三角形相似的三个判定定理
初中数学例题：相似三角形的三个判定定理
初中数学例题：相似三角形的三个判定定理2、如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键．举一反三【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．【答案】证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．3、（2014秋•洪江市期中）如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q 同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【思路点拨】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，又由△B是公共角，分别从=或=分析，即可求得答案．【答案与解析】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=xcm，BQ=2xcm，△AB=8cm，BC=16cm，△BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，△△B是公共角，△①当=，即=时，△PBQ△△ABC，解得：x=4；②当=，即=时，△QBP △△ABC ，解得：x=1.6，△经4或1.6秒钟△PBQ 与△ABC 相似．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定．属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．4、网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF ．【思路点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC ∽△DEF ．【答案与解析】证明：∵AC=2，BC=221031=+，AB=4，DF=222222=+，EF=2202621=+，ED=8，∴12AC BC AB DF EF DE ===， ∴△ABC ∽△DEF ．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．相似三角形相似的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．本题是在网格状中的两个三角形，优先考虑三边对应成比例的方法去考虑.举一反三【变式】如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=________，BC=_________；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．【答案】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，（2）△ABC ∽△DEF ．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°， ∴∠ABC=∠DEF ．2BC FE===∴△ABC ∽△DEF ．。
三角形相似判定
4．如图，在Rt∆ABC中，∠BAC = 90º，AD⊥BC于D， DE⊥AC于E，则图中与∆ABC相似的三角形有( ) D A．1个 C．3个 B．2个 D．4个
5．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点， CM的延长线交AB于点N，则S∆DMN：S四边形ANME等 于( A ) A．1：5 C．2：5 B．1：4 D．2：7
本节课我们复习了三角形相似的 判定，并通过与三角形全等的判 定的比较，便于同学们更牢固的 记忆。另外，通过习题的训练同 学们可以熟练的运用这些判定。
A A’
B
C
B’
C’
定理： 定理：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另 一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 ， 那么这两个直角三角形相似 。 A A’
B
C
B’
C’
知识对比：
相似三角形的判断与全等三角形的判断的对比判定
全等三角形 判 断
相似三角形
相似三角形的判断与全等三角形的判断的对比判定
B
C
B’
C’
判定定理二： 两边对应成比例且夹角相等， 判定定理二： 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对 应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 A
A’
B
C
B’
C’
判定定理三： 三边对应成比例，两三角形相似 判定定理三： 三边对应成比例， 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的 三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 三条边对形 ABCD中，AB//CD， 所以∆AEF∽∆CDF， 又因为AE：EB = 1： 3，所以AE：AB = 1： 4，即AE：CD = 1：4， 则S∆AEF：S∆CDF = (1：4)2 = 1：16，故
三角形相似的判定定理的证明
三角形相似的判定定理的证明你有没有想过，为什么有些三角形看起来差不多？比如它们的角好像一样大，边也差不多长，是不是它们就是“亲戚”？说到三角形相似的判定定理，简直就像是为这些三角形找到了家谱！一提到三角形相似，大家的脑海里可能会闪过“角相等，边成比例”这样的词，可实际背后有个理论基础，就是通过这些定理来证明这些三角形“长得像”是真的有原因的。
咱们先来个简单的比喻。
你去街上逛街，看到两个穿着几乎一模一样的T恤的哥们儿，一开始你可能觉得这俩是孪生兄弟，怎么长得这么像。
你问他俩才知道，他们其实根本没啥关系，只是恰好选了同一款T恤。
但如果有一天，你发现这俩穿的T恤不仅颜色一样，款式也一样，甚至连腰围都差不多，那你可能就得开始怀疑：这俩人是不是有点“眉目”了。
三角形相似就差不多是这种情况，它说的就是两三角形虽然大小不同，但它们的形状、角度和比例完全一致。
这就像是两个三角形穿了相同的“形状T恤”，但它们的“尺码”可能不一样。
为了证明这点，我们需要一些“硬核”知识。
这些判定定理，不是凭空就能得出来的，得经过一些巧妙的推理和实际的计算。
最常见的三角形相似判定有三个，分别是角角（AA）、边边边（SSS）、边角边（SAS）。
我给你细细道来，保证你听了不晕。
首先是角角（AA）相似定理。
你想想，如果两个三角形的两个内角相等，那它们的第三个角还能不相等吗？不可能啊！就好像你去餐厅点菜，点了两道完全一样的菜，服务员都送错了，你还能吃到不同的菜吗？不可能的，肯定都是一样的。
所以，如果两个三角形有两个对应的角相等，那第三个角自然也相等，结果它们的形状也就“无一例外”地相似了，尺寸大小可以不同，但形状“就是”一样。
接下来是边边边（SSS）。
这个就更直白了。
你可以把它想成两个三角形，分别量一下它们的三条边长度。
如果这三条边分别成比例，那这两个三角形肯定是相似的。
比如你去市场买西瓜，商贩跟你说“这西瓜和那西瓜长得差不多，大小差不多”，你就得看它们的大小比例，长得像不代表它们重量就相同嘛。
1.1.1相似三角形判定定理
D
E C B′ C′
B
知识要 点 判定定理1
如果一个三角形的两个角与另一个三 角形的两个角对应相等，那么这两个三角 形相似.可以简单说成：两角对应相等，两 三角形相似.
