂商不做广告，A厂商的最优选择是不做广告，因为不做广告获得的利润30大于做广告所获得的利润25，故在30下面划一横线。 在本题中不存在混合策略的纳什均衡解，因此，最终的纯策略纳什均衡就是A、B两厂商都做广告。 假定两家企业A与B之间就做广告与不做广告展开博弈，它们的报酬矩阵如下： 企业 B 做广告 不做广告 企业 A 做广告 100，100 300，0 不做广告 0，300 200，200 1、这是不是一个“囚犯的困境”？ 2、如果该对局只进行一次，其纳什均衡是什么？ 3.、如果博弈是重复的，但我们不考虑无限次的情形，假设只进行10次对局。再假定企业A采取的是“以牙还牙”的策略，并在第一次对局中不做广告，企业B也将采取“以牙还牙”的策略。对企业B，考虑两种不同的情况：在第一次做广告或第一次不做广告，分别计算这两种情况下企业B的累计利润，试问企业 B将如何行动？

1、是囚徒困境。虽然两人都不做广告都能获得较高的收益，但是两人为了各自的利益而不是整体的利益考虑时都会选择做广告。 2、企业B做广告时，企业A做广告的收益100大于不做广告的收益0；企业B不做广告时，企业A做广告的收益300大于不做广告的收益，所以对于企业A做广告时它的严格优势策略，企业B同理，即无论对方选择什么策略，做广告都是对自己最好的策略。该博弈的纳什均衡结果是两企业都选择做广告，双方各获利100，局中人单独改变策略没有好处。 3、假如B在第一次做广告，则B获利300A获利为0，企业A采取“以牙还牙”的策略在第二次对局中也做广告，则两者的获利各为100，因为企业A已经做广告此时企业B不能以降低利润为代价不做广告，所以企业B累计利润300+100*9=1200；企业B第一次不做广告，在理性人的假设下两者在今后会出现追求私利的现象，有限次数的重复博弈不能改变囚徒困境原来的均衡结果，企业B的累计利润可能为200+100*9=1100。

16、 某产品市场上有两个厂商，各自都可以选择高质量，还是低质量。相应的利润由如下得益矩阵给出： (1) 该博弈是否存在纳什均衡？如果存在的话，哪些结果是纳什均衡?

参考答案： 由划线法可知，该矩阵博弈有两个纯策略Nash均衡，即(低质量, 高质量)， (高质量,低质量)。 乙企业 高质量 低质量 甲企高质50,50 100,800 业 量 低质量 900,600 -20,-30

该矩阵博弈还有一个混合的纳什均衡 Q=a+d-b-c= -970,q=d-b= -120,R= -1380,r= -630，可得13863y,9712x 因此该问题的混合纳什均衡为))

13875,13863(),9785,97

12

((。

17、甲、乙两企业分属两个国家，在开发某种新产品方面有如下收益矩阵表示的博弈关系。试求出该博弈的纳什均衡。如果乙企业所在国政府想保护本国企业利益，可以采取什么措施？ 乙企业 开发 不开发 甲企业 开发 -10,-10 100,0

不开发 0,100 0,0

解：用划线法找出问题的纯策略纳什均衡点。 

0,0100,00,10010,10

所以可知该问题有两个纯策略纳什均衡点(开发,不开发)和(不开发,开发)。 该博弈还有一个混合的纳什均衡((111,1110),(111,11

10

))。

如果乙企业所在国政府对企业开发新产品补贴a个单位,则收益矩阵变为：



0,0a100,00,100a10,10

,要使(不开发,开发)成为该博弈的唯一纳什均衡点,只需

a>10。此时乙企业的收益为100+a。 18、博弈的收益矩阵如下表： 乙 左 右

甲 上 a，b c，d 下 e，f g，h （1）如果（上，左）是占优策略均衡，则a、b、c、d、e、f、g、h之间必然满足哪些关系？（尽量把所有必要的关系式都写出来） （2）如果（上，左）是纳什均衡，则（1）中的关系式哪些必须满足？ （3）如果（上，左）是占优策略均衡，那么它是否必定是纳什均衡？为什么？ （4）在什么情况下，纯战略纳什均衡不存在？ 答：（1）ea，gc，db，hf。本题另外一个思考角度是从占优策略均衡的定义出发。对乙而言，占优策略为),(),(hdfb；而对甲而言，占优策略为),(),(geca。综合起来可得到所需结论。 （2）纳什均衡只需满足：甲选上的策略时，db，同时乙选左的策略时，ea。故本题中纳什均衡的条件为：db，ea。 （3）占优策略均衡一定是纳什均衡，因为占优策略均衡的条件包含了纳什均衡的条件。 （4）当对每一方来说，任意一种策略组合都不满足纳什均衡时，纯战略纳什均衡就不存在。

19、Smith和John玩数字匹配游戏，每个人选择1、2、3，如果数字相同， John给Smith 3美元，如果不同，Smith给John 1美元。 （1）列出收益矩阵。 （2）如果参与者以1/3的概率选择每一个数字，证明该混合策略存在一个纳什均衡，它为多少？ 答：（1）此博弈的收益矩阵如下表。该博弈是零和博弈，无纳什均衡。 John 1 2 3

Smith 1 3，-3 -1，1 -1，1

2 -1，1 3，-3 -1，1

3 -1，1 -1，1 3，-3

（2）Smith选（1/3，1/3，1/3）的混合概率时，

John选1的效用为：31131131)3(311U John选2的效用为：31131)3(311312U John选3的效用为：31)3(311311313U 类似地，John选（1/3，1/3，1/3）的混合概率时， Smith选1的效用为：31)1(31)1(31331'1U Smith选2的效用为：31)1(31331)1(31'2U Smith选3的效用为：31331)1(31)1(31'3U 因为321UUU，'3'2'1UUU，所以：



)31,31,31(),31,31,31(是纳什均衡，策略值分别为John：31U；Smith：31'U。

20、假设双头垄断企业的成本函数分别为：1120QC，2222QC，市场需求曲线为QP2400，其中，21QQQ。

（1）求出古诺（Cournot）均衡情况下的产量、价格和利润，求出各自的反