探究
A
A'
判定定理1是从三角形的三 个角来证明三角形相似，能不能 从三角形的角和边一起考虑，来 B 证明相似呢？
C B'
2．培养化归思想，从特殊到一般，再到特殊.
情感态度与价值观
1．通过相似三角形的定义，推导出其它的判定 定理. 2．通过课堂学习培养敢于结合以前所学知识， 推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.
教学重难点
重点
相似三角形的判定定理和性质.
难点
灵活应用相似三角形的性质和判定进行计算和 证明.
研讨
由DE//BC,根据平行线分线段成比例推论， ΔADE和ΔABC的三条边对应成比例，又因为 DE//BC,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A是公共角.
新课导入
回顾旧知
以上图形相似，怎么才能判断相似呢？
观察
A
A
B
C
B
C
有什么方法判断两图形相似？定义法？
相似三角形的定义？ 如果 A A ', B B ', C C '
AB BC AC A' B ' B 'C ' A'C '
那么
ΔABC∽ΔA′B′C′ A A
A'
直角三角形 相似，如何 判定！
B
思 考
C B'
C'
知识要 点 定理
B
C
B
C
几何相似三角形的判定定理
几何相似三角形的判定定理
相似三角形的判定定理:
(1)假设一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,(简叙为两角对应相等两三角形相似).
(2)假设一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.)
(3)假设一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.)
直角三角形相似的判定定理:
(1)直角三角形被斜边上的高分红两个直角三角形和原三角形相似.
(2)假设一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
相似三角形的性质定理:
(1)相似三角形的对应角相等.
(2)相似三角形的对应边成比例.
(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
(4)相似三角形的周长比等于相似比.
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.
相似三角形的传递性
假设△ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC∽A2B2C2。
三角形的相似判定和性质
感谢观看
性质应用：在几何学中，对应边成比例的性质是判定两个三角形是否相似的重要依据之一。
性质证明：可以通过相似三角形的定义和性质定理来证明对应边成比例的性质。
面积比等于相似比的平方
性质定义：两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方
证明方法：利用相似三角形的性质和相似三角形的性质定理证明
应用场景：解决三角形相似问题时，可以用来计算面积比或判断面积是否相等
定义：如果两个三角形的两组对应边成比例，且这两组对应边的夹角相等，则这两个三角形相似。
符号表示：若a/b = c/d，且∠A = ∠B，则△ABC∽△DEF。
应用：在几何学中，边角判定定理是判定两个三角形是否相似的重要依据之一。
证明：可以通过三角形的性质和定理证明边角判定定理的正确性。
03
三角形相似的性质
用于计算几何图形的面积和周长
用于探索数学规律和性质
用于解决数学竞赛中的相似的应用：用于证明几何定理和性质
三角形相似的应用：用于解决几何问题，如面积和周长的计算
三角形相似的应用：作为数学教育中的重要知识点，帮助学生理解几何图形的性质和关系
三角形相似的应用：在数学竞赛和高考中占有重要地位，是考察学生数学能力的关键知识点
在解决实际问题中的应用
测量中的应用：利用相似三角形测量不可达物体的高度、距离等
建筑设计中的应用：利用相似三角形进行建筑物的比例设计，确保美观和实用
物理学中的应用：在力学、电磁学等领域中，利用相似三角形解决实际问题
航海中的应用：利用相似三角形判断船只的位置和航向，确保航行安全
在数学竞赛中的应用
用于解决几何证明问题
平行线判定定理三：两直线平行同旁内角互补
判定直角三角形相似的方法
判定直角三角形相似的方法
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相近。
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
5、用一个三角形的两边回去比另一个三角形与之相对应当的两边，分别对应成比例，如果三组对应边较之都相同，则三角形相近。
相似三角形介绍：
三角分别成正比，三边成比例的两个三角形叫作相近三角形。
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被
理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相
似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
相近三角形的性质
1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相近三角形任一对应线段的比等同于相近比。
3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。
投影全系列等三角形的认定定理，可以得出结论以下结论：
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角成正比的两个三角形相近。
3、三边成比例的两个三角形相似。
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相近。
根据以上判定定理，可以推出下列结论：
1、三边对应平行的两个三角形相近。
2、一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
三角形中的相似关系与判定方法
三角形中的相似关系与判定方法在几何学中，相似是指两个或多个图形具有相同的形状，但可能不相等的大小。
在三角形中，我们常常遇到相似关系，并且有特定的判定方法来确认它们是否相似。
本文将探讨三角形中的相似关系及其相应的判定方法。
一、三角形的相似关系三角形的相似关系是指两个或多个三角形具有相同的形状，其对应的角度相等、对应的边长成比例。
当两个三角形相似时，我们可以推断它们的相似性质，例如角度对应相等、边长成比例等。
在三角形ABC与三角形DEF中，若满足以下条件，可以确定它们相似：1. 对应角相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F；2. 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
二、三角形相似的判定方法在几何学中，我们可以利用以下几种方法来判定三角形相似：1. AA相似法则（角-角相似法则）若两个三角形的两个角对应相等，则可以判定它们相似。
即在三角形ABC与三角形DEF中，如果∠A = ∠D，且∠B = ∠E，则可以推断三角形ABC与三角形DEF相似。
2. SAS相似法则（边-角-边相似法则）若两个三角形的两个边对应成比例，且夹角对应相等，则可以判定它们相似。
即在三角形ABC与三角形DEF中，如果AB/DE = AC/DF，且∠A = ∠D，则可以推断三角形ABC与三角形DEF相似。
3. SSS相似法则（边-边-边相似法则）若两个三角形的所有边对应成比例，则可以判定它们相似。
即在三角形ABC与三角形DEF中，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，则可以推断三角形ABC与三角形DEF相似。
4. 直角三角形相似定理在直角三角形中，若两个直角三角形的斜边长度成比例，则可以判定它们相似。
即在直角三角形ABC与直角三角形DEF中，如果AB/DE = BC/EF，则可以推断直角三角形ABC与直角三角形DEF相似。
5. 平行线分比定理若两个或更多平行线截取的线段成比例，则可以判定三角形相似。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形相似的三个判定定理
在数学中，相似是一个重要的概念。
在几何学中，相似是指两个图形形状相同但大小不同。
在三角形中，相似的概念也非常重要。
本文将介绍三角形相似的三个判定定理。
第一定理：AA相似定理
AA相似定理是指如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
这个定理的证明非常简单。
假设有两个三角形ABC和DEF，其中∠A=∠D，∠B=∠E。
我们需要证明这两个三角形相似。
首先，我们可以通过角的对应关系得到∠C=∠F。
然后，我们可以使用正弦定理得到：
AB/DE=sin∠B/sin∠E
AC/DF=sin∠C/sin∠F
因为∠B=∠E，∠C=∠F，所以sin∠B/sin∠E=sin∠C/sin∠F。
因此，AB/DE=AC/DF，这意味着三角形ABC和DEF相似。
第二定理：SAS相似定理
SAS相似定理是指如果两个三角形的两个角分别相等，且它们的对应边成比例，则这两个三角形相似。
这个定理的证明也非常简单。
假设
有两个三角形ABC和DEF，其中∠A=∠D，AB/DE=AC/DF。
我们需要证明这两个三角形相似。
首先，我们可以通过角的对应关系得到
∠B=∠E。
然后，我们可以使用正弦定理得到：
BC/EF=sin∠B/sin∠E
因为∠B=∠E，AB/DE=AC/DF，所以BC/EF=AC/DF。
因此，三角形ABC和DEF相似。
第三定理：SSS相似定理
SSS相似定理是指如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。
这个定理的证明也非常简单。
假设有两个三角形ABC和DEF，其中AB/DE=BC/EF=AC/DF。
我们需要证明这两个三角形相似。
我们可以使用正弦定理得到：
sin∠A/sin∠D=AB/DE
sin∠B/sin∠E=BC/EF
sin∠C/sin∠F=AC/DF
因为AB/DE=BC/EF=AC/DF，所以
sin∠A/sin∠D=sin∠B/sin∠E=sin∠C/sin∠F。
因此，三角形ABC和DEF相似。
总结
三角形相似的三个判定定理分别是AA相似定理、SAS相似定理和SSS 相似定理。
这些定理在三角形的研究中非常重要，可以帮助我们判断两个三角形是否相似。
在实际应用中，我们可以利用这些定理来解决各种问题，例如计算三角形的面积、寻找相似的三角形等等